超指数情形下期权定价的分析技术

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Analytic techniques for option pricing under a hyperexponential L\\\'{e}vy
  model》
---
作者：
Daniel Hackmann
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We develop series expansions in powers of $q^{-1}$ and $q^{-1/2}$ of solutions of the equation $\\psi(z) = q$, where $\\psi(z)$ is the Laplace exponent of a hyperexponential L\\\'{e}vy process. As a direct consequence we derive analytic expressions for the prices of European call and put options and their Greeks (Theta, Delta, and Gamma) and a full asymptotic expansion of the short-time Black-Scholes at-the-money implied volatility. Further we demonstrate how the speed of numerical algorithms for pricing exotic options, which are based on the Laplace transform, may be increased.
---
中文摘要：
我们对方程$\\ psi（z）=q$的解进行了幂次为$q^{-1}$和$q^{-1/2}$的级数展开，其中$\\ psi（z）$是超指数L{e}vy过程的拉普拉斯指数。作为直接结果，我们推导出了欧洲看涨期权和看跌期权及其希腊期权（θ、δ和γ）价格的解析表达式，以及货币隐含波动率下短期Black-Scholes的完全渐近展开。此外，我们还展示了如何提高基于拉普拉斯变换的奇异期权定价数值算法的速度。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期权定价 Mathematical Quantitative mathematica Exponential

超指数模型下期权定价的分析技术Daniel Hackmann*2018年11月8日摘要我们用q的幂进行级数展开-1和q-方程ψ（z）=q的1/2解，其中ψ（z）是超指数L'evy过程的拉普拉斯指数。作为直接结果，我们推导了欧洲看涨期权和看跌期权及其希腊期权（θ、δ和γ）价格的解析表达式，以及短期Black-Scholes在货币隐含波动率下的完全渐近展开。此外，我们还展示了如何提高基于拉普拉斯变换的exoticoptions定价数值算法的速度。1简介超指数L'evy过程X是一个L'evy度量形式为ν（dx）=I（X<0）^NX`=1^a'ρ'e'ρ'xdx+I（X>0）NX`=1a'ρ'e的过程-ρ\'xdx，其中{a`}1≤`≤^Nand{a`}1≤`≤所有正实数和0<ρ<ρ<…<ρN-1<ρ与0<ρ<ρ<…<^ρN-1<ρNhold。拉普拉斯指数ψ（z）：=tlogEezXt公司Has形式ψ（z）=σz+az+zNX`=1a`ρ`- z- z^NX`=1^a'ρ`+z，-ρ<Re（z）<ρ，（1.1），其中a∈ R和σ≥ 当σ>0时，超指数过程在文献中也称为超指数扩散或超指数跳跃扩散。尽管它们看起来很简单——当σ>0时，它们是复合泊松过程加上一个布朗运动分量——但它们在许多原因的文献中都得到了广泛的研究。首先，超指数过程在CM类过程中是稠密的，即那些具有完全单调跳跃密度的L'evyprocess（也称为广义超指数过程）[18]。CM类包括有限活动模型，如方差伽马（VG）过程、正态逆高斯（NIG）过程和CGMY/Kobol/广义回火稳定过程，这些模型在金融领域非常流行。

第二，有许多快速和*电子邮件：dan@danhackmann.com.网址：www.danhackmann。通用域名格式。利用这一第一质量的精确算法，即CM类过程可以被超指数过程任意逼近的方法【10，16】。第三，由于ψ（z）可以扩展到C上具有实极点的有理函数，超指数过程是“可分析可分解的”。例如，我们有Xt分布的拉普拉斯变换（in t）（见定理2）和维纳-霍普夫因子的解析表达式[2]。对于金融应用，在股票价格指数模型的假设下，已知障碍期权[18，4，30]和回顾期权[5]价格的拉普拉斯变换，亚洲期权价格的双拉普拉斯变换[6]，以及俄罗斯期权和永久美国扼杀期权的价格的解析表达式[2，3]。如果我们限制N=^N=1以获得所谓的双指数或Koumodel，我们还可以得到期货合约上欧洲看涨期权和看跌期权以及欧洲期权价格的解析表达式，以及永久美式期权价格的解析表达式。在上述几乎所有情况下，衍生价格或Laplacetransformed价格的公式都用方程ψ（z）=q，q>0的解表示。（1.2）如果我们排除了解决方案少于四个的情况，则需要以数字形式确定解决方案。

