多期最优投资组合的贝叶斯推理

（4） 利用Bodnar和Okhrin（2011）的发现，我们从频率统计的角度获得了样本多期最优投资组合权重的密度函数、矩和随机表示。这些结果回答了上述两个问题，并允许我们分别描述每个权重向量的分布特性。另一方面，他们没有考虑所考虑的投资程序的多期性质。更准确地说，由于使用了重叠样本，估计的投资组合权重之间的依赖结构变得严重，因此无法提供整个多期最优投资组合的特征。因此，我们从贝叶斯统计的观点来处理多期最优投资组合的估计问题，并考虑使用（4）asa基准投资组合构建的投资组合，但没有详细研究其分布特性。与频率统计方法相比，贝叶斯方法的应用允许对可用信息进行顺序更新，这是估计多期投资组合权重所需的一个非常重要的属性。2.2投资组合权重的贝叶斯估计lt xt，n=（xt-n+1。。。，xt）表示时间点t处的观测矩阵，该矩阵由来自t的nasset返回向量组成- n+1到t。根据贝叶斯定理，有关u和∑的信念在出现数据的情况下更新，产生后验分布π（u，∑xt，n），与似然函数L（xt，n∑u，∑）和前验分布π（u，∑）的乘积成比例。

然后，后验概率用于推导多期最优投资组合权重的贝叶斯估计及其特征，如协方差矩阵和可信区域，该可信区域类似于传统统计中的置信区域。贝叶斯定理指出π（u，∑xt，n）∝ L（xt，n |u，∑）π（u，∑）。先验π（u，∑）的选择是贝叶斯决策过程中的一个重要步骤。虽然先验知识应反映投资者对资产回报分布参数的信念，但它也会强烈影响模型的计算特性，因为它会影响后验分布的可访问性。文献中提出了资产回报的平均向量和协方差矩阵的几个先验值（参见Barry（1974）、Brown（1976）、Klein和Bawa（1976）、Frost和Savarino（1986）、Rachev、Hsu、Bagasheva和Fabozzi（2008）、Avramov和Zhou（2010）、Sekerke（2015））以及Bodnar、Mazur和Okhrin（2017）的最新论文总结了这些结果。在下面，我们为u和∑选择Je ffreys的非信息先验和共轭信息先验。这两个先验被广泛应用于最优投资组合的贝叶斯推理中。Jeff-reys非信息性先验，也称为Diff-use先验，由π（u，∑）给出∝ |∑|-（k+1）/2（5），而前共价键表示为u|∑~ Nk公司m、 r∑, (6)Σ ~ IWk（d，S），（7），其中m，r，d是额外的模型参数，称为超参数。符号wk（d，S）表示具有自由度和参数矩阵S的逆Wishart分布。先验平均u反映了我们对预期资产回报的先验期望，而模型中则表示了对协方差矩阵的先验信念。其他两个超参数分别称为u和S的精度参数。

注意，前面的（6）-（7）对应于众所周知的共轭正态逆Wishart模型，如Gelman、Carlin、Stern和Rubin（2014）所讨论的。在这种情况下，后验可以以分析形式进行，而且，具有与前验相同的分布，并更新了超参数。在命题2中，我们给出了u的边缘后验概率以及给定u的条件后验概率∑。这些结果稍后将用于推导最优投资组合权重的贝叶斯估计。在下文中，符号tk（d，a，a）表示具有d个自由度、位置向量a和色散矩阵的多变量多维t分布。在k=1、a=0和a=1的情况下，我们使用符号TD表示具有d自由度的标准单变量t分布。提案2。让Xt-n+1。。。，Xtbe有条件独立分布，Xi |u，∑~i=t时为Nk（u，∑）- n+1。。。，t，n>k。然后：（a）在不同使用优先级（5）下，u的边缘后验分布由uxt，n给出~ tk公司n- k、 xt，d，n（n- k） St，d对于xt，d=xt和St，d=（n- 1） St.∑给定u的条件后验分布表示为∑u，xt，n~ IWk（n+k+1，S*t、 d（u）），带S*t、 d（u）=St，d+n（u- xt，d）（u- xt，d）>。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，u的边缘后验分布由u| xt，n给出~ tk公司n+d- 2k，xt，c，（n+r）（n+d- 2k）St，c带XT，c=nxt+rmn+rand St，c=St，d+S+nr（m- xt，c）（m- xt，c）>n+r。∑给定u的条件后验分布表示为∑u，xt，n~ IWk（n+d+1，S*t、 c（u））带*t、 c（u）=St，c+（n+r）（u- xt，c）（u- xt，c）>。命题2的证明来自Gelman、Carlin、Stern和Rubin（2014）的第3章，他们提出了在差异和共轭先验条件下u的边际后验分布的表达式。

