漂移不确定性下的成对交易与风险惩罚

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英文标题：
《Pairs Trading under Drift Uncertainty and Risk Penalization》
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作者：
S\\\"uhan Altay, Katia Colaneri and Zehra Eksi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this work, we study a dynamic portfolio optimization problem related to pairs trading, which is an investment strategy that matches a long position in one security with a short position in another security with similar characteristics. The relationship between pairs, called a spread, is modeled by a Gaussian mean-reverting process whose drift rate is modulated by an unobservable continuous-time, finite-state Markov chain. Using the classical stochastic filtering theory, we reduce this problem with partial information to the one with full information and solve it for the logarithmic utility function, where the terminal wealth is penalized by the riskiness of the portfolio according to the realized volatility of the wealth process. We characterize optimal dollar-neutral strategies as well as optimal value functions under full and partial information and show that the certainty equivalence principle holds for the optimal portfolio strategy. Finally, we provide a numerical analysis for a toy example with a two-state Markov chain.
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中文摘要：
在这项工作中，我们研究了一个与配对交易相关的动态投资组合优化问题，这是一种将一种证券的多头头寸与另一种具有类似特征的证券的空头头寸相匹配的投资策略。成对之间的关系称为扩散，由高斯均值回复过程建模，其漂移率由不可观测的连续时间有限状态马尔可夫链调制。利用经典的随机过滤理论，我们将部分信息的问题简化为完全信息的问题，并用对数效用函数来解决，其中终端财富根据财富过程的已实现波动率由投资组合的风险来惩罚。我们刻画了完全和部分信息下的最优美元中性策略以及最优价值函数，并证明确定性等价原则适用于最优投资组合策略。最后，我们提供了一个带有两状态马尔可夫链的玩具实例的数值分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Pairs_Trading_under_Drift_Uncertainty_and_Risk_Penalization.pdf (412.01 KB)

2022-5-31 09:45:56 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Mathematical Quantitative

在漂移不确定性和风险惩罚下进行交易的配对交易包括阿勒泰、卡蒂亚·科拉内里和泽赫拉·埃克西亚斯特。在这项工作中，我们研究了一个与配对交易相关的动态投资组合优化问题，这是一种投资策略，它将一种证券的多头头寸与另一种具有类似特征的证券的空头头寸相匹配。成对之间的关系称为扩散，由高斯均值回复过程建模，其漂移率由不可观测的连续时间有限状态马尔可夫链调制。利用经典的随机过滤理论，我们将部分信息的问题简化为完全信息的问题，并用对数效用函数来解决，其中，根据财富过程的已实现波动性，最终财富会受到投资组合风险的惩罚。我们刻画了完全和部分信息下的最优美元中性策略以及最优价值函数，并证明确定性等价原则适用于最优投资组合策略。最后，我们用两态马尔可夫链对一个玩具实例进行了数值分析。关键词：配对交易、制度转换、效用最大化、风险惩罚和部分信息。1、介绍对交易是一种投资策略，试图利用两支或多支股票之间的不平衡所产生的市场缺陷。这种策略涉及历史上一起变动的一对类似股票的多头头寸和空头头寸。例如，石油行业的埃克森美孚（ExxonMobil andRoyal Dutch）和壳牌（Shell），制药行业的P fizer和葛兰素史克（GlaxoSmithKline f）。

配对交易的基本原理是买入表现不佳的证券，卖出表现不佳的证券，预计表现不佳的证券将在未来几年弥补损失，甚至可能会超过其他证券，反之亦然。因此，它也被归类为收敛或均值回归策略。选择这对股票的方式是，它形成了一个称为价差的恢复投资组合。通过形成适当的价差，成对交易者试图通过同时做多一只股票和做空另一只股票来限制市场上涨或下跌所产生的方向性风险。由于市场风险得到缓解，利润仅取决于两支股票之间的价格变化，可以通过价差净收益实现。因此，我们也可以看到2 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIpairs在市场中性交易策略类别中进行交易。为了实现市场中立，交易者可以选择相应的策略，从而得到的投资组合具有零（CAPM）贝塔，因此它是贝塔中立的。或者，可以使用美元中性策略，即在每只股票上投资等量的美元。然而，我们应该注意到，市场中立并不意味着经典意义上的无风险回报或套利。配对策略中继承的风险与仅涉及特定股票或市场的多头或空头头寸的投资策略中的风险不同。事实上，配对交易是统计套利的一种形式，可以广义地定义为渐进产生无风险利润的水平交易策略（参见Hoganet al.【19】了解统计套利的定义，以及G"oncü&Akyildirim【18】了解配对交易策略的统计套利）。正如Gatev等人根据经验记录的那样。

