漂移不确定性下的成对交易与风险惩罚

投资者同意在时间T向交易员支付风险惩罚金额ZT=XTexp-εZTηhsds, ε≥ 因此，财富过程的终值通过其已实现的波动性进行“贴现”。根据它的公式，Z的动力学由：dZtZt给出=ht公司κ（θ（Yt）- St）-η+ρση+ r-εηhtdt+htηdWt，Z>0。接下来，我们研究了在制度转换和风险惩罚的情况下，被赋予对数效用的交易者的优化问题。首先，我们考虑交易者可能观察到影响价格过程和价差动态的马尔可夫链的情况。随后，我们假设马尔可夫链是不可观测的，并解决了部分信息下的优化问题。3、优化问题在完全信息的情况下在本节中，我们假设交易者可以观察到市场中所有的随机性来源。她在T时的惩罚财富由zt=z exp给出ZTt公司胡κ（θ（Yu）- Su）-η+ρση-huη（1+ε）+rdu+ZTthuηdWu,每小时∈ A、 注意，条件（2）保证上述表达式中的随机积分是一个纯鞅，因此期望值为零。在漂移不确定性和风险惩罚下配对交易7交易者正式面临以下优化问题Max Et，z，s，i[log ZT]，（5）其中Et，z，s，ide注意到给定ZT=z，St=s和Yt=ei的条件期望。Wede定义交易者的价值函数byV（t，z，s，i）：=suph∈AEt，z，s，i[日志ZT]。从现在起，我们对偏导数使用以下符号：对于每个函数g：[0，T]×R+×R→ R、 例如，我们写，g级t=gt。在下面的定理中，我们刻画了最优策略和相应的函数值。定理3.1。考虑一个具有风险惩罚参数ε的对数效用函数的交易者≥ 0

然后最优投资组合策略h*∈ 一个ish*（t，s，i）=1+εκ（θi- s） η+ρση-.值函数的形式为v（t，z，s，i）=log（z）+r（t- t） +d（t）s+c（t，i）s+f（t，i），其中函数d（t）由d（t）=κ4η（1+ε）给出1.- e-2κ（T-t）,函数c（t，i）和f（t，i）表示i∈ {1，…，K}解一般微分方程的跟随系统Ct（t，i）- κc（t，i）+2κθid（t）-κθi- κη+κρσηη（1+ε）+KXj=1c（t，j）qij=0，（6）ft（t，i）+d（t）η+κθic（t，i）+κθi-η+ρση2η（1+ε）+KXj=1f（t，j）qij=0（7），所有i的终端条件c（t，i）=0，f（t，i）=0∈ {1，…，K}。证据我们首先将逐点优化应用于最优投资组合策略中的o bta。通过计算（3）中的期望，我们得到et，z，s，i[log ZT]=log（z）+r（T- t）- Et、s、iZTthuη（1+ε）du+ Et、s、iZTTU公司κ（θ（Yu）- Su）-η+ρση杜邦, （8） 8 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIwhere，根据前面的表示法，Et、S、IDE注意到给定St=S和Yt=ei的条件期望。一阶条件由-h类*tη（1+ε）+κ（θ（Yt）- St）-η+ρση=0，为最优策略h提供了以下候选值*（t，s，i）=1+εκ（θi- s） η+ρση-.二阶条件，-η（1+ε）<0，确保h*是定义明确的最大化者，因此是最佳投资组合策略。通过在（3）中插入最优策略，我们得到了最优值的随机表示，即log（z）+r（T- t） +Et，s，i“ZTt（κ（θ（Yu））- Su）-η+ρση）2η（1+ε）du#。（9） 接下来，我们利用费曼-卡克公式对马尔可夫调制扩散过程的值函数进行了表征，见【3】和【8】。为了这个，为了每一个我∈ 1.K我们定义函数u（·，·，i）：[0，T]×R→ R+byu（t，s，i）=Et，s，i“ZTt（κ（θ（Yu））- Su）-η+ρση）2η（1+ε）du#。那么对于每一个我∈ 1.

