导致不平等引发危机的简单财富分配模型

为了使模型在隐喻方面更容易理解，我们将其设置为：w=1000（1）wp=400（2）wj（t+1）=wp+λ（wj（t）- wp）（3）其中，我们使用均匀跨越[1]的矩形分布作为乘数λ- β、 1+β]为简单起见：∏（λ）=∏rectλ- 12β=2β矩形λ- 12β（4） 其中rect是区间的单位-,. 很明显，R∞λ∏（λ）dλ=1，即单个过程中财富没有整体平均变化。尽管如此，读者还是应该意识到这些东西的非相关性。我们稍后将看到需要护理的时间尺度，至少在初始条件是规范的情况下。等式2引入wp=400作为最低“流动”财富。在此，重要的是将比率PWTO值设定为0.4，至少大体上代表发达经济体。一个简单的方面是，通过这种方式，我们将坚持基本的布朗运动（w对数的简单布朗运动），并在衰退时保持总财富的适当值，而无需在分布的小财富端引入障碍或其他非线性。此外，当稍后涉及反馈时（第三节、第四节），耦合本身将产生明显的影响，因为它作用于（许多）最贫穷的代理的非零财富，因此可能在动态中发挥作用。因此，虽然在本节中引入了一个不必要的特征，但我们在这里和整篇文章中都保留了这种贫困“FLOOR”。众所周知【1、2、5、9、13、15、23、25、31】，从t=0的给定初始状态开始，我们在x=log（w-wp）空间。

从最初的单值分布P（w，t=0）开始≡δ（w- w） 换句话说，分布集中在x=log（w-wp），变量w的分布-WPS经历了两次演变：它在x空间中像阿加西人一样分散传播，因此以抛物线的形式呈现对数-对数表示，其中心也会漂移。这两种效应都是由`=对数（λ）分布的第二个和第一个动量决定的，表示为π（λ），它服从π（`）d `=π（λ）dλ。标准代数发现，在等式4的零平均交换情况下，漂移速度（x空间中的单位时间）由以下公式得出：ν漂移=2β（（1+β）对数（1+β）- （1）- β） 日志（1- β） （）- 1英尺-β（5），其中近似值对小β有效。x空间中的分布及其标准偏差σ（t）的形式为：^P（x，t）=2π√特克斯普-（十）- （x+ν漂移t））2σ（t）（6） σ（t）=2βrt4π（7），如图1a中的对数刻度w和图1b中的线性刻度w所示。零交换分布存在漂移的事实是GBMs的几个不那么直观的方面之一（参见[24]中的图2示例）正如作者通过两位伯努利家族成员和拉普拉斯（Laplace）对大量科学史的描述所显示的那样，精确定位乘法与加法过程中不那么直观的方面。除了两种财富成分wand wp外，我们还必须讨论β的现实价值。如果我们必须讨论代理人在某些赌博中获得财富时面临优化其效用的问题，例如，我们可以求助于凯利标准。但我们的范围截然不同：我们更希望校准经济作为一个整体的随机性（而不是作为一个固定分布，而是相对于。

因此，在我们的精神中，β的选择必须由任何给定初始财富的一群代理人的命运分布决定：相对分布（w）-wp）w-WPI独立于初始的乘法过程。此外，虽然乘法过程类似于利率，但我们不应遵循这种类比，因为利率是一种漂移，而不是利差（有关GBMs的校准问题，请参见[26]和[27]）。通过考虑典型经济时期的分布宽度，t=1000天，大约3年（小于典型经济周期周期，比如8-40年），我们选择了相对较大的变化【3，8】：使用β=0.06，我们得到了ν漂移=-0.0036（每天），例如σ（t=1000天=1.07）。这似乎很大，但相应的特征因子eσ=2.92应适用于（w- wp），其最频繁或中间值预计更接近wp，而不是w。因此，我们描述了在1000天的持续时间内，从w=600（w=wp+200）到1-标准偏差间隔[400+200e-σ、 400+200eσ“[469983]。有关更多评论，请参阅讨论部分。现在，我们将注意力转向N个代理的命运。我们明确指出了最富有的代理人在决定群体整体命运中的作用【1、3、5、15、18、30】。既然我们有财富分配的分析形式，我们就可以推导出FIG。2.（在线彩色）N/k-iles xN/k（t）（虚线）的对数-对数图，作为N=3 600，β=0.06的时间函数，如等式9所定义，即高斯分布中xN/k（t）以上部分概率为（k/N）的点。曲线k=1叠加为实心深品红线。最大的财富位于xN（t）的周围和上方，用一条添加的实线绘制。

