死亡率建模中的队列效应：贝叶斯状态空间方法

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英文标题：
《Cohort effects in mortality modelling: a Bayesian state-space approach》
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作者：
Man Chung Fung and Gareth W. Peters and Pavel V. Shevchenko
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Cohort effects are important factors in determining the evolution of human mortality for certain countries. Extensions of dynamic mortality models with cohort features have been proposed in the literature to account for these factors under the generalised linear modelling framework. In this paper we approach the problem of mortality modelling with cohort factors incorporated through a novel formulation under a state-space methodology. In the process we demonstrate that cohort factors can be formulated naturally under the state-space framework, despite the fact that cohort factors are indexed according to year-of-birth rather than year. Bayesian inference for cohort models in a state-space formulation is then developed based on an efficient Markov chain Monte Carlo sampler, allowing for the quantification of parameter uncertainty in cohort models and resulting mortality forecasts that are used for life expectancy and life table constructions. The effectiveness of our approach is examined through comprehensive empirical studies involving male and female populations from various countries. Our results show that cohort patterns are present for certain countries that we studied and the inclusion of cohort factors are crucial in capturing these phenomena, thus highlighting the benefits of introducing cohort models in the state-space framework. Forecasting of cohort models is also discussed in light of the projection of cohort factors.
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中文摘要：
队列效应是决定某些国家人类死亡率演变的重要因素。文献中提出了具有队列特征的动态死亡率模型的扩展，以在广义线性建模框架下解释这些因素。在本文中，我们探讨了在状态空间方法下通过一个新的公式结合队列因素的死亡率建模问题。在这个过程中，我们证明了队列因素可以在状态空间框架下自然形成，尽管队列因素是根据出生年份而不是年份编制的。然后，基于有效的马尔可夫链蒙特卡罗采样器，对状态空间公式中的队列模型进行贝叶斯推理，从而量化队列模型中的参数不确定性以及用于预期寿命和寿命表构建的死亡率预测。我们的方法的有效性是通过对来自不同国家的男性和女性人口进行全面的实证研究来检验的。我们的结果表明，我们所研究的某些国家存在队列模式，队列因素的纳入对于捕捉这些现象至关重要，因此突出了在状态空间框架中引入队列模型的好处。根据队列因素的预测，还讨论了队列模型的预测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Cohort_effects_in_mortality_modelling:_a_Bayesian_state-space_approach.pdf (838.46 KB)

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关键词：状态空间方法 状态空间 贝叶斯 死亡率 Construction

死亡率建模中的队列效应：Bayesianstate空间方法Man Chung Fung，Gareth W.Peters 3,4,5 Pavel V.ShevchenkoDecision Sciences，Data61，CSIRO，澳大利亚应用金融和精算研究部，麦格理大学，澳大利亚统计科学部，伦敦大学学院联席研究员，牛津曼研究所，牛津大学联席研究员，伦敦经济学院系统风险中心。2017年3月27日摘要队列效应是决定某些国家人类死亡率演变的重要因素。文献中提出了具有同态特征的动态死亡率模型的扩展，以在广义线性建模框架下解释这些因素。在本文中，我们探讨了在状态空间方法论下通过一个新公式将队列因素纳入的重要性建模问题。在这个过程中，我们证明了队列因素可以在状态空间框架下自然形成，尽管队列因素是根据出生年份而不是年份编制的。然后，基于有效的马尔可夫链蒙特卡罗采样器，开发状态空间公式中队列模型的BayesianReference，从而量化队列模型中的参数不确定性以及用于预期寿命和寿命表构建的死亡率预测。我们的方法的有效性是通过对来自不同国家的男性和女性人口进行全面的实证研究来检验的。我们的研究结果表明，我们研究的某些国家存在队列模式，并且队列因素的加入对于捕捉这些现象至关重要，从而突出了在状态空间框架中引入队列模型的好处。

队列模型的预测也根据队列因素的预测进行了讨论。关键词：死亡率建模、队列特征、状态空间模型、贝叶斯推断、马尔可夫链-蒙特卡罗简介在许多发达国家，死亡率普遍呈下降趋势。精算师和人口统计学家普遍认为，需要动态死亡率模型来解释与不同世代的死亡率预测相关的不确定性。从负责养老金政策设计的ZF到提供退休收入产品的保险人，重要的是考虑并纳入会影响死亡率预测的不同因素。可以说，讨论最多、最重要的因素之一是所谓的队列效应，即出生年份对死亡率的影响。出生在不同年份或世代的人会经历不同的死亡经历，这也许并不奇怪。Willets（2004）通过检查英格兰和威尔士人口中男性和女性的平均年死亡率改善率，找到了存在短期趋势的证据。Murphy（2009）讨论了出生于20世纪30年代初的英国人口的“黄金世代”，他们的死亡率有了异常迅速的提高。这种“黄金世代”现象的可能解释包括世代之间吸烟模式的改变；第二次世界大战期间和之后更好的饮食和环境条件；随着年龄的增长，出生在低生育率时期的人面临的资源竞争越来越少；以及医疗咨询的益处（Murphy（2009））。Willets（2004年）、Murphy（2009年）和Murphy（2010年）详细讨论了队列效应，包括从死亡率数据中识别的结果和相互竞争的解释。