，K，函数u（·，·，i），满足（t，s，i）+κ（θi- s） us（t，s，i）+ηuss（t，s，i）+KXj=1u（t，s，j）qij+（κ（θi- s） +η+ρση）2η（1+ε）=0，终端条件u（T，s，i）=0。假设函数u（t，s，i）的形式为u（t，s，i）=d（t）s+c（t，i）s+f（t，i）。通过使用该ansatz，我们得到以下方程0=ct（t，i）s+dt（t）s+ft（t，i）+ηd（t）+（κ（θi- s）-η+ρση）2η（1+ε）+κ（θi- s） （c（t，i）+2d（t）s）+KXj=1（c（t，j）s+f（t，j））qij。将s、s和其余的项集合在一起，我们得到函数d（t）solvesdt（t）- 2κd（t）+κ2η（1+ε）=0，d（t）=0，在漂移不确定性和风险惩罚9下成对交易，每∈ {1，…，K}，c（t，i）和f（t，i）分别求解（3.1）和（3.1）中的常微分方程组，参见Teschl[35]中的定理3.9。备注3.1。i） 请注意，如果z>1，则最佳值始终为正值，并且（3）中的期望值也可以通过计算马尔可夫调制的Ornstein–Uhlenbeck过程的第一和第二矩来评估。这可以通过求解非齐次线性微分方程组来实现，如Huang等人[20]所述。ii）在当前设置中，mark et通常是不可压缩的te，这意味着，例如，我们不能依赖鞅方法，参见Bj"orket al.【5】。最优投资组合策略h*有三个组件。与美元中性相关的成分由2（1+ε）给出。考虑到没有相关性（ρ=0）和协整（κ=0）的意义上的“非对”，这一点直观地很清楚。另外两个组成部分产生于两个股票之间的依赖结构。即第一组分κ（θi-s） （1+ε）η与两个股票之间的协整相关，而第二个成分ρση（1+ε）与相关结构相关。

也就是说，假设当前价差等于当前状态的长期平均值，即（θi- s） =0或κ=0，则给定ε>0的最佳策略仅由第一只股票和价差之间的相关性ρ来确定，由两者的波动率比率来衡量。人们可以将这种情况解释为具有相关回报的资产的美元中性投资策略。另一方面，如果ρ为零，则最优策略仅由扩散动力学确定。备注3.2。假设交易者不使用中性策略，而是使用β-中性策略，即形式为βh（1）+βh（2）=0的策略，其中β和β分别表示s（1）和s（2）的CAPMβ。然后由h给出最优策略*（t，s，i）=1+εuiβ（β- β） +ββκ（θi- s）- ββη+ββρση（σ（β- β）- βη）！，价值函数的结构与给定的美元中性情况相似。4、部分信息下的优化问题我们假设交易者不能直接观察到状态过程Y。相反，她观察价格过程S（1）和S（2），知道模型参数。因此，交易者可用的信息由S（1）和S（2）的自然过滤携带。这相当于S（1）和展开符S所携带的一组信息，即F=（Ft）t≥0，Ft=σ{Su，S（1）u，0≤ u≤ t} ，英尺 燃气轮机。10 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksii在续集中，我们假设过滤率n F满足通常的假设。可接受的投资策略。交易者的决策应仅取决于她在时间t时获得的信息。也就是说，我们考虑自我融资的投资策略，使h是F-渐进的。然后，我们对部分信息下的可容许策略有以下定义。定义4.1。满足（2）和（2）的F-进步自我融资投资策略h是F-可接受的投资策略。

我们用AF表示F-容许策略集。部分知情交易者的目标是在AF类上最大化预期效用E[log ZT]。在这种情况下，我们自然会得到部分信息下的最优控制问题。在下一部分中，为了解决这样一个问题，我们将通过所谓的简化方法，在完全信息下推导出一个等效控制问题，参见Fleming&Pa r do ux【13】。这需要推导不可观测状态变量的过滤方程。经过简化后，相应的控制问题可以解释为一个由过滤概率动力学控制的平稳过渡问题。我们在第5节中讨论了两态马尔可夫链的这一方面。4.1。过滤方程。在这一节中，我们讨论了在给定观测值的情况下，刻画不可观测马尔可夫链Y的条件分布的问题。在您的设置中，观察过程由对（dRt、dSt）给出= A（t，Yt，St）dt+∑dBt，其中进程R是S（1）的日志返回，即dRt=dS（1）tS（1）twith R=0，B=（W（1），W（2））是一个独立于Y和a（t，Yt，St）的二维G-布朗运动=u（Yt）κ（θ（Yt）- St）, ∑=σ0ρηp1- ρη, t型∈ [0，T]。注意，过程R和S（1）生成相同的信息。对于任何函数f，我们用[f（Y）表示关于过滤f的可选投影，即[f（Yt）=E[f（Yt）| Ft]，a.s.，对于每t∈ [0，T]。过程[f（Y），前向函数f，提供了滤波器。根据马尔可夫链的有限状态性质，我们得到[f（Yt）=KXj=1f（ej）pjt，t∈ [0，T]，其中pjt=P（Yt=ej | Ft），T∈ [0，T]。然后，为了描述Y的条件分布，有必要推导过程pj，j的动力学∈ {1，…，K}。为此，我们将采用所谓的创新方法。

