多期最优投资组合的贝叶斯推理

Sherman-Morrison公式的应用（参见Meyer（2000）中的p.125）得出（Sy+（ν-我的）（ν- 我的）>）-1=S-1年-S-1y（ν- 我的）（ν- my）>S-1y1+（ν-my）>S-1y（ν- my）（11）Letu=S-1/2年（ν- my）q（ν- my）>S-1y（ν- my）和Q=dy（ν- my）>S-1y（ν- my）/k.（12）自ν| y起~ tk（dy，my，Sy/dy）以及多元t分布属于椭圆等高分布的类别，我们得出u和Q是独立的，u均匀分布在Rk的单位球面上（参见Gupta、Varga和Bodnar（2013）的定理2.15）。此外，从多元t分布的性质（见Kotzand Nadarajah（2004）第19页），我们得到Q~ F（k，dy），即Q具有k和dydegrees自由度的F分布。因此，（11）和（12）的应用导致（Sy+（ν-我的）（ν- 我的）>）-1=S-1年-kQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU>S-1/2年，（Sy+（ν-我的）（ν- 我的）>）-1（ν- a） =秒-1y（ν- （a）-S-1y（ν- 我的）（ν- my）>S-1y（ν- 我的+我的- a） 1+（ν-my）>S-1y（ν- my）=S-1y（车型年款- a） +秒-1y（ν- my）1+（ν-my）>S-1y（ν- 我的）-S-1y（ν- 我的）（ν- my）>S-1y（车型年款- a） 1+（ν-my）>S-1y（ν- my）=S-1y（车型年款- a） +pkQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU-kQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU>S-1/2年（车型年款- a） ，和（ν）- a） >（Sy+（ν-我的）（ν- 我的）>）-1（ν- a） =（车型年款- a） >S-1y（车型年款- a） +2（车型年款- a） >S-1/2 YUPKQ/dy1+kQ/dy+kQ/dy1+kQ/dy-kQ/dy1+kQ/dy（我的- a） >S-1/2 YU.把以上结果放在一起，我们得到了引理的陈述。定理2的证明。定理2的结果是用引理2得到的，引理M=CtL，∑=Ohm, ν=u，a=rf，t+11和（a）ky=n+k+1，dy=n-k、 vy=n，我的-a=xt，d-rf、t+11、Sy=St、d/n和S*y（ν）=S*t、 d（u）在使用之前；（b） ky=n+d+1，dy=n+d-2k，vy=n+r，my-a=xt，c-rf、t+11、Sy=St、c/（n+r）和S*y（ν）=S*t、 c（u）在共轭之前。定理3的证明。该定理的证明基于定理2中得到的随机表示。

设l为任意k维常数向量。（a） 使用η、zQ和u是独立的，并且E（z）=0，在不同的情况下，我们得到E（η）=n和E（ζd | xt，n）=S（l>wt | xt，n）=CtE（η）l>E（ζd-1t，d（xt，d- rf，t+11）+√nEpkQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） S-1/2吨，d！E（u）- EkQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） S-1/2吨，dE（uu>）S-1/2t，d（xt，d- rf，t+11）=S-1t，d（xt，d- rf，t+11）-knkS公司-1t，d（xt，d- rf，t+11），其中我们使用E（u）=0和E（uuT）=kIk（参见，例如Gupta et al.（2013）），以及如果Q~ F（k，n- k） ，然后KN-kQ公司/1+kn-kQ公司~ 测试版k、 n个-k. 因此，Ek（n-k） Q1+k（n-k） Q=因此，由于l是一个任意向量，我们得到e（wt | xt，n）=Ct（n- 1） S-1t，d（xt，d- rf，t+11）。（b） 与（a）部分中的计算类似，leads toE（wt | xt，n）=Ct（n+d- k-1） S-1t，c（xt，c- rf，t+11），在共轭先验下。引理3。在引理2的假设下，M=b>：1×k，我们得到vye（（b>Ohm-1（ν- a） ）| y）=（ky- k-1） （肯塔基州- k） “”1.-k+dy+（k+dy）（k+dy+2）c类+dy（k+dy）（k+dy+2）+（k+dy）（k+dy+2）cc#+（ky- k-1） “”k- 1k+dy+1.-k-k+dy+（k+dy）（k+dy+2）cc+（k+dy）（k+dy+2）c#，其中c=b>S-1yb，c=（我的- a） >S-1y（车型年款- a） ，且c=b>S-1y（车型年款- a） 。证据引理的证明基于引理2的随机表示。

