具有跳跃和二次指数增长的预期后向SDE

通过选择h s mall enough使Chp<1，它成为一个严格的控制，因此（Ym、nv、v∈ [T- h、 T]）n≥1在Sp[T]中形成一个连续序列- h、 T）]。通过提取适当的子序列（n′） （n） ，一个有| |δYm，n′| | S∞[T-h、 T]→ 0as n′型→ ∞. 将伊藤公式应用于（δYm，n′）并重复定理4.1中证明的最后部分中使用的相同步骤，可以证明（Ym，Zm，ψm）∈ （S）∞×HBMO×JBMO）[T-h、 T]，（Ym，n′，Zm，n′，ψm，n′）→ （Ym，Zm，Sm）和（Ymv，Zmv，ψmv）v∈[T-h、 T]求解[T]期间的ABSDE（6.1- h、 T）]。现在，让我们替换（Ym，n，Zm，n，ψm，n）n∈Nby（Ym，Zm，ψm）（ω，s）∈ Ohm ×[T-h、 T]in（6.2）。那么对于t≤ T- h、 我们有ym，nt=YmT- h+ZT- htEFrfm公司r、 （Ym，n-1v）v∈[r，T]，Ym，nr，Zm，nr，ψm，nr博士-ZT公司- htZm，nrdWr-ZT公司- htZEψm，nr（e）eu（dr，de）。命题3.1在数据（YmT）中的应用- h、 f），（YmT- h、 f）收益率，Ehsupt∈[T-2h，T-h] |δYm，n+1 | pi≤ CEh公司ZT公司- hT公司- 2hEFr |δf（r）| drpi≤ ChpEhsupt公司∈[T-2h，T]|δYm，nt | pi=ChpEhsupt∈[T-2h，T-h] |δYm，nt | Pi其中事实Ym，ns=Yms，s∈ [T- h、 T]用于第二行。因此，可以将解推广到周期[T-2h，T-h] 按照上一步中使用的相同步骤。由于系数C可以独立于特定时段，因此整个时段[0，T]可以由一定数量的分区覆盖。注意，从命题3.1的证明中可以看出，系数C依赖于ds，取决于终值ξ的本质上确界||∞仅通过局部Lipsch-itz常数Km和控制Mas的泛界以及反向H¨older不等式的系数。因此出现了新的终端值YmT- HDO不会改变系数C的大小。

这证明了（6.1）对于每个m.6.2比较原则存在有界解。为了完整性，我们在本节的其余部分给出了比较原则适用的充分条件。在非预期设置中，即当（Yv）v没有未来路径依赖性时∈[0，T]在驱动因子f中，已知n在存在AΓ-条件的情况下，二次指数增长BSDE的比较原理成立（见引理D.1）。对于当前的预期设置，我们需要一个与[32]第5.1节中使用的假设相同的附加假设。把这两个缺席和我∈ {1，2}，Yit=ξi+ztteffir、 （一）五∈[r，T]，Yir，Zir，ψir博士-ZTtZirdWr-t的ZTtZEψir（e）eu（dr，de）∈ [0，T]。定理6.2。假设数据（ξi，fi）1≤我≤2满足假设3.1、3.2和6.1。此外，fis在（qv）v中增加∈[0，T]，即f（r，（qv）v∈[r，T]，y，z，ψ）≤ f（r，（q′v）v∈[r，T]，y，z，ψ）对于（6.1）解的唯一性的每一个阶，注释4.3中使用的相同参数保证上述收敛实际上发生在整个序列（n）中。（r，y，z，ψ）∈ [0，T]×R×R1×d×L（E，ν）和q，q′∈ D[0，T]，如果qv≤ q′vv∈ [r，T]。Ifξ≤ ξa.s.和f（r，（qv）v∈[r，T]，y，z，ψ）≤ f（r，（qv）v∈[r，T]，y，z，ψ）dP dr-a.e.for every（q，y，z，ψ）∈ D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），然后是Yt≤ 年初至今t型∈ [0，T]a.s.证明。