然后，使用u的边缘后验概率公式，从联合后验分布中获得∑的条件后验概率结果。值得注意的是，虽然u和∑的边缘后验数的结果在贝叶斯推理中被广泛使用，并且u给定∑的条件后验数之前已经在文献中被考虑过（例如，参见Sun和Berger（2007）），但是∑给定u的条件后验数的结果尚未被讨论或使用。接下来，我们展示了最后的发现允许推导出包含u和∑的函数的后验分布。为了评估与估计最优投资组合权重相关的风险，我们需要得出命题1中所示权重的后验分布结果，该后验分布作为逆协方差矩阵和平均向量的乘积给出。接下来，我们为这些权重建立非常有用的随机表示，赋予参数其不同的用途和共轭先验。定理1总结了这些结果，其中导出了最优组合权重的任意线性组合的tochastic表示。这些发现随后用于计算组合权重（定理3）及其协方差矩阵（定理4）的贝叶斯估计。值得注意的是，在常规统计（见Givens和Hoeting（2012）、Gupta、Varga和Bodnar（2013））和贝叶斯统计（c.f.、Bodnar、Mazur和Okhrin（2017））中，都使用了随机表示来描述随机量的分布。其次，符号“d”表示分布的相等。定理1的证明见附录（第5节）。定理1。设L为p×k维常数矩阵。

然后在假设命题2的情况下，我们得到：（a）在不同的先验（5）下，LWT的随机表示为WTD=CtηLS*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）+Ct√η（u- rf，t+1）>S*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）·LS*t、 d（u）-1L>- LS公司*t、 d（u）-1(u - rf，t+1）（u- rf，t+1）>S*t、 d（u）-1L>1/2z，其中η~ χn，z~ Np（0，Ip）和ux~ tk（n- k、 xt，d，St，d/（n（n- k） ））；此外，η、zandu是相互独立的。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，LWTI的随机表示为BYWTD=CtηLS*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）+Ct√η（u- rf，t+1）>S*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）·LS*t、 c（u）-1L>- LS公司*t、 c（u）-1(u - rf，t+1）（u- rf，t+1）>S*t、 c（u）-1L>1/2z，其中η~ χn+d-k、 z~ Np（0，Ip）和ux~ tk（n+d- 2k，xt，c，St，c/（（n+r）（n+d- 2k）））；此外，η、zandu是相互独立的。定理1的结果表明，在这两种情况下，即当平均向量和协方差矩阵由微分先验和共轭先验赋予时，得到的随机表示非常相似，命题1中多期最优投资组合权重的后验分布可以用三个具有标准单变量/多变量分布的随机变量来描述。定理1的另一个重要应用是，该定理的结果还提供了一个提示，即通过模拟χ分布、正态分布和t分布的样本，可以在实践中访问这些分布。虽然导出的随机表示在速度方面有一些很好的计算特性，但它们的计算效率不高。在下面的定理中，我们将谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式应用于后验尺度矩阵的逆，从而导出两个先验条件下的进一步随机表示*t、 d（u）和S*t、 c（u）。附录中提供了定理的证明。

