超指数情形下期权定价的分析技术

因此，对于足够大的q>0，当k>1时，我们有f（q）=kMX`=1ζ\'k-ζ`ζ`(ζ`- 1） ，（4.3）当k=1时，我们有f（q）=MX`=1ζ`ζ`（ζ`- 1） （4.4）最后，当k<1时，我们得到w（q）=k^MX`=1^ζ\'k^ζ` `（^ζ`+1）。（4.5）我们注意到，虽然公式4.3-4.5是在假设q为实的情况下推导出来的，请参见（4.2），但拉普拉斯变换的性质确保，由于（4.2）对所有q>0都成立，函数f（t）和w（t）的拉普拉斯变换，即L{f}（q）和L{w}（q）都得到了很好的定义和分析（请参见[11]中的定理3.4和6.1]）。此外，推论2、3和4（iv）以及{ζ`- 1, ζ`}1≤`≤M、 或{^ζ`+1，^ζ`}1≤`≤当Re（q）足够大时，q为零，表明公式4.3–4.5实际上定义了半平面hqf上的解析函数，对于某些q>0。但是，L{f}（q）和f（q）（分别是L{w}（q）和w（q））都是对HQ的分析，它们在HQ上是一致的∩ R、 调用解析延拓的参数（见[22]中的推论3.2.4.1）表明，事实上，Hq上的L{f}（q）=f（q）（分别为L{w}（q）=w（q）），即公式4.3–4.4（分别为4.5）在半平面hqa中有效，并且等于函数f（t）（分别为w（t））的拉普拉斯变换。现在，我们利用这一事实和上一节推导的级数展开式，从最简单的情况k=1开始，即在货币（ATM）情况下，发展期权价格C的收敛级数展开式。为了便于记法，我们定义ξ“：=1/ζ”和“：=1/（ζ`- 1） ，对于1≤ ` ≤ M、 和^ξ`：=1/^ζ`，和^`：=1/（^ζ`+1），对于1≤ ` ≤^M，（4.6），并提醒读者，一定数量系列的总和（相应乘积）的第n个系数表示为sn（相应mn）。引理1。

假设X ful满足风险中性条件，S=K.（i）如果σ>0，则存在R>0，使得以下等式适用于q∈ C+Rand系列收敛于q∈ CR:F（q）=∞Xn=3bnqn/2，其中bn=（sn/2+mM，nn evenmM，nn odd，sn=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），m`，n：=mN（\'ξ\'，n，\'\'，n，\'ζ\'，n），对于1≤ ` ≤ M、 （ii）如果σ=0，则存在R>0，从而以下等式成立，级数收敛于q∈ CR:F（q）=∞Xn=2bnqn其中bn=sn（m1，n，m2，n，…，mM，n），和{m\'，n}1≤`≤如（i）所述。证据使用公式4.4并应用推论2、3和4。utTheorem 5（ATM看涨期权价格）。假设X ful满足风险中性条件andS=K.（i）让σ>0且{bn}n≥3如引理1（i）所示。ThenC（T）=e-rTS∞Xn=10亿+2万亿/2Γn+1, T≥ 0，（4.7），右侧的级数收敛于T∈ C、 （ii）设σ=0和{bn}n≥2be如引理1（ii）所示。ThenC（T）=e-rTS∞Xn=10亿+1万亿！，T≥ 0，（4.8），右侧的级数收敛于T∈ C、 证明。应用引理1和推论1以及f（t）是连续函数的事实；后一种说法源自L'evy过程的随机连续性。UT示例2（ATM隐含波动率）。我们考虑一个简单的情况：B是一个没有跳跃的超指数过程，即N=^N=0，因此σ>0，即B产生经典的Black-Scholes模型。进一步假设K=S=1，r=0。利用定理5，我们可以计算光学价格，我们用CB（σ，T）表示，象征性地达到一个合理的高阶。例如，在顺序T9/2之前，我们有：CB（σ，T）=σ√2πT1/2-σ√2πT3/2+σ√2πT5/2-σ√2πT7/2+O（T9/2）。