首先，让我们正则化驱动器fby f′，定义为，对于每个（r，q，y，z，ψ），f′（r，（qv）r∈[t，t]，y，z，ψ）：=fr、 （Иm（qv））v∈[r，T]，y，z，ψ（6.3）某些截断水平m满足m>（| | Y | | S）∞∨ ||Y | | S∞). 考虑一系列n为的非预期BSDE∈ N byY2，nt=ξ+zttefref′r、 （Y2，n-1v）v∈[r，T]，Y2，nr，Z2，nr，ψ2，nr博士-ZTtZ2，nrdWr-ZTtZEψ2，nr（e）eu（dr，de），t∈ [0，T]（6.4）条件Y2,0=Y。

通过定理6.1的证明，存在h>0，使得（Y2，n，Z2，n，ψ2，n）→ S中的（Y，Z，ψ）∞×HBMO×JBMOas n→ ∞ 本期【T】-h、 T）]。注意，至少对于较大的en ou gh n，约束φm（·）变得被动。首先，让我们关注周期[T-h、 T）]。Setef（r，y，z，ψ）=EFrf（r，（Yv）v∈[r，T]，y，z，ψ）andef（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Yv）v∈[r，T]，y，z，ψ）=EFrf（r，（Yv）v∈[r，T]，y，z，ψ）。应用引理D.1，得到Yt=Y2,0t≤ Y2,1tt型∈ [T-h、 T]a.s.然后使用新的定义f（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Y2,0v）v∈[r，T]，y，z，ψ），ef（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Y2,1v）v∈[r，T]，y，z，ψ），以及d河在q中增加的水量∈ D[0，T]，引理D.1产生Y2,1t≤Y2,2t型∈ [T-h、 也就是说，通过重复相同的论点，我们可以看到Yt≤ Y2，n-1吨≤ Y2，ntt型∈[T- h、 永远的a.s.是的∈ N、 从Y2开始，Nconverge到Yin S∞[T- h、 T]，一个结论y≤ 年初至今t型∈ [T- h、 T]a.s.现在让我们用Y2代替ntby YT∈ [T- h、 T]in（6.4），并考虑一系列非预期的BSDE n∈ NY2，nt=YT- h+ZT- htEFrf′型r、 （Y2，n-1v）v∈[r，T]，Y2，nr，Z2，nr，ψ2，nr博士-ZT公司- htZ2，nrdWr-ZT公司- 初始条件为Y2,0t=（Yt，t）的htZEψ2，nr（e）eu（dr，de）∈ [0，T- h） Yt，t∈ [T- h、 T]对于下一个短期T∈ [T-2h，T-h] 。根据上一步的结果，一个是Yt≤ Y2,0吨t型∈ [T-2h，T]a.s.现在，让我们设定ef（r，y，z，ψ）=EFrf（r，（Yv）v∈[r，T]，y，z，ψ），ef（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Y2,0v）v∈[r，T]，y，z，ψ），其中后者等于EFrf（r，（Y2,0v）v∈[r，T]，y，z，ψ）。将引理D.1应用于数据（YT- h、 ef），（YT- h、 ef），一个获得Yt≤ Y2,1tt型∈ [T- 2h，T- h] 自Y2起，1t=YT∈ [T- h、 T]，一个结论是Yt≤ Y2,0吨≤ Y2,1tt型∈ [T- 2h，T]a.s.类似地，应用引理D.1，其中ef（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Y2，n-2v）v∈[r，T]，y，z，ψ），ef（r，y，z，ψ）=EFrf′（r，（Y2，n-1v）v∈[r，T]，y，z，ψ）得到Y2，n-1吨≤ Y2，ntt型∈ [T-2h，T]a.s.永远是n≥ 2.

