具有跳跃和二次指数增长的预期后向SDE

在假设3.1下，如果存在有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×JT到ABSDE（3.1），然后Z∈ HBMOandψ∈ JBMO（因此ψ∈ J∞) 它们满足| | Z | | HBM O≤e4γ| | Y | | S∞γ1+2γT||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞,||ψ| | JBM O≤e4γ| | Y | | S∞γ2+4γT||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞+ 4 | | Y | | S∞.证据它由引理3.1[16]衍生而来，由| | l | | S的简单替换∞带| | l | | S∞+δ| | Y | | S∞.我们还需要| |ψ| | JBM O≤ ||ψ| | JB+| |ψ| | J∞和| |ψ| | J∞≤ 2 | | Y | | S∞引理2.1。我们在附录B.1中给出了详细信息。引理3.2。在假设3.1下，如果存在有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×jt到ABSDE（3.1），则Y具有以下估计值| | Y | | S∞≤ 经验值Tβ+δeβT||ξ||∞+ T | | l | | S∞.证据应用Mayer-Ito公式，得到一个SD（eβs | Ys |）=eβsβ| Ys | ds+符号（Ys-)dYs+dLs.此处，（Ls）s∈[0，T]是一个非递减过程，包括本地时间LCASDL=dLcs+ZE|Ys公司-+ ψs（e）|- |Ys公司-| - 符号（Ys-)ψs（e）u（ds，de）。注意| y+ψ|- |y |- 符号（y）ψ=| y+ψ|- 符号（y）（y+ψ）≥ 0.（3.2）让我们介绍以下过程（Bs）∈[0，T]和（Cs）s∈[0，T]bydBs=-签署（Ys）EFsfs、 （Yv）v∈[s，T]，Θs）ds+ls+δEFssupv公司∈[s，T]| Yv|+ β| Ys |+γ| Zs |+ZEjγ（符号（Ys）ψs（e））ν（de）ds，dCs=eβs（dBs+dLs）+γ（e2βs- eβs）| Zs | ds+ZEjγ（eβssign（Ys）ψs（e））- eβsjγ（符号（Ys）ψs（e））ν（de）ds。请注意，B和C都是非递减过程。对于p过程B，这遵循假设3.1。至于过程C，它来自于k≥ 1，jγ（ku）-kjγ（u）=γ（ekγu- keγu- 1+k）≥ 0，使最后一行为正。一个然后seesdeβs | Ys |+Zseβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士= eβssign（Ys-)ZsdWs+ZEψs（e）eu（ds，de）-ZEjγeβssign（Ys）ψs（e）ν（de）ds-γ| eβssign（Ys）Zs | ds+dCs。（3.3）我们现在研究过程Pt，t∈ [0，T]定义单位：pt=expγeβt | Yt |+γZteβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士, t型∈ [0，T]，其中P∈ S∞清晰可见。

应用伊藤公式，可以得到dpt=Pt-γdeβt | Yt |+中兴通讯βrlr+δEFrsupv∈[r，T]| Yv|博士+ Ptγ| eβtsign（Yt）Zt | dt+Pt-ZE公司eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- 1.- γeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）=Pt-γeβtsign（Yt）ZtdWt+ZE经验值γeβt信号（Yt-)ψt（e）- 1.eu（dt，de）+dC′t（3.4）其中（C’s）s∈[0，T]是由dc′T=γdCt+ZE定义的另一个非递减过程（见（3.2））eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- eγeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）。（3.5）附录B.2给出了（3.4）推导的详细信息。自（P，Y，Z，ψ）∈ S∞×S∞×HBMO×JBMO，我们可以看到过程P是一个真正的子鞅。因此，对于任何t∈ [0，T]，经验值γeβt | Yt|≤ EFt“expγeβT |ξ|+γZTteβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士#≤ 经验值γeβT（| |ξ||∞+ T | | l | | S∞) + γδeβTZTt | Y | S∞[r，T]dra、 因此，| Yt |≤ eβT（| |ξ）||∞+ T | | l | | S∞) + δeβTZTt | Y | S∞a.s.