分数随机环境下的最优投资组合

为此，我们分别回顾（3.14）和（3.20）中的φδ和ψδtgiven，它们满足以下关系Zδ，Ht- Zδ，Hdt=dψδt- dφδtandZδ，Ht- Zδ，HDv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt=Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dψδt- dφδt. （4.29）在右侧，附录a中证明第一项是真鞅，而第二项需要进一步分析，即将计算φδtDv（0）的差值。在没有任何混淆的情况下，为了简单起见，应省略v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）的参数。dφδtDv（0）=Dv（0）dφδt+φδtLt，x（λ（Zδ，Ht））Dv（0）dt+φδtσ（Zδ，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，Zδ，Ht）xDv（0）dWt+σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）xDv（0）dW、 φδt=Dv（0）dφδt+ρλ（Zδ，H）Dv（0）dWZ，ψδt+φδtσ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）xDv（0）dWt+φδtg（3）txDv（0）dt+φδtg（4）txxDv（0）dt+ρg（5）txDv（0）dWZ，ψδt、 （4.30）其中，在上述推导中，我们使用了DLt，x（λ（Zδ，H））Dv（0）=DLt，x（λ（Zδ，H））v（0）=0，和dW、 φδt=ρdWZ，ψδt、 （4.31）第一个在【Fouque等人，2015年，引理2.5】中得到证明。同样，g（3）t、g（4）和g（5）皮重的拉格朗日方程由泰勒级数g（3）t得出=Zδ，Ht- Zδ，H（λR）zz=χ（3）t，g（4）t=Zδ，Ht- Zδ，HλRzz=χ（4）t，g（5）t=Zδ，Ht- Zδ，H（λR）zz=χ（5）t，带χ（i）t∈hZδ，H∧ Zδ，Ht，Zδ，H∨ Zδ，Hti，i=3，4，5。现在结合（4.29）和（4.30）yie lds：Zδ，Ht- Zδ，HDv（0）dt=-dφδtDv（0）+ ρλ（Zδ，H）Dv（0）dWz，ψδt+dM（2）t+φδtg（3）txDv（0）dt+φδtg（4）txxDv（0）dt+ρg（5）txDv（0）dWZ，ψδ其中M（2）是由dm（2）t=Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dψδt+φδtσ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）给出的鞅xDv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dWt，（4.32），遵循与M（1）t相似的证明WZ，ψδt： =θδt，Tdt，引理A.1（iv），一个有θδt，t=ZT-tKδ（s）ds=δHθt，t+δH+1eθt，t，并给出一个简单的计算tDt，T=-θt，t，（4.33），其中Dt在（4.23）中定义。

然后将其应用于（4.23）中定义的v（1）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）=Lt，X（λ（Zδ，Ht））v（1）dt+σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）v（1）xdWt=Lt，X（λ（Zδ，H））v（1）dt+σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）v（1）xdWt+g（3）tv（1）xdt+g（4）tv（1）xxdt=-Dv（0）θt，Tdt+dM（3）t+g（3）tv（1）xdt+g（4）tv（1）xxdt，（4.34）最后两项为O（δH），M（3）tas鞅：dM（3）t=σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）v（1）X（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dWt。

（4.35）收集方程（4.25），（4.30）和（4.34），我们得到dqπ（0），δt（Xπ（0）t，Zδ，H）=dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδtDv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）+δHρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）v（1）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）= dMδt+dRδt，其中dMδtand dRδtaredMδt=dM（1）t+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dM（2）t+δHρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dM（3）t，（4.36）dRδt=g（1）tv（0）xdt+g（2）tv（0）xxdt+δHρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）g（3）tv（1）xdt+g（4）tv（1）xxdt（4.37）+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδtg（3）txDv（0）dt+φδtg（4）txxDv（0）dt+ρg（5）txDv（0）δHθt，t+δH+1eθt，tdt公司.注意到v（0）（T，Xπ（0）T，Zδ，H）=U（Xπ（0）T），φδTDv（0）（T，Xπ（0）T，Zδ，H）=0，因为φδT=0，并且v（1）（T，Xπ（0）T，Zδ，H）=0，根据定义，Qπ（0），δ的终端条件确实与vπ（0），δT一致。结合附录a中的Mδ是一个真实的市场，Rδ为δ2hd阶，我们在第4.5.4.4条π（0）的渐近可选性中获得了期望的结果。回顾（4.5）中定义的容许策略的特定家族：eAδt[eπ，eπ，α]：=π=eπ+Δαeπ：π∈ Aδt，α>0，0<δ≤ 1., （4.38）eπ和eπ为反馈控制，δt为（2.5）中定义的所有可接受策略集。在这一子节中，我们首先推导了Vπ，δtVπ，δt的近似值：=E[U（Xπt）| Ft]，（4.39）对于任何容许策略π∈eAδt如命题4.5所示，使用ε-鞅分解技术形成eπ+Δαeπ，其中Xπ是遵循交易策略π的第h个过程：dXπt=u（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）dt+σ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）dWt。（4.40）然后，给出Vπ（0），δtin比例4.5之前建立的结果，我们渐近比较Vπ（0），δ和Vπ，δt的近似值，然后证明定理4.8。定理4.8。