正如在上一步中，定理6.1的证明意味着Y2，n→ 尹S∞[T-2h，T-h] 。自y2起，对于t，nt=y∈ [T- h、 通过构造，一个实际上有Y2，n→ 尹S∞[T- 2h，T]。因此，Yt≤ 年初至今t型∈ [T- 2h，T]a.s.重复相同的程序无数次，即可获得所需的结果。一些初步结果提醒我们BMO鞅的一些重要性质。对于我们的pur姿势，只需关注连续的姿势。当Z∈ HBMO，M·：=R·ZrdWris一个连续的BMOmartingale，具有| | M | | BMO=| | Z | | HBM O.引理a.1（反向H¨older不等式）。设M是连续BMO鞅。然后，Dol’es Dade指数Et（M），t∈ [0，T]是一致可积鞅，且在每个停止时间τ之前∈ TT，存在一些r>1，使得E[ET（M）r | Fτ]≤ CEτ（M）rw，某些正常数C=C（r，| | M | BMO）。证据参见Kazamaki（1979）[19]，以及Kazamaki（1994）[20]的备注3.1。引理A.2。设M为平方可积连续鞅，且^M：=hMi- M、 那么，M∈ BMO（P）当且仅当^M∈ BMO（Q），dQ/dP=ET（M）。此外，| | M | | BMO（Q）由| M | | BMO（P）的某些函数确定，反之亦然。证据参见【20】中的定理3.3和定理2.4。备注A.1。对于连续鞅，定理3.1[20]还指出存在一些递减函数Φ（r），Φ（1+）=∞ 和Φ(∞) = 如果| | | | | BMO（P）满足| | M | | BMO（P）<Φ（r），则E（M）满足具有幂r的反比H¨older不等式。这意味着与引理A.2一起，可以取一个公共的正常数r满足1<r≤ r*使得E（M）和E（^M）在各自的概率测度P和Q下都满足幂r的逆H¨older不等式*仅由| | M | | BMO（P）确定（或由| | M | | BMO（Q）等价确定）。让我们也提醒一下以下结果。引理A.3。

（第1章，第9节，引理6[24]）对于任何ψ∈ JP和p≥ 2，存在一些常数C=C（p），使得ehZTZE |ψr（e）|ν（de）drpi≤ CEh公司ZTZE |ψr（e）|u（dr，de）pi。引理A.4。（Bichteler、Gravereaux和Jacod的Le mma 5-1（1987）[5]）Letη：R→ R由η（e）=1定义∧ |e |。那么，对于p≥ 2，在p，T，n，k上存在一个常数δpdepe nding that“supt∈[0，T]ZtZEU（s，e）eu（ds，de）p#≤ δpZTE | Ls | pdsif U是Rn×k值P E-可测量功能开启Ohm ×[0，T]×E和L是一个满足| Ui·（ω，s，E）|的可预测过程≤ Ls（ω）η（e），每列1≤ 我≤ k、 B正文中省略了技术细节在正文中，我们省略了一些技术细节，以避免中断正文。在本节中，为了完整起见，让我们给出省略的细节。B、 引理证明的细节3.1根据假设，我们有Y∈ S∞. 自| |ψ| | J起∞≤ 2 | | Y | | S∞, ψ有界。对于任意F-停止时间τ，Ito公式适用于e2γyT产量∈ TT，EFτZTτe2γYs2γ| Zs | ds+ZTτZEe2γYs（eγψs（e）- 1） ν（de）ds= EFτe2γYT- e2γYτ+2γZTτe2γYsEFsfs、 （Yv）v∈[s，T]，Ys，Zs，ψs-ZEjγ（ψs（e））ν（de）ds公司≤ EFτe2γYT- e2γYτ+2γZTτe2γYsls+δ| | Y | |[s，T]+β| Ys |+γ| Zs|ds公司其中，假设3.1中的结构条件用于第三行。

然后它屈服于τZTτe2γYsγ| Zs | ds+ZTτZEe2γYs（eγψs（e）- 1） ν（de）ds≤ e2γ| | Y | S∞+ 2γe2γ| | Y | S∞T||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞.自e起-2γ| | Y | S∞≤ e±2γY≤ e2γ| | Y | S∞,EFτZTτγ| Zs | ds+ZTτZE（eγψs（e）- 1） ν（de）ds≤ e4γ| | Y | | S∞+ 2γe4γ| | Y | S∞T||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞.特别是，这将导致| | Z | | HBM O上的所需边界。