分数随机环境下的最优投资组合

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英文标题：
《Optimal Portfolio under Fractional Stochastic Environment》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Ruimeng Hu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Rough stochastic volatility models have attracted a lot of attentions recently, in particular for the linear option pricing problem. In this paper, starting with power utilities, we propose to use a martingale distortion representation of the optimal value function for the nonlinear asset allocation problem in a (non-Markovian) fractional stochastic environment (for all Hurst index $H \\in (0,1)$). We rigorously establish a first order approximation of the optimal value, where the return and volatility of the underlying asset are functions of a stationary slowly varying fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We prove that this approximation can be also generated by a fixed zeroth order trading strategy providing an explicit strategy which is asymptotically optimal in all admissible controls. Furthermore, we extend the discussion to general utility functions, and obtain the asymptotic optimality of this fixed strategy in a specific family of admissible strategies.
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中文摘要：
粗糙随机波动率模型近年来引起了人们的广泛关注，尤其是对于线性期权定价问题。在本文中，从电力公用事业开始，我们建议在（非马尔可夫）分数随机环境中（对于所有Hurst指数$H\\In（0,1）$）使用最优值函数的鞅失真表示。我们严格建立了最优值的一阶近似值，其中基础资产的收益率和波动率是平稳缓慢变化的分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程的函数。我们证明了这种近似也可以由一个固定的零阶交易策略生成，该策略提供了一个在所有容许控制下渐近最优的显式策略。此外，我们将讨论扩展到一般效用函数，并在一个特定的容许策略族中得到了该固定策略的渐近最优性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：投资组合 Mathematical Quantitative Presentation mathematica

分数阶随机环境下的最优投资组合Jean-Pierre Fouque*Ruimeng Hu+2017年12月12日AbstractRough随机波动率模型最近吸引了很多关注，尤其是对于线性期权定价问题。在本文中，我们从电力公司开始，建议在（非马尔可夫）分数随机环境中（对于赫斯特指数H的所有值），使用最优值函数的鞅失真表示来解决非线性资产配置问题∈ （0，1））。当标的资产的收益率和波动率是平稳缓慢变化的分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程的函数时，我们粗略地建立了最优值的一阶近似值。我们证明，这种近似值也可以由固定的零阶交易策略生成，该策略提供了在所有容许控制下渐近最优的显式策略。此外，我们将讨论扩展到一般效用函数，并在一个特定的可容许策略族中获得该执行策略的渐近最优性。关键词：最优投资组合，分数阶随机过程，鞅失真，渐近最优性。1引言在本文中，我们研究了非马尔可夫分数随机环境下的默顿问题，并且我们能够提供一个明确的交易策略，该策略在电力公司的情况下是渐近最优的，在一般公司的特定家族中是渐近最优的。默顿·默顿（MertonMerton）[1969，1971]首次在连续时间框架下研究了投资组合优化问题，其中风险资产按照布莱克·斯科尔s-Merton模型考虑，具有恒定回报和恒定波动性。

在这种设置下，当效用函数属于特定类型时，默顿提供了如何交易股票和/或如何消费以最大化效用的明确解决方案，例如，恒定相对风险规避（CRRA）。在这些开创性的论文之后，最优投资组合和消费问题在存在缺陷的金融市场中得到了广泛的研究。例如，Cox和Huang【1989年】以及Karatzas等人【1987年】研究了不完全市场的情况；Mag ill和Constantinides【1976年】考虑了交易成本，Guasoni和Muhle-K arbe【2013年】考虑了auser的指南；Grossman和Zhou【1993年】、Cvitani\'c和Karatzas【1995年】以及Elie和Touzi【2008年】重新研究了投资组合约束下的投资，仅举几个例子。默顿公共关系问题的一个关键因素是基础资产的建模，实证研究表明波动是随机的。在这个方向上，我们让读者参考Zariphopoulou【1999】中的非n线性局部波动率模型，Chacko和Viceira【2005】中的特定类赫斯顿随机波动率模型，Lorig和Sircar【2016】中的局部随机波动率，Kramkov和Schachermayer【2003】中的半鞅模型的一般分析。大部分工作都集中在波动率的马尔可夫模型上。然而，在最近的一系列论文中，非马尔可夫模型似乎更好地描述了数据，尤其是短期依赖性。InGatheral等人（2014年）漂亮地证明，由分数布朗运动（fBm）驱动的随机波动率（Hurst系数H<），即所谓的粗糙分数随机波动率（RFSV），与观测数据相当吻合。Jaisson和Rosenbaum【2016】和El Euch等人。

【2016】表明，RFSV是基于Hawkes过程的限额订单簿（LOB）一般模型的自然sca-ling限额。*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.NSF拨款DMS-1409434支持的工作+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，hu@pstat.ucsb.edu.Meanwhile，Fouque等人【2015】和Hu【2017】在投资组合优化问题中考虑了风险y资产的多尺度因子模型，其中收益率和波动率由快速均值回复因子和缓慢变化因子驱动。具体而言，Fouque等人【2015】通过分析非线性Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程（HJB PDE），试探性地提供了价值函数的渐近近似和一般效用函数的最优策略。在本文中，我们将考虑标度和非马尔可夫结构来建模基础资产。正如Fouque和Hu【2017b】所述，尤其是由于长期投资的相关性（有关所涉及时间尺度的进一步讨论，请参见Fouque等人【2015年】），我们只考虑一个缓慢变化的分数