根据A s假设4.1、4.3、4.9和B.1，对于任何贸易策略系列SEAδt【eπ，eπ，α】，土地满意度存在以下限制l := limδ→0Vπ，δt- Vπ（0），δtδH≤ 其中Vπ（0）、δ和Vπ、δ皮重分别定义在（4.3）和（4.39）中。也就是说，生成Vπ（0），δt的策略π（0）在δHthan anyfamilyeAδt[eπ，eπ，α]阶上渐近性能更好。此外，可以根据以下四种情况写出不等式：（i）eπ=π（0），α>H/2：l = 0和Vπ，δt=Vπ（0），δt+o（δH）；（ii）eπ=π（0），α=H/2：-∞ < l < 0和Vπ，δt=Vπ（0），δt+O（δH），O（δH）<0；（iii）eπ=π（0），α<H/2：l = -∞ Vπ，δt=Vπ（0），δt+O（δ2α），O（δ2α）<0；（iv）eπ6=π（0）：limδ→0Vπ，δt<limδ→0Vπ（0），δt，其中Vπ，δ和Vπ（0）之间的所有关系，δt在Lsense下。假设4.9。对于固定的选择（eπ，eπ，α>0），我们要求：（i）策略{eπ+Δαeπ}的整个家族（inδ）包含在δt中；（ii）函数u（z）是C（R）。（iii）函数eπ（t，x，z）和eπ（t，x，z）在[0，t]×R+×R和Cin z上是连续的。（iv）过程v（0）（t，xπt，zδ，H）在L（[0，t]×）中Ohm) δ均匀，即e“ZTv（0）（s，Xπs，Zδ，H）ds公司#≤ C（4.42），其中，Cis独立于δ，Zδ，t=0时为h follows（3.9），π=eπ+Δαeπ时为Xπt follows（4.4 0）。备注4.10。我们有eπ+δeπ=eπ+eπ+Δα·0，所以考虑α>0就足够了。备注4.11。为了证明假设（B.1）的非限制性，我们在电力公司的情况下给出以下示例。

我们认为，这样选择效用函数是为了方便起见，而定理4.8一般适用。对于情况（i），如果我们选择容许策略π=eπ+Δαeπ，且eπ=eπ=π（0）（可容许性可以类似于定理2.2中所示），那么我们推导出所有要求在δ中一致有界的qu反比的形式为ztp（Zδ，H，χs，Zδ，Hs，φδs）（Xπs）2（1-γ） ds，χs∈hZδ，H∧ Zδ，Hs，Zδ，H∨Zδ，Hsi，其中P几乎是多项式增长的。通过H¨older不等式，它们小于eztp（Zδ，H，χs，Zδ，Hs，φδs）qds！1/qEZT（Xπs）2p（1-γ） ds！1/p，1/p+1/q=1。第一个量在δ中由引理A.1（i）（iii）一致有界，而第二个量的有界性由π=eπ+Δαeπ的容许性y遵循∈ Aδt。案例（ii）的一个例子，选择eπ=cπ（0）和eπ=π（0），也可以在类似的退火中验证。证据我们首先处理ca seπ=π（0）+Δαeπ。推导过程类似于第4.3节中的公式。通常，为了理解符号，我们系统地省略了v（0）的参数（s，Xπs，Zδ，H），如下所示。dv（0）（t，Xπt，Zδ，H）=v（0）tdt+u（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）xdt+σ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）xxdt+σ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）xdWt=（Zδ，Ht- Zδ，H）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Dv（0）dt+g（1）tv（0）xdt+g（2）tv（0）xxdt+dfM（1）t+δαeg（1）tv（0）xdt+δαeg（2）tv（0）xxdt+δ2ασ（Zδ，Ht）eπ（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）v（0）xxdt，其中fm（1）t，eg（1）and eg（2）皮重由dfm（1）t=σ（Zδ，Ht）定义π（0）（t，Xπt，Zδ，Ht）+Δαeπ（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）x（t，xπt，Zδ，H）dWt，eg（1）t=Zδ，Ht- Zδ，H（ueπ）zz=eχ（1）t，eg（2）t=Zδ，Ht- Zδ，H（uReπ）zz=eχ（2）t，带eχ（i）t∈hZδ，H∧ Zδ，Ht，Zδ，H∨ Zδ，Hti，i=1，2。然后，有必要找到项（Zδ，Ht）的ε鞅分解- Zδ，H）Dv（0）（t，Xπt，Zδ，H）dt。