实际上，在反演拉普拉斯变换以获得期权价格（亚式期权、限制期权、回溯期权）的算法中，找到（1.2）的解是一个耗时的部分，尤其是因为有必要求解（1.2）的q∈ C、 本文的主要思想很简单：我们用q的幂展开收敛级数-1（σ=0时）和q-q的（1.2）解的1/2（当σ>0时）∈ C，q足够大。由于级数收敛速度很快，一个直接的结果是（截断的）级数可用于加速基于拉普拉斯变换数值反演确定衍生品价格的算法。虽然这是一个有用的结果，但更进一步，有趣的结果来自主要思想。我们还可以使用扩展来开发欧洲看涨期权和看跌期权及其希腊价格的分析表达式。这在指数L'evy模型中相当罕见，据作者所知，只有另外两个L'evy过程是正确的：a）Merton模型【28】和b）Kou模型【19】。结果表达式涉及T中的一系列函数，即期权的检验时间，当σ=0时，实际上只是泰勒级数。在at-the-money（ATM）情况下，当σ>0时，公式本质上是T1/2的幂级数；这使我们能够发展短期ATM Black-Scholes隐含波动率的完全渐近展开。隐含挥发物，加上看涨期权价格的短期渐近展开，由于其应用于校准问题，金融数学文献中最近出现了大量兴趣（参见示例【12】和其中的参考文献）。应该注意的是，我们正在推广寇的结果【19】。

虽然寇还开发了欧洲看涨期权和看跌期权价格的分析公式，但他的方法依赖于双指数随机变量的总和分解；这种技术似乎没有对一般情况的自然扩展，在这种情况下，列维密度中的指数因子的数量超过两个。因此，我们的方法在本质上是相当不同和分析的，依赖于复杂分析的结果和拉普拉斯变换理论。我们将在文章的第2节回顾相关理论和发展符号。在第3节中，我们收集了超指数过程的一些关键结果，并对（1.2）的解进行了级数展开。然后在第4节中，我们发展了欧式期权价格和希腊期权价格的分析公式，推导了ATM隐含波动率的完全渐近展开式，并考虑了几个数值例子。在其中一个例子中，我们展示了如何通过反转拉普拉斯变换计算数字屏障选项价格的速度至少可以加倍。另一方面，我们证明，我们的看跌期权和看涨期权价格公式计算中短期价格的速度要比基于数值拉普拉斯反演的传统方法快得多（对于到期日小于0.5的100个期权价格，速度至少快五倍）。用于计算整篇文章中给出的各种示例的软件可以从作者的网站上获得。复杂分析中的2个工具2.1基本符号假设R>0和z∈ R we定义+：={z∈ C：z/∈ (-∞, 0]}，CR：={z∈ C：| z |>R}，Hz：={z∈ C:Re（z）>z}，使用这些C+R：=C+∩CRand H：=H。符号Z+表示非负整数，与符号Z的含义类似-. 我们将使用B表示C中心0处的一个空旷球，Bt表示除点0外的一个穿孔空旷球。

如果我们想明确半径R，我们将写下B（R）和B（R）。方程wk=z，k的解w的集合∈ N表示为z1/km。因此，z1/km是一个多值函数（严格定义见[26]第24页），对于所有z 6=0，取k值。z1/km的主支路将简单地表示为z1/k。通常，主支路是11/k=1的支路。此外，我们定义锌/公里：=（z1/公里）n∈ Z、 当k相对于n是素数时，它将获得一个k值函数。我们主要关心的是k=2的情况。在此场景中，非主体分支可以用主体分支表示-z1/2；然后，zn/2的两个分支由zn/2给出：=（z1/2）nand(-1） 新西兰元/2。旋转对数（z）总是指对数的主分支，即对数（1）=0的分支。符号Γ（z）表示伽马函数。2.2使用系列我们将使用劳伦特系列F（z）：=∞Xn=kfnzn，（2.1），其中{fn}n≥k C和k∈ Z、 我们假设fk6=0，级数收敛于B（R）和f（Z）∈ R代表z∈ R、 符号k'fn表示（n+k+1）-元组fn：=（fk，fk+1，…，fn）∈ Cn+k+1，n≥ k、 （2.2）我们定义了“fn：=”fn。注意，我们可以将后一种表示法应用于任何序列{an}n≥k、 不一定仅在基础系列的上下文中。如果f（z）收敛于某个B（R），那么众所周知（见[26]中的定理16.1和16.2），对于某些R>0，1/f（z）在B（R）上也有一个收敛级数表示。此外，th系数是函数rn:Cn-k+1→ C仅取决于k'fn-2k，可轻松计算（见[17]中的定理1.3和2.3d/f）。我们有（z）=∞Xn=-krnzn，其中r-k： =r-k（k'fk）：=fk，r-k+1：=r-k+1（k'fk+1）：=-fk+1（fk），（2.3）和n≥ -k+2，rn:=r（k’fn+2k）：=(-1） n+k（fk）n+k+1fk+1fk+2。fn+2kfkfk+1。fn+2k-10 fk。fn+2k-2.0 0 fkfk+1.

