漂移不确定性下的成对交易与风险惩罚

初始扩散为0.3，与两个州的长期平均值的距离大致相同，因此两个函数V（·，0.3，1）和V（·，0.3，2）的交点更多地取决于马尔可夫链qand q的转移强度。特别是，在本例中，如果使用所有其他参数，交点将随着q越大向右移动。总的来说，我们可以得出结论，观察到的优势的主要决定因素是初始价差与状态长期平均值之间的差距、转移概率以及剩余成熟时间。接下来在图2中，我们将当前最优投资组合问题的值与使用平均数据计算的最优值进行比较。Let（π，1- π） 表示马尔可夫链Y的静态分布。假设我们有两个交易者，其中一个忽略了基础利差的马尔可夫调制性质，并考虑了平均数据θ=πθ+（1-π） θ为长期平均价差。另一方面，16 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSI0 1 2 300.511.522.5到期时间（T-t） 最佳值0 1 2 300.511.5到期时间（t-t） 最佳值0 1 2 300.511.522.5到期时间（t-t） 最佳值图1。当初始状态为e（虚线）或e（实线）时，初始价差s不同值的最佳值作为到期时间的函数。左面板s=0.1。中间面板s=0.3。右侧面板=0.7。其他参数：z=1，r=0.01，θ=0.1，θ=0.6，κ=1，ρ=0.9，σ=0.2，η=0.2，ε=0.3，q=0.7，q=0.2。第二个交易者假设我们提出的马尔可夫调制模型，也就是说，她按照定理3.1的建议行事。我们想比较在模型中假设平均数据得到的价值函数V（t，s）与马尔可夫调制情况下的价值函数。

通过这种方式，我们希望了解平均数据的知识是否有助于获得当前成对交易问题的最佳值。为此，我们设置q=1和q=2，并计算π=qq+q=0.67。然后，我们得到θ=0.2 7。在图2中，我们绘出V（t，s）与Eπ[V（t，s，Yt）]=πV（t，s，1）+（1- π） V（t，s，2）。我们观察到Eπ[V（t，s，Yt）]>V（t，s）。这意味着平均数据不包含获得配对交易问题最佳值的充分信息，因此平均而言，第二个交易者的表现优于第一个交易者。这一结果与对数效用偏好下带有马尔可夫调制的经典投资组合优化问题的结果相反。参见B"auelle&Rieder第B节【4】。我们将此归因于基础状态变量的均值回复性质。图3描述了相关值ρ=0.1和ρ=0.9时，值函数相对于平均反转速度κ的行为。在没有Markovswitching的情况下，人们预计κ的值越高，产生的最优值就越高，因为这意味着更多的访问长期意味着更频繁的配对交易产生有利的机会。在这里，我们观察到，κ值越高，投资组合价值就越大，因为存在制度转换的风险，这将导致长期平均值的突然变化。漂移不确定性和风险处罚下的成对交易170 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.5预计值0 100.10.20.30.40.5到期时间（T-t） 最佳值图2。左面板：作为初始利差到期时间T函数的最佳值- t=0.1年。右面板：初始价差s=0.3时，作为到期时间函数的最佳值。实线（分别为虚线）表示与Markovswitching case（分别为。