由于η、z、Q和u是独立的，并且E（z）=0，E（zz>）=Ip，我们得到Vye（（b>Ohm-1（ν- a） ）| y）=E（η）E（（b>ζ）| y）+E（η）E类(b> Υb | y）- E（（b>ζ）| y）= （肯塔基州- k-1） （肯塔基州- k） E（（b>ζ）| y）+（ky- k-1） E类(b> Υb | y），其中E（η）=ky- k-1和E（η）=（ky- k-1） （肯塔基州- k+1）。E（uuT）=kik的应用和u的所有奇混合矩均为零（（b>ζ）| y）=（b>S）的事实-1y（车型年款- a） ）+kEkQ/dy（1+kQ/dy）b> S-1yb-kE公司kQ/dy1+kQ/dy（b>S-1y（车型年款- a） ）+EkQ/dy1+kQ/dy!E（b>S-1/2 YU）（（我的- a） >S-1/2 YU）| y安第斯山脉b> Υb | y= （我的- a） >S-1y（车型年款- a） b>S-1yb+EkQ/dy1+kQ/dyb> S-1yb-kE公司kQ/dy1+kQ/dy（我的- a） >S-1y（车型年款- a） b>S-1yb-k（车型年款- a） >S-1y（车型年款- a） b>S-1yb-kE公司kQ/dy1+kQ/dy基站-1yb+EkQ/dy1+kQ/dy!E（b>S-1/2 YU）（（我的- a） >S-1/2 YU）| y.由于kQ/dy1+kQ/dy2具有k/2和dy/2自由度的β分布，我们得到kQ/dy1+kQ/dy=kk+dy，EkQ/dy1+kQ/dy=2kdy+k（k+dy+2）（k+dy）（k+dy+2）=k（k+2）（k+dy）（k+dy+2）。此外，使用Q~ F（k，dy），我们得到kQ/dy（1+kQ/dy）=n∞Zkt/dy（1+kt/dy）Bk、 dy公司kdy公司k/2tk/2-1.1+kdyt-（k+dy）/2dt=Bk、 dy公司∞Zkdy公司（k+2）/2t（k+2）/2-1.1+kdyt-（k+dy+4）/2dt=Bk+2，dy+2Bk、 dy公司=kdy（k+dy）（k+dy+2），其中B（·，·）表示beta函数（参见，Mathai和Provost（1992，第256页））。接下来，我们计算E（b>S-1/2 YU）（（我的- a） >S-1/2 YU）| y. 让QN~ χkbe独立于u。然后√QNu具有多变量标准正态分布，即。b> S-1/2年（车型年款- a） >S-1/2年pQNu~ N0，b> S-1yb b>S-1y（车型年款- a） （我的- a） >S-1yb（车型年款- a） >S-1y（车型年款- （a）= N0，中国交建,其中，引理3的陈述中定义了c、c和care。

因此，E（b>S-1/2 YU）（（我的- a） >S-1/2 YU）| y= 呃b> S-1/2 YU（我的- a） >S-1/2 YU|yiE（QN）E（QN）=Eb> S-1/2年√QNu公司（我的- a） >√QNS-1/2 YU|yE（QN）=cc+2ck（k+2），其中最后一个等式来自于Isserlis定理（c.f.，Isserlis（1918））。因此，E（b>ζζ>b）=c+kkdy（k+dy）（k+dy+2）c-kkk+dyc+k（k+2）（k+dy）（k+dy+2）cc+2ck（k+2）=1.-k+dy+（k+dy）（k+dy+2）c类+dy（k+dy）（k+dy+2）+（k+dy）（k+dy+2）c坎德b> Υb= cc+kk+dyc-kkk+dycc-kcc公司-kkk+dyc+k（k+2）（k+dy）（k+dy+2）cc+2ck（k+2）=（k+dy）（k+dy+2）c+k- 1（k+dy）+1.-k-k+dy+（k+dy）（k+dy+2）cc、 定理4的证明。定理4的结果是用引理3得到的，引理b=Ctl，∑=Ohm, ν=u，a=rf，t+11和定理3。（a） 在之前使用的情况下，使用ky=n+k+1，dy=n- k、 vy=n，我的- a=xt，d- rf，t+11，Sy=St，d/n，c=nCtl>S-1t，dl，c=n（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d（xt，d- rf，t+11），和C=nCtl>S-1t，d（xt，d- rf，t+11）我们得到Var（l>wt | y）=n（n（n+1）”1.-n+n（n+2）c类+n- kn（n+2）+n（n+2）cc#+n“k- 1n+1.-k-n+n（n+2）cc+n（n+2）c#- （n）- 1） c）=n- 1 NC+cnn+k-2n+2+n（k- 1） kc公司= l>Ct（n）- 1） S-1t，d（xt，d- 右前，t+11）（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d+n+k-2n（n+2）+k- 1kbdS-1t，dL其中bd=n（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d（xt，d- rf，t+11）。