设F（d，d）表示自由度为d的F分布。定理2。在定理1的假设下，我们得到：（a）在微分先验（5）下，LWT的随机表示为WTD=CtηLζd+Ct√ηdLΥdL>- Lζdζ>dL>1/2z，（8）带d=d（Q，u）=（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d（xt，d- rf，t+11）+√npkQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） （xt，d- 射频，t+11）>秒-1/2吨，du+nkQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k）-kQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k）（xt，d- 射频，t+11）>秒-1/2吨，du,ζd=ζd（Q，u）=S-1t，d（xt，d- rf，t+11）+√npkQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） S-1/2吨，du-kQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） S-1/2吨，duu>S-1/2t，d（xt，d- rf，t+11），Υd=Υd（Q，u）=S-1t，d-kQ/（n）- k） 1+kQ/（n）- k） S-1/2吨，duu>S-1/2t，d，其中η~ χn，z~ Np（0，Ip），Q~ F（k，n- k） ，且u均匀分布在Rk中的单位球上；此外，η、z、Q和u是相互独立的。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，LWT的随机表示为WTD=CtηLζc+Ct√ηcLΥcL>- Lζcζ>cL>1/2z，（9）带c=d（Q，u）=（xt，c- 射频，t+11）>秒-1t，d（xt，c- rf，t+11）+√n+rpkQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）（xt，c- 射频，t+11）>秒-1/2吨，du+n+rkQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）-kQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）（xt，c- 射频，t+11）>秒-1/2吨，du,ζc=ζd（Q，u）=S-1t，c（xt，c- rf，t+11）+√n+rpkQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）S-1/2吨，铜-kQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）S-1/2吨，cuu>S-1/2吨，c（xt，c- rf，t+11），Υc=Υd（Q，u）=S-1t，c-kQ/（n+d）- 2k）1+kQ/（n+d）- 2k）S-1/2吨，cuu>S-1/2t，c，其中η~ χn+d-k、 z~ Np（0，Ip），Q~ F（k，n+d-2k），且u均匀分布在Rk中的单位球体上；此外，η、z、Q和u是相互独立的。定理2提供了在微分先验和共轭先验下获得的最优投资组合权重的替代随机表示。虽然定理2中有更多困难的数学表达式，但它们的计算效率比定理1中提供的更高。

也就是说，不需要计算矩阵访问的逆*t、 d（u）和S*t、 c（u）在每次模拟运行中，相反，我们只计算整个模拟研究中的矩阵St，dand St，conce的倒数。这一特性无疑大大加快了模拟研究的速度。最后，我们注意到，通过从k维标准正态分布中画出z并计算u=z，可以得到均匀分布在单位球面上的随机向量u的实现/√z> z.定理2的结果用于推导多期最优投资组合在投资初期以及每次分配时的权重的贝叶斯估计。它们在定理3中给出。定理3。在定理1的假设下，我们得到（a）在Diffuse先验（5）下，时间点t的最优投资组合权重的Bayes估计由^wt，d=E（wt | xt，n）=Ct（n）给出- 1） S-1t，d（xt，d- rf，t+11）。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，时间点t的最优投资组合权重的Bayes估计由^wt，c=E（wt | xt，n）=Ct（n+d）给出- k-1） S-1t，c（xt，c- rf，t+11）。附录中给出了定理的证明。值得注意的是，在Diffuse Previor下获得的最佳投资组合权重估计值与第2.1节中得出的自St，d/（n）以来的频率估计值的表达式一致- 1） =St。最后，我们在定理4中给出了最优组合权重的协方差矩阵的表达式，并将证明移至附录。这些公式描述了投资组合权重之间的相关性，并允许访问其贝叶斯风险。定理4。

在定理1的假设下，我们得到：（a）在微分先验（5）下，wt的协方差矩阵由vt给出，d=Var（wt | xt，n）=Ct“（n- 1） S-1t，d（xt，d- 右前，t+11）（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d+n+k-2n（n+2）+k- 1kbdS-1t，d#，其中bd=n（xt，d- 射频，t+11）>秒-1t，d（xt，d- rf，t+11）。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，wt的协方差矩阵由vt给出，c=Var（wt | xt，n）=Ct“（n+d- k-1） S-1t，c（xt，c- 右前，t+11）（xt，c- 射频，t+11）>秒-1t，c+（n+d- k） +千-2（n+r）（n+d- k+2）+（n+d- k） （k）- 1） （n+r）kbcS-1t，c#，其中bc=（n+r）（xt，c- 射频，t+11）>秒-1t，c（xt，c- rf，t+11）。定理3和4的结果提供了最优投资组合权重的前两个矩，因此，它们描述了它们的平均值、方差和相关性。尽管在不同使用先验和共轭先验下得到了不同的公式，但当样本大小增加时，相应表达式之间的差异变得可以忽略不计。定理5给出了更一般的结果，其中表明WT在微分先验和共轭先验下收敛到相同的渐近正态分布。定理5。在定理1的假设下，它认为√n（重量-^wt）| xt，nd-→ N0，Ct“S-1t（xt- 右前，t+11）（xt- 射频，t+11）>S-1吨+1+k- 1k（xt- 射频，t+11）>S-1t（xt- rf，t+11）S-1t#！作为n-→ ∞ 在diff use prior和共轭prior下，其中xt≡ 画-→∞xt，d=极限-→∞xt、candSt≡ 画-→∞St，dn- 1=limn-→∞北卡罗来纳州圣彼得堡+兰特^wt≡ 画-→∞^wt，d=limn-→∞^wt，c=CtS-1t（xt- rf，t+11）。定理5的证明见附录。其结果与Bernstein-vonMises定理（c.f.、Bernardo和Smith（2000））一致，该定理表明，在某些正则条件下，当样本量趋于一致时，后验分布收敛于正态分布，与先前使用的分布无关。