在e上重复相同的计算-2γYt，一个得到下一个估计值：EFτZTτγ| Zs | ds+ZTτZE（e-γψs（e）- 1） ν（de）ds≤ e4γ| | Y | | S∞+ 2γe4γ| | Y | S∞T||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞.注意到以下事实（例如- 1） +（e-x个- （1）≥ x，x个∈ R、 获得| |ψ| | JB≤e4γ| | Y | | S∞γ2+4γT||l | | S∞+ （β+γ）| | Y | | S∞.最后，关系式| |ψ| | JBM O≤ ||ψ| | JB+| |ψ| | J∞≤ ||ψ| | JB+4 | | Y | | S∞使用（3.3）证明（3.4）的| |ψ| | JBM O.B.2推导的期望估计，一个getsdPt=Pt-γdeβt | Yt |+中兴通讯βrlr+δEFrsupv∈[r，T]| Yv|博士+ Ptγ| eβtsign（Yt）Zt | dt+Pt-ZE公司eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)-1.- γeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）=Pt-ZE公司eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- 1.- γeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）+Ptγ| eβtsign（Yt）Zt | dt+Pt-γeβt信号（Yt）ZtdWt+ZEeβt信号（Yt-)ψt（e）eu（dt，de）-ZEjγeβtsign（Yt）ψt（e）ν（de）dt-γ| eβtsign（Yt）Zt | dt+dCt.分离dC′（3.5）中包含的项，并取消| Z |项，在e上获得dpt=Pt-γdCt+ZEeγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- eγeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）+Pt公司-ZE公司eγeβt信号（Yt-)ψt（e）-1.- γeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）+Pt-γeβt信号（Yt）ZtdWt+ZEeβt信号（Yt-)ψt（e）eu（dt，de）-ZEjγeβtsign（Yt）ψt（e）ν（de）dt.请注意，第二行括号内的项等于γjγeβt信号（Yt-)ψt（e）,然后yieldsdPt=Pt-dC′t+Pt-ZEγjγeβt信号（Yt-)ψt（e）eu（dt，de）+Pt-γeβtsign（Yt）ZtdWt+ZEγeβtsign（Yt-)ψt（e）eu（dt，de）.使用jγ（·）的定义，可以得到所需的表达式（3.4）。B、 引理的证明4.1唯一解Xt，x的存在性∈ Sp，p≥ 2和（t，x）∈ [0，T]×Rn因Lipschitz SDE和跳跃而闻名。

因此，我们仅提供以下r相关连续体的证明。（a） 对于任何s∈ [t，t]和p≥ 2，BDG不等式yieldsE[| Xt，xs | p]≤ CEn | x | p+Zst | b（r、Xt、xr）| drp+Zst |σ（r，Xt，xr）| drp+supu∈[t，s]ZutZE |γ（r、Xt、xr-, e） | eu（dr，de）每个1的位置≤ 我≤ k、 我们有|γi（r，Xt，xr-, e） |≤ K（1+| Xt，xr-|)η（e）根据假设4.1（ii）和（iii）。由引理A.4和Lipschitz连续性得出，E[| Xt，xs |]≤ C（1+| x | p）+CZstE[| Xt，xr | p]dran因此Gronwall不等式给出了SUP∈[t，t]E[| Xt，xs | p]≤ C（1+| x | p）。注意到Xt，xs≡ x f或s≤ 再次应用BDG不等式，得到∈[0，T]| Xt，xs | pi≤ C（1+| x | p）。（b） 让我们假设t≤ s≤ u≤ s+h。s<t的情况也可以通过u singXt，xs来完成≡ x f或s≤ t、 自下一页起，徐-Xt，xs=Zusb（r，Xt，xr）dr+Zusσ（r，Xt，xr）dWr+ZusZEγ（r，Xt，xr-)eu（dr，de）。利用BDG不等式、引理A.4和结果（A），可以得到sehsupu∈[s，s+h]| Xt，xu- Xt，xs | pi≤ C1+Ehsupr∈[t，t]| Xt，xr | p | ih类≤ C（1+| x | p）h给出所需结果。（c） 在不丧失一般性的情况下，我们假设0≤ t′型≤ t型≤ T我们将问题分为三种情况，关于s的范围。首先，我们显然有sup0≤s≤t′| Xt，xs- Xt′，x′s | p≤ |x个- 第二，让我们考虑一下支持≤s≤t | Xt，xs- Xt′，x′s | p=E supt′≤s≤t | x- Xt′，x′s | p≤ CE s upt\'≤s≤t型|x′-Xt′，x′s | p+| x- x′| p≤ C|x个- x′| p+（1+| x′| p）| t- t′型|其中，在上一个不等式中，我们使用了结果（b）。最后，我们考虑案例s≥ t。