平均数据）。其他参数：z=1，r=0.01，θ=0.1，θ=0.6，κ=1，ρ=0.9，σ=0.2，η=0.2，ε=0.5，q=1和q=2.0.1 0.5 1 1.5 200.020.040.060.080.10.12κ最佳值图3。平均回复速度κ对最优值的影响。当初始状态为e（分别为e）时，虚线（分别为实线）对应于最佳值。灰线：ρ=0.1，黑线：ρ=0.9。其他参数：T-t=3年，z=1，r=0.01，θ=0.1，θ=0.6，s=0.3，η=0.9，σ=0.2，ε=0.3，q=0.7，q=0.2.18 s.阿尔泰，K.科拉内里和z.EKSI5.2。部分信息案例。在部分可观察的情况下，只有两种状态使我们能够减少过滤控制问题的状态变量数量，因为p：=p=1- p、 那么我们只需要p的动力学，给定，后整理，bydpt=（q+q）qq+q- pt公司dt+qν+νpt（1- pt）dI（3）t，（16），其中ν=（u-u）σ和ν=σκ（θ-θ）-ηρ（u-u）ση√1.-ρ、 I（3）=ν√ν+νI（1）+ν√ν+νI（2）是F-布朗运动。我们可以写出财富扩散过程的半鞅分解，关于过滤F asdZt=Ztht公司κ（θ+（θ- θ） pt公司- St）-η+ρση+ r-εηhtdt+ηhtZtdIt，（17）和dst=κ（θ+（θ- θ） pt公司- St）dt+ηdIt，（18）其中I是具有hI的F-布朗运动，I（3）It=νρ+ν√1.-ρ√ν+νt。注意，可以将（5.2）、（5.2）和（5.2）给出的状态变量（Z、S、p）的简化控制问题解释为具有平滑过渡的成对交易模型。更准确地说，我们可以将p视为一个状态变量过程，它控制着两个政权之间的平稳过渡，并具有不同的长期扩散手段，即θ和θ。

p的动力学也非常类似于群体遗传学中用于模拟等位基因频率的均值回复雅可比型（或Wright–Fisher）差异，参见Ethier【12】、Sato【33】或Gourieroux&Jasiak【17】。在这种情况下，值函数可以写成V（t，z，s，p，p）=eV（t，z，s，p），并且，如定理4.2所示，最佳值由eV（t，z，s，p）=log（z）+r（t）给出- t） +d（t）s+ec（t，p）s+ef（t，p），其中函数d（t）由d（t）=κ4η（1+ε）给出1.- e-2κ（T-t）,函数ec（t，p）和f（t，p）求解下列部分微分方程组：ect（t，p）-κ（θ+（θ- θ） p）- κ(-η+ρση）η（1+ε）- κec（t，p）+2κ（θ+（θ- θ） p）d（t）+（q+q）qq+q- pecp（t，p）+（ν+ν）p（1- p） ecpp（t，p）=0，对于Ja-cobi或Wright-Fisher微分，微分系数由PP（1）给出-p） 。漂移不确定性和风险惩罚下的成对交易19eft（t，p）+κ（θ+（θ- θ） p）+（ρση-η） +2κ（θ+（θ- θ） p）（ρση-η） 2η（1+ε）+ηd（t）+κ（θ+（θ- θ） p）ec（t，p）+（q+q）qq+q- pefp（t，p）+（ν+ν）p（1- p） efpp（t，p）+κ（θ）- θ） p（1- p） ecp（t，p）=0，（19），终端条件ec（t，p）=0，且每p的F（t，p）=0∈ [0，1]，我们使用显式有限差分法数值求解（5.2）中给出的偏微分方程系统。为了保证方案的正性，我们对一阶导数使用前向后向近似。部分信息情况下的值函数在参数方面与完全信息情况下的值函数具有类似的行为。然而，我们强调，在部分信息设置中，漂移参数u和u也起作用。在第八部分中，u、u的相对值以及噪声参数σ和η控制f或过滤概率估计的精度。在图4中，我们说明了使用过滤后的估计值而非平均数据来实现交易收益。

可以清楚地看到，过滤的收益随着成熟时间的延长而增加。另一方面，收益随着p的移动而变小，这代表了最不确定的情况。图4：。作为p和到期时间函数的过滤收益。其他参数：z=1，r=0.01，θ=0.1，θ=0.6，u=0.2，u=1，κ=1，ρ=0.9，σ=0.2，η=0.2，ε=0。5、s=0.3、q=1和q=2.20 s.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksii我们可以将本节的发现总结如下：（a）初始利差和初始状态的长期平均值之间的差距越大，如果有足够的时间以高概率关闭利差，则最优值越高，（b） 平均数据不包含获得当前成对交易问题最优值的充分信息，（c）平均逆转速度κ的值越高，并不一定意味着最优值越高，（d）在部分信息设置中，由于使用过滤概率的一致性或差异性，过滤会带来收益。结论在本文中，我们考虑了对数效用偏好和风险惩罚终端财富交易者的配对交易。通过用投资组合的实际波动率来惩罚最终财富，我们可以用一个参数（即ε）更容易地捕捉跨期风险因素。我们假设利差的均值回复水平为马尔可夫切换，并研究了完全和部分信息下的效用最大化问题，对应于交易者可能直接观察或不直接观察马尔可夫链状态的情况。在全信息条件下，我们通过theFeynman–Kac公式计算了最优策略，并描述了价值函数直至ODE系统唯一解的特征。