博士，由于右手边的T不增加，同样的不等式成立，左手边的s被sups取代∈[t，t]| Ys |。因此，相当于| | Y | | S∞[t，t]≤ eβT（| |ξ）||∞+ T | | l | | S∞) + δeβTZTt | Y | S∞[r，T]博士。现在使用向后Gronwall不等式，可以得到期望的结果。定义3.1。确定参数集A：=（| |ξ）||∞, ||l | | S∞, δ、 β，γ，T），控制（| | Y | | S）上的通用边界∞, ||Z | | HBM O，| |ψ| | JBM O）。作为引理3.1和3.2的结果，我们可以看到| | Y | | S的规范∞, ||Z | | HBM O，| |ψ| | JBM Oare完全由A中的参数集控制。在下一小节中，我们介绍局部Lipschitz连续性。3.2稳定性和唯一性假设3.2。

对于每个M>0，以及对于每个（q，y，z，ψ），（q′，y′，z′，ψ′）∈ 满足supv的D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）∈[0，T]| qv |，supv∈[0，T]| q′v |，| y |，| y′|，|ψ| L∞（ν） ，| |ψ′| | L∞（ν）≤ M、 例如，见推论6.61【31】存在一些正常数KM（取决于M），因此| f（t，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，（q′v）v∈[t，t]，y′，z′，ψ′）|≤ 公里数supv公司∈[t，t]| qv- q′v |+| y- y′|+| |ψ- ψ′| | L（ν）+公里数1+| z |+| z′|+|ψ| L（ν）+|ψ′| L（ν）|z- z′|（3.6）dP dt-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。备注3.1。与直接使驱动器f依赖于路径不同，可以包括如[28]中所述的EFt（Yt+δ）、EFt（RTtYsds）等条件经验。在这项工作中，我们采用了前一种方法，因为它允许在不指定具体形式的情况下进行一般依赖。让我们介绍一下t的两个ABSDEs∈ [0，T]，其中i={1，2}，Yit=ξi+ztteffir、 （一）五∈[r，T]，Yir，Zir，ψir博士-ZTtZirdWr-ZTtZEψir（e）eu（dr，de）。（3.7）让我们把δY：=Y- Y、 δZ：=Z- Z、 Δψ：=ψ- ψ、 和δf（r）：=（f- f）r、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr.然后，我们得到以下稳定性结果。提案3.1。假设数据（ξi，fi）1≤我≤2满足假设3.1和3.2。如果两个ABSDE（3.7）具有有界解（Yi，Zi，ψi）1≤我≤2.∈ S∞×H×J，然后对于anyp>2q*||δY | | Sp[0，T]≤ CEh |Δξ| p+ZTEFr |δf（r）| drpip（3.8）和任何p≥ 2，q≥ q*（δY，δZ，δψ）Kp【0，T】≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp“qip”q（3.9），其中q*∈ （1，∞ ) 是一个常数，仅取决于（K·，a），C=C（p，K·，a）和C=（p，q，K·，a）是两个正常数。证据请注意，通过选择大于引理3.1和3.2所暗示的边界的M，可以使用固定Km全局应用（3.6）。让我们在余数中加上这样一个M。

确定价值递增的可测量过程（br，r∈ [0，T]）bybr：=EFrf（r，（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr）- f（r，（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr）|δZr |δZr6=0δZr、 自| br |起≤ 公里数1+| Zr |+| Zr |+2 | |ψr | L（ν）, 存在一些常数C，使得| | b | | HBM O≤ C=C（K·，A）。因此，可以定义一个等效的概率度量QbydQdP=ETR·brdWr其中E（·）是Dol’eans Dade指数。我们有WQ=W-R·brd泊松测度改变，euQ=eu。我们还有dpdq=ET-R·brdWQr. 从备注A.1中，存在一些常数r*∈ （1，∞) 使得e·（R·b）的逆e·（H·）的不等式都成立rdWr）和E·(-R·brdWQr）带电源∈ （1，r*]. 定义q*> 1通过q*:= r*/（r）*- 1） 。注意（r*, q*) 由（K·，A）单独控制。在测度Q下，我们得到δYt=δξ+ZTtEFrhδf（r）+fr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr- fr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr印尼盾-ZTtδZrdWQr-ZTtZEΔψr（e）euQ（dr，de），t∈ [0，T]。