超指数情形下期权定价的分析技术

垂直虚线表示极点的位置，而水平虚线表示q的位置。定理2。随机变量Xe（q）具有分布PXe（q）∈ dx公司= qαδ（dx）+qI（x>0）MX`=1e-ζ\'xψ（ζ`）- I（x<0）^MX`=1e^ζ\'xψ(-^ζ`)dx，其中σ和a均为零时α=γ，否则α=0。证据F（z；q）的部分分数分解的形式为F（z；q）=c+MX`=1Res（F，ζ`）z- ζ`+^MX`=1Res（F，^ζ`）z+^ζ`=c-MX`=1qψ（ζ`）（z- ζ`）-^MX`=1qψ(-对于某些常数c，可以取极限z→ +∞ 在前面表达式的左侧和右侧。很容易看出，只有当σ和a都为零并且在这种情况下取值qγ时，c才是非零的。现在，反转拉普拉斯变换得到结果。utRemark 2。读者可能希望将定理2与[24]中的定理2（v）进行比较，后者给出了亚纯过程族的类似结果让我们通过定义两个特定的参数集来结束本节，我们将在本文的其余部分中使用这两个参数集作为数字示例。这些数据取自【18】，通过近似VG和NIG过程从股市数据中得出。

我们定义：参数集1：{a，a，a，a，a，a}={0.0255，0.0255，0.0510，0.3060，0.6120，0.9690，3.1110}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={5，10，15，25，30，60，80}{a，^a，^a，^a，^a，^a}={{0.3200、0.1920、0.7040、0.5120、0.6400、2.5600、1.4720}{ρ、ρ、ρ、ρ、ρ、ρ、ρ}={5、10、15、25、30、60、80}，参数集2：{a，a，a，a，a，a}={0.0066，0.0154，0.4620，0.1760，0.5720，0.4180，0.5500}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={5，10，15，25，30，60，80}{^a，^a，^a，^a，^a，^a，^a}={0.0300，0.2700，0.9300，0.9300，0.3000，0.2400，0.3000}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={2，5，10，30，50，80，100}。3.2ψ（z）=qIn的解本节，使用第2.2节中开发的工具，我们推导出ψ（z）=q的解的级数展开式，对于q∈ C使得| q |很大。我们注意到解的编号、顺序和多重性{ζ`}1≤`≤曼德{-^ζ`}1≤`≤^M，我们为实际q>0定义，特别是交错属性（3.1），如果我们允许q是复数，则失去其意义。然而，我们在这里显示，对于每个ζ`，1≤ ` ≤ M（分别为^ζ`，1≤ ` ≤当ψ（z）=q足够大时，存在一个解z`（分别为^z`），它是C+兰德上的一个解析函数，对应于{ζ`}M`=1的精确元素∪{-^ζ`}M`=1，即ζ`（分别为^ζ`）。也就是说，每个ζ`（分别为^ζ`）可以扩展到一个解析函数，该解析函数也可以解ψ（z）=q，前提是q∈ C+足够大。我们将使用相同的符号表示此扩展解，即ζ`（分别为^ζ`）。首先，让我们定义函数g（z；`）：=ψ（z+ρ`），1≤ ` ≤ N、 ^g（z；`）：=ψ（z- ^ρ`），1≤ ` ≤^N和h（z）：=ψz.我们的第一个目标是导出这些函数在0的洛朗级数展开式。