（4.9）我们发现，我们可以在大约0.2秒内象征性地计算该系列的前四十项。考虑到前几个术语的形式，我们可能会问（4.9）是否也可以解释为σT1/2的一系列幂函数；事实上，从布莱克-斯科尔斯公式可以明显看出这一点。现在，我们假设有一个带跳跃的超指数过程X，即N或^N中至少有一个不为零，高斯分量σ>0，并且X满足风险中性条件。让CX（T）表示过程X下的期权价格，同样假设r=0，k=S=1。此外，让我们隐式地定义一个函数^σ（T）作为该值，其yieldsCB（^σ（T），T）=CX（T），T>0。（4.10）我们有兴趣找到^σ（T）的渐近展开式，即所谓的at the moneyimplicated volatility–有关此概念的适当讨论，请参阅[31]第4节或[9]第11节。为此，我们将s中（4.10）的左侧展开：=^σ（T）T1/2（c.f.（4.9）），并将这些序列倒置，以求解s的w的幂：=CX（T），即s=^σ（T）T1/2=√2πw+π3/2√w+7π5/2√w+127π7/2√w+4369π9/2√w+34807π11/2√w+O（w）。（4.11）然后我们用定理5展开CX（T），w=CX（T）=σ√2π√T+2a+σ+NX`=1a`ρ`- 1.T+3a+6aσ+6ησ+2σ√2πσT3/2+2a+σ2a+4η+σ+ 4ησ+NX`=1a`(ρ`- 1)2ω′，0+2aρ′+ρ′σ+ a`（2ρ`- 1)2（ρ`- 1） 哦！T+O（T5/2）（4.12），其中{ηi}i≥0和{ω\'，i}1≤N、 我≥0分别根据（3.4）和（3.6）中的工艺参数定义。最后，我们将（4.11）与（4.12）合成（关于级数合成的有效性、计算公式和收敛性，请参见[17]中的定理1.9b和2.4d），通过T1/2除以后，得到^σ（T）=σ+√2πbT1/2+π3/2b√+√2πb！T+π3/2bb√+√2πb！T3/2+O（T），（4.13），其中Bi是Ti/2in的系数（4.12），（4.13）对足够小的T有效。

如果我们在基本的L'evy过程X中假设无高斯分量σ，那么我们得到σ（T）=√2πbT1/2+√2πbT3/2+π3/2b√+√2πb！T5/2+O（T7/2），（4.14），其中Bi是膨胀系数x（T）=δ+NX`=1a`ρ`- 1.T+δ+NX`=1a`（2（ρ`- 1） （ω\'，0+aρ\'）+a\'（2ρ`- 1))2 (ρ`- 1） 哦！T+δ+NX`=1a`6（ρ`- 1） “3a”（ρ`- 1） （ρ’（ρ’（a- ω`,1) + 2ω`,0+ ω`,1) - ω`,0)+ 3 (ρ`- 1） （ω`，0+aρ`）+a `（3（ρ`- 1) ρ`+ 1)#!T+O（T），（4.15），其中δ=a，δ=a（a+2η），δ=aa+3aη+3η（a+η）,当a>0，否则为零时。通常δiis等于ξMMζM展开式的（i+1）项，由i！当a>0，否则为零时（见引理1和定理5）。在两者中案例<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；2450.000.050.100.150.200.000.050.100.150.20（a）ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o0.050.100.150.200.0050.0100.015（b）。' 10-131. ' 10-121.5 ' 10-122. \'10-12（c）图4:4a中参数集为1的过程的σ（T），σ=0.042，a=0.111875。图4b中所有展开式的误差和4c中仅100项展开式的误差。我们可以证明与[31]的命题5中的一般一项结果一致。这些结果表明，对于具有有限二阶矩和高斯分量的过程，我们具有有限的→0^σ（T）=σ（比较公式4.13），对于有限变化过程，一项渐近展开式为^σ（T）~√最大2πZ（ex- 1） +ν（dx），Z（1- ex）+ν（dx）T1/2，其中ν（dx）是L'evy度量。