该方法基于漂移不确定性和风险惩罚下的发现对交易，这是一个驱动过滤器动态的合适的F累进过程，详情参见Wonham【37】和Elliott等人【10】。我们定义了二维过程I=（I（1），I（2））byIt=Bt+Zt∑-1（A（u、Yu、St）-\\A（u，Yu，St））du，t∈ [0，T]。明确地说，我们有i（1）t=W（1）t+Ztu（Yu）-\\u（Yu）σdu，I（2）t=W（2）t+Ztσκ（θ（Yu）-[θ（Yt））- ρη（u（Yu）-\\u（Yu））σηp1- ρdu，对于每t∈ [0，T]。备注4.1。过程I称为创新过程，众所周知，I是（F，P）-布朗运动，参见Bain&Crisan[2]中的命题2.30。请注意，由于假设驱动观测过程的信号Y和布朗运动B是独立的，因此过滤F与创新过程的自然过滤一致，参见Allinger&Mitter[1]中的定理1。然后，根据Jacod&Shiryaev[21]中的定理III.4.34-（a），每（P，F）-局部鞅M接受以下表示：Mt=M+ZtHudIu，t∈ [0，T]，（10）对于一些F-可预测的二维过程H，使得ztkhukdu<∞ P- a、 我们回忆起符号u=（u，…，uK）, 其中ui=u（ei）∈ R、 θ=（θ，…，θK）,其中θi=θ（ei）∈ R、 同时引入f=（f，…，fK）, 其中fi=f（ei）∈ R、 下一个定理提供了过滤器动力学。定理4.1。每一个我∈ {1，…，K}，第三个过程pisatis fiespit=pi+ZtKXj=1qjipjudu+σZtpiu（ui- upu）dI（1）u+σηp1- ρZtpiuσκθi- θ聚氨酯- ηρui- u聚氨酯dI（2）u，pi=∏i，（11）对于EVERY t∈ [0，T]。12 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIProof。考虑由f（Yt）=f（Y）+ZthQf，Yu给出的f（Y）的半鞅分解-idu+M（1）t，t∈ [0，T]，其中M（1）是（G，P）-鞅。现在，投影到F上会得到[F（Yt）-[f（Y）-ZthQf，bYu-idu=M（2）t，t∈ [0，T]，其中M（2）是（F，P）-马氏体。

使用（4.1）weget[f（Yt）中的鞅表示-[f（Y）-ZthQf，bYu-idu=ZtHudIu，t∈ [0，T]。设mt=It+Rt∑-1（u，Yu）du，每t∈ [0，T]。计算乘积f（Y）·并对f进行投影，我们得到f（Yt）·mt=ZtmuhQf，bYuidu+Zt∑-1\\f（Yu）A（u，Yu）du+M（3）t，t∈ [0，T]，（12）对于某些（F，P）-鞅M（3）。现在我们将乘积[f（Y）·m计算为[f（Yt）·mt=ZtmuhQf，bYuidu+Zt∑-1\\f（Yu）\\A（u，Yu）du+ZtHudu+M（4）t.（13）每t∈ [0，T]，其中M（4）是（F，P）-鞅。比较（4.1）和（4.1）中的有限变量项，我们得出（1）t=\\f（Yt）u（Yt）-[f（Yt）[u（Yt）σ，H（2）t=σκ（\\f（Yt）θ（Yt）-[f（Yt）[θ（Yt））- ηρ（\\f（Yt）u（Yt）-[f（Yt）[u（Yt）]σηp1- ρ、 每t∈ [0，T]。最后选择f（Yt）=1{Yt=ei}，我们得到了结果。备注4.2。这里请注意，（4.1）中的干摩擦系数和扩散系数是连续的、有界的和局部的Lipschitz。这意味着p是过滤方程（4.1）的唯一强解。4.2。最优控制问题的约简。Z和S关于观测滤波的半鞅分解由zt=Z+ZtZu给出胡κ（θ聚氨酯- Su）-η+ρση+ r-εηhudu+ηZthuZuρdI（1）u+p1- ρdI（2）u, t型∈ [0，T]，漂移不确定性和风险惩罚下的成对交易13andSt=S+Ztκ（θ聚氨酯- Su）du+ηZtρdI（1）u+p1- ρdI（2）u, t型∈ [0，T]。由于过滤方程解的唯一性，我们可以将（K+2）维过程（Z，S，p）视为状态过程，并在充分信息下引入等价的临时控制问题，参见Fleming&Pardoux【13】。

