基于单因素模型的投资组合优化复制分析

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英文标题：
《Replica Analysis for Portfolio Optimization with Single-Factor Model》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we use replica analysis to investigate the influence of correlation among the return rates of assets on the solution of the portfolio optimization problem. We consider the behavior of the optimal solution for the case where the return rate is described with a single-factor model and compare the findings obtained from our proposed methods with correlated return rates with those obtained with independent return rates. We then analytically assess the increase in the investment risk when correlation is included. Furthermore, we also compare our approach with analytical procedures for minimizing the investment risk from operations research.
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中文摘要：
在本文中，我们使用复制分析来研究资产回报率之间的相关性对投资组合优化问题解的影响。我们考虑了回报率用单因素模型描述的情况下最优解的行为，并将我们提出的方法与相关回报率的结果与独立回报率的结果进行了比较。然后，我们分析评估了包含相关性时投资风险的增加。此外，我们还将我们的方法与分析方法进行了比较，以最大限度地降低运筹学的投资风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Replica_Analysis_for_Portfolio_Optimization_with_Single-Factor_Model.pdf (117.35 KB)

2022-5-31 07:57:15 上传

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关键词：投资组合优化 单因素模型 投资组合 单因素 Optimization

日本物理学会杂志LETTERSReplica分析用于单因素模型投资组合优化Takashi Shinzato*Tamagawa大学工程学院管理科学系，东京Machida，1948610，日本（2017年4月5日接收；2017年接受***1）。在本文中，我们使用复制分析来研究资产回报率之间的相关性对投资组合优化问题解的影响。我们考虑了回报率用单因素模型描述的情况下最优解的行为，并将我们提出的相关回报率方法得出的结果与独立回报率得出的结果进行了比较。

然后，我们分析评估了包含相关性时投资风险的增加。此外，我们还将我们的方法与运筹学中最小化投资风险的分析程序进行了比较。关键词：均值-方差模型、单因素模型、投资风险、投资集中度、复制分析近几十年来，投资组合优化问题的投资策略已被广泛考虑，使用来自不同研究领域的分析方法，包括经济物理学和统计机械信息学。1–15）最近，作为最流行的投资组合优化问题之一的mea nvariance模型成为各种跨学科研究的新热点。5–15）尤其是，均值-方差模型中的投资风险目标函数在数学上类似于霍普菲尔德模型的哈密顿量，霍普菲尔德模型在社交记忆问题的研究中得到了广泛的应用，因为这两个目标函数都是用关于热力学变量的二次型来描述的，赫布法则与收益率的方差协方差矩阵有关。6） 将投资风险降至最低的最优投资组合也被解释为与自旋玻璃模型中的基态相对应，因此，之前的一些研究已经应用了自旋玻璃理论中发展的技术，如复制分析、信念传播和随机m矩阵理论来研究最优投资组合。虽然在5-15）中，通常假设回报率是独立的，但实际投资组合中资产组合的回报率可能是相关的，这意味着这些研究中开发的模型可能会低估损失风险（负回报率），应谨慎使用。

为了分析具有相关回报率的投资组合优化问题，我们需要利用并扩展各种领域的现有方法。作为表征回收率之间相关性的第一步，我们考虑了一个在数学金融中广泛使用的单一因素模型，并讨论了在预算约束下使投资风险最小化的最佳投资组合是否受回收率之间相关性的影响，使用复型分析法*shinzato@eng.tamagawa.ac.jpysis.Following在之前的工作中，我们首先考虑理性投资者在稳定的投资市场中，在不进行短期抛售的情况下，在p个周期内投资N项资产。资产i（=1，2，···，N）的投资组合由wi确定∈ R、 ~w=（w，w，···，wN）T∈ R是整个投资组合，其中T表示其转置。由于没有卖空，我们注意到Wii并不总是积极的。此外，“xiu”表示资产i在周期u（=1，2，···，p）的回报率及其预期值isE[“xiu”）。然后，在投资期间，投资组合w的投资风险H（~ w | X）定义如下：H（~ w | X）=2NpXu=1NXi=1'xiuwi-NXi=1E[(R)xiu]wi=~wTJ ~ w，（1）其中xiu=(R)xiu- E[(R)xiu]是修改后的回报率，回报率矩阵X=nxiu√不∈ RN×PI使用修改后的回报率和方差-协方差（或Wishart）矩阵j的条目i、j={Jij}（=XXT）定义∈ RN×Nis Jij=NPpu=1xiuxju=（XXT）ij。这里，使用预算约束nxi=1wi=N（2）。由此，我们需要确定使投资风险H（~ w | X）inEq最小化的最优投资组合。（1） 来自满足等式（2）中预算约束的投资组合集合。