从h（z）开始，利用几何级数的求和公式，我们得到h（z）=σz-2+az-1.-NX`=1a`1- ρ\'z+^NX`=1^a\'1+ρ\'z=σz-2+az-1个+∞Xn=0ηnzn，（3.3）ηn：=-NX`=1a`（ρ`）n+(-1） n^NX`=1^a`（^ρ`）n, （3.4）在删除的邻域0<| z |<minnρN，ρ^No上有效。接下来，我们将写{hn}N≥-2参考h（z）的膨胀系数。继续，再次通过几何级数技术，我们得到g（z；`）=σ（z+ρ`）+a（z+ρ`）+（z+ρ`）NXn=1anρn- （z+ρ`）-^NXn=1^an^ρn+（z+ρ`）= -a`ρ\'z-1个+σρ`+aρ`+ω+σρ`+a+ωz+σ+ ωz+∞Xn=3ωnzn，（3.5）ωn：=ω\'，n：=NXi=1i6=`aiρ`ρi- ρ`-^NXi=1^aiρ`^ρi+ρ`- a` n=0NXi=1i6=` aiρi（ρi- ρ`）n+1+(-1） n^NXi=1^ai^ρi（^ρi+ρ`）n+1n∈ N、 （3.6）对于0<| z |<min{|ρ有效`-1.- ρ`|, |ρ`+1- ρ` |}。以类似的方式，我们得到^g（z；`）=σ（z- ^ρ`）+a（z- ^ρ`）+（z- ^ρ`)NXn=1anρn- （z）- ^ρ`）-^NXn=1^an^ρn+（z- ^ρ`)= ^a`^ρ\'z-1个+σ^ρ`- a^ρ`+ω+一- σρ`+ωz+σ+ ^ωz+∞Xi=3^ωnzn，（3.7）^ωn：=^ω\'，n：=^NXi=1i6=`^ai^ρ`ρi- ^ρ`-NXi=1ai^ρ`ρi+ρ`- ^a` n=0NXi=1aiρi（ρi+^ρ`）n+1+(-1） n^NXi=1i6=`^ai^ρi（^ρi- ^ρ`）n+1n∈ N、 （3.8）对于0<z<min{ρ`-1.- ^ρ`|, |^ρ`+1- ^ρ`|}. 接下来我们将写{g\'，n}n≥-1或{gn}n≥-1对于g（z；`）的展开系数，我们将采用类似的表示法表示^g（z；`）。此外，我们提醒读者k'fn表示集合{fn}n的第一个n+k+1元素≥k、 例如，序列的第一个n+k+1系数，以及sn、mn、rn、Pn和Ln分别表示通过求和、乘法、倒数、cz合成和换算得出的序列的系数。分别见第2.2节（2.2）、（2.7）、（2.8）、（2.4）、（2.6）、（2.12）。定理3。（i） 假设σ>0。

然后存在R>0，这样对于q∈ C+RζM=∞Xn=-1bnqn/2，且^ζ^M=-∞Xn=-1个(-1） nbnqn/2，（3.9），其中BN=rn（\'cn+2），ci=li（\'di+1），dj=rj(-2英寸hj-4） ，且（3.9）中的级数收敛于CR.（ii）如果σ=0且a>0（分别为a<0），则存在R>0，使得对于q∈ CR，ζM=∞Xn=-1BNQNREP。^ζ^M=-∞Xn=-1bnqn！，式中，bn=rn（\'cn+2），ci=li（\'di），dj=rj(-1英寸hj-2） ，级数收敛于CR.Proof。我们只证明σ>0的情况，其他情况可以用基本相同的方式证明。对于大的| q |，我们想求解ψ（z）=q。设置z=vand q=wwe请参见，对于较小的| w |，这相当于求解w=h（v）。我们首先确定h（v）倒数的展开式。这将产生w=∞Xj=2rj(-2英寸hj-4） vj公司=∞Xj=2djvj，在零附近有效。现在我们反转序列；选择我们得到的平方根函数的主分支作为一个解V=∞Xi=1li（(R)di+1）wi/2=∞Xi=1ciwi/2，这在接近零时仍然有效。将结果序列再次往复=∞Xn=-1rn（(R)cn+2）wn/2=∞Xn=-10亿/2=∞Xn=-10亿q第2页。（3.10）由于w中的级数在某些R>0时收敛于B（1/R1/2），因此（3.10）的右侧收敛于CR；此外，我们还有∞Xn=-10亿q编号/2=∞Xn=-这个表达式的右侧显然也收敛于CR。因此，我们得到z=（2q/σ）1/2+b+O（q-1/2）以便z→ +∞ 作为q→ +∞. 从交错性质（3.1）可知，ψ（z）=q的所有其他解的值都严格小于ρ，对于实q；因此，zm必须对应于ζM。类似的推理和选择平方根收益率的另一个分支的结果为^ζM。

