具有跳跃和二次指数增长的预期后向SDE

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英文标题：
《Anticipated Backward SDEs with Jumps and quadratic-exponential growth
  drivers》
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作者：
Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study a class of Anticipated Backward Stochastic Differential Equations (ABSDE) with jumps. The solution of the ABSDE is a triple $(Y,Z,\\psi)$ where $Y$ is a semimartingale, and $(Z,\\psi)$ are the diffusion and jump coefficients. We allow the driver of the ABSDE to have linear growth on the uniform norm of $Y$\'s future paths, as well as quadratic and exponential growth on the spot values of $(Z,\\psi)$, respectively. The existence of the unique solution is proved for Markovian and non-Markovian settings with different structural assumptions on the driver. In the former case, some regularities on $(Z,\\psi)$ with respect to the forward process are also obtained.
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中文摘要：
本文研究了一类带跳的预期倒向随机微分方程（ABSDE）。ABSDE的解是三元$（Y，Z，psi）$，其中$Y$是半鞅，$（Z，psi）$是扩散系数和跳跃系数。我们允许ABSDE的驱动因素在$Y$的未来路径的统一范数上具有线性增长，以及在$（Z，\\ psi）$的现货值上具有二次和指数增长。在不同的驱动结构假设下，证明了马尔可夫和非马尔可夫环境下唯一解的存在性。在前一种情况下，还得到了$（Z，，，psi）$上关于向前过程的一些正则性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Anticipated_Backward_SDEs_with_Jumps_and_quadratic-exponential_growth_drivers.pdf (397.87 KB)

2022-5-31 11:51:20 上传

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关键词：SDE Mathematical Quantitative coefficients Differential

具有跳跃和二次指数增长驱动的预期后向SDE*Fujii Masaaki+&Akihiko Takahashi此版本：2018年7月9日摘要在本文中，我们研究了一类带跳跃的预期向后随机微分方程（ABSDE）。ABSDE的解是一个三元组（Y，Z，ψ），其中yi是一个半鞅，（Z，ψ）是扩散系数和跳跃系数。我们允许ABSDE的驱动器在Y的未来路径的一致范数上具有线性增长，以及在（Z，ψ）的现场值上分别具有二次和指数增长。对于马尔可夫和非马尔可夫环境，在驱动因素的不同结构假设下，证明了唯一解的存在性。在前一种情况下，还得到了（Z，ψ）上关于前向过程的一些规律。关键词：预测平均场类型、时间推进、二次增长、未来路径依赖驱动因素、ABSDE1简介作为分析一般控制问题、非线性偏微分方程以及许多新出现的社会问题的强大概率工具，自Bibi t（1973）[6]和Pardoux&Peng（1990）[30]的开创性工作以来，反向随机微分方程（BSDE）吸引了大量的研究兴趣。最近，Peng&Yang（2009）[32]引入了一种新的类别，即所谓的预期（或时间高级）BSDE，其中，博士取决于对解决方案未来路径的有条件预期。它们最初是在处理时滞系统的最优控制问题时作为伴随过程出现的。此后，许多作者研究了各种概括：Oksendal等人。

（2011）[28]研究了带跳跃的延迟系统的控制问题，Pamen（2015）[29]一个带延迟的随机微分博弈，Xu（2011）[37]，Yang&Elliott（2013）[36]研究了比较原理的一些推广和条件。Jeanblac等人（2016）[18]研究了在过滤逐步扩大的情况下预期的BSDE。由于一系列新的法规（尤其是独立金额的保证金规则），预计BSDE对金融应用的重要性在未来几年可能会增加。他们要求财务公司根据预期的未来最大损失调整抵押品（或资本）金额，*被《随机与动力学》杂志接受出版。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。+东京大学经济研究生院定量金融课程。mfujii@e.utokyo.ac.jp东京大学经济研究生院定量金融课程。akihikot@e.utokyo.ac.jpexposure或按市价计价的可变性，这自然使BSDE定价的驱动因素取决于投资组合价值的预期未来路径。在本文中，我们对具有跳跃和二次指数增长驱动的预期BSDE感兴趣。虽然Lipschitz ABSDEs的性质已经很好地确定，但具有二次生长发生器的ABSDEs尚未出现在文献中。除了纯粹的数学兴趣之外，二次增长（跳跃出现时的指数增长）BS DEs还有许多应用。