在我们的案例中，很容易证实这一点（例如- 1） ν（dx）=NX`=1a`ρ`- 1和Z（1- ex）ν（dx）=^NX`=1^a`ρ`+1，风险中性条件意味着a=P^N`=1^a`ρ`+1-PN`=1a`ρ`-1、换句话说，b=δ+PN`=1a`ρ`-1=最大值R（ex- 1） +ν（dx），R（1- ex）+ν（dx）.原则上，这项技术为我们提供了一种根据过程的原始参数计算at货币隐含波动率的完全短期渐近展开的方法。这应该与[12]的两项展开式进行比较，据作者所知，这是迄今为止指数L'evy模型的最佳结果，尽管是在更一般的情况下。实际上，我们看到公式很快变大，符号计算非常耗时。我们用符号计算了多达6项的^σ（T）；通过在作者的网站上使用该软件包，可以获得多达六个术语的结果。请注意，如果计算^σ（T）是目标，即如果我们预先确定参数的数值，那么我们可以轻松计算100个或更多项。在图4中，我们计算了由参数集1定义的过程的1、2、5、10和100项σ（T）展开式，σ=0.042和a=0.111875，以及误差| CB（σ（T），T）-CX（T）|。在图5中，我们对参数集2定义的过程进行了相同的处理，σ=0，a=0.103896。标记为蓝色o, 红色, 紫色4、绿色5和洋红色 分别表示1、2、5、10和100项扩展。我们发现，计算图中所示10项近似值的50个值大约需要0.2秒，计算100项近似值大约需要20秒。

+我们可能会计算出现金流（ITM）和OTM病例的结果，以及额外的并发症，我们将使用formk的总和进行序列分析-Dq1/2qn/2和K-对于某些常数D，在继续之前，让我们将这些函数视为拉普拉斯变换，并建立它们的一些性质。éééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééáááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o0.000.050.100.150.200.000.050.100.150.20（a）ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o¨¨¨¨¨¨¨¨¨0.050.100.150.200.0010.0020.0030.0040.0050.006（b）。' 10-134. ' 10-136. \'10-138。\'10-13（c）图5：对于参数集为2的过程，σ=0，a=0.103896 in 5a。图5b中所有展开的误差和5c中仅100项展开的误差。引理2。如果k>1且D>0或k<1且D<0，则（i）L（t- c） n个-1（n- 1） 哦！I（t≥ c）（q） =k-Dqqn（ii）和L（t-3月2日√π（n-1） 哦！Z∞总工程师-τ/（4t）τ（τ- c） n个-1dτ）（q）=k-Dq1/2qn/2其中n∈ N和c=D对数（k）。证据可以使用拉普拉斯变换表证明（i）和（ii）。（i）参见【11】第339页第26条以及反转e的一般规则-csG（s），其中G（s）具有aknown逆（例如参见[11]中的第337页）。对于（ii），我们使用（i）的结果和规则来反转G（s1/2），其中G（s）有一个已知的逆；再次参见【11】第337页。UT前进letДn（t；c）：=t-3月2日√π（n+1）！Z∞总工程师-τ/（4t）τ（τ- c） n+1dτ，t>0，c≥ 0，n∈ Z+。（4.16）引理3。