然而，上述研究并非基于模型，而是依赖于实证数据分析和定性分析，如描述性和图形表示，以得出共同作用对人口死亡率的重大影响。对于精算应用，如死亡率预测和寿命风险管理（Cairns et al.（2008）和Barrieu et al.（2012）），人们通常对构建具有随机队列特征的动态风险模型感兴趣。Renshaw和Haberman（2003）通过引入管理层调节的队列效应，扩展了著名的Lee-Carter模型（Lee和Carter（1992））。以类似的方式，凯恩斯等人（2006）提出的凯恩斯-布莱克-多德死亡率模型被扩展，以纳入凯恩斯等人（2009）的队列因素。与通过定性参数研究队列效应相比，死亡率模型提供了一种定量和统计方法，用于识别和分析受病态数据限制的队列模式。估计死亡率模型有两种主要方法。第一种方法依赖于Lee和Carter（19 92）在死亡率背景下首创的基于奇异值分解（SVD）的最小二乘估计。使用这种方法分析死亡率的其他研究包括R enshaw和Haberman（2003）、Yang等人（2010）和Shang等人（2011）。第二种方法采用基于回归的方法来校准死亡率模型（Bro-uhns等人（2002））。有关基于该方法的一些最新研究，请参见O\'Hare和Li（2012）、van Berkum et al.（2016）和Enchev et al.（2016）。最近的论文Currie（2 016）对基于广义线性建模框架的死亡率建模进行了全面总结。

本文特别指出，对于具有队列特征的模型，基于回归的估计存在收敛性和鲁棒性问题，需要解决。在这篇论文中，我们通过状态空间方法来探讨队列特征下的死亡率估计和预测问题，这是Fung等人（2017）最近描述的队列模型公式框架的自然延伸。特别是我们在贝叶斯模型和结果下的工作，可以自然地解释参数不确定性的重要方面。本文的主要贡献是演示如何在贝叶斯状态空间框架下模拟、估计和预测具有队列效应的死亡率模型。使用状态空间方法进行死亡率建模的其他工作包括Pedroza（2006）、DeJong和Tickle（2006）、Kogure等人（2009）和Liu和Li（2016b）。在我们看来，状态空间方法有三个主要优点。首先，在统一框架下建模、估计和预测死亡率的能力可以避免文献中常见的两步估计程序的潜在缺陷。如Fung等人详细讨论的。

（2017年），估计死亡率模型的常见做法包括两个步骤：步骤1获得包括周期（队列）效应在内的参数估计；周期（队列）效应被视为参数，不考虑其动力学假设。步骤2：为周期（队列）效应假设一个时间序列模型，例如ARIMA模型；然后，通过将从步骤1获得的模型到周期（队列）效应进行拟合来估计时间序列模型的参数。在Leng和Peng（2016）最近的一项研究中，作者指出，Lee和Carter（1992）中使用的两步估计方法的最小二乘法通常会导致不一致的估计量，除非对潜在动力学的时间序列模型的可能范围施加限制。从统计学的角度来看，两步法是一种有点特别的程序。有人可能会说，在一个统一、一致和严格的框架下进行估计和预测更令人满意，其中一个例子就是统计界公认的状态空间方法。其次，能够为估计参数提供置信度或可信区间，从而在死亡率预测中量化参数风险，在寿命分析中尤为重要。Czado等人（20 05）、Koissi等人（2006）和Kleinow a and Richards（2016）记录了参数不确定性对预测死亡率的影响。Shevchenko et al.（2015）和Hirz et al.（2017）考虑了通过信用风险加成方法进行死亡率建模的贝叶斯方法。

在评估人寿保险组合和养老金计划中的负债时，这也是一个重要问题。此外，文献中通常假设的用于校准目的的较短时间序列数据进一步说明了需要预测间隔的参数不确定性的必要性。在校准死亡率模型时，通常不使用196 0年甚至1970年之前获得的死亡率数据，量化参数风险的能力将提高利润。预测死亡率的可靠性。如Fung等人（2017）所示，状态空间方法为贝叶斯和频率估计提供了一个特别丰富和灵活的框架，其中可以使用一系列技术，如过滤、顺序蒙特卡罗和马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法。第三，统计空间方法允许考虑范围广泛的死亡率模型，同时仍然可以有效地进行估计和预测。Fung等人（2017）表明，大多数流行的死亡率模型都可以在状态空间公式中进行转换；此外，可以将随机性特征引入动态死亡率模型，其中采用数值滤波技术进行模型估计。死亡率模型的状态空间公式也已应用于金融问题。Fung等人（2015）考虑了通过Lee-Carter模型的贝叶斯状态空间公式进行年金定价。Kogure a和Kur achi（2010）研究了基于状态空间模型的最大熵原理的长寿工具定价。