[Y的稳定性]将Ito公式应用于δY，可以得到|δYt |+ZTt |δZr | dr+ZTtZE |Δψr（e）|u（dr，de）=Δξ|+ZTt2δyrefhδf（r）+fr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr- fr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr印尼盾-ZTt2δYrδZrdWQr-ZTtZE2δ年-Δψr（e）euQ（dr，de）。（3.10）后两项是真Q鞅，可以用逆H¨older和能量不等式来检验。通过取条件期望EQFt[·]，可以得到任意λ>0 |δYt |+EQFtZTt | Zr | dr+EQFtZTt | |Δψr | L（ν）dr≤ CEQFtZTtEFr||δY | |[r，T]dr+EQFth |Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]i+EQFtZTt | |Δψr | | L（ν）dr，具有一些正常数C=C（K·，A）。这里我们使用了|δYr |≤EFr公司||δY | |[r，T]. 因此，尤其是δYt|≤ EQFth |Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]dri=EtEFtET公司|Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]博士式中，Es：=Es（R·brdWr）。

选择“q”∈ 【q】*, ∞), 反向H¨older不等式产生|δYt | 2'q≤ CEFth |Δξ| 2'q+λ'qZTtEFr |δf（r）| dr2'q+ZTtEFr公司||δY | |[r，T]博士\'q+λ\'q | |δY | 2\'q[t，t]i≤ CEFth |Δξ| 2'q+λ'qZTtEFr |δf（r）| dr当使用第二行Jensen不等式中的e时，2'q+ZTt | |δY | | 2'q[r，T]dr+λ'q | |δY | | 2'q[T，T]i，其中一些C=C（'q，K·，A）。对于任意p>2'q，应用Doob的最大不等式，得到seh | |δY | p[s，T]i≤ CE公司|Δξ| p+λpZTsEFr |δf（r）| drp+ CZTsEh | |δY | | p[r，T]idr+CλpEh |δY | | p[s，T]i，C=C（p，\'q，K·，A）。选择λ>0 small en ou gh，使Cλp<1，等式中的后墙意味着支持∈[s，T]|δYt | pi≤ CEh |Δξ| p+ZTsEFr |δf（r）| drpi，s∈ [0，T]。最后一个不等式适用于任何p>2q*. 这证明了（3.8）。自1<q*≤ 问题是，它也遵循了这一原则∈[0，T]|δYt | pip≤ Ehsupt公司∈[0，T]|δYt | p'qip'q≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'qip'q（3.11），对于任何p，C=C（p，'q，K·，A）≥ 2.【Z和ψ的稳定性】从（3.10）中，一个具有C=C（K·，A），|δYt |+ZTt |δZr | dr+ZTtZE |Δψr（e）|u（dr，de）≤ |Δξ|+ZTtEFr |δf（r）| dr+ ||δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]dr+CZTt |δYr | | |Δψr | | L（ν）dr-ZTt2δYrδZrdWQr-ZTtZE2δ年-Δψr（e）euQ（dr，de）。对于任何p≥ 应用Burkholder-Davis-Gundy不等式和引理A.3，可以证明存在一些常数C=C（p，K·，A），这样方程ZT |δZr | drpi+EQhZTZE |Δψr（e）|u（dr，de）pi≤ CEQh |Δξ| p+ZTEFr |δf（r）| drp+supr∈[0，T]EFr||δY | | p[0，T]+ ||δY | | p[0，T]i.取\'q≥ q*, 逆H¨older和Doob的极大不等式ZT |δZr | drpip+EQhZTZE |Δψr（e）|u（dr，de）pip公司≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'q+supr∈[0，T]EFr||δY | | p[0，T]‘q+| |δY | | p’≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'q+|'δY'p'q[0，T]ip'q。反向H'older不等式意味着'Z'Hp+|'ψ'JP≤ C||Z | | Hp'q（q）+|ψ| Jp'q（q）.