因为l是一个任意向量，所以（a）部分的结果如下。（b） 在共轭先验的情况下，应用ky=n+d+1，dy=n+d- 2k，vy=n+r，my- a=xt，c- rf，t+11，Sy=St，c/（n+r），c=（n+r）Ctl>S-1t，cl，c=（n+r）（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，c（xt，d- rf、t+11）和c=（n+r）Ctl>S-1t，c（xt，c- rf，t+11）。导致Var（l>wt | y）=（n+r）（（n+d- k） （n+d- k+1）×”1.-n+d- k+（n+d- k） （n+d- k+2）c类+n+d- 2k（n+d- k） （n+d- k+2）+（n+d- k） （n+d- k+2）cc#+（n+d- k） “”k- 1n+d- k级+1.-k-n+d- k+（n+d- k） （n+d- k+2）cc+（n+d- k） （n+d- k+2）c#- （n+d- k-1） c）=（n+r）“n+d- k-1（n+d- k） c+c（n+d- k） +千-2n+d- k+2+（n+d- k） （k）- 1） kc公司#= l> （Ct）（n+d- k-1） S-1t，c（xt，c- 右前，t+11）（xt，c- 射频，t+11）>秒-1t，c+（n+d- k） +千-2（n+r）（n+d- k+2）+（n+d- k） （k）- 1） （n+r）kbcS-1t，c#）L其中bc=（n+r）（xt，c-射频，t+11）>秒-1t，c（xt，c-rf，t+11）。因为l是一个任意向量，我们得到了定理4的陈述。（b） 。定理5的证明。设l为任意k维向量。

从定理1（L=L>）中，我们得到了Lwtun在微分先验和共轭先验表示为L>wtd=CtηL>S的情况下的以下随机表示*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）+Ct√η（u- rf，t+1）>S*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）·l>S*t、 d（u）-1升- l> S*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）（u- rf，t+1）>S*t、 d（u）-1升1/2z，其中η~ χn，z~ Np（0，Ip）和ux~ tk（n- k、 xt，d，St，d/（n（n- k） ）），且l>wtd=Ctηl>S*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）+Ct√η（u- rf，t+1）>S*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）·l>S*t、 c（u）-1升- l> S*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）（u- rf，t+1）>S*t、 c（u）-1升1/2z，其中η~ χn+d-k、 z~ Np（0，Ip）和ux~ tk（n+d- 2k，xt，c，St，c/（（n+r）（n+d- 2k）））。此外，自√nη/新西兰/√nu-xt，dd-→ N0，2 0 00 Ip0 0 0St和√nη/新西兰/√nu-xt，cd-→ N0，2 0 00 Ip0 0 0St作为n-→ ∞ 以及Limn-→∞xt，c=xt=极限-→∞xt，丹德林-→∞St，cn+r=St=limn-→∞St，dn- delta方法的应用（c.f.，（DasGupta，2008，定理3.7））证明√n（l>重量- l> ^wt）| xt，nd。-→ Nk（0，fd）和√n（l>重量- l> ^wt）| xt，nd。-→ Nk（0，fc），作为n-→ ∞ 分别在使用先验和共轭先验下。最后，定理4的结果yieldfd=limn-→∞风险值(√nl>wt）=limn-→∞l> （Ctn（n- 1） S-1t，d（xt，d- 右前，t+11）（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d+n+k-2n（n+2）+k- 1kbdS-1t，d！）l=l>（Ct“S-1t（xt- 右前，t+11）（xt- 射频，t+11）>S-1吨+1+k- 1k（xt- 射频，t+11）>S-1t（xt- rf，t+11）S-1t#）陆地，类似地，fc=l>（Ct“S-1t（xt- 右前，t+11）（xt- 射频，t+11）>S-1吨+1+k- 1k（xt- 射频，t+11）>S-1t（xt- rf，t+11）S-1t#）l=fd。因为，对于每个l，线性组合l>WT是渐近正态分布的，那么我们也可以得到权重向量WT是渐近正态的。定理6的证明。