根据第4.3节中的类似推导，一个c可以推导出dqπ（0），δt（Xπt，Zδ，H）=dv（0）（t，Xπt，Zδ，H）+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδtDv（0）（t，Xπt，Zδ，H）+δHρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）v（1）（t，Xπt，Zδ，H）= dfMδt+deRδt+δ2αdNδt，其中dfMδt=dfM（1）t+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dfM（2）t+δHρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dfM（3）t，dfM（2）t=Dv（0）（t，Xπt，Zδ，H）dψδt+φδtσ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）xDv（0）（t，Xπt，Zδ，H）dWt，dfM（3）t=σ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）v（1）X（t，Xπt，Zδ，H）dWt，deRδt=g（1）tv（0）xdt+g（2）tv（0）xxdt+δαeg（2）tv（0）xxdt+δHλλ（Zδ，H）g（3）tv（1）x+g（4）tv（1）xx+Δαueπv（1）x+Δασπ（0）eπv（1）xx+δ2ασeπv（1）xxdt+λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδthg（3）txDv（0）+g（4）txxDv（0）+ΔαueπxDv（0）+Δασπ（0）eπxxDv（0）+δ2ασeπxxDv（0）dt+ρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）hg（5）txDv（0）δHθt，t+δH+1eθt，t+ ΔασeπxDv（0）δHθt，t+δH+1eθt，tidt，deNδt=σ（Zδ，Ht）eπ（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）xx（t，Xπt，Zδ，H）dt。为了压缩Rδt的表达式，我们省略了函数v（0）（t，Xπt，Zδ，H）、v（1）（t，Xπt，Zδ，H）、u（Zδ，Ht）、σ（Zδ，Ht）、π（0）（t，Xπt，Zδ，Ht）和eπ（t，Xπt，Zδ，Ht）的参数。由于默顿值M（t，x；λ）是严格凹的，因此v（0）（t，x，z）=M（t，x；λ（z））也是严格凹的，这意味着NTI是不增加的。此外，在假设4.9，B.1下，可以证明mδtis是δH+H阶的真鞅和δtis∧α、 其中屈服SVπ，δt=EhQπ（0），δt | Fti=fMδt+EheRδt+δ2αNδt | Fti=Qπ（0），δt（Xπt，Zδ，H）+EheRδt-eRδt | Fti+δ2αENδT- Nδt | Ft= Qπ（0），δt（Xπt，Zδ，H）+δ2αENδT- Nδt | Ft+ O（δH+H∧α）≤ Qπ（0），δt（Xπt，Zδ，H）+O（δH+H∧α） ，（4.43）其中，我们在推导中使用了dfmδt+eRδt+Nδt=Qπ（0），δt（Xπt，Zδ，H）和t的递减性质。se条件为π=eπ+Δαeπ，eπ6≡ π（0）。这里财富过程XπtfollowsdXπt=u（Zδ，Ht）eπ+Δαeπ（t，Xπt，Zδ，Ht）dt+σ（Zδ，Ht）eπ+Δαeπ（t，Xπt，Zδ，Ht）dWt。