多个模拟的最大财富显示在选定的时间点（绿点），在给定时间t高于xN/k（t）的点的分数显示了预期的贫化趋势，k值下降。时间t时最富有的代理的统计数据【31】。我们并没有严格地进行这项练习【15】，尽管如此，我们只是顺便指出，极端是非因果性证明的关键（参考文献【23】中的等式（7）），但很少明确。通过更简单地使用高斯正态分布，我们可以得到极大值位置的足够指示【31】：如果我们有N个高斯变量的实现，我们可以通过将均匀权重的高斯和N个切片很好地近似最大值的统计信息（有关泊松统计信息的类似使用，请参见量子盒中的电子弛豫瓶颈研究【33，34】。第N个切片是最大财富分布的一个可接受的近似值，尽管它的切分很突然，避免了极值理论中更繁琐的数学[15，31]。我们感兴趣的是能够使用互补误差函数erfc（x）及其逆erfc-1处理此类统计的主要方面。对于那些不太熟悉极值法的人来说，这比使用精确的Gumbel定律更容易理解，即表示形式中最大值分布的累积量U（x）通常表示为U（x）=exp(-经验值(-z（x，N））），其中z（x，N）=[x- a（N）]/b（N）具有a（N）和b（N）的解析表达式：采用此朴素平均值而非精确平均值的典型错误为~ 0.2标准偏差，因此an（e0.2- （1）~ 20%错误。更具一般性的是，我们寻找第N个/第k个切片的edgexN/kof，其中k=1表示最大的，k=2表示两个最大的，以此类推，以分位数为单位[15，18，19]。我们也允许自己使用分数k，例如。

k=0.25（单位：N/k），以使最大变量仅在25%的统计事件中达到目标范围。我们将这些近似相等的边界称为N/k-iles、generalizingon十分位数或百分位数的边界，特别是在下面的图2中。具体地说，使用标准高斯统计，我们确定了第N/k个切片的移动边xN/kof，从而解释了N/k个切片的统计，使得z∞xN/k（t）^P（x，t）dx=kN（8）xN/k（t）=（x+ν漂移）+√2σ（t）erfc-1.千牛（9） 注意，第二个公式考虑了中心漂移。如果我们在足够长的时间内对N种药剂进行模拟，我们预计xN/k（t）将首先感受到扩散和erfc的影响-1功能。在对数刻度中，最大元素（k=1）是N xj（t）=log（wj（t））记录道集的上包络。如果我们忽略漂移，在短时间内，我们有xN/k（t）-x个∝√t=exp（log（t/2）），因此我们从一组RisingIndonentials开始，这些指数的系数是k的函数，即系数erfc-1（k/N），其相对于k的趋势为对数。这可以在左边看到。2，对于N=3 600，其中表示一组多个k值，k=1，即高斯的N-ile，显示为叠加在其他k值虚线集上的品红实心曲线。现在，在很长一段时间内，由于我们有一个负漂移，如图1a所示，即使标准偏差增大，N/k-iles的平均位置迟早都会向左移动到x→ -∞ . 更准确地说，k越小，xN/k（t）增加的趋势（即差异）通过漂移到减少的趋势被逆转【15】。如【23】所述，这是导致GBM遍历性崩溃的机制的本质。

换句话说，它需要的样本量太小（比N小得多-1，因此只有不到一个代理）来获得在尾部实现高值的机会，即使这种值在连续统视图中对（未绑定的）期望值有重大贡献。我们在图2上添加了使用常驻随机Matlab生成器从八个数值模拟的aset中提取的选定对数间隔时间的极值图，最大tmax=55000“天”（约150“年”）。例如，让我们来评论位于“N/0.01-ile”曲线周围的最高点。由于我们选择了每条曲线约75个点进行采样，因此8条曲线有600个点，与k=1相比，百倍稀疏可能会在6的N/0.01-iles附近产生许多点。如果我们只看数据的最大值，曲线的趋势反转区域t=20 000±15 000，其中这些外部点是图。3.（颜色在线）八个模拟的平均财富（不同颜色的实线），相同参数N=3 600，β=0.06。

在W周围的初始布朗运动（水平由右侧虚线表示）逐渐变大，基本上与中间时间（t）的大xN（t）相关~ 15000人- 30000）。在更大的时间里，漂移最终占据主导地位，平均财富停留在贫困水平wp（由左侧虚线表示）。我们比以前更清楚地看到，我们关注的是约160个点的子集，我们在该子集中找到了约2到4个点，而不是1.6的期望值，这是此类随机抽取的合理数量（也考虑了我们的近似极值定律）。上述练习有助于理解如何沿长时间序列对高斯统计量进行采样：在某些情况下，如果我们不受相关性的限制（因此在下限处，不受w（t+1）和w（t）间隔小于因子β的两个相邻时间的标度）[28]，我们可能会在给定模拟中达到比xN（t）高得多的值。现在让我们关注全球财富。虽然单个操作的统计平均值为零，但实际操作有一些非零平均值。这强调了离散化的作用[9，15]（再次强调，遍历性分解是首要问题[23，25]）。一开始，所有的都是相同的顺序~ w、 这一起源的变化很好地抵消了：作为N-1/2在给定时间。沿着时间序列，它们也会随机向上或向下拉动。因此，在开始之后的一段时间内，平均财富（averagewealth）在W（以及Nw周围的总财富）附近缓慢地执行布朗随机游动，如图3左侧线性时间标度上所示。但是，随着时间的推移，k=1时，最大代理人的财富样本值在xN/k（t）左右，甚至更小的k值，都会对总财富和平均财富产生较大的影响。