自xt+1 |u起，∑~ Nk（u，∑），它在条件上独立于xt，n，我们得到cwt+1 |u，∑，xt，n~ N（重量（1+rf，t+1+v>t（u- rf，t+1），Wtv>t∑vt）。（a） 在使用之前的差异的情况下，我们观察到V>t∑vtv>tSt，d（u）*vtd=ξ，（13），其中ξ~ χn-k+1与u无关（参见Muirhead（1982）中的定理3.2.13）。然后，cwt+1的随机表示为cwt+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（u- rf，t+1）+pv>tSt，d（u）*vt公司√n- k+1t！，其中t~ t（n- k+1，0，1）与u无关。最后，根据多变量t分布的性质，我们得到V>t（u- xt，d）~ t型n- k、 0，v>tSt，dvtn（n- k）,这导致WT+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（xt，d- 射频，t+1）+qv>tSt，dvttpn（n- k） +s1+tn- 千吨级√n- k+1!,其中tand皮重独立于t~ 田纳西州-kand t公司~ 田纳西州-k+1。（b） 同样，对于共轭先验，它认为V>t∑vtv>tSt，c（u）*vtd=ξ，（14），其中ξ~ χn+d-2k+1，与u无关。然后，cwt+1的随机表示为cwt+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（u- rf，t+1）+pv>tSt，c（u）*vt公司√n+d- 2k+1t！，其中t~ tn+d-2k+1与u无关。根据多元TDI分布的性质，我们得出V>t（u-xt，c）~ t型n+d- 2k，0，v>tSt，cvt（n+r）（n+d- 2k）,这导致WT+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（xt，c- rf，t+1）+qv>tSt，cvttp（n+r）（n+d- 2k）+s1+tn+d- 2吨√n+d- 2k+1!,其中tand皮重独立于t~ tn+d-2K和t~ tn+d-2k+1.5.2共轭优先超参数的经验Bayes估计在本节中，我们推导共轭优先超参数的经验Bayes估计。

给定样本xτ，通过最大化（例如，参见Carlin和Louis（2000））g（m，S）=ZuZ∑L（xt，n |u，∑）π（u，∑）d∑du（15）得到mand的经验Bayes估计。首先，我们计算（15）中的积分，忽略不依赖于mand的项，得到g（m，S）∝ZuZ∑L（xt，n |u，∑）π（u，∑）d∑du∝ZuZ∑|∑|-不适用于2exp-n（(R)xτ）- u)>Σ-1（(R)xτ）- u）-n- 1tr（Sτ∑）-1)×|∑|-1/2膨胀-r（u- m） >∑-1(u - m）-o×|∑|-d/2 | S |（d-k-1） /2exp-tr（S∑）-1)d∑du=| S |（d-k-1） /2ZuZ∑|∑|-（n+d+1）/2exp-tr公司∑-1Vτ（u；m，S）d∑du∝ |S |（d-k-1） /2Zu| Vτ（u；m，S）|-（n+d-k） /2du，其中最后一个恒等式是通过认识到在关于∑的积分下，我们有IWk（n+d+1，Vτ（u；m，S））密度函数的核，yτ（m）=（n？xτ+rm）/（n+r）和Vτ（u；m，S）=S+（n- 1） Sτ+r（u- m） （u- m） >+n（(R)xτ- u）（(R)xτ- u）>=S+（n- 1） Sτ+nr（m-\'yτ（m））（m-(R)yτ（m））>n+r+（n+r）（u-？yτ（（m））（u-\'yτ（m））>。LeteVτ（m，S）=S+（n-1） Sτ+nr（m-\'yτ（m））（m-\'yτ（m））>/（n+r）。Sylvester行列式定理的应用导致| Vτ（u；m，s）|=| eVτ（m，s）|（1+（n+r）（u-(R)yτ（m））>eVτ（m，S）-1(u -因此，g（m，S）∝ |S |（d-k-1） /2Zu| Vτ（u；m，S）|-（n+d-k） /2du∝ |S |（d-k-1） /2 | eVτ（m，S）|-（n+d-k） /2×Zu（1+（n+r）（u-(R)yτ（m））>eVτ（m，S）-1(u -\'yτ（m）））-（n+d-k） /2du∝ |S |（d-k-1） /2 | eVτ（m，S）|-（n+d-k-1） /2=| S |（d-k-1） /2 | S+（n- 1） Sτ|-（n+d-k-1） /2×1+个（m-\'yτ（m））>（S+（n- 1） Sτ）-1（米-\'yτ（m））/（n+r）-（n+d-k-1） /2，我们第二次使用Sylvester行列式定理。从最后一行中，我们得出结论，g（m，S）最大化是关于满足m=\'yτ（m）的材料，与滑动到m=\'xτ无关。取g（m，S）的对数，计算关于S的矩阵导数，然后将其设置为零矩阵，并替换mby^m，我们得到以下矩阵方程d- k-1秒-1.-n+d- k-1（S+（n- 1） Sτ）-1=w，用^S=（d）给出的解- k-1） （n）- 1） nSτ。参考Aguilar、O.和M。

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