（4.44）在类似的推导下，可以推导出dV（0）（t，Xπt，Zδ，H）=dcMδt+dbRδt+dbNδt（4.45），其中dcMδt=σ（Zδ，Ht）π（t，Xπt，Zδ，Ht）v（0）X（t，Xπt，Zδ，H）dWt，（4.46）dbRδt=bg（1）tv（0）x+bg（2）tv（0）xxdt+Δαueπv（0）x+σeπeπv（0）xx+Δασeπv（0）xxdt，（4.47）dbNδt=σ（Zδ，H）eπ- π（0）（t，Xπt，Zδ，H）v（0）xx（t，Xπt，Zδ，H）dt，（4.48），其中bg（1）和bg（2）定义为bg（1）t=Zδ，Ht- Zδ，H（ueπ）zz=bχ（1）t，bg（2）t=Zδ，Ht- Zδ，H（σeπ)zz=bχ（2）t，（4.49）和bχ（i）t∈hZδ，H∧ Zδ，Ht，Zδ，H∨ Zδ，Hti，i=1，2。由于v（0）的严格凹性，因此bnδ严格减小。在假设4.9下，B.1，cMδtis为一个鞅，brδtis为δH阶∧α。因此我们得到vπ，δt=v（0）（t，Xπt，Zδ，H）+EhbNδt-bNδtFti+O（δH∧α） <v（0）（t，Xπt，Zδ，H）+O（δH∧α） 。（4.50）现在将近似值（4.21）与（4.43）（4.50）进行比较，我们在理论4.8.5结论中获得了期望的结果。在本文中，我们考虑了由分数OU过程驱动的缓慢变化的分数随机环境下的投资组合分配问题∈ （0，1），并且当投资者首先利用电力设施，然后在一般类别的效用函数中最大化r终端效用时。在电力效用的情况下，使用价值过程的鞅失真表示和theepsilon鞅分解方法，我们能够导出最优投资组合价值和最优策略的一阶渐近近似。最优投资组合价值的一阶修正既有随机性，也有确定性，正如Garnier和Solna（2017）研究的线性期权定价问题一样。然而，近似最优策略不涉及随机部分，易于实现。我们还表明，最优策略g的第零阶生成了第一阶的投资组合值。

我们观察到，更重要的是将一阶修正纳入H small（δHlarge）的ca se中，这一点（H small）已在波动率数据中观察到（见Gatheral等人【2014年】）。最后，我们将我们的分析扩展到一般实用程序的情况，在这种情况下，我们可以在strategieseAδt的特定子类中导出一阶渐近最优性，其形式为eπ+Δαeπ，eπ和eπ为反馈形式且α>0。具有H的快变分数阶随机环境∈ （，1）是paperFouque和Hu的to pic【20 17a】。一个技术引理在这一节中，我们给出了在第3节和第4节中使用的几个引理。引理A.1。（i） （3.9）中定义的缓慢变化的分数因子Zδ是一个平稳的高斯过程，其均值和方差均为零Zδ，Ht=Zt公司-∞Kδ（t- s）ds=Z∞K（s）ds=σou，（A.1），其中σou在（3.5）中给出，不含δ。因此Zδ，Ht具有任意阶的有限矩，对于任何p∈ N+，Zδ，H·∈ Lp（[0，T]×Ohm) δ均匀。任何经调整的流程∈hZδ，H∧ Zδ，Ht，Zδ，H∨Zδ，Htialso满足χ·∈ Lp（[0，T]×Ohm)δ均匀。（ii）差异Zδ，Ht- Zδ，His是均值和方差均为零的高斯随机变量Zδ，Ht- Zδ，H= σH（δt）2H+o（δ2H），（A.2），其中σH=（Γ（2H+1）sin（πH））-因此，Zδ，Ht的k动量- Zδ，δkH阶His，在t中一致∈ [0，T]。此外，Zδ，H·-Zδ，δHin Lp（[0，T]×的His阶Ohm) sense，对于任何p∈ N+。（iii）（3.14）中定义的随机校正φδtde是δhw阶的正态随机变量，均值和方差为零φδti=δ2HT2+2HΓ（H+）Z∞“”1.-tT+vH类+- vH公司+- （1）-tT）（H+（v-tT）H-+#dv+O（δ2H+1），（A.3），其中积分在t中一致有界∈ [0，T]。