UT以下推论或多或少直接遵循定理3和第2.2节讨论的级数运算；校样交给读者。推论2。假设σ>0且{bn}n≥-1如定理3（i）所示。（i） 存在R>0使得ζM=∞Xi=1 IQI/2，且^ζ^M=-∞Xi=1(-1） iciqi/2，q∈ C+R，其中{ci}i≥1如定理3（i）所示，级数收敛于CR。（ii）存在R>0，因此对于c：=b- 1，cn：=bn，n 6=0，dn：=(-1） ncn，n≥ -1，我们有ζM- 1个=∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qn/2和^ζM+1=-∞Xn=1rn(-1英寸dn-2） qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR.（iii）存在R>0，因此对于cn：=(-1） nbn，n≥ -1、我们有-ζM=k-（2q/σ）1/2∞Xn=0pn（k，-(R)bn）qn/2，k^ζ^M=k（2q/σ）1/2∞Xn=0pn（k，-中国）qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR.（iv）存在R，我们有ζM=∞Xn=12.- nbn公司-第2季度，以及-^ζ^M=∞Xn=1(-1） n个2.- nbn公司-2qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR3推论。假设σ=0，a>0（分别为a<0），且{bn}n≥-1如定理3（ii）所示。（i） 存在R>0使得ζM=∞Xi=1 IQIRESP。^ζ^M=-∞Xi=1ciqi！，q∈ CR，其中{ci}i≥1如定理3（ii）所示，级数收敛于CR。（ii）存在R>0，使得ζM- 1个=∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qnresp。^ζ^M+1=-∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qn！，q∈ CR，其中c：=b- 1，cn：=bn对于n 6=0，级数收敛于CR.（iii）存在R>0，使得k-ζM=k-问/答∞Xn=0pn（k，-十亿）QNREP。k^ζ^M=k-问/答∞Xn=0pn（k，-十亿）qn！，q∈ CR，其中级数收敛于CR。（iv）存在R>0，使得ζM=∞Xn=0（1- n） bn公司-1QNREP。-^ζ^M=∞Xn=0（1- n） bn公司-1qn！，q∈ CR，级数收敛于CR。现在，我们将注意力转向剩余解{ζ`}1≤`≤N、 和{ζ`}1≤`≤^N.将g（z；`）和^g（z；`）的洛朗级数表示的系数写成{gn}N是很方便的≥-1和{^gn}n≥-1不参考索引“”。

然而，读者应该注意到，当描述ζ`的{gn}n级数展开时≥-1我们总是想要g（z；`）的系数，同样地，对于^ζ`。定理4。对于每个1≤ ` ≤ N（分别为1≤ ` ≤^N），存在R>0，使得ζ`=∞Xn=0bnqnresp。^ζ`= -∞Xn=0^bnqn！，q∈ CR，其中b=ρ`（分别为^b=-ρ），bn=ln（\'cn），ci=ri(-1’gi-（2）响应。^bn=ln中国大陆, 和^ci=ri-1英寸gi-2.,级数收敛于CR.Proof。我们只证明了正解的结果，而负解的结果的证明是相似的。我们的目标是求解g（z；`）=q（对于大的| q |），或者通过改变变量q=w，来求解g（z；`）=w（对于小的| w |）。我们首先确定g（z；`）的倒数展开式。这就产生了，对于接近零的z，w=∞Xi=1rn(-1’gi-2） zi公司=∞Xi=1cizi。现在我们反转givingz系列=∞Xn=1ln（(R)cn）wn=∞Xn=1bnqn，（3.11），其中，对于某些R>0，左侧收敛于B（1/R），因此右侧收敛于CR。现在我们让v=z+ρ`。仍然需要证明ρ`-当q>0足够大时，1<v<ρ\'，或等于z<0。然而，如果情况并非如此，即如果每M>0，我们可以找到一个q>M，使得z≥ 0，那么，从z开始→ 0，对于至少一个这样的z，我们将使g（z；`）=ψ（v）<0 6=q或g（z；`）=ψ（ρ`）6=q；这可以从（1.1）中ψ（z）的定义以及图1的视觉效果来验证。根据交错特性（3.1），我们得出结论，v必须对应于ζ`。UTT使用定理4和级数运算规则可以直接证明以下推论；我们把证据留给读者。推论4是推论2和3的类似物。推论4。对于每个1≤ ` ≤ N（分别为1≤ ` ≤对于（i）、（ii）、（iii）和（iv）中的每一个，存在R>0，使得级数表示保持并收敛于所有q∈ 整个{bn}n的CR≥0（分别为。