这是“狗的尾巴”，但这里的尾巴并不是永远“摇动着狗”，因为实际上是独立于纳根人的财富，所以平均财富的更强的波动只反映了图2曲线中不可避免的最大区域，当向大财富的扩散被x空间中的缓慢漂移所补偿时（也是一种明显的遍历性分解）。漂移速度的β标度显示了离散化，因此β是一个重要（但不是关键）参数。我们可以利用近似漂移和近似极值定律（xN/k（t）），推导出大多数量的数量级，作为N和β的函数，这是该阶段唯一的相关参数x个-βt+rπβ√t erfc-1.千牛（10） tmaxN/k′πβerfc-1.千牛（11） xmaxN/k’x+πerfc-1.千牛（12） 其中最后两条线指向第一条线的最大值。例如，在N=3600的情况下，我们得到N-ile位置：tmaxN’3600和xmaxN-x’6.31=2.74 log（10），这意味着最富的N-ileslice的边缘约为（w- wp）~ 102.74（宽- wp）=550（w-wp）“3.30 10（原油近似值erfc-1（u）\'[-因此，对数（u）]1/2太粗）。因此，我们还可以理解，大间歇窗口的典型时间段可以分配一个实际的时间间隔，如[tmaxN，log（100）tmaxN]，[10 520，48 530]，此处取一个上限，因此仅在100种情况中的一种情况下会超过该上限：通过在t~ 42000人~ 记录（50）Tmax，这是我们的八个模拟之一。

间歇发生的典型时间尺度很难提供[8、10、11]，但它看起来只是tmaxn的一小部分，这是合乎逻辑的，因为极端波动进入和离开极端领域所需的时间比这要短（tmax是最快的元素从平均财富到极端财富的时间）。从现实主义的角度来看[3]，由于麦克斯韦大约30年，我们在此确认，我们的β=0.06日值并没有那么大：这30年的时间尺度与资本主义经济中实际的马术主义并不矛盾。最后，平均值的典型大偏差是原始量的几倍（w-wp）exp（xmaxN）/N在计算导致平均波动的单一富裕代理人的作用时发现：与k=1相关的数量很小，（w- wp）×550/3600=91.7。但考虑到tmaxn周围相对宽松的情况，我们在一次运行中有足够的时间用较小的k（通常是k）来采样罕见的最大值~ 一次运行0.25。然后，上述数量变为（w- wp）exp（xmaxN/4）/N，约为2000。在我们八次跑步中的少数（统计上有一次），我们当然可以体验到八倍于罕见病例（k=）的经验，在~ 12000。现在，我们评论β=0.06与N的关系。如果一个大城市的人口是N，那么N~ 10那么从3600年开始~ 1.2 10，在给定的β下，我们得到xmax和tmaxNsince的翻倍erfc-1.N~日志（N）。因此，如果我们希望保持相同的特征时间，几十年，我们必须通过一个因子来调节β=0.06√2（和走向世界人口N~ 10需要系数2[3，6，8]）。在研究了N个完全不相互作用的代理的集合之后，我们接下来实现了一种尾巴“摇狗”的机制。

总的来说，我们简单的非相互作用的N GBM集合的全球财富动态概括了描述遍历性崩溃的最大表现区域是多么微妙。我们推测，阐明其动力学将有助于理解相关模型。三、 具有重置平均值的N-AGENT乘法模型我们现在考虑一种反馈机制，即始终将平均值重置为其初始w值。因此，这将引入相关性，并将总财富的间歇性动态印在整个分配上，与新兴社会结构影响社会各个角落的方式平行。上述独立代理人模型具有不确定的向下漂移，将所有代理人的财富累积到贫困“地板”上，甚至无法激发对经济现实的程式化描述。然而，我们不想影响乘法谱（GBM）。从技术上讲，我们只需对所有代理j施加：wj（t+1）=λ（j，t）wj（t）×PNm=1λ（m，t）wm（t）N w（13），其中我们根据q的分布规律，在时间t为第j个代理显式绘制随机变量。基于代理的模拟中最常见的“规范化”讨论是关于增长率的。在一些关于随机布朗运动和GBM的著作中也引用了它们，但我们无法找到我们在这里发现的结果【1、3、5、9、13、15】。我们将在第二节讨论。V这一选择的社会经济意义。在我们的模型中，最有启发性的是，在这一新假设下，我们分别通过图4和图5（a-c）提出了极端财富和整个分配的命运。