[1 6]，再加上简单的配对选择算法，此类统计套利策略可能会产生高达11%的平均年化超额回报，在得到最保守的交易成本补偿后，仍保持有利。在这项工作中，我们考虑了一个具有对数效用的交易者的投资组合优化问题，该交易者是在马尔可夫机制转换模型中，从风险惩罚的终端财富投资于一对具有一定依赖结构的资产。更准确地说，我们用一个部分可观测的马尔可夫调制漂移来模拟传播过程（对数价格差异）和奥恩斯坦-乌伦贝克过程。我们将利差漂移和两种资产漂移建模为不可观测的有限状态马尔可夫链函数的动机具有一定的优势。首先，金融资产的漂移很难保持不变，也很难观察到，特别是如果我们考虑到通常在较长时期内有效的收敛型投资策略。第二，尽管配对的选择方式使它们具有相似的特征，但它们之间的传播动力学可能倾向于不同的区域。例如，如果一对股票中的一只股票被选择列入标准普尔500指数，而另一只股票没有被列入，这可能会增加对所列股票的需求。因此，这最终会增加价差水平，至少在指数中列出的一个从指数中删除之前，或者在该对的另一段也被添加之前。此外，在现实中，很难观察或描述微观结构（基于市场）或宏观结构（经济范围）状态变量随不同制度的变化。

这就需要使用部分信息框架来建模此类状态过程。许多研究在完全或部分信息和/或马尔可夫制度转换框架中分析投资组合选择问题，例如，参见周和尹[39]、B"auelle和Rieder[4]、Sotomayor和Cadenilas[34]，了解马尔可夫制度转换或Rieder和B"auelle[31]、Frey等人[14]和Bj"ork等人的完全信息案例。[5] 对于部分信息案例。然而，据我们所知，在部分信息条件下，在马尔可夫调制环境中确定最优对交易策略是一种新的方法。我们提出的模型是Mudchanatongsuket al[30]给出的模型的扩展版本，他在一个中立的设置中发现了最优的配对交易策略，对于一个具有电力效用的投资者，配对交易在漂移不确定性和风险惩罚3下进行。虽然成对投资等量的美元（作为财富的一部分）似乎具有限制性，但当所选股票的资本充足率非常接近时，这是有意义的。我们的模型扩展了MudChanatongsuk等人[30]的工作，允许部分观察到价格过程和价差的马尔可夫调制漂移，从而使它们能够根据不同的条件变化。作为第二个扩展，为了找到最佳的交易策略，我们使用风险惩罚的终端财富，正如罗杰斯（Rogers）[32]第2.22节所建议的那样。投资者希望通过根据财富过程的已实现波动性对终端财富进行惩罚，以防止成对投资者追求风险策略。在成对交易中使用风险惩罚似乎是合适的，因为大多数交易策略是由对冲基金和自营交易公司执行的，这些公司代表投资者进行高风险交易。

风险惩罚有效地增加了交易者的风险厌恶，并使其采取风险较小的头寸。除了数学上的便利性外，我们对对数效用函数的选择可以基于几个财务理由进行调整。首先，尽管投资者可以选择代表其风险承受能力的任何效用函数，但重复的情况，如均值回归型交易策略中反映的效用函数，往往会迫使效用函数接近对数函数。例如，在电力公司案例中，可以用一个非常简单的例子来说明，对于风险规避参数而言，过于激进或过于保守的选择意味着不切实际的偏好，例如押注于具有高概率的巨大损失的策略，因此，如果投资者专注于长时间的重复试验，则不合适，参见Luenberger[29]第15章。只有当电力效用中的风险规避参数γ接近于零，表现得更像对数效用时，这一点才能得到缓解。因此，我们可以认为接近对数的效用函数适合我们的设置。其次，通过用投资组合的已实现波动率惩罚最终财富，并使用对数效用，我们可以更容易地用一个参数捕捉模型中的跨期风险因素。尽管关于成对交易的实证和理论文献不断增多，但已发表的关于最优港口对账单问题的研究却相当有限。Mudchanatongsuk等人【30】解决了与powerutility进行配对交易以获取终端财富的随机控制问题。Tourin和Yan【36】制定了一个最优投资组合策略，投资于两种风险资产和货币市场账户，假设对数价格是协整的，就像Duan和Pliska【7】的期权定价模型一样。

Cartea&Jaimungal[6]对Tourin&Yan[36]进行了扩展，以允许投资者转换多个协整资产，并提供动态交易策略的显式封闭式解决方案，同时假设资产回报的漂移由一个特殊和共同的漂移组成。Lee和Papanicolaou【26】解决了电力设施设置中的最优对交易问题，其中漂移不确定性由连续均值回复过程建模。这里还值得一提的是Elliott等人[11]的工作，U（x）=xγ，γ≤ 1.4 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksi提出了一种基于均值回复高斯马尔可夫链随机滤波的成对交易策略，用于在高斯噪声中观察到的价差。除了通过终端财富的效用最大化来确定最佳交易策略外，最近也有关于结对交易的最佳清算和最佳（ent r y-exit）时机策略的文献。例如，Ekstr"omet al.（9）、Larsson et al.（25）和Zeng&Lee（38）的研究侧重于如何通过纳入止损阈值来最佳清算apairs交易。此外，Leung和Li【28】研究了一个非定时双停问题，以分析在交易成本的影响下开始和随后清算头寸的时机，Lei和Xu【27】分析了一对共同整合资产的多重进入-退出问题。克劳斯（Krauss）[22]最近的调查论文中提供了大量的参考文献和关于成对交易和统计套利的文献综述。综上所述，我们在本文中的贡献如下。