{^bn}n≥0）如定理4所定义。（i） ζ`=∞Xn=0rn（(R)bn）qn响应。^ζ`= -∞Xn=0rn十亿欧元qn公司（ii）假设ρ>1，我们有ζ`- 1个=∞Xn=0rn（(R)cn）qnresp。^ζ`+1=-∞Xn=0rn中国大陆qn！，其中c=b- 1和cn=bn（分别为^c=^c- 1和^cn=^bn）否则。（iii）任何k>0k-ζ`=∞Xn=0pn（k，-十亿）QNREP。k^ζ`=∞Xn=0pn（k，-\'\'bn）qn！。（iv）ζ`=∞Xn=2（1- n） bn公司-1QNREP。-^ζ`=∞Xn=2（1- n） 十亿欧元-1qn！示例1（通过拉普拉斯变换的奇异期权定价）。设X为参数集1定义的过程，设置σ=0.042，a=0.141875。此外，我们将X定义为运行supremum进程，即Xt：=sups≤tXsand考虑计算D（t）：=D（t；k）：=e的问题-rtPXt<对数（k）对于某些固定的t，k，r>0。读者可能会认识到，D（t）代表欧洲升级和升级数字选项的价值。使用维纳-霍普夫因式分解，可以直接显示l{ertD（t）}（q）=1-P`=1β\'k-ζ\'q，其中β`:=β`（q）：=q`=k1.-ζ`（q）ρk第一季度≤k≤8k6=`1.-ζ`（q）ζk（q）, 1.≤ ` ≤ 8.有关推导的更多详细信息，请参见[18]。为了恢复ertD（t），我们需要计算2πiZc+iRetqL{ertD（t）}（q）dq=<ectπZ∞eitu1-P`=1β`（c+iu）k-ζ`（c+iu）c+iudu！式中，c>0，通常i：=√-右边的积分需要通过数值求积规则进行计算；特别是，对于求积中的每一步，我们需要计算{ζ`（c+iu）}1≤`≤8数字。虽然有几种很好的数值方法可以做到这一点，但thisDisc。步骤示例。LimitD（0.25）Method 1D（0.25）Method 2 TimeRoots Method 1 TimeRoots Method 2 Totalimemethod 1 Totalimemethod 20.896525 0.896525 2.852 0.956 3.364 1.4600.896764 0.896764 27.428 6.332 32.488 11.3920.896865 0.896865 273.224 56.300 323.876 106.976表1：D（0.25），采用两种方法，采用不同的离散化步骤数和集成上限。时间以秒为单位。

“时间根”是指算法计算根所花费的时间；“Total time”是计算D（0.25）所需的总时间。“根查找”通常是算法中时间最密集的部分。为了加快计算速度，我们可以用数值方法代替{ζ`（c+iu）}1≤`≤8一旦u足够大，则通过定理3和4的（截断的）系列展开（通常选择较大的c不会产生可靠的算法）。为了验证这一想法，我们使用了【23】第5节中提出的寻根算法，该算法可以描述如下：a）区分单位ψ（ζ`）=q与u的关系，b）使用中点法等数值方法在u的离散化过程中的每一点求解ζ`的最终ODE。在每一步中，通过应用牛顿寻根算法的两到三次迭代来提高估计值。为了计算积分，我们使用菲隆求积[13，14]。有关组合方法的概述，即寻根法和费隆求积法，请参见【15】中的第5.2章。固定t=0.25、k=1.1、r=0.03和c=0.5，我们使用上一段中描述的方法（方法1）计算D（0.25），并使用u>80的截断数列替换数值根查找技术（方法2）计算D（0.25）。为此，我们使用q级以下的系列-10对于所有1≤ ` ≤ 根据我们对精度的需要，我们可以在应用Filon求积时改变离散化步数和积分上限。表2对这两种方法进行了比较。我们发现，方法1查找根的时间是方法2的3到4.5倍，总时间大约是方法2的2到3倍。我们发现价格精确到小数点后12位。方法2的时间中不包括计算{ζ`}1级数展开系数所需的时间≤`≤8.