【2003】、Coutin【2007】、Biagini等人【2008】、Kaarakka和Salminen【2011】了解更多详情。这种RFSV模型下的定价选项确实是一个挑战，因为该模型是非马尔可夫模型，PDE工具不再可用。然而，当分数随机波动率因子缓慢变化（小δ）时，可以使用Fouque et al.（2000）和Fouque et al.（2001）设计的所谓“epsilon-Martingale分解”方法获得实际近似值。最近，Garnier和Solna【2017】针对低变RFSV模型提出了这一点，并对分数SV的Black-Scholes公式进行了修正。请注意，问题不是n-马尔可夫问题，但在期权定价的情况下仍然是线性的。主要结果。本文研究了theRFSV模型（3.9）下的非线性终端效用最大化问题。对于电力公司，通过鞅畸变表示，我们严格地得到了在任何时间和所有H∈ （0，1），以及Corres-ponding最优投资组合的表达式。在δ较小的情况下，这些表达离子的形式为一个引导阶项加上阶数δH的一阶修正。这是通过在观察值Zδ（时间t=0）下围绕“冻结”波动率扩展martinga-le畸变表示来实现的。对于相对较小的H（如Gatheral等人【2014】所示，接近0.1），价值过程的一阶修正相对较大，应通过任何良好的实践策略对als进行评级。我们的结果很好地表明，最优策略的Leading order（在基础资产和currentfactor水平方面是明确的，因此易于实施）将生成高达δH阶的价值函数，即包括第一次校正。

换句话说，最优策略表达式中的δHterm不需要对价值过程进行这样的修正。然而，它是明确给出的，通过考虑ac计数跨期套期保值，可以很容易地实施以改进策略。对于一般效用函数，使用Psilon鞅分解方法和常数系数的Merton问题的风险容限函数的性质，我们获得了与agiven策略对应的投资组合值的近似值，如Fouke和Hu[2017b]在马尔可夫情况下所述，我们证明，在一类特定的可容许策略中，该策略是渐近最优的。论文的组织结构。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了一般随机波动模式下的martinga-le-扭曲变换，该模式首次在Zariphopoulou【1999】的马尔可夫案例中推导，并在Tehranchi【2004】的非马尔可夫环境中推导。在这里，标的资产的转移和波动是由一个随机过程驱动的，这个过程不需要是马尔可夫过程，也不需要是半鞅过程。我们还对多资产情况进行了推广。在第三节中，我们证明了

我们在第5.2节中得出结论，即电力公用事业和随机环境的默顿问题由St表示，基础资产价格的回报和波动率由随机事实r Yt驱动，dSt=u（Yt）Stdt+σ（Yt）StdWt，（2.1）对u（y）和σ（y）的假设将在后面具体说明。这里是一个与（Gt）相适应的一般随机过程，即由{WYu:u产生的自然过滤≤ t} ，WYtis是一个布朗运动，通常与驱动价格的布朗运动相关W、 怀俄明州t=ρdt，|ρ|<1。还将（Ft）定义为（Wt，WYt）产生的自然过滤。用π表示投资者的策略，用Xπ表示相应的财富过程。量πt∈ Ft表示在时间t投资于风险资产的资金金额，剩余资金持有在货币账户中，以恒定利率r支付利息。在不丧失一般性的情况下，我们将始终取r=0。假设策略π是自我融资的，财富过程的动力学Xπ由dXπt=πtu（Yt）dt+πtσ（Yt）dWt给出。（2.2）投资者的目标是找到最佳战略，以最大限度地发挥其对最终财富的预期效用。数学上，他旨在确定最佳值vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（2.3）与最优策略π*, 根据效用函数U（·）描述的偏好。在本节和第3节中，我们考虑功率实用情况：U（x）=x1-γ1- γ、 γ>0，γ6=1，（2.4），集合Atis是所有可容许策略的类别：At：={πis（Ft）-适应：Xπsin（2.2）保持非负s≥ t、 给定Ft}，（2.5），其中零是Xπt（破产）的吸收状态。此外，对于power utility案例，我们要求llπ∈ 在，满足以下可积性条件：supt∈[0，T]Eh（XπT）2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1和E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞.