首先，我们刻画了对数效用交易者在完全信息和部分信息条件下的最优美元中性策略，并证明了最优策略取决于两种资产之间的相关性和平均回复价差。风险惩罚对最优策略的影响是，风险厌恶程度以不变的比例均匀增加，不依赖于时间。其次，我们利用费曼-卡克公式刻画了最优值函数。第三，利用创新方法，我们提供了必要的过滤方程，以将部分信息问题简化为完全信息问题。部分信息环境下解决方案的一个很好的特点是，最优策略是过滤状态的线性函数，因此可以将其视为投资者信息过滤的完整信息的投影。我们还给出了一个玩具实例的数值结果，该玩具实例具有完全和部分信息设置的两状态马尔可夫链。我们的分析表明，对于对数效用偏好的配对交易问题，平均数据不包含获得最优值的充分信息。这个结果和马尔可夫调制的经典对开本优化问题的结果是一致的，见B节inB"auelle&Rieder[4]）。此外，我们的玩具示例表明，由于使用过滤概率而不是常数概率所产生的凸性，总是会再次出现过滤。pap er的其余部分组织如下。第2节介绍了该模型。在第3节中，我们分析了完全信息环境下的投资组合优化问题。在第四节中，我们解决了部分信息下的效用最大化问题。

在第5节中，我们用一个两态马尔可夫链对我们的玩具示例进行了数值分析。我们以第6节作为结论，并在附录中给出了证明和技术结果。2、该模型考虑在过滤概率空间上定义的有限时间间隔[0，T]和连续时间有限状态马尔可夫链(Ohm, G、 G，P），其中G=（Gt）t≥0是在漂移不确定性和风险惩罚5过滤条件下的全球航空交易，满足通常条件；我们在这里考虑的所有过程都假设是G适应的。假设Y的状态空间E={E，E，…，eK}，其中，在不丧失一般性的情况下，我们假设eK是RK的基列向量。Y具有强度矩阵Q=（qij）i，j∈{1，…，K}，其初始分布用∏=（π，····，πK）表示。Y的半鞅分解由yt=Y+ZtQ给出Ysds+Mt，每t∈ [0，T]，其中M是（G，P）-鞅。我们考虑一个有无风险资产和两支股票的市场。我们假设无风险资产的动力学为bydS（0）t=rS（0）tdt，S（0）>0，其中r∈ R是无风险利率。股票有S（1）和S（2）两种价格，第一种股票的价格过程被假定为遵循马尔可夫调制的微分，其中W（1）是独立于Y的G布朗运动。由于马尔科夫链在有限状态空间中取值，因此对于每个t∈ [0，T]，u（Yt）=uYt，u=（u，…，uK）ui=u（ei）∈ R代表每个i∈ {1，…，K}。假设扩展St=对数S（1）t- 日志S（2）t，t∈ [0，T]遵循Markovmodulated Ornstein-Uhlenbeck过程：dSt=κ（θ（Yt）- St）dt+ηdWt，S∈ R、 （2）其中κ>0，η>0，W是一个G-布朗运动，hW（1），W it=ρt，ρ∈ (-1，1），θ（Yt）=θYt，t∈ [0，T]θ=（θ，…，θK）θi=θ（ei）∈ R代表everyi∈ {1，…，K}。

从（2）和（2）中可以看出（2）tS（2）t=u（Yt）- κ（θ（Yt）- St）+η- ρσηdt+σdW（1）t- ηdWt，S（2）>0。设X为自融资投资组合的价值，h（1）和h（2）分别表示投资于S（1）和S（2）的财富的分数。可接受的投资策略。我们考虑美元中性对交易策略。这对应于取h（1）和h（2），使得h（1）t=-h（2）t，t∈ [0，T]。（3） 在续集中，我们将使用符号h=h（1）。请注意，ht∈ R代表everyt∈ [0，T]且无风险资产的组合权重始终为1。为了确保6 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksit的财富过程得到了很好的定义，我们考虑了满足以下条件的投资策略兹图杜< ∞. （4） 定义2.1。满足（2）和（2）的G-渐进式自我融资投资策略称为可接受投资策略。我们用A来表示可容许项集。对于每h∈ A、 配对交易组合的动力学由DxHtxht给出=ht公司κ（θ（Yt）- St）-η+ρση+ rdt+htηdWt，Xh>0。注意，对于给定的h∈ A、 XH是一个受控过程。在下面的内容中，为了符号的简单性，我们抑制了h依赖关系，并写入X而不是Xh。领导者的目标是最大化终端财富的预期效用。然而，在风险惩罚环境中，参见Rogers[32]第2.22节，目标是防止交易者以投资者为代价追求风险策略。