实际上，WT的渐近协方差矩阵是通过使用xtand STIN而不是xtandSt.2.3后验预测分布来近似的。在本节中，我们推导了财富在时间点t+1，cWt+1的后验预测分布，给定可观测数据xt，在使用先验（5）和共轭先验（6）和（7）对给定的组合权重向量VT和当前财富Wt进行区分的情况下。即，目的是推导t+1=Wt（1+rf，t+v>t（Xt+1）的后验预测分布- rf，t+1））（10）观察矩阵xt，n提供的给定信息，即f^Wt+1（w | xt，n）=Zu，∑f^Wt+1（w |u，∑，xt，n）π（u，∑xt，n）dud∑，其中π（u，∑xt，n）是在使用前或共轭后获得的后验分布。符号^Wt+1表示一个随机变量，其分布与在时间点t+1计算的财富后预测分布一致。在定理6中，我们给出了^Wt+1的后验预测分布的随机表示，并在附录中给出了证明。符号TD代表具有d自由度的标准单变量t分布。定理6。在定理1的假设下，我们得到：（a）在微分先验（5）下，Wt+1的后验预测分布的随机表示为CWT+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（xt，d- 射频，t+1）+qv>tSt，dvttpn（n- k） +s1+tn- 千吨级√n- k+1!其中tand皮重独立于t~ 田纳西州-kand t公司~ 田纳西州-k+1。（b） 在共轭先验（6）和（7）下，Wt+1的后验预测分布的随机表示为CWT+1d=Wt1+rf，t+1+v>t（xt，c- rf，t+1）+qv>tSt，cvttp（n+r）（n+d- 2k）+s1+tn+d- 2吨√n+d- 2k+1!,其中tand皮重独立于t~ tn+d-2K和t~ tn+d-2k+1。定理6中的结果对于分析投资者在整个投资期间以及最后时刻的财富行为非常有用。

它允许：（i）计算投资者在整个投资期内每个时间点破产的概率；（ii）构建投资期每个时点的财富预测区间；（iii）在未来再分配的所有时间内，确定投资策略的风险度量，如风险价值（VaR）和条件VaR（CVaR）；（iv）以高概率指定最终财富所属的地区。我们在第3.3节实证研究3.1数据描述中根据真实数据对这些结果进行了说明。实证研究中使用的数据包括富时100指数中12只股票的周回报率，即巴克莱、葛兰素史克、标准人寿、马莎百货、巴宝莉集团、汇丰银行、劳埃德银行、NEXT plc、劳斯莱斯控股、萨奇集团、，特易购PLC和联合利华代表着具有强大国际活动的多个分支机构。由于资产收益率的参数在较长时间内通常不是恒定的，我们建议使用更接近正态分布的月度数据，并选择周收益率作为现实与条件正态性假设之间的折衷。作为arisk自由利率，我们使用三个月期美国国债的每周收益。投资组合权重使用滚动窗口估计进行估计，不同样本为n∈ {52、78、104、130}对应于一年到两年半的周数据，以六个月为单位。该投资组合从2016年6月6日至2016年9月5日（T=13），涵盖2016年6月23日英国脱欧公投导致的严峻市场形势。这些资产的总回报如图1所示。特别是巴克莱银行在脱欧决定后一周内支持了近10%的亏损，但也支持了脱欧前一周的亏损。