关于公共投资组合*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X），分析确定每项资产的最小投资风险ε=NH（~ w*|十） 其投资集中度qw=N（~ w*)T ~ w*是目前正在研究的最活跃的投资组合优化问题之一，已经开发了多种跨学科的方法。这里，W=J.Phys。Soc。日本。字母SN~w∈ RPNi=1wi=Nois是满足式（2）的投资组合的可行子集。我们之前的工作6）讨论了cas e，其中xiu以均值0和方差1独立且相同的分布，每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qw确定为以下值：ε=α- 1，（3）qw=αα- 1.（4）对于xiu以均值0和方差vi独立分布的情况，即每项资产的方差不同，每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qw也确定如下：ε=α- 12 hv-1i、（5）qw=v-2.高压-1i+α- 1，（6）式中α=p/N~ O（1）。10） 为了确定最优投资组合*, 平方矩阵J应正则化，然后上述结果适用于α>1。同样，在本文中，我们假设α>1时，最优投资组合是唯一确定的。此外，符号hg（v）i=limN→∞使用NPNi=1g（vi）。也就是说，在以前的工作中，收益率xiu被认为是独立且相同地分布在均值0和方差1之间，或者独立（但不相同地）分布在均值0和方差vi之间。然而，在许多实际情况下，资产的收益率是相关的，之前工作中假设独立利率的发现可能不适合实际应用，因为它们会低估投资风险。

因此，作为描述回报率之间相关性的第一步，我们应该分析每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qwf，以使每项资产的回报率由单因素模型确定的情况下的投资风险最小化。这里，使用单因素模型，收益率xiu定义为以下值：xiu=√Nbifu+yiu，（7）其中√Nis校准参数，可进行调整以简化分析结果。更重要的是，fu是周期u的宏观经济指标（fu的概率已知，其平均值为0，我们不要求指标为正态分布），拜德还指出了宏观经济指标fu对资产i的影响程度。（在此之后，我们称之为因子负荷。假定BIISALS的可能性是已知的，不需要正态分布。）此外，（独立）回报率yiu独立于其他回报率，与宏观经济指标fu和因子负荷bi不相关，平均值和方差分别为0和vi。即，式（7）中的xiu被视为具有噪声项yiu的线性回归方程。一般来说，由于宏观经济指标可能包括时间趋势，我们不认为宏观经济指标之间是独立的。同样，因子载荷之间可能存在相关性，本工作不需要因子载荷之间独立的假设。让我们在统计机械信息学的框架内重新表述上述优化问题，并使用复制分析法分析每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qwu。首先，从统计力学信息学的框架出发，将配分函数Z（β，X）a t逆温度β（>0）定义如下：Z（β，X）=Z~w∈Wd ~我们-βH（~ w | X）。

（8） 由此，我们可以确定每个资产配分函数对数的平均值，如下所示：φ=limN→∞NE[对数Z（β，X）]=limN→∞画→0Nnlog E[锌（β，X）]。（9） 根据公式ε=- limβ→∞φβ、 （10）我们可以分析评估最小投资风险，其中符号E【g（X）】表示g（X）对回报率的预期。来自副本分析，φ=Ex trΘ-k- hm+（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs-αlog（1+βχs）-αβ（qs+fm）2（1+βχs）-hlog（▄χw+v▄χs）i+qw+v▄qs+（k+bh）▄χw+v▄χs, （11） 其中，Ex trrg（r）是相对于参数r的g（r）的极值，且Θ={k，m，h，χw，qw，Θχw，Θqw，χs，qs，Θχs，Θqs}表示序参数集，F=limp→∞ppXu=1fu，（12）hg（b，v）i=limN→∞NNXi=1g（bi，vi），（13）和α=p/N~ O（1）（更多详细信息请参见附录）。请注意，由于式（12）中的F是宏观经济指标平方的平均值，因此，无论宏观经济指标之间是否存在相关性，我们都可以切实确定。此外，fro mJ。物理。Soc。日本。字母顺序。（13） ，也很容易评估hg（b，v）i，无论fa c tor载荷之间是否存在相关性。从a到b，χw=v-1.β（α- 1） ，（14）qw=α- 1.1+F毫米v-1.+ C、 （15）χs=β（α- 1） ，（16）qs=高压-1i+FmVv-1.+α- 1.高压-1i+F毫米, （17） 确定，其中m=m1+F Vhv-1i。（18） 此外，m=hv-1bihv-1i，V=高压-1bihv-1i-高压-1bihv-1i,m=高压-2bihv-2i，V=高压-2bihv-2i-高压-2bihv-2i, C=FmVv-2.+高压-2ihv-1i1+F m（m- m）v-1..由此，每项资产的最小投资风险ε使用公式（10）得出，ε=-limβ→∞φβ=limβ→∞nαχs2（1+βχs）+α（qs+fm）2（1+βχs）oas如下：ε=α- 12 hv-1i+α- 1F毫米。（19） 我们注意到，mm≥ 0由公式（18）确定，因此该结果不小于我们之前工作中获得的结果（或参见公式）。

