多期最优投资组合的贝叶斯推理

汇丰银行宣布，作为对公投的直接反应，其银行业务的重要部分将从伦敦金融城转移到不同的地点，劳埃德银行因脱欧而寻求获得德国银行牌照。马莎百货股份的回报率并未受到脱欧的影响，但该公司表示，在脱欧前几天，消费者信心将减弱。这也意味着国内消费品价格的不确定性，因为初始财富的回报率下降了2008英镑，2012年，2014年，2016年，初始财富的回报率下降了1倍。LGSK。LMKS。LSL。LBRBY。LHSBA。2008年2010年2012年2014年2016年TimeWealthloy。下一页。LRR。LSGE。LTSCO。LULVR。图1：开发投资组合中考虑的12项资产的总回报。英国脱欧投票后，他对美元的汇率几乎下降了1/5，特易购和联合利华强调了这一点。但葛兰素史克和标准人寿似乎没有受到脱欧决定的影响，甚至产生了积极的回报。毕竟，劳斯莱斯在2016年初面临重大亏损，并受到脱欧投票的严重打击，因为他们需要对冲巨额英镑汇率波动，因为航空航天领域的大多数合同都是以美元进行的。3.2权重的后验分布根据定理2，可以直接获得权重的后验分布。可以使用以下步骤对重量进行采样：1。

独立生成oη~ χn在差异使用之前或η下~ χn+d-kunder共轭先验知识oz~ Np（0，Ip）漫反射，n=52Shapiro-Wilk试验：p=0.0048密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5漫反射，n=78夏皮罗-Wilk试验：p=0.0472密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5漫反射，n=104Shapiro-Wilk检验：p=0.247密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5漫反射，n=130夏皮罗-Wilk检验：p=0.5827密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图2：使用前葛兰素史克（GSK）标准重量直方图。假设当样本大小大于n=100时，对于常见的显著性水平，不能拒绝正态分布的权重Q~ F（k，n-k） 在使用之前或Q~ F（k，n+d-2k）在共轭优先下oZ~ Nk（0，Ik） u=Z/√ZZ2.使用随机表示法（8）计算投资组合权重向量，对于Diff-use-Previor，使用随机表示法（9）计算共轭Previor。3、重复步骤（1）和（2）B次。该模拟程序的实施导致在投资期的每个时间点出现大小为B的最优投资组合权重序列，从这些序列中，我们使用其样本分布近似权重的后验分布以及这些分布中的重要数量和投资组合权重的可信集。

值得注意的是，所有计算都可以通过从已知的单变量分布生成样本轻松完成，并且通过选择相应的B.共轭值，n=52Shapiro，可以实现较高的数值精度-Wilk试验：p=0.0882密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5共轭，n=78夏皮罗-Wilk检验：p=0.1434密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5共轭，n=104夏皮罗-Wilk试验：p=0.236密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5共轭，n=130夏皮罗-Wilk检验：p=0.441密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图3：共轭前的标准葛兰素史克（GSK）重量直方图。在所有考虑的样本量的情况下，对于共同显著水平，不能拒绝权重正态分布的假设。在图2和图3中，我们分析了理论5中给出的结果的有限样本行为。即，根据定理5，我们研究了最优投资组合权重的后验分布收敛到相应渐近分布的速度，该渐近分布是两个先验的正态分布。超参数的选择和共轭先验的情况特别令人感兴趣。根据贝叶斯范式，mand表示决策者的正确信念。但实际上，有几种数据驱动的方法如何用依赖于数据的值^mand^S来代替mand sb。我们利用经验贝叶斯方法（公式推导见附录中的第5.2节），该方法直接从估计投资组合权重的经验对应项之前的时间段应用于相应资产回报的每周数据，始终具有相同的时间窗口。即，它们由^m=xn给出-tand^S=（d- k-1） （n）- 1） nSn公司-t将推导移至附录（第5.2节）。

t>1的先验参数是使用相应时期开始的滚动窗口估计的。我们将dequal设置为pres样本期内的观察次数，即d=n。我们将B=10设置为定理2的随机表示，并比较Glaxo Smith Kline（GSK）为priod T计算的标准化权重- 1在多个样本量的情况下n∈ {52、78、104、130}。图2给出了相应的直方图，用于区分使用先验，图3给出了共轭先验。在这两个图中，我们还表示了Shapiro-Wilk检验的p值，表明标准化权重是否遵循标准正态分布。对于5%的共同显著性水平，该假设在n=52和n=78的情况下被拒绝，但对于较大的样本量，不能在该水平上被拒绝。在共轭先验的情况下，得到了更强的结果，对于所有考虑的样本量，在5%的水平上不能拒绝零假设。因此，我们得出结论，定理5的近似分布工作得相当好。3.3财富发展和信誉区间由于投资的主要目的是赚钱，因此投资者对他们在一个投资期内赚了多少钱感兴趣。我们再次关注与前一小节相同的英国脱欧公投投资期。在投资组合存续期间，未发生破产。但更重要的是，定理6中给出的后验预测分布的托氏表示可用于计算财富的可信区间。通过从理论6中得出B=10的数据并计算95%可信区间，我们得出了特定时期内财富的上限和下限。这些时间间隔以及预测和实现的财富如图4所示。