特别是，它们出现在具有指数或幂效用函数的效用优化和相关无差异估值的背景下，或与熵风险度量的风险最小化相关的问题中。它们也出现在Epstein&Zin（1989）[12]提出的一类递归效用中，投资者会惩罚价值函数的方差。他们的模型及其变体在经济理论中有许多应用。一旦投资者将成本或收益分配给未来路径的预期价值，由于新的金融法规，这看起来几乎是不可避免的，由此产生的递归效用（对应于关联BSDE的驱动因素）开始涉及预期组件。在这项工作中，我们用以下形式的跳跃来处理预期的BSDE：Yt=ξ+ztterfr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr博士-ZTtZrdWr-ZTtZEψr（e）eu（dr，de），其中驱动器f（t，·）允许在supv中线性增长∈[t，t]| Yv |，zt的二次型和跳跃系数ψt的指数增长。这将是理解包含预期成分的非Lipschitz生成器的一般问题及其对上述各种问题的应用所必需的第一步。对于具有二次增长驱动力的（非预期）BSDE，Kobylanski（2000）[23]首次提出了br eakthrou GHDE，随后许多研究人员对其进行了推广和应用。特别是，Becherer（2006）[4]、Morlais（2010）[25]、Ngoupeyou（2010）[27]、Cohen&Elliott（2015）[7]、Kazi Taniet al.（2015）[21]、Antonelli&Mancini（2016）[1]、El Karoui et al.（2016）[10]和Fujii&Takahashi（2017）[16]以不同的概括性对j UMP的存在进行了研究。

一个重要的常用工具是所谓的daΓ-条件[2，35]，它是使比较原理在存在跳跃的情况下保持不变所必需的，然后用于创建正则化bsde的单调序列。虽然已知一个Γ-条件适用于指数效用优化的设置【25】，但它具有相当大的限制性，事实上，比局部Lipschitz连续性更强。此外，在预期的设置中，即使满足AΓ-条件，比较原则通常也不适用。虽然定点方法[7，21]至少对于较小的终值不依赖于比较原则，但它需要驱动程序的二阶可微性，这在存在一般路径依赖的情况下很难建立。在本文中，我们首先扩展了[3，10]的二次指数结构条件，以允许对Y的未来路径的依赖，然后在一般有界终端条件下导出（Y，Z，ψ）的普适界。然后使用该边界证明了一般非马尔可夫环境下的稳定性结果。在马尔可夫环境下，该稳定性结果导致了由u（t，x）=Yt，xt定义的确定性映射的紧性结果，从而允许我们证明在没有AΓ-条件的情况下解的存在性。它还提供了（Z，ψ）上关于正演过程的一些规律。作为副产品，它使得在[16]第6节研究的马尔可夫环境下，二次指数增长（非预期）BSDE的存在性、唯一性和Malliavin可微性不需要aΓ-条件。对于非马尔可夫环境，我们重新引入了aΓ-条件，并利用我们在[16]中之前的结果来证明唯一解的存在性。

我们还可以给出一个充分的条件，使比较原理成立。2准备工作2.1一般设置让我们首先说明本文中使用的一般设置。T>0是某个有界时间范围。空间(OhmW、 FW，PW）是具有维纳测度PW的d维布朗运动的通常正则空间。我们还表示(Ohmu，Fu，Pu）作为正则空间的乘积Ohmu：=Ohmu×···×Ohmku，Fu：=Fu×····×Fku和Pu×····×Pku，具有一些常数k∈ N、 其中每个uiis是一个具有补偿器νi（de）dt的泊松测度。这里，νi（de）是R=R{0}满足rr | e |νi（de）<∞.为了符号的简单性，我们写（E，E）：=（Rk，B（R）k）。在本文中，我们研究了过滤概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P），其中(Ohm, F、 P）是正则空间的乘积(OhmW×Ohmu，FW×Fu，PW×Pu），过滤F=（Ft）t∈[0，T]是P的标准过滤，满足通常条件。在这种结构中，（W，u，···，uk）是独立的。我们使用向量表示法u（ω，dt，de）：=（u（ω，dt，de），···，uk（ω，dt，dek）），并将补偿泊松度量表示为eu：=u-ν。F-可预测σ-现场Ohm ×[0，T]用P表示。众所周知，可预测r表示的弱属性在这种设置中成立（参见第十三章示例[17]）。2.2符号我们用C表示一个通用常数，它可以逐行改变。当常数d仅在p参数（a，b，C，····）上结束时，我们写C=C（a，b，C，····）。TTS记录Fstopping时间τ：Ohm → [s，t]。我们表示关于Ftby EFt[·]或E[·| Ft]的条件期望。在概率测度Q不同于P的情况下，我们明确表示它，例如，用EQFt[·]表示。有时我们使用缩写| | x | |[s，t]：=supv∈[s，t]| xv |和Θv：=（Yv，Zv，ψv）。我们将介绍以下空间。