因此，Lp（[0，T]×Ohm) 对于任何p，范数φδ·的阶数为δH∈ N+。（四）流程ψδtt型∈（3.20）中定义的[0，T]是满足ψδT=ZT的平方可积函数-tKδ（s）ds dWZt：=δHθt，t+δH+1eθt，tdWZt，（A.4）带θt，Tandeθt，t由θt驱动，t=Γ（H+）（t- t） H+，eθt，t=aΓ（H+）ZT-坦桑尼亚先令- u） H类-e-aδudu ds≤a（T- t） H+Γ（H+），且在t中一致有界∈ [0，T]和δ。因此，一个人必须ψ、 WZ公司t=ZT-tKδ（s）ds！dt和d hψit=ZT-tKδ（s）ds！dt。（A.5）证明。所有这些都可以直接计算，我们参考了【Garnier和Solna，2017年，第6节，附录A】中的陈述。引理A.2。（3.15）中定义的术语R[t，t]的阶数为δ2Hin Lsense。证据泰勒展开exat x=0给定sr[t，t]=B[t，t]+eχ[t，t]（A[t，t]+B[t，t]），其中χ[t，t]是较大范围的余数χ[t，t]∈ [（A[t，t]+B[t，t]）∧0，（A[t，t]+B[t，t]）∨0）。然后，它可以（a）计算a[t，t]和B[t，t]的力矩；和（b）证明eχ[t，t]∈ L(Ohm).为此，我们首先声明：~ O（δpH），EhBp[t，t]i~ O（δ2pH），p∈ N、 然后是关于λ（·）及其导数、Zδ，Ht和Zδ，Ht的性质的假设- Zδ，在LemmaA中有陈述。1（i）-（ii），不等式：EZTgsdWs公司p≤p（p- （1）p/2Tp-2EZT | gs | pds，p≥ 2和gs∈ Fs。对于第（b）部分，我们注意到0≤ E[e4χ[t，t]]≤ E[e4（A[t，t]+B[t，t]）∨0]≤ E[e4A[t，t]+4B[t，t]+1]，然后，它将显示eA[t，t]+B[t，t]∈ 五十、 从定理3.2的推导中，可以推断出a[t，t]+B[t，t]=1- γ2qγZTtλ（Zδ，Hs）- λ（Zδ，H）ds+ρ1.- γγZTtλ（Zδ，Hs）- λ（Zδ，H）dWZs-ρ1.- γγZTtλ（Zδ，Hs）- λ（Zδ，H）ds，ande4A[t，t]+4B[t，t]=e4（1-γ） qγRTtλ（Zδ，Hs）-λ（Zδ，H）ds+ρ（1-γγ）RTt6λ（Zδ，Hs）+10λ（Zδ，H）-16λ（Zδ，Hs）λ（Zδ，H）ds·E【t，t】，其中E【t，t】由【t，t】=e4ρ（1）给出-γγ）RTtλ（Zδ，Hs）-λ（Zδ，H）dWZs-8ρ（1-γγ）RTt（λ（Zδ，Hs）-λ（Zδ，H））ds。那么，事实上eA[t，t]+B[t，t]∈ l遵循E[E[t，t]=1（Novikov条件n）和λ（·）的有界性。引理A.3。

流程M（一）t型∈（4.27）、（4.32）和（4.35）中定义的[0，T]，i=1，2，3是关于过滤Ft的真鞅，（M）T也是∈[0，T]。证据我们通过显示Eh来证明这个结果M（1）1/2Ti<∞, 相当于Ehsups≤TM（1）si<∞伯克霍尔德-戴维斯-冈迪不平等。这意味着M（1）是马丁格尔。为此，我们首先确定其二次变量Ddm（1）Et=λ（Zδ，Ht）R（t，Xπ（0）t；λ（Zδ，Ht））v（0）x（t，xπ（0）t，Zδ，H）dt公司≤ λ（Zδ，Ht）CXπ（0）tv（0）X（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt公司≤ λ（Zδ，Ht）Cv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）dt使用估计值R（t，x；λ（z））≤ Cx和v（0）的凹度，然后推导出DM（1）E1/2T≤ CE公司ZTλ（Zδ，Hs）v（0）（s，Xπ（0）s，Zδ，H）ds！1/2≤ CE1/4“ZTλ（Zδ，Hs）ds#·E1/4”ZTv（0）（s，Xπ（0）s，Zδ，H）ds#<∞,最后，我们使用了关于Zδ，Hs的假设4.3和引理A.1（i）。M（2）和M（3）的证明与[Fouque和Hu，2017b，命题3.5]中的估计类似，其形式如下Rj（t，x；λ（z））（j+1）xR（t，x；λ（z））≤ 千焦，0≤ j≤ 3.（t、x、z）∈ [0，T）T×R+×R，（A.6）和Le mma A.1（iii）-（iv），因此我们省略了她的引理A.4的细节Rδtt型∈（4.37）中定义的[0，T]为δ2H量级。证据我们将证明Rδ中的每一项都是δ2H阶的。