我们观察到，对于预期的较低和较大样本量，区间宽度存在差异。n的可信区间要小得多∈ {104130}与较小的n相比。请注意，与资产数量相关的样本量必须足够大。否则，由于大规模估计的不确定性（称为维度诅咒），可信区间会受到影响。当样本大小增加时，可能会出现差异先验和共轭先验都表现不好的情况。差异使用优先的原因是，经验对应方可能无法很好地描述投资组合的运行期，这表明参数的现状和稳定性之间存在权衡。由于先验参数是使用更遥远的数据确定的，因此共轭先验的问题更为严重。虽然数据驱动的结合先验方法有些现实，但它并不完全符合贝叶斯范式。当期望值和超参数的选择更接近回报时-5 0 5 10 15财富扩散T=13，k=12日期财富6.6.16 20.6.16 4.7.16 18.7.16 01.8.16 15.8.16 05.9.16n=52n=78n=104n=130预测环化W-5 0 5 10 15财富共轭T=13，k=12日期财富6.6.16 20.6.16 4.7.16 18.7.16 01.8.16 15.8.16 05.9.16n=52n=78n=104n=130预测的环化WF图4：财富发展和95%可信区间，用于区分前（上文）和共轭前（下文）。与用大n估算的投资组合相比，小n的财富几乎总是更高，而大n的可信区间要窄得多。脱欧后，结果可能会有所改善。

虽然这与贝叶斯范式一致，但这种方法当然并不完全实用，但也并非不切实际：使用适当的预测方法，其他数据驱动的方法可以适用，只要它们产生可靠的点估计。这种主观方法强调了在先前的参数化中类似于现实未来市场行为的可能性和必要性，并留给未来研究。3.4违约概率由于后验预测分布的可访问性，我们还可以计算我们的投资组合在每个时间点的违约概率，定义为我们的财富在这个时间点变得消极的事件。通过计算与所有提款相关的违约金额，可以很容易地确定违约的预测概率，在这种情况下，B=10。图5给出了默认值的发展。同样，我们发现了一个类似于前一节所示的后验预测分布的可信区间的模式，即0.000 0.005 0.010 0.015 0.020违约概率扩散先验，k=12，T=13日期违约概率6.6.16 20.6.16 4.7.16 18.7.16 01.8.16 15.8.16 05.9.16n=52n=78n=104n=1300.000 0.005 0.010 0.015 0.020违约概率共轭先验，k=12，T=13DateDefault Probability 6.6.16 20.6.16 4.7.16 18.7.16 01.8.16 15.8.16 05.9.16n=52n=78n=104n=130图5：区分使用先验（上图）和共轭先验（下图）的默认概率。毫无意外。从之前的分歧开始，我们观察到2016年6月27日，即脱欧公投后的一周，违约概率略有增加。使用共轭先验，该默认概率在同一周内较低。同样，n=130的差异使用之前的峰值再次类似于参数稳定性和现实性之间的权衡，导致违约概率略有增加。

与差异先验相比，共轭先验的默认概率在接下来的一周略有增加，这可能是由于参数依赖于更宽的估计窗口。4总结在本文中，我们考虑在贝叶斯环境下指数效用函数的多期投资组合的估计。由于投资组合权重是两个多元/矩阵变量随机量的乘积，因此访问权重分布是一项具有挑战性的任务。由于给定返回向量的精度矩阵的条件分布是反向Wishart分布，通过选择非信息先验和共轭先验，权重的后验分布具有令人满意的性质。有了这一见解，我们可以利用这一被充分理解的分布（c.f.Muirhead（1982））来推导权重的随机表示，这是对后验分布的直接访问。此外，这些表示还为我们提供了最佳投资组合权重的贝叶斯估计及其协方差矩阵。除此之外，我们还推导了财富的后验预测分布，这使得计算投资期每个时间点的投资组合分位数成为可能，因此与风险目的高度相关。然后将该方法应用于英国脱欧公投期间富时100指数的真实数据。利用这些数据，我们确定了权重的后验分布、每个时期的预测财富、较低的财富分位数以及每个时期的违约概率。结果表明，使用随机表示从数值上生成后验分布在计算上非常高效：表示依赖于来自已知分布的样本，不需要MCMC方法。

在第3节的实证部分，证明了这些方法工作良好，易于实施。我们必须强调几点：虽然非信息先验会产生与常见的频率先验一致的结果，并且与经典案例一样容易应用，但共轭或信息先验据说涉及潜在的很大程度的主观性——有时意味着频率先验或非信息先验是客观的。但我们必须在所有这些情况下选择样本量，这自然是一个主观选择，对投资组合的表现有巨大影响，如第3节所示。实践者必须面对参数现状和参数稳定性之间的这种权衡。共轭先验的一个优点当然是，我们可以将关于资产收益未来行为的信念纳入我们的模型中，这无论是在频繁情况下还是在非信息情况下都是不可能的。这显然是每个投资决策的核心，并反映了自然决策。然而，必须仔细选择超参数，并将严格的敏感性分析留给未来的研究。关于具有指数效用函数的多期投资组合选择，还有其他有待进一步研究的问题。目前的方法可以扩展到具有可预测变量的情况，如Bodnar、Parolya和Schmid（2015b）在已知资产回报分布参数的情况下所讨论的。然而，由于最优投资组合权重的结构更为复杂，资产回报的依赖结构也更为复杂，这就更加困难了。