（2.4）同样，假设k≥ f（z）收敛于某个球B，然后对于c>0和z∈ Bwe havecf（z）=∞Xn=0pnzn，p：=p（c，f）：=cf，（2.5），对于n∈ N、 pn：=pn（c，(R)fn）：=N！nXm=1cf（log（c））mBn，m（1！f，2！f，…，（n- m+1）！fn公司-m+1），（2.6），其中{Bn，m}n≥0，m≥0是指数部分Bell划分多项式（参见[8]中的定义11.2）。（2.6）的推导源自Fa\'a di Bruno对高导数链式规则的推广（见[21]中的引理1.3.1）。注意，我们将写pn（c，-(R)fn）用于c系列扩展的系数-f（z）。如果F={F（z），F（z），…fN（z）}是形式（2.1）的系列集合，我们将第i个系列的n-thcoefficient写为fi，n，第i个系列的第一个非零系数的索引写为ki。如果ki≥ 0表示所有fi（z）∈ F的所有成员都会聚在一个公共球B上，那么众所周知，对于z∈ BNXi=1fi（z）=∞Xn=jsnzn，sn：=sn（f1，n，f2，n，…，fN，n）：=NXi=1fi，n，（2.7），其中j=min{k，k，…，kN}，当n<ki时，我们设置fi，n=0。类似地，对于z∈ B、 NYi=1fi（z）=∞Xn=jmnzn，mn：=mn（\'f1，n，\'f2，n，…，\'fN，n）：=πNn，（2.8），其中j=PNi=1ki，πnni递归定义为πn：=f1，nandπin：=nXk=0πi-1kfi，n-k、 我∈ {2，3，…，N}；当n<ki时，我们再次遵守约定fi，n=0。对于某些映射t:C，我们还可以考虑形式为f（t（z））的对象→ C、 很明显，对于某些z，我们有f（t（z））∈ C、 那么f（z）在B上绝对收敛（| t（z）|），因此f（t（z））在t上绝对收敛-1[B（| t（z）|）]。然后，只需将（2.3）和（2.5）中的z替换为t（z），就可以导出t（z）幂的1/f（t（z））和cf（t（z））的级数表达式，并理解级数收敛于t（z）形式的集合上-1[B]；我们将避免这些集合为空的任何情况。

类似地，如果我们将z替换为t（z），那么公式（2.7）和（2.8）也适用，前提是我们考虑适当的域。这种级数，即z被z的某种变换所取代的级数，在我们想要推导逆级数时自然会出现。这可以通过拉格朗日反演定理（文献[27]中的定理3.4和3.6）实现。这告诉我们如果k≥ 1且w=B（R）上的f（z），则存在R>0这样的f（z）具有k值逆f-表格B（R）上的1（w）-1（w）=∞Xn=1lnwn/公里，（2.9），其中LN=n！dn-1dzn-1（κ（z））nz=0，κ（z）：=z（f（z））1/ks，（2.10），其中（f（z））1/ks是多值（f（z））1/km的任何单值分支。通过选择（κ（z））n=f，可以得到Ln的显式公式-n/kk1+fk+1fkz+fk+2fkz+。-n/k.（2.11），并应用Fa\'a di Bruno公式。该产量ln：=ln（k'fn+k-1） ：=n！fn/kkn-1Xm=1(-1） m级nk公司mBn公司-1，米1.fk+1fk，2！fk+2fk，···，（n- m） 哦！fk+n-mfk公司,（2.12）式中（x）i：=x（x+1）····（x+i）-1） 表示上升阶乘。公式2.12适用于所有n≥ 2.对于n=1，我们设置l：=l（k'fk）：=1/k√fk6=0，可通过（2.11）和（2.10）进行调整。备注1。虽然本节中的公式有点令人望而生畏，但应该注意的是，大多数具有符号计算组件的软件包都有处理序列操作的例程，即使对于参数的分数幂也是如此。因此，无需手动进行计算，甚至无需编写计算机程序来计算（例如）倒数或反级数的系数。在本文的其余部分，我们使用Mathematica实现来执行所有系列操作；相应的软件可以在作者的网页上找到。所有计算都是在一台内存为32GB、Intel i7-2600KCPU@3.40GHz的机器上进行的。