注意Xt′，x′s=Xt′，x′t+Zstb（r，Xt′，x′r）dr+Zstσ（r，Xt′，x′r）dWr+ZstZEγ（r，Xt′，x′r-, e） eu（dr，de）和henceXt，xs- Xt′，x′s=x- x′- （Xt′，x′t- x′）+Zst[b（r，Xt，xr）- b（r，Xt′，x′r）]dr+Zst[σ（r，Xt，xr）- σ（r，Xt′，x′r）]dWr+ZstZE[γ（r，Xt，xr-, e）- γ（r，Xt′，x′r-, e） ]eu（dr，de）。应用BDG不等式和引理A.4，得到一个∈[t，t]| Xt，xs- Xt′，x′s | pi≤ CEn | x- x′| p+| Xt′，x′t- x′| p+ZTt | b（r、Xt、xr）- b（r，Xt′，x′r）| drp+ZTt |σ（r、Xt、xr）- σ（r，Xt′，x′r）| drp/2+ZTt | Xt，xr- Xt′，x′r | pdro≤ C（| x- x′| p+（1+| x′| p）| t- t′）+CZTtEhsups∈[r，T]| Xt，xs- Xt′，x′s | pidrwhere，在最后一个不等式中，使用了结果（b）。利用后向Gronwall不等式，可以得到sehsups∈[t，t]| Xt，xs- Xt′，x′s | pi≤ C（| x- x′| p+（1+| x′| p）| t- t′|）。将上述三种情况相加，并撇开t，t′的作用，可以得到一般的HSUPS∈[0，T]| Xt，xs- Xt′，x′s | pi≤ C|x个- x′p+（1+（| x |）∨ |x′|）p）| t- t′型|.许多作者研究了全局Lipschitz条件下Lipschitz情形下BSDE的存在唯一性结果。我们的设置与标准设置略有不同，尤其是在终端条件下，以及驱动程序的连续性根据路径的统一性而不是L[0，T]-范数定义的点。为了方便读者，我们在特定的设置下提供了一个证明。它仅限于与我们的目的相关的最简单形式。我们可以很容易地将其推广到具有未来（Z，ψ）依赖性的多维设置（参见[28]等）。让我们考虑一下t的缺席∈ [0，T]Yt=ξ+zttefrefr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr博士-ZTtZrdWr-ZTtZEψr（e）eu（dr，de）（C.1），其中f：Ohm ×[0，T]×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）→ R和ξ是一个FT可测量的随机变量。假设C.1。

（i）驱动器f是一个映射，使得对于每个（y，z，ψ）∈ R×R1×d×L（E，ν）和任何c\'adl\'ag F适应过程（Yv）v∈[0，T]，过程EFtf（t，（Yv）v∈[t，t]，y，z，ψ），t∈[0，T]可逐步测量。（ii）对于每个（q，y，z，ψ），（q′，y′，z′，ψ′）∈ D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），存在一些正常数K，使得ft、 （qv）v∈[t，t]，y，z，ψ- ft、 （q′v）v∈[t，t]，y′，z′，ψ′≤ Ksupv公司∈[t，t]| qv- q′v |+| y- y′|+| z- z′|+| |ψ- ψ′| | L（ν）数据处理 dt-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。（iii）Eh |ξ|+RT | f（r，0，0，0，0）| dri<∞.提案C.1。在假设C.1下，存在唯一解（Y，Z，ψ）∈ S×H×JT至ABSDE（C.1）。证据我们通过构造一个严格收缩映射Φ：K[0，T] （Yk，Zk，ψk）7→Φ（Yk，Zk，ψk）=：（Yk+1，Zk+1，ψk+1）∈ K[0，T]由yk+1t=ξ+ztterf定义r、 （Ykv）v∈[r，T]，Ykr，Zkr，ψkr博士-ZTtZk+1rdWr-ZTtZEψk+1r（e）eu（dr，de）带k∈ Nand（Y，Z，ψ）≡ （0，0，0）。