然而，总的来说，这是可以忽略的：所有系数约为0.1秒。为了进一步了解级数展开的准确性，我们还在图2和图3中给出了一些图形实验。在所有情况下，我们在q阶截断级数-10、在图2a中，weseeζ（q）（蓝色）的曲线图o) 和^ζ（q）（红色), 式中，q=0.5+iu，u∈ [80, 150]. 对应误差|ψ（ζ）-q |和|ψ(-^ζ) -q |如图2b所示。此外，我们计算了图2c中的ζ和^ζ，并显示了误差|ζ-1/ψ（ζ）|和|-^ζ-1/ψ(-^ζ）|如图2d所示。请注意，一旦q很大，因此ζ`是一个解析函数，我们可以区分ψ（ζ`）=q的两侧，相对于q，表示ζ`=1/ψ（ζ`），类似地-^ζ`= 1/ψ(-^ζ`); 这是导数误差计算的基础。ζ和^ζ的相同信息如图3所示。+雷姆（a）5。' 10-81. '10-71.5'10-7（b）俎俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬Д5。' 10-91. \'10-81.5\'10-82。' 10-82.5 ' 10-83. \'10-8（d）图2：ζ（蓝色）曲线图o) 和^ζ（红色) 如2a所示，错误如2b所示。ζ和^ζ的曲线图显示在2c中，误差显示在2d中。4欧式期权价格的分析公式和Greek在本节中，我们通过指数超指数过程对股票价格S进行建模。也就是说，wesetSt：=SeXt，t>0，其中S>0是时间零点的股票价格，X是满足ψ（1）=r>0和ρ>1的超指数过程，r表示某种固定利率。后一个条件确保贴现过程e-RTSTI是一个鞅，换句话说，所谓的风险中性条件是满足的。

我们将简单地说，当ψ（1）=r>0且ρ>1时，X ful满足风险中性条件。众所周知，在这种情况下，欧洲看跌期权的理论价格由表达式C：=C（T）：=e给出-rTE[（ST- K） +]，响应。P：=P（T）：=e-rTE[（K- ST）+)（a）第59.8059.8559.9059.9560.0060.0560.10Re0.60.81.01.21.41.61.8Im（a）段第五节。' 10-71. \'10-61.5\'10-62。' 10-62.5 ' 10-63. 第10-6（b）条（b）条（a）条（b）条（a）条（b）条（a）条（a）条（b）条（b）条（b）条Д5。' 10-101. ' 10-91.5 ' 10-92. \'10-92.5\'10-93。\'10-93.5\'10-9（d）图3：ζ（蓝色）曲线图o) 和^ζ（红色) 如3a所示，错误如3b所示。ζ和^ζ的曲线图显示在3c中，误差显示在3d中。其中，K>0是履约价格，T>0是到期日期，（x）+=最大{0，x}，x∈ R、 写入C（T）=e-rT×S×f（T），f（T）：=E[（eXt- k） +]，k：=KS（4.1）允许我们专注于评估C（T）的困难部分，即评估f（T），而无需附带其他条款。让w（t）和w（q）类似地定义为put P（t）。如果我们取f（t）的拉普拉斯变换，我们会看到f（q）：=Z∞e-qtf（t）dt=qE[（eXe（q））- k） +]（4.2），其中e（q）再次是平均值为q的指数随机变量-由于我们从定理2中知道了Xe（q）的分布，我们可以用{ζn}1来计算F（q）的显式表达式≤n≤命令{ζn}1≤n≤^Mas我们在下面做。假设首先k>1，即看涨期权不在货币范围内（OTM），我们有f（q）=qZR（ex- k） +P（Xe（q）∈ dx）=Z∞对数（k）（ex- k） MX`=1e-ζ\'xψ（ζ`）dx=kMX `=1k-ζ`ψ(ζ`)ζ`(ζ`- 1） 。现在，如果q足够大，我们可以用ζ`替换1/ψ（ζ`），类似地，1/ψ(-^ζ`）由-^ζ`.