因此，（3.11）和Lemm a.3的估计给出了| |δY | | Sp+| | |δZ | Hp+| |Δψ| Jp≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp“qip”Q适用于任何p≥ 2和q≥ q*具有一些正常数C=C（p，\'q，K·，A）。我们还有以下关系。引理3.3。在命题3.1中使用的相同条件下，有| |ΔZ | | HBM O+| |Δψ| JBM O≤ C||δY | | S∞+ ||Δξ||∞+ 支持∈TTEFtZTt |δf（r）| dr∞具有一些正常数C=C（K·，A）。例如，见IV.4中的定理48。共【33】页。证据它源自于对[16]引理3.3（a）的简单修改。结合本节的结果，我们得到了唯一性。推论3.1。在假设3.1和3.2下，如果ABSDE（3.1）有一个有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×J，则它是唯一的，对范数S有响应∞×HBMO×JBMO。证据命题3.1暗示了Sp中Y的唯一性，p≥ 2、关节内。这也体现了S的唯一性∞. 如果不是，则存在一些c>0，使得| |δY | | s∞=c、 这意味着对于任何0<b<c，都存在一个严格的正常数a>0 s uch thatP（supt∈[0，T]|δYt |>b）=a。这会产生|δY | pSp>bpa>0，这是一个矛盾。因此，这个评价来自命题3.1和引理3.3。备注3.2。对于二次BSDE，在驱动器f中允许（Z，ψ）的预期分量似乎非常困难。事实上，我们无法得出类似于命题3.1的稳定性结果。这是因为，在将条件期望的概率度量与单个期望对齐后，使用反向H¨older不等式使得相关不等式的左右两侧（| Z |，|ψ|）的幂不同。Y的expectedcomponent是一种例外情况，在这种情况下，我们可以通过简单的事实Yt=EQ[Yt | Ft]删除一个条件期望。请注意，第6节中的非马尔可夫环境也需要命题3.1。

在没有稳定性结果的情况下，使用单调序列的收敛性将是最后的希望。然而，据我们所知，在存在控制变量的预期成分（Z，ψ）的情况下，没有已知的比较原则。4马尔可夫设置中的存在现在让我们提供马尔可夫设置的存在结果。我们为s介绍以下正向过程∈ [0，T]，Xt，xs=x+Zs∨ttb（r、Xt、xr）dr+Zs∨ttσ（r，Xt，xr）dWr+Zs∨ttZEγ（r、Xt、xr-, e） eu（dr，de）（4.1），其中x∈ Rnand b：[0，T]×Rn→ Rn，σ：[0，T]×Rn→ Rn×d，γ：[0，T]×Rn×E→ Rn×kare非随机可测函数。注意Xt，xs≡ x代表s≤ t、 假设4.1。存在一个正常数K，使得（i）| b（t，0）|+|σ（t，0）|≤ K均匀分布在t中∈ [0，T]。（ii）Pki=1 |γi（t，0，e）|≤ K（1∧ |e |）在（t，e）中均匀分布∈ [0，T]×R.（iii）u-ni形式在T中∈ [0，T]，x，x′∈ Rn，e∈ R、 | b（t，x）- b（t，x′）|+|σ（t，x）- σ（t，x′）|≤ K | x- x′|，kXi=1|γi（t，x，e）- γi（t，x′，e）|≤ K（1∧ |e |）| x- x′|。引理4.1。在假设4.1下，对于每个（t，x），存在满足任何（t，x），（t，x′）的唯一解决方案（4.1）∈ [0，T]×r和p≥ 2、（a）Ehsups∈[0，T]| Xt，xs | pi≤ C（1+| x | p）（b）Ehsups≤u≤（s+h）∧T | Xt，xs-Xt，xu | pi≤ C（1+| x | p）h，s∈ [0，T]（c）Ehsups∈[0，T]| Xt，xs- Xt′，x′s | pi≤ C|x个- x′| p+（1+[| x |∨ |x′|]p）| t- t′型|常数C=C（p，K，T）。证据它们是Lips chitz SDE的标准估计值。例如，参见定理4.1.1[9]。对于自包含性，我们在附录B.3中给出了正则性的证明。我们对（Xt，xv）v相关的马尔可夫预期BSDE感兴趣∈[0，T]：Yt，xs=ξ（Xt，Xt）+ZTsr≥tEFrf公司r、 Xt，xr，（Yt，xv）v∈[r，T]，Yt，xr，Zt，xr，ψT，xr博士-ZTsZt，xrdWr-ZTsZEψt，xr（e）eu（dr，de），（4.2），其中f:[0，t]×Rn×D[0，t]×R×R1×D×L（e，ν）→ R和ξ：Rn→ R是非随机可测函数。