状态空间方法的灵活性是处理涉及寿命风险的死亡建模以及定价和风险分析的各种问题的关键因素，参见Liu和Li（2016a）以及Liu和Li（2016b），了解状态空间死亡率模型在寿命对冲中的应用。尽管状态空间方法有很多优点，但我们仍在探索这种方法。这篇文献中尚未涉及的一个关键因素是，在状态空间建模环境中考虑群体效应，这也是我们在本文中要解决的问题。鉴于已知某些国家存在队列效应，在状态空间框架下利用队列特征的可能性无疑将提高精算师分析死亡率数据的能力。L iu和Li（2016b）也强调了将队列效应纳入状态空间环境中的重要性，其中作者“承认队列效应在某些人群中是显著的，将队列效应纳入隐藏状态向量随时间而非出生年份演化的状态空间表示中并非微不足道”（p.66）。因此，在本文中，我们将重点解决模型公式中缺失的这一部分。本文的组织结构如下。第2节概述了死亡率建模的不同方法，引入了状态空间方法。队列模型的状态空间公式将在第3节中详细讨论。第4节，我们在基于有效MCMC抽样的状态空间框架下，对队列模型进行贝叶斯推理。第5节使用状态空间队列模型对各国的男性和女性人口数据进行了实证研究。

最后，第6节得出结论。2死亡率建模的状态空间方法在本节中，我们概述了建模死亡率的不同方法及其测试方法。我们的重点将放在单种群死亡率模型上，但所讨论的方法和方法的基本要素可以延伸到多种群环境中，例如Enchev et al.（2016）。2.1随机死亡率模型此处的定义遵循Dowd等人（2010）。我们使用qx，To表示真正的死亡率，即时间t和t+1之间年龄为x的个体在时间t的死亡概率。真实死亡率（以mx表示，t）与真实死亡率（以qx表示）相关，t=1- e-mx，t，（1）其中死亡率mx，t的力假定为整数x和t内的常数。可以使用观察到的死亡人数dx和初始暴露量^extdata来获得粗死亡率，作为eqx，t=Dxt/^Ext，这是对qx，t的粗略估计。同样，粗死亡率emx，t定义为观察到的死亡人数dx与平均人口规模Ext的比率，Lee和Carter（1992）的工作引入了所谓的Lee-Carter（LC）模型，即emx，t=αx+βxκt+εx，t，（2），其中αx和βxκtaim分别用于捕捉年龄和周期效应。由于他们建议使用奇异值分解（SVD）来校准模型的实时性数据a，因此除了年龄和周期影响外，还包括噪声项x；请注意，直接使用死亡率数据获得的粗死亡率emx，t用于获得参数估计值。与SVD方法（模型适用于粗死亡率）不同，Brouhns等人（20 02）考虑了另一种方法，即死亡率模型适用于死亡人数。

使用观察到的死亡数dxt和中心死亡数Ext，Lee和Carter提出的模型可以作为dxt重新考虑~ 泊松（Extmx，t），其中mx，t=eαx+βxκt。（3）在这种方法中，死亡人数在模型校准中起着重要作用，因此（2）中的加性误差结构被泊松误差结构所取代。还要注意，如果不区分真实和粗略的死亡率，可能会产生混淆，例如，使用emx，tin（3）是没有意义的。除了对误差结构有不同的统计假设外，泊松回归设置属于一类称为广义线性/非线性模型的模型，其优点是可以纳入队列因素，而与SVD方法相比，仍然可以在不存在额外困难的情况下进行估计。Poisson设置中的Lee-Carter模型可以通过添加队列因子γt来丰富-x、 其中t- x指出生年份，如下所示：Dxt~ 泊松（Extmx，t），其中mx，t=eαx+βxκt+βγxγt-x、 （4）初始暴露^ext是t年初x岁的人口规模。平均人口规模通常大致确定为年中的人口规模。这是Renshaw和Haberman（2006）提出的。当t和x分别取{t，…，tn}和{x，…，xp}中的值时，队列指数t- x取{t中的值- xp，田纳西州- x} 。因此，队列指数的维度为n+p- 1不同于周期指数n的维数。在Lee Carter原始方法下，可以考虑用coho rt效应对原油脱烃进行建模，如下所示：ln emx，t=αx+βxκt+βγxγt-x+εx，t.（5）然而，队列指数的维度将导致SVD估计方法的困难。