以下不等式适用于νn（t；c）≤tn/2Γ1+n, t>0，c≥ 0，n∈ Z+，（4.17），c=0时相等。这就是极限→0+Дn（t；c）=0表示n∈ N、 c类≥ 0.证明。清楚地^1n（t；c）≤ νn（t；0），后者可以根据gammafunction显式地计算为Дn（t；0）=n+1Γn+2+√πΓ（n+2）tn/2。（4.18）使用众所周知的伽马函数复制公式，即Γ（z）Γ（z+1/2）=21-2z√πΓ（2z），表明（4.18）的右侧实际上等于tn/2/Γ（n/2+1）。在本文的其余部分中，我们将符号Дn（0；c）解释为limt→0+Дn（t；c）=0。推论5。设z=x+iy∈ K H、 其中K是一个紧集，定义u：=| z |/x。然后，存在M>0，使得| n（z；c）|<Mun/2Γ1+n, z∈ K、 c类≥ 0，n∈ Z+。证明|^1n（z，c）|≤|z|-3月2日√π（n+1）！Z∞cτ| e-τ/（4z）|（τ- c） n+1dτ=u | z|3/2Дn（u；c）<|z | x3/2un/2Γ1+n,其中最后一个不等式是引理3的结果。因为K是紧的，z是7→ （|z |/x）3/2是H上的一个连续函数，我们知道它的上确界是在K上得到的，这给出了结果。UT用于计算函数{νn（t；c）}n≥0我们引入{Hhn（z）}n≥-1函数，定义如下：Hhn（z）：=n！Z∞ze公司-w/2（w-z） ndw，n∈ Z+，Z∈ C、 （4.19）和Hh-1（z）：=ez/2。我们观察到Hh（z）=(√π/√2） erfc(-z/√2） 式中，fc（z）=（2/√π） R∞ze公司-w/2dw是互补误差函数。我们方便地得到了三项复发hhn（z）=nHhn-2（z）-xnHhn公司-1（z），n∈ N（4.20）和简单复发ddzhhn（z）=-Hhn公司-1（z）；（4.21）见引理4中的公式7.2.5、7.2.9、7.2.10和19.14。对于固定c≥ 0，函数{νn（t；c）}n≥0可以解析地继续到z∈ C+和wehaveДn（z；C）=（n+1）/2zn/2√πHhn（c/√2z），z∈ H、 c类≥ 0，n∈ Z+。（4.22）证明。首先，我们使用支配收敛定理证明，在（4.16）中，如果z∈ H、 也就是说，νn（z；c）在H上是解析的。

将Hhn（z）限制为实际值z>0，按（4.19）中的部分进行一次迭代积分，然后使用替代w=τ/(√2t）为实z>0建立标识（4.22）。由于Hhn（z）是一个整体，因此该主张后面有一个解析延拓的参数。utRemark 3。在[19]中，根据{Hhn（x）}n的积分级数给出了双指数模型下欧式看涨期权价格的公式≥-1功能。因此，它们出现在这里并不奇怪；然而，我们将看到，我们不需要进一步积分，我们可以用函数{νn（t；c）}n来表示看涨期权和看跌期权的公式≥0直接。现在，我们已经准备好继续进行买入和卖出期权的OTM案例；请注意，一旦确定了这些价格，就可以通过看跌期权平价轻松计算ITM价格。正如所提到的，由于F（q）和W（q）涉及{k形式的项，事情变得更加复杂-ζ`}1≤`≤命令{k^ζ`}1≤`≤^M.为了使符号尽可能简单，让我们定义β\'：=k-ζ`，1≤ ` ≤ N、 ^β\'：=k^ζ\'1≤ ` ≤^N.（4.23）此外，对于σ>0的情况，我们定义βM：=k（2q/σ）1/2k-ζMand^β^M：=k-（2q/σ）1/2k^ζ^M，（4.24），当σ=0且a>0（分别为a<0）时，我们设置βM：=kq/ak-ζM响应。^β^M：=kq/ak^ζ^M.最后，对于下面的引理5、定理6和定理7，我们定义了每个n∈ Z+，bn：=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），cn：=mM，n，m\'，n：=mN（\'ξ\'，n，\'\'，n，\'β\'，n，\'ζ\'，n），1≤ ` ≤ M、 （4.25）和^bn：=sn（^m1，n，^m2，n，…，^M^n，n），^cn：=^M^M，n，^M\'，n：=mn（\'^ξ\'，n，\'^962;\'，n，\'M^β\'，n，^ζ\'，n），1≤ ` ≤^M，引理5。