很容易看出，这张地图已经画好了。设δYk+1：=Yk+1- Yk，δZk+1：=Zk+1- Zk，Δψk+1：=ψk+1- ψk，Θk：=（Yk，Zk，ψk）。我们认为范数|·····················································································································································<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>∈[0，T]| eβrYr | i+EZT | eβrZr | dr+EZT | eβrψr | L（ν）dr。将Ito公式应用于e2βt |δYk+1t |，可以得到任何t∈ [0，T]e2βT |δYk+1t |+ZTte2βr |δZk+1r | dr+ZTtZEe2βr |Δψk+1r（e）|u（dr，de）=ZTte2βr2δYk+1rEFrf（r，（Ykv）v∈[r，T]，Θkr）- f（r，（Yk-1v）v∈[r，T]，Θk-1r）- 2β|δYk+1r|博士-ZTte2βr2δYk+1rδZk+1rdWr-ZTtZEe2βr2δYk+1r-Δψk+1r（e）eu（dr，de）。（C.2）对于任何>0，一个有2δYk+1 refrf（r，（Ykv）v∈[r，T]，Θkr）- f（r，（Yk-1v）v∈[r，T]，Θk-1r）-2β|δYk+1r|≤ 2K |δYk+1r|2EFr||δYk | |[r，T]+ |δZkr |+| |Δψkr | | L（ν）- 2β|δYk+1r|≤6K- 2β|δYk+1r |+EFr公司||δYk | |[r，T]+ |δZkr |+| |Δψkr | | L（ν）.因此，选择β=β（）=3K/，并以t=0的期望值得出| eβ·δZk+1 | H+| eβ·Δψk+1 | J≤ T | eβ·δYk | S+| eβ·δZk | H+| eβ·δψk | J.

（C.3）接下来，让我们将BDG不等式（见[33]IV.4中的定理48）应用于（C.2）。然后存在一些常数C，使得eh | | eβ·δYk+1 | |[0，T]i≤ T | eβ·δYk | S+| eβ·δZk | H+| eβ·δψk | J+CEh公司ZT | eβrδYk+1r | eβrδZk+1r | dri+CEhZTZE | eβrδYk+1r-||eβrΔψk+1r（e）|u（dr，de）我≤ T | eβ·δYk | S+| eβ·δZk | H+| eβ·δψk | J+Eh | | eβ·δYk+1 | |[0，T]i+C||eβ·δZk+1 | | H+| eβ·δψk+1 | | J.因此，对于某些常数C（与，β无关），| eβ·δYk+1 | S≤ 2T | eβ·δYk | S+| eβ·δZk | H+| eβ·δψk | J+C||eβ·δZk+1 | | H+| eβ·δψk+1 | | J.结合（C.3），可以得到（δYk+1，δZk+1，δψk+1）Kβ（）≤ （C+3）（T）∨ （1）（δYk，δZk，δψk）Kβ（），因此通过选择使（C+3）（T∨ 1） <1（和β（）相应地）使mapΦstr相对于范数Kβ（）收缩。这证明了存在性和唯一性。D非预期设置的比较原则考虑两个BS DEs，i={1，2}，Yit=ξi+ZTtefi（r，Yir，Zir，ψir）dr-ZTtZirdWr-t的ZTtZEψir（e）eu（dr，de）（D.1）∈ [0，T]。引理D.1。假设（ξ，efi）1≤我≤2满足[16]中的假设3.1、3.2和4.1，这些假设分别对应于当前论文的假设3.1、3.2和6.1，而不依赖于Y的未来路径。Ifξ≤ ξa.s.andef（r，y，z，ψ）≤ef（r，y，z，ψ）dP dr-a.e.预测（y，z，ψ）∈ R×R1×d×L（E，ν），然后是Yt≤ 年初至今t型∈ [0，T]a.s.证明。我们可以用与[35]定理2.5相同的方法来证明它。根据定理4.1【16】，存在唯一解（Yi，Zi，ψi）1≤我≤2.∈ S∞×HBMO×JBMOto满足通用边界条件的BSDE（D.1）。让我们pu tδY：=Y- Y、 δZ：=Z- Z、 Δψ：=ψ-ψ、 δef（r）：=（ef-ef）（r，Yr，Zr，ψr）。