p∈ N假设为p≥ 2.oD[s，t]是实值c ` adl ` ag函数（qv）v的集合∈[s，t]。oSp[s，t]是实数（或向量）值c\'adl\'ag F-适应过程（Xv）v的集合∈[s，t]使得| | X | | Sp[s，t]：=Esupv公司∈[s，t]| Xv | pp<∞.o S∞[s，t]是实数（或向量）值c\'adl\'ag F-适应过程集（Xv）v∈本质上是有界的，即| | X | | s∞[s，t]：=supv公司∈[s，t]| Xv|∞< ∞.这里，| | x||∞:= inf公司c∈ RP（{| x |）≤ c} ）=1.o Hp[s，t]是一组渐进可测的实值（或向量）过程（Zv）v∈[s，t]这样| | Z | | Hp[s，t]：=EhZts | Zv | dvpip<∞.o L（E，ν）（或简称L（ν））是k维向量值函数ψ=（ψi）1的集合≤我≤k每个分量ψi:R→ R是B（R）-可测且| |ψ| L（E，ν）：=kXi=1ZR |ψi（e）|νi（de）< ∞.o L∞（E，ν）（或简称L∞（ν） ）是函数组ψ=（ψi）1≤我≤对于每个组件ψi:R→ R是B（R）-可测且有界的νi（de）-a.e。

具有s标准本质上确界范数。oJp[s，t]是函数组ψ=（ψi）1≤我≤kwithψi：Ohm ×【s，t】×R→ R为PB（R）可测（或者我们简单地说ψ是P E-可测量）并满足| |ψ| Jp[s，t]：=EhkXi=1ZtsZR |ψiv（e）|νi（de）dvpip<∞.o 我们用范数| |（Y，Z，ψ）| Kp[s，t]=Sp[s，t]×Hp[s，t]×Jp[s，t]，Kp[s，t]：=| | Y | Sp[s，t]+| Z | Hp[s，t]+|ψ| | Jp[s，t]。为了符号的简单性，下面我们写下Eztszeψr（e）eu（dr，de）：=kXi=1ZtsZRψir（e）eui（dr，de），并使用类似的缩写来表示（u，ν）=（ui，νi）1的积分≤我≤k、 oJ∞[s，t]是P的集合 E-可测函数ψ=（ψi）1≤我≤K相对于测度dP有界 ν（de） dt即| |ψ| | J∞[s，t]：=ess supv∈[s，t]| |ψv | | L∞（E，ν）∞< ∞.o HBMO[s，t]是实值（或向量）渐进可测过程（Zv）v的集合∈[s，t]使得| | Z | | HBM O[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτ| Zr | dri∞< ∞.o JB[s，t]是P的集合E-可测函数，使得| |ψ| | JB[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτZE |ψr（e）|ν（de）dri∞< ∞.o JBMO[s，t]是P的集合 E-可测函数，使得| |ψ| | JBM O[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτZE |ψr（e）|ν（de）dri+(Mτ）∞< ∞,哪里Mτ：=REψτ（e）u（{τ}，de）。关于带跳的BMO鞅的详细信息，请参见[16]第2.3节及其参考文献。如果从上下文看很明显，我们经常省略[s，t]。2.3跳跃规范J之间的一些关系∞, JB，JBMOBy，通过对[26]中推论1的简单改编，我们得到了下一个引理。引理2.1。设ψ在J[0，T]中，定义一个平方可积的纯ju-mp鞅（Mt）T∈[0，T]乘以Mt：=RtREψs（e）eu（ds，de）。跳跃时间t的M由下式给出Mt：=Mt- Mt公司-=ZEψt（e）u（{t}，de）。（2.1）则以下两个条件相等：（1）| |ψ| | J∞[0，T]是有限的。（2） supτ∈TT||Mτ||∞是有限的。此外，当上述两个量存在时，即| |ψ| | J时，它们是重合的∞= supτ∈TT||Mτ||∞.证据（1）=> （2） 。