2.3以级数表示的拉普拉斯变换的逐项反演在这一简短的部分中，我们回顾了Doetsch[11]关于由级数给出的拉普拉斯变换反演的一个重要结果，并陈述了一个有用的推论。这些将是第4节中发展期权价格系列扩展的关键。在这里和整个过程中，我们使用符号L{f}（z）或{f（t）}（z）来表示函数f（t）的拉普拉斯变换，它被定义为L{f}（z）：=z∞e-ztf（t）dt。（2.13）拉普拉斯变换的一个关键结果是，如果积分收敛于某个z∈ 然后它会收敛到所有z∈ Hzand是z的解析函数。请注意，在本节中，符号Fn用于表示函数，而非上一节中的常数系数。定理1（Satz 30.1 in【11】）。假设，对于某些函数集合{fn（t）}n≥0，空间变换Gn（z）：=R∞e-zt | fn（t）| dt和fn（z）：=每n存在L{fn}（z）∈ Z+在一些公共半平面上Hz。此外，假设序列g（z）：=∞Xn=0Gn（z），因此F（z）：=∞Xn=0Fn（z），（2.14）收敛于Hz。那么，P∞n=0fn（t）绝对收敛，并且对于几乎所有t≥ 0到函数f（t）。进一步的L{f（t）}（z）=f（z）。以下推论直接来自定理6以及Satz 5.1、5.5和Satz 30.2in【11】。尤其是Satz 30.2是以下内容的通用版本。推论1。假设f（t）是[0]上的连续函数，∞) 因此，对于大约0≤ R<∞L{f}（z）=∞Xn=k+janzn/k，z∈ HR，其中k∈ {1，2}和j∈ Z+，级数在CR上收敛。Thenf（t）=∞Xn=1月+kΓnk+1tn/k，且级数收敛于所有t∈ C、 超指数过程的3个关键结果3.1概述回顾超指数过程X的拉普拉斯指数ψ（z）是形式（1.1）的有理函数，实数极点{ρ`}1≤`≤Nand{-^ρ`}1≤`≤^N，我们假设它是根据增加的震级排列的。

此外，方程ψ（z）=q的解特别有趣。当q>0时，不难证明这些都是真实的；我们用{ζ`}1表示正（或负）解≤`≤M级({-^ζ`}1≤`≤其中M=N或M=N+1（分别为M=N或M=N+1）和M（分别为M）由σ和a值决定。如果我们想强调参数q，我们将写下，例如ζ`（q）。重要的是，我们有交错属性-^ρ^N<-^ζN<。- ^ρ< -^ζ< -^ρ< -ζ<0<ζ<ρ<ζ<ρ<…<ζN<ρN.（3.1）当σ6=0时，我们有M=N+1和^M=^N+1，即我们有两个附加解-^ζ^和ζMoccurring至-ρ与ρ分别为。否则，如果σ=0且a>0，则M=N+1且^M=^N，如果σ=0且a<0，则M=N且^M=^N+1。同样，在以下情况下-^ζ和ζM表示其他溶液，它们将出现在-ρ与ρ分别为。最后，如果σ=0和a=0，则^M=^N和M=N，并且没有其他解。这些想法如图1所示，其中显示了σ=0，a>0的情况。我们感兴趣的是随机变量Xe（q）的分布，它表示随机时间e（q）处的进程x。这里e（q）是一个指数随机变量，与X无关，平均值为q-1、为了确定Xe（q）的分布，我们采用拉普拉斯变换，其FORMF（z；q）：=E[Ezze（q）]=qq- ψ（z），-^ζ<Re（z）<ζ，并观察到，与ψ（z）一样，F（z；q）扩展到C上的有理函数。从上面的讨论中，很明显，F（z；q）在点{ρ`}1处有简单的零≤`≤Nand{-^ρ`}1≤`≤^和{ζ`}1点的简单极点≤`≤曼德{-^ζ`}1≤`≤^M.为了简化以下内容的表示，我们采用旋转γ：=q+PNn=1an+P^Nn=1^an, （3.2）并遵守约定ρ：=ρ：=0和ρN+1：=ρN+1：=+∞.ρNζm图1：ψ（z）的曲线图。