Wehavemax Et，z，s，p【log ZT】，其中Et，z，s，pde表示给定ZT=z，St=s和pt=p的条件期望，其中（z，s，p）∈ R+×R×K、 使用K关闭（K- 1） -尺寸单纯形。我们定义了交易者的价值函数byV（t，z，s，p）：=suph∈AFEt，z，s，p[对数ZT]。为了获得最优策略，可以应用逐点最大化，这也导致了值函数的显式表征。这在下一个定理中给出。定理4.2。考虑一个具有风险惩罚参数ε的对数效用函数的交易者≥ 0、最优投资组合策略h*∈ AFunder partialinformation ish*（t，s，p）=1+εκθp- sη+ρση-!.值函数的形式为v（t，z，s，p）=log（z）+r（t- t） +d（t）s+c（t，p）s+f（t，p），其中函数d（t）由d（t）=κ4η（1+ε）给出1.- e-2κ（T-t）,14 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksia以及函数c（t，p）和f（t，p）解决了以下部分微分方程系统：ct（t，p）+KXi，j=1eαij（p）cpipj（t，p）+KXi，j=1cpi（t，p）qjipj+κ2d（t）θp- c（t，p）-γ（p）=0，（14）ft（t，p）+KXi，j=1eαij（p）fpipj（t，p）+KXi，j=1fpi（t，p）qjipj+ηKXi=1cpi（t，p）eβi（p）+c（t，p）κθp+ηd（t）+κθp-η+ρση2η（1+ε）=0，（15），每p的终端条件c（T，p）=0，f（T，p）=0∈ K、 式中，αi，j（p）=H（i，1）（p）H（j，1）（p）+H（i，2）（p）H（j，2）（p），i，j∈ {1，…，K}，eβi（p）=ρH（i，1）（p）+p1- ρH（i，2）（p），i∈ {1，…，K}，H（i，1）（p）=π（ui- up） σ，H（i，2）（p）=πσκθi- θp- ηρui- upσηp1- ρ、 γ（p）=κη（1+ε）θp-η+ρση.证据定理4.2的证明与定理3.1的证明相同，为完整起见，附录中提供了定理4.2的证明。评论和讨论。

根据定理3.1和定理4.2，最优策略取决于两种资产之间的相关性和均值回复价差。此外，它们并不依赖于无风险利率r，因为我们先验地将自己限制在美元中性对交易策略上。将全部和部分信息下的最优策略进行比较，我们可以说所谓的确定性等价原则成立，即后一种情况下的最优投资组合策略可以通过将不可观测的状态变量替换为其过滤的估计来获得。风险惩罚对最优策略的影响是以不依赖于时间的恒定比例均匀增加风险规避。它有效地降低了成对投资的财富比例，并增加了投资于无风险资产的财富比例。考虑到最优值函数，在这两种情况下，它们都是价差当前值的二次函数。然而，在这两种情况下，二次项s的系数（因子loadings）仅取决于时间。这一结果值得一提，因为它意味着交易者没有真正考虑到确定性等价原则的非正统定义是由于Kuwana[24]，并用于与部分信息模型相关的文献中，参见B"auer le&Rieder[4]。漂移不确定性和风险惩罚下的成对交易部分信息对当前利差二次水平的影响。最后，请注意，类似的结果适用于beta中性策略。玩具示例：两状态马尔可夫链在本节中，我们给出了我们所提出模型的玩具示例，其中不可观测马尔可夫链只有两个状态。在这里，我们的主要目的是展示模型的某些定性特征，这些特征很难通过分析进行验证。在我们的分析过程中，我们将z=1、θ=0.1、θ=0.6、u=0.2和u=1。

在第一步中，我们考虑完整信息情况，交易员知道马尔可夫链的状态。然后，我们用部分信息调查了该案件。5.1。完整信息案例。在这一部分中，我们使用定理3.1，在那里我们用数值方法求解相应的常微分方程组。在下文中，由于我们将z设置为1，我们支持值函数对z的依赖性，并将V（t，s，i）写入i∈ {1，2}。在图1中，我们展示了给定初始状态下与到期时间相关的最佳值，以及初始价差的不同值（s=0.1、s=0.3和s=0.7）。它表明，对于所有初始状态和初始价差的所有价值，最优价值在到期时间内增加，因为交易可能性增加，因为交易时间更长。此外，根据配对交易策略，初始价差与初始状态价差的长期平均值之间的差距越大，如果有足够的时间以高概率关闭价差，则最优值越高。例如，在图1（左面板）中，我们观察到所有t的ev（t，0.1，2）>V（t，0.1，1）。这与交易者可以充分利用初始价差s=0.1和第二状态长期平均值θ=0.6之间足够大的差距的情况相对应。图1（右图）中观察到了类似的行为，在这种情况下，初始排列s=0.7和第一状态的长期平均值θ=0.1之间的差距足够大，足以使所有t的V（t，0.7，1）>V（t，0.7，2）。然而，在图1（中间图）中，不同初始状态对应的最佳值之间没有明显的优势。这可以通过以下观察结果来解释。