设ψ∈ J[0，T]∩ J∞[0，T]。通过构造，仅泊松测度u（dt，de）的跳跃时间有助于|M |。因为u（dt，de）的密度由ν（de）给出 dt，显而易见|Mτ|≤ ||ψ| | J∞[0，T]a.s.对于每个停止时间τ∈ t因此supτ∈TT||Mτ||∞≤ ||ψ| | J∞[0，T]。（2）=> （1） 。相反，假设C：=supτ∈TT||Mτ||∞< ∞. 由（2.1）可知|ψτ（e）|≤ C a.s.（2.2）对于随机测量u（dt，de）的跳跃时间（τ）及其相关标记（e）的每对（τ，e）。让我们定义一个新的过程ψ∈ J[0，T]∩ J∞[0，T]通过下一次截断：(R)ψT（e）：=ψT（e）1{ψT（e）|≤C}（ω，t，e）∈ Ohm ×[0，T]×E.注意，ψ和ψ在每个跳跃时间及其相关的μm方格上都等于a.s。作为一个序列，一个has0=EhZTZE |ψt（e）-ψt（e）|u（dt，de）i=EhZTZE |ψt（e）-ψt（e）|ν（de）dti。这表示J[0，T]中的ψ=ψ，因此，尤其是dP ν（de） dt-a.e.因此，| |ψ| | J∞[0，T]=| |ψ| | J∞[0，T]≤ C和（1）保持不变。这建立了（1）和（2）的等效项。结合这两个结果，可以得出| |ψ| | J∞[0，T]=supτ∈TT||Mτ||∞.备注2.1。注意ψ必须是一个可预测的过程。这一事实使得（2.2）中仅对j ump点的约束转化为ψ的整个域。利用上述结果，可以得出不同跳跃规范之间的以下关系。引理2.2。以下两个条件是等价的：（1）ψ∈ JB[0，T]∩ J∞[0，T]。（2） ψ∈ JBMO[0，T]。此外，以下不等式成立：（| |ψ| | JB[0，T]∨ ||ψ| | J∞[0，T]）≤ ||ψ| | JBM O[0，T]≤ ||ψ| | JB[0，T]+| |ψ| | J∞[0，T]。证据（1）=> （2） 。设ψ为JB[0，T]∩ J∞[0，T]。自JB以来 J、 引理2.1意味着| |ψ| | J∞[0，T]=supτ∈TT||Mτ||∞哪里Mτ：=之前定义的REψτ（e）u（{τ}，de）。Onethen得到| |ψ| | JBM O[0，T]=supτ∈TTEFτhZTτZE |ψr（e）|ν（de）dri+(Mτ）∞≤ ||ψ| | JB[0，T]+supτ∈TT||Mτ||∞= ||ψ| | JB[0，T]+| |ψ| | J∞[0，T]。因此（2）成立。（2）=> （1） 。

另一方面，让ψ∈ JBMO[0，T]。根据JBMO范数的定义，一个hassupτ∈TTEFτhZTτ|ψr（e）|ν（de）dri∞∨ supτ∈TT||Mτ||∞≤ ||ψ| | JBM O.自JBMO以来 引理2.1再次暗示| |ψ| | JB[0，T]∨ ||ψ| | J∞[0，T]≤ ||ψ| | JBM O[0，T]。最后一个直接的主张来自上述两个不等式。备注2.2。当ψ作为BSDE解（Y，Z，ψ）的一部分，如（3.1）所示，ψ只能定义为dP ν（de） dt-a.e.因此，如果有一个ψ∈ J∞, 人们可以自由地处理它的版本（eψt（ω，e））（ω，t，e）∈Ohm×[0，T]×e，处处有界（如在定理2.1的证明中使用的ψ）。这一事实正在一些现有文献中使用。3先验估计3.1普适界在本节中，我们考虑了在一般非马尔可夫条件下，关于整体增长BSDE上带跳跃的预期二次经验的各种先验估计。我们对t的以下ABSDE感兴趣∈ [0，T]：Yt=ξ+zttefrefr、 （Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr博士-ZTtZrdWr-ZTtZEψr（e）eu（dr，de），（3.1），其中f：Ohm ×[0，T]×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）→ R、 ξ是一个FT可测的随机变量。假设3.1。（i） 驱动因子f是一个映射，使得对于每个（y，z，ψ）∈ R×R1×d×L（E，ν）和任意c`adl`ag F-适应过程（Yv）v∈[0，T]，过程EFtf（t，（Yv）v∈[t，t]，y，z，ψ），t∈[0，T]是F-渐进可测的，映射（y，z，ψ）→ f（·，y，z，ψ）是连续的。（ii）对于每个（q，y，z，ψ）∈ D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），存在常数β，δ≥ 0，γ>0和一个正的渐进可测量过程（lv，v∈ [0，T]），以便-lt公司- δsupv公司∈[t，t]| qv|- β| y |-γ| z|-ZEjγ(-ψ（e））ν（de）≤ ft、 （qv）v∈[t，t]，y，z，ψ≤ lt+δsupv公司∈[t，t]| qv|+ β| y |+γ| z |+ZEjγ（ψ（e））ν（de）dP dt-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，其中jγ（u）：=γ（eγu- 1.- γu）。（iii）| |ξ||∞, ||l | | S∞< ∞.引理3.1。