注意（Yt，xs，Zt，xs，ψt，xs）≡ （Yt，xt，0，0）用于s≤ t、 假设4.2。（i） 驱动因子f是一个映射，使得对于每个（x，y，z，ψ）∈ Rn×R×R1×d×L（E，ν）和任何c\'adl\'ag F适应过程（Yv）v∈[0，T]，过程EFtf（t，x，（Yv）v∈[t，t]，y，z，ψ），t∈[0，T]是F-逐步可测量的。（ii）对于每个（x，q，y，z，ψ）∈ Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），存在常数β，δ≥ 0，γ>0和一个正的非随机函数l:[0，T]→ R因此-lt公司- δsupv公司∈[t，t]| qv|- β| y |-γ| z|-ZEjγ(-ψ（e））ν（de）≤ ft、 x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ≤ lt+δsupv公司∈[t，t]| qv|+ β| y |+γ| z |+ZEjγ（ψ（e））ν（de）dt-a.e.t∈ [0，T]，其中jγ（u）=γ（eγu- 1.- γu）。（iii）| |ξ（·）||∞, 支持∈[0，T]（lt）<∞.假设4.3。对于每个M>0，以及对于每个（x，q，y，z，ψ），（x′，q′，y′，z′，ψ′）∈ Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）满足| y |，| y′，|ψ| L∞（ν） ，| |ψ′| | L∞（ν） ，supv∈[0，T]| qv |，supv∈[0，T]| q′v |≤M、 存在一些正常数KM（取决于M）和Kξ≥ 0，ρ≥ 0，α∈ （0，1）这样，对于dt-a.e.t∈ [0，T]，o| f（T，x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，x，（q′v）v∈[t，t]，y′，z′，ψ′）|≤ 公里数supv公司∈[t，t]| qv-q′v |+| y- y′|+| |ψ- ψ′| | L（ν）+公里数1+| z |+| z′|+|ψ| L（ν）+|ψ′| L（ν）|z- z′，o| f（t，x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，x′，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）|≤ 公里数1+[| x |∨ |x′|]ρ+| z+|ψ| L（ν）|x个- x′α和ξ（x）- ξ（x′）|≤ Kξ| x- x′|α。提案4.1。在假设4.1、4.2和4.3下，假设存在有界解（Yt，x，Zt，x，ψt，x）∈ S∞×H×J各（t，x）∈ [0，T]×Rn。

那么解是唯一的and（Yt，x，Zt，x，ψt，x）∈ S∞×HBMO×JBMO，标准值由A单独控制=（| |ξ）||∞, 支持∈[0，T]lt，δ，β，γ，T），尤其是独立于（T，x）∈ [0，T]×Rn。此外，如果Yt，xt是（t，x）中的确定性映射，则映射u:[0，t]×Rn→ 由u（t，x）定义：=任何一对（t，x），（t′，x′）的Yt，xtsaties∈ [0，T]×Rn，| u（T，x）- u（t′，x′）|≤ C1+[| x |∨ |x′|]ρ|x个- x′|α+1+[| x |∨ |x′|]α|t型- t′| 2p'q对于任何p，常数C=C（α，ρ，p，\'q，Kξ，K，K·，A）≥ 2和q∈ 【q】*, ∞) 使得αp'q≥ 1，其中q*> 1是由（K·，A）确定的常数。证据第一部分来自艾玛3.1、3.2和推论3.1。让我们假设t′≤ t而不丧失任何通用性。