此外，利用其他效用函数得到的多期最优投资组合可以按照本文提出的方法进行估计。5附录5.1理论证明在这部分文章中，我们给出了理论结果的证明。首先，我们注意到，在Diffuse先验和共轭先验下，在Proposition 2下导出的后验分布具有相似的结构。基于这个原因，我们提出并证明了一些引理，从中可以得到微分先验和共轭先验两种情况下的结果。引理1。允许Ohm|ν、 y型~ IWk（肯塔基州，南部）*y（ν））和ν| y~ tk（dy，my，Sy/dy），其中*y（ν）=vy（Sy+（ν）- 我的）（ν- my）>）设M是常数的p×k维矩阵。然后M的随机表示Ohm-1（ν- a） 由M给出Ohm-1(ν - a） d=ηMS*y（ν）-1（ν- （a）+√η(ν - a） >S*y（ν）-1(ν - a） ·MS*y（ν）-1M>- MS公司*y（ν）-1(ν - a） （ν）- a） >S*y（ν）-1M>1/2z，其中η~ χky-k-1，z~ Np（0，Ip）和ν| y~ tk（dy，my，Sy/dy）；此外，η、zandν是相互独立的。引理1的证明。自从Ohm*d=Ohm|ν=ν*, y~ IWk（肯塔基州，南部）*y（ν*)) 因此，Ohm* -1.~Wk（ky- k- 1，S*y（ν*)-1） （c.f.，Gupta和Nagar（2000）中的定理3.4.1，它认为（例如，参见Muirhead（1982）中的定理3.2.5））*=fM公司Ohm* -1fM>~ Wk（ky- k-1，V*),带fm=（M>，ν*- a） >和V*=毫秒*y（ν*)-1米>。

接下来，我们划分Ξ*和V*以下方式Ξ*=Ξ*Ξ*Ξ*Ξ*=MOhm* -1M>（ν*- a） >Ohm* -1M>MOhm* -1(ν*- a） （ν）*- a） >Ohm* -1(ν*- （a）andV公司*=五、*五、*五、*五、*=MS公司*y（ν*)-1M>（ν*- a） >S*y（ν*)-1M>MS*y（ν*)-1(ν*- a） （ν）*- a） >S*y（ν*)-1(ν*- （a）.Muirhead（1982）中定理3.2.10的应用产生了Ξ*|Ξ*~ Np（VV-1Ξ*, V11·2Ξ*) V11·2=V时-VVV。定义η=Ξ*/Vand使用Muirhead（1982）的定理3.2.8，我们得到η~ χky-k-1、自χky-k-1-分布与ν=ν无关*和y（其中Ξ的分布*取决于定义*), 它也是η的无条件分布，并且η与ν和y都无关Ohm-1（ν-a） 由M给出Ohm-1（ν- a） d=ηMS*y（ν）-1（ν- （a）+√η(ν - a） >S*y（ν）-1（ν- a） ·MS*y（ν）-1M>- MS公司*y（ν）-1（ν- a） （ν）- a） >S*y（ν）-1M>！1/2z，其中η~ χky-k-1，z~ Np（0，Ip）和ν| y~ tk（dy，my，Sy/dy）；此外，η、zandν是相互独立的。这就完成了引理的证明。定理1的证明。定理1的结果来自引理1，M=CtL，∑=Ohm,ν=u，a=rf，t+11和（a）ky=n+k+1，dy=n-k、 vy=n，my=xt，d，Sy=St，d/n和S*y（ν）=S*t、 d（u）在使用前的情况下；（b） ky=n+d+1，dy=n+d- 2k，vy=n+r，my=xt，c，Sy=St，c/（n+r），andS*y（ν）=S*t、 c（u）在共轭之前。引理2。在引理1的条件下，我们得到了M的以下随机表示Ohm-1（ν- a） 表达的asMOhm-1（ν- a） d=v-1yηMζ+v-1年√ηMΥM>- Mζζ>M>1/2z，带 = （Q，u）=（我的- a） >S-1y（车型年款- a） +2pkQ/dy1+kQ/dy（车型年款- a） >S-1/2yu+kQ/dy1+kQ/dy-kQ/dy1+kQ/dy（我的- a） >S-1/2 YU,ζ=ζ（Q，u）=S-1y（车型年款- a） +pkQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU-kQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU>S-1/2年（车型年款- a） ，Υ=Υ（Q，u）=S-1年-kQ/dy1+kQ/dyS-1/2 YU>S-1/2y，其中η~ χky-k-1，z~ Np（0，Ip），Q~ F（k，dy）和u均匀分布在Rk中的单位球上；此外，η、z、Q和u是相互独立的。引理2的证明。