假设X ful满足风险中性条件，S<K.（i）如果σ>0，则存在R>0，使得以下等式适用于q∈ C+Rand系列收敛于q∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn+k∞Xn=3cnk-（2q/σ）1/2qn/2。（ii）如果σ=0且a>0，则存在R>0，使得以下等式成立，且q的序列收敛∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn+k∞Xn=2cnk-q/aqn。（iii）如果σ=0和a≤ 0则存在R>0，这样以下等式成立，并且序列收敛于q∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn。证据使用公式4.3并应用推论2、3和4。utTheorem 6（OTM看涨期权价格）。假设X ful满足风险中性条件且<K.（i）设σ>0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1 nn+∞Xn=1cn+2хn（T；c）！，T≥ 0，其中c=√2对数（k）σ。右侧的第一个序列收敛于T∈ C和第二个收敛于T∈ H、 第二个级数在H的紧致子集上一致收敛，并且可能逐项微分。（ii）设σ=0且a>0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿！+I（T≥ c）∞Xn=1cn+1（T- c） nn！！，T≥ 0，其中c=log（k）a。右侧的每个系列收敛于T∈ C、 （iii）设σ=0和a≤ 0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿！，T≥ 0，其中右侧的级数收敛于T∈ C、 证明。我们只证明（i）as（ii）和（iii）是以类似的方式导出的。首先，让我们考虑TheSeresh（q）：=∞Xn=3cnk-（2q/σ）1/2qn/2。我们将分三步进行。步骤1：通过使用定理1，我们可以得出以下结论(∞Xn=1cn+2tn/2Γn+1)（q） =k（2q/σ）1/2H（q）（4.26），序列s（t）：=P∞n=1cn+2tn/2Γ（n+1）收敛于几乎所有t≥ 然而，这意味着它对所有t∈ C

第二步：再次使用定理1和引理2，我们发现(∞Xn=1cn+2хn（t；c））（q）=H（q）（4.27），级数H（t）的收敛性：=P∞n=1cn+2Дn（t；c）几乎对所有t都是绝对的≥ 然而，通过引理3，s（t）收敛于所有t∈ C、 通过对级数的比较检验，很明显，h（t）的绝对收敛性对所有t都成立≥ 步骤3：为了显示分析性，我们使用Weierstrass的M-检验和关于一致收敛的解析函数级数的定理（参见[26]中的定理15.2和15.6]）。这些告诉我们，如果对于每个紧集K 我们可以找到序列{Mn}n≥当z=x+iy时，使| cn+2|n（z；c）|<Mn∈ K、 n∈ N、 andP公司∞n=1Mn<∞, 那么h（t）：a）是h上的解析函数；b） 一致收敛于H的紧子集；和c）可以逐项微分，得到的级数再次在H的紧子集上一致收敛。从推论5我们知道，对于每个紧K H | cn+2Дn（z；c）|≤ M | cn+2 | un/2Γ（1+n），z∈ K、 n∈ Z+，其中u：=u（Z）：=| Z |/x，M是某个正常数。通过u的连续性和k的紧性，函数u（z）必须达到最大值0≤ S<∞ 关于K。从我们的讨论中可以清楚地看出，级数s（t）在s处绝对收敛，因此，如果我们取mn=M | cn+2 | Sn/2Γ（1+n），则满足上述标准，并遵循分析性、逐项微分和一致收敛。现在我们可以对序列H（q）：=P重复步骤1∞n=2bNqt以显示(∞Xn=10亿+1万亿！）（q） =H（q）和H（t）：=P∞n=10亿+1 nn！收敛于所有t∈ C、 然后k（h（t）+h（t））定义一个连续函数，其拉普拉斯变换k（h（q）+h（q））等于连续函数f（t）的拉普拉斯变换。因此，f（t）=k（h（t）+h（t）），t≥ 0，结果如下。UT从公式4.5可以清楚地看出，我们可以对OTM认沽期权价格（即。