放置δY：=Y，x-Yt′，x′，δf（r）：=1r≥tf（r、Xt、xr、（Yt、xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）- 1r级≥t′f（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）=1r≥t型f（r，Xt，xr，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）- f（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）-1吨\'≤r≤tf（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，Yt，xt，0，0），Δξ=ξ（xt，xt）- ξ（Xt′，x′T）。根据命题3.1，对于任何p≥ 2，q∈ 【q】*, ∞),|u（t，x）- u（t′，x′）|≤ Ehsups公司∈[0，T]| Yt，xs- Yt′，x′s | pip≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'qip'q，C=C（p，'q，K·，A）。L emmas 3.1和3.2的通用边界意味着| | Yt，x | | S∞,||Zt，x | | HBM O，| |ψt，x | | JBM O≤ C，其中一些C=C（A），在（t，x）中均匀分布。因此，可以在假设4.3的整个范围内应用固定Km，前提是选择的M足够大。

其结果如下：efr |δf（r）|≤ 1r级≥tKM公司1个+|Xt，xr |∨ |Xt′，x′r|ρ+| Zt，xr |+|ψt，xr | | L（ν）|Xt，xr-Xt′，x′r |α+1t′≤r≤t型l+δEFr[| | Yt，x | |[r，T]]+β| Yt，xt|.因此，利用Yt，X和Cauchy-Schwartz不等式的边界，可以得到ZTEFr |δf（r）| drp'q2 ip'q≤ CE公司1个+||Xt，x | |[0，T]∨ ||Xt′，x′| |[0，T]2ρp'q+ZT | ZT，xr |+|ψt，xr | | L（ν）dr2p？q2p？q？Eh？Xt，x-Xt′，x′| | 2αp'q[0，T]i2p'q+C'T- t′|。注意，通过能量不等式，以下关系成立：EhZT | ZT，xr |+|ψt，xr | | L（ν）dr2p“qi2p”q≤ C（4.3）参见引理2.2【16】。关于一个简单的证明，请参见引理9.6.5[8]。如果常数C依赖于ly（| | Z | | HBM O，|ψ| JBM O）和p | q。使用引理4.1（a）和（C），可以得到所需的正则性。Δξ的贡献可以类似地计算。备注4.1。在上述命题的条件下，对于每个∈ [0，T]，Yt，xs=Ys，Xt，xss=u（s，Xt，xs）a.s.由于解Yt，x的唯一性。此外，由于函数u i s联合连续，u（s，Xt，xs）s∈[0，T]是c\'adl\'ag F自适应的。因此，[33]第1章定理2暗示，Yt，xs=u（s，Xt，xs）s∈ [0，T]a.s.我们现在引入一系列正则化的预期BSDE，其中m∈ N： Ym，t，xs=ξ（Xt，Xt）+ZTsr≥tEFrfmr、 Xt，xr，（Ym，t，xv）v∈[r，T]，Ym，T，xr，Zm，T，xr，ψm，T，xr博士-ZTsZm、t、xrdWr-ZTsZEψm，t，xr（e）eu（dr，de）（4.4），其中fm定义为：，（r，x，q，y，z，ψ）∈ [0，T]×Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），fmr、 x，（qs）v∈[r，T]，y，z，ψ:= fr、 x，（Дm（qs））v∈[r，T]、Дm（y）、Дm（z）、Дm（ψo ζm）. （4.5）这里，我们使用了一个简单的截断函数Дm（x）：=-m代表x≤ -mx表示| x |≤ x为毫米≥ mand a cuto off函数ψo ζm（e）：=ψ（e）1 | e|≥1/m，wh ich适用于z，ψ的分量。引理4.2。假设驱动因素f满足假设4.2和4.3。然后，（fm）m∈Nalso统一满足假设4.2和4.3，单位为m∈ N、 此外，对于每m∈ N、 驾驶员fmis a.e。