（2.6）稍后，在第4节中，我们将讨论一般效用函数的情况。为了激发我们将在第2.2节中介绍的鞅失真变换，我们首先在下一小节中调用Z ariphopoulou【1999】在马尔可夫电力公司案例中获得的失真变换（2.4）。我们还在Rema rk 2.5中指出，当股票的收益率和波动率由相同的随机性WY决定时，结果可以推广到多资产情况。2.1畸变变换在马尔科夫装置中，Ytis a diffusion process in The Ma-rkovian setup，Ytis a diffusion process following The formdYt=k（Yt）dt+h（Yt）dWYt的随机微分方程，and value function V（t，x，y）：=supπ∈AtE[U（XπT）| Xt=X，Yt=y]是Fouque等人[2015]给出的Hamilton-Jac-obiBellman（HJB）方程的解。偏差变换由v（t，x，y）=x1给出-γ1- γψ（t，y）q，（2.7），q=γγ+（1- γ） ρ（2.8），这导致HJB方程中的canc e ling（ψy）项。因此，ψ求解线性偏微分方程ψt+h（y）yy+k（y）y+1- γγλ（y）ρh（y）yψ+1- γ2qγλ（y）ψ=0，ψ（T，y）=1，其中λ（y）是夏普比λ（y）：=u（y）/σ（y。通过费曼-卡克公式，我们观察到ψ可以表示为ψ（t，y）=eEhe1-γ2qγRTtλ（Ys）dsYt=yi，（2.9），其中在EP下，fWYt=WYt-Rtρ1.-γγλ（Ys）ds是标准布朗运动。下一小节中的公式概括了（2.9），没有使用任何PDE参数。2.2鞅失真变换鞅失真变换由公式（2.7）和（2.9）驱动。Tehranchi【2004年】对其进行了驱动，其效用函数略有不同。为了清楚起见，我们在此重申，并提出了一个基于验证随机微积分的简短证明。我们认为，以下结果和证明可以直接扩展到多资产情况（见Remar k 2.5）。

在本文的其余部分中，为了简化符号，我们仅提出了单一资产的情况。注意，在下面的命题2.2中，（Yt）是一个适用于（Gt）的一般随机过程，它不需要是马尔可夫的，也不需要是半鞅的。特别是，在第3节中，我们将能够将其应用于（Yt）是分数过程的情况。假设夏普比λ（·）是有界的。通过DEPDP=exp定义新的概率度量(-ZTasdWYs公司-ZTasds），（2.10），其中atis由AT给出=-ρ1.- γγλ（Yt），（2.11），因此是有界的，并且Gt适应。那么，fWYt：=WYt+Rtasds是标准的布朗运动。我们现在假设以下模型。假设2.1。（i） ST的SDE（2.1）具有独特的强溶质。假设函数λ（·）有界且C（R）。函数λ′（·）是有界的，且λ′（·）最多是多项式增长的。（ii）定义P鞅=eEhe1-γ2qγRTλ（Ys）dsGti，（2.12）并写出其表示形式dmt=MtξtdfWYt。（2.13）我们假设EHECξRTξtdti<∞, （2.14）其中常数cξ由cξ=16（1）给出-γ） ρpqγ表示γ<1，cξ=16（1-γ） ρpqγ-4p（1-γ） γ>1时为γ。参数p在（2.6）中引入，q由（2.8）定义。提案2.2。让Stfollow the dynamics（2.1），并假设目标是（2.3）和power utilityfunction（2.4）。在假设2.1下，（2.3）中定义的值过程vt由vt=X1给出-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds燃气轮机智商。（2.15）根据（2.10）中引入的toeP计算期望值EE[·]。参数q在γ和ρ项中由（2.8）给出。

最优策略π*是π*t型=λ（Yt）γσ（Yt）+ρqξtγσ（Yt）Xt，（2.16），其中ξ在（2.13）中给出。关于GT的条件对应于第2.1节中所述马尔可夫情况下的变量分离。备注2.3。（i） 请注意，（2.4）中的γ=1是对数效用情况，可以单独处理。（ii）对于退化情况λ（y）≡ λ、 数值过程VT减小到VT=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） 。数量=-ρ1.-γγλ是一个常数，从（2.12）直接计算得出ξt=0。因此，最优控制π*变为π*t=λγσ（Yt）Xt。在这种情况下，vt和π*t不要像预期的那样依赖于A和q。（iii）在不相关的情况下，ρ=0，问题已经是“线性的”，因为q=1。价值过程vt与最优控制π*简化为VT=X1-γt1- γEhe1-γ2γRTtλ（Ys）dsGti，π*t=λ（Yt）γσ（Yt）Xt。命题2.2的证明。证明遵循验证参数，即为了证明vtisinded值过程和π*（2.16）中给出的是最优的，需要证明（i）对于任何控制πt∈ 在，过程（2.15）是一个超鞅，而（ii）vt是一个受控鞅（2.16），它需要是可容许的。设αtbe为在统计时间t中投资的财富的比例，即πt=αtXt，那么财富过程（2.2）可以重写为：dXt=Xt[αtu（Yt）dt+αtσ（Yt）dWt]。（2.17）在以下证明中，我们将首先推导出dVt的漂移部分，然后得到α*t通过最大化漂移α，最终表明漂移部分在α处进行评估*选择正确的At和q为零。回想（2.12）中定义的P鞅mt，并使用MtasVt=X1重写VT-γt1- γeNtMqt，（2.18），其中Nt=-1.-γ2γRtλ（Ys）ds。在下面的推导中，我们使用短符号λ=λ（Yt），u=u（Yt），σ=σ（Yt）。