（5） ）。现在，我们考虑在当前工作中获得的模型是否包括在以前工作中获得的结果作为特殊情况。首先，根据不受宏观经济指标影响的独立回报率的假设，即当bi=0、m=m=m=0和V=V=0时，Eqs。（15） 和（19）bec omeε=α- 12hv-1i，（20）qw=α- 1个+v-2.高压-1i，（21），其中C=hv-2ihv-1i。这些方程与先前工作的结果（E qs（5）和（6））一致。此外，式（19）中的第二项，α-1F mm，单因素模型中公因子f、f、····、fp影响范围内的数量。注意，F mmi是关于F，limF的单调非减函数→0F mm=0和limF→∞F mm=mVhv-1i。此外，尽管这是一个补充考虑，但对于每项资产回报率方差唯一的情况，即当vi=1时，通过替换v-1.=v-2.= 1输入等式。（20） 和（21），等式。（3） 和（4）。由于我们的结果将之前工作中获得的结果作为特殊情况包括在内，因此我们的模型是一个自然扩展，可以处理相关回报率的情况。最后，我们将得到的最小预期投资风险与运筹学中著名的分析程序进行比较。首先，从使预期投资风险E[H（~ w | X）]最小化的投资组合中，也就是说，~ wOR=arg min ~ w∈WE[H（~ w | X）]，每项资产的最小预期投资风险ε或=limN→∞NE[H（~ wOR | X）]可以很容易地得到如下：ε或=α2 hv-1i+αF mm。（22）由此，机会损失κ=ε或ε计算如下：κ=αα- 1.（23）使用与我们之前工作中类似的论点，15）我们注意到，尽管机会损失κ取决于周期比α，但它不取决于vi、bi、fu的统计特性。

此外，根据使用运筹学程序分析得出的投资组合wOR的投资集中度，qORw=N（~ wOR）T ~ wOR计算如下：qORw=FmVv-2.+v-2.高压-1i1+F m（m- m）v-1.,（24）在最优投资组合的投资集中度qwo中，发现qORwcorres池在最后一个期限内*式（15）中。如中所述，6）由于理性投资者喜欢投资风险相对较低的资产，在α接近1的投资期内，资产的风险变化很大，最优投资组合的投资集中度增加。相反，当α足够大时，资产的风险在回报率方面几乎无法区分，理性投资者将对所有资产进行平等投资；因此，投资集中度将趋于较低。这种行为反映在我们提出的方法中；然而，使用运营研究（Operations research）的方法得出的投资组合的投资集中度始终与周期比率α保持不变，这与理论投资者的最优投资行为不一致。我们还验证了退火无序系统的分析（与理论操作研究方法相关）不同于淬火无序系统的分析（基于我们提出的方法的分析程序，该分析程序与最佳投资策略的分析相关）。在目前的工作中，我们使用经济学和统计力学信息学的跨学科复制分析方法，分析了在相关回报率的情况下，在预算约束下的投资风险最小化。

由于在实际投资市场中，FASSET的回报率之间存在许多不同类型的依赖关系，我们使用单因素模型，因为它是最基本的模型之一。物理。Soc。日本。数学金融中回报率之间相关性的字母选择。我们讨论了以单因素模型为特征的收益率之间的相关性是否会影响最优解。此外，我们将我们的方法与之前工作中获得的结果进行了比较，并验证了本文提出的方法在分析和明确确定存在相关资产的投资风险时的有效性。在实际的投资市场中，有无数宏观经济指标，因此，在未来的工作中，我们将尝试采用针对联想记忆问题开发的技术，16–18），将其应用于因子数为o（1）和o（N）时的优化问题。本文讨论了仅考虑预算建设的投资风险最小化问题，而实际中的投资风险最小化问题涉及多个约束，如预期收益和投资集中度约束，我们需要分析这些额外的约束如何影响在有或无相关回报的情况下最小化投资风险的最佳解决方案。作者感谢K.Ko bayashi和D.Tada的宝贵讨论。这项工作得到了第号援助赠款的部分支持。15K20999；秋田县立大学青年科学家校长项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究所；研究项目编号。曾金经济和金融研究基金会1414年；研究项目编号。