在部分信息情况下，我们首先推导了滤波动力学，然后研究了相应的优化问题，其中马尔可夫链的不可观测状态被其滤波估计所取代。我们通过逐点最大化来解决这个问题，并用偏微分方程系统的解来表示值函数。在本文的最后一部分，我们给出了一个数值例子，其中t赫马尔科夫链有两种可能的状态。在全信息环境下，我们研究了值函数相对于几个参数的行为。一个有趣的结果是，最优投资组合的价值总是严格大于当分布的马尔可夫调制平均回归水平被平均平均回归水平（相对于马尔可夫链的平稳分布）取代时计算的价值函数。因此，我们得出结论，对平均数据的了解不足以获得最佳投资组合价值。在部分信息情况下，我们观察到交易者总是受益于使用马尔可夫链状态的过滤估计，而不是平均数据。在不太确定的情况下，收益更大。当处于其中一种状态的条件概率接近于0或1时，就会发生这种情况。相应地，当条件概率接近时，增益较小。漂移不确定性和风险处罚下的成对交易21附录A.定理4.2的证明。在这里，正如在完整信息的情况下，我们有针对性地最大化。We first writeEt，z，s，p[对数ZT]=对数（z）+r（T- t）- Et、s、pZTthuη（1+ε）du+ Et、s、pZTTU公司κ（θ聚氨酯- Su）-η+ρση杜邦,其中，Et，s，pdenotes表示给定St=s和pt=p的条件期望。

倒立二阶条件意味着最优策略由H给出*（t，s，p）=1+εκθp- sη+ρση-!.这导致最优值的以下随机表示，log（z）+r（T- t） +Et，s，p“ZTt（κ（θ聚氨酯- Su）-η+ρση）2η（1+ε）du#。我们定义了函数u:[0，T]×R×K→ R+byu（t，s，p）=Et，s，p“ZTt（κ（θ聚氨酯- Su）-η+ρση）2η（1+ε）du#。通过应用Feynman–Kac公式并将ansatz u（t，s，p）=d（t）s+c（t，p）s+f（t，p）插入结果方程中，得出（4.2）-（4.2）中的线性偏微分方程系统和以下线性常微分方程dt（t）- 2κd（t）+κ2η（1+ε）=0，d（t）=0。请注意，系统（4.2）和（4.2）允许一个独特的解决方案，请参见Friedman[15]第9章。致谢Ssühan Altay感谢奥地利科学基金会（FWF）在g rant P25216下提供的财政支持。这篇论文的研究工作是在ZehraEksi访问佩鲁贾大学经济系时完成的，该系是ATARI青年研究员培训计划（YITP）的一部分。意大利银行基金会和储蓄银行协会（ACRI）的支持得到了极大的认可。22 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIReferences【1】D.F。Allinger&S.K.Mitter（1981）《非线性滤波创新问题的新结果》，统计4（4），3 39–348。[2] A.Bain&D.Crisan（2009）《随机Filterin g的基本原理》。纽约：斯普林格。[3] N.A.Baran、G.Yin和C.Zhu（2013）。Feynman-Kac切换微分公式：偏微分方程和随机微分方程系统的联系，微分方程进展，2013（1），315。[4] N.B"auelle&U.Rieder（2004）《马尔可夫调制股票价格和利率的对开本优化》，自动控制，IEEE交易49（3），442–447。[5] T.Bj"ork，M.H.A.Davis&C。

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