多期最优投资组合的贝叶斯推理

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英文标题：
《Bayesian Inference of the Multi-Period Optimal Portfolio for an
  Exponential Utility》
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作者：
David Bauder, Taras Bodnar, Nestor Parolya and Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider the estimation of the multi-period optimal portfolio obtained by maximizing an exponential utility. Employing Jeffreys\' non-informative prior and the conjugate informative prior, we derive stochastic representations for the optimal portfolio weights at each time point of portfolio reallocation. This provides a direct access not only to the posterior distribution of the portfolio weights but also to their point estimates together with uncertainties and their asymptotic distributions. Furthermore, we present the posterior predictive distribution for the investor\'s wealth at each time point of the investment period in terms of a stochastic representation for the future wealth realization. This in turn makes it possible to use quantile-based risk measures or to calculate the probability of default. We apply the suggested Bayesian approach to assess the uncertainty in the multi-period optimal portfolio by considering assets from the FTSE 100 in the weeks after the British referendum to leave the European Union. The behaviour of the novel portfolio estimation method in a precarious market situation is illustrated by calculating the predictive wealth, the risk associated with the holding portfolio, and the default probability in each period.
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中文摘要：
我们考虑了通过指数效用最大化得到的多期最优投资组合的估计。利用Jeffreys的非信息先验和共轭信息先验，我们推导出了在投资组合再分配的每个时间点的最优投资组合权重的随机表示。这不仅可以直接获得投资组合权重的后验分布，还可以直接获得投资组合权重的点估计、不确定性及其渐近分布。此外，我们根据未来财富实现的随机表示，给出了投资者在投资期每个时间点的财富后验预测分布。这反过来又使得使用基于分位数的风险度量或计算违约概率成为可能。我们采用建议的贝叶斯方法，通过考虑英国脱欧公投后几周富时100指数的资产，评估多期最优投资组合的不确定性。通过计算预测财富、与持有投资组合相关的风险以及每个时期的违约概率，说明了新的投资组合估计方法在不稳定市场情况下的行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Bayesian_Inference_of_the_Multi-Period_Optimal_Portfolio_for_an_Exponential_Utility.pdf (582.84 KB)

2022-5-31 19:39:22 上传

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关键词：投资组合 贝叶斯 distribution Presentation Quantitative

指数效用多期最优投资组合的贝叶斯推断David Baudera，Taras Bodnarb，1，Nestor Parolyac，Wolfgang Schmidda，柏林洪堡大学数学系，D-10099 Berlin，德国数学系，斯德哥尔摩大学，SE-10691 Stockholm，瑞典统计学院，汉诺威莱布尼茨大学，D-30167 Hannover，德国统计部，欧洲大学维亚德里纳，邮政信箱178615207法兰克福（Oder），德国抽象我们考虑通过指数效用最大化得到的多期最优投资组合的估计。利用Jeffeys的非信息先验和共轭信息先验，我们推导出了在投资组合再分配的每个时间点的最优投资组合权重的随机表示。这不仅可以直接获得投资组合权重的后验分布，还可以直接获得其点估计值、不确定性及其渐近分布。此外，我们根据未来财富实现的随机表示，给出了投资者财富在投资期每个时间点的后验预测分布。这使得使用基于分位数的风险度量或计算违约概率成为可能。我们采用建议的贝叶斯方法，通过考虑英国脱欧公投后几周富时100指数的资产，评估多期最优投资组合的不确定性。

通过计算预测财富、与持有投资组合相关的风险和每个时期的违约概率，说明了新的投资组合估计方法在不稳定市场情况下的行为。关键词：多期最优投资组合、贝叶斯估计、随机表示、后验预测分布、违约概率、可信集合JEL分类：C11、C13、C44、C58、C63对应作者：Taras Bodnar。电子邮件：taras。bodnar@math.su.se.电话：+46 8 164562。传真：+46 8612 6717。这项研究部分得到了德国科学基金会（DFG）的支持，通过项目BO3521/3-1和SCHM 859/13-1“多期最优投资组合权重和风险度量的贝叶斯估计”。1简介在投资组合理论中，Markowitz（1952）提出的均值-方差范式仍然是理解系统风险、回报和投资行为之间关系的常用参考。这里使用资产预期收益及其协方差来确定投资组合。作为一个起点，马科维茨（1952）在接下来的70年中得到了极大的扩展。虽然马科维茨（1952）只关注单一投资期，但马科维茨（1959）引入了多期解决方案。Merton（1969）指出，连续时间情况下的均值-方差多周期设置等价于指数效用函数的预期效用最大化。

Mossin（1968）、Samuelson（1969）、Elton（1974）、Brandtand Santa Clara（2006）、Basak和Chabakauri（2010）研究了不同函数的多期最优投资组合选择问题。虽然这些研究侧重于连续时间情况，但Li和Ng（2000）、C,anakoglu和¨Ozekici（2009）、Bodnar、Parolya和Schmid（2015a，b）在离散时间情况下给出了二次效用函数和指数效用函数的结果。特别是，Bodnar、Parolya和Schmid（2015b）在非交易可预测变量和aVAR（1）结构的假设下，推导出了多期最优投资组合权重的解析表达式，该结构被描述为精度矩阵（逆方差矩阵）和预期回报向量的线性组合。

虽然该设置允许在不受限制的假设下灵活构建交易策略，但仍存在不足：（i）由于资产回报分布的参数，即平均向量和方差矩阵，是未知量，最优投资组合权重在实践中无法构建，而是通过用相应的估计值替换资产收益分布的未知参数来获得；（ii）虽然估计的最优投资组合权重的分布特性和相应的推断程序是在许多单期投资策略的文献研究中得出的（参见，例如Gibbons、Ross和Shanken（1989）、Shanken（1992）、Shanken和Zhou（2007）、Okhrin和Schmid（2006）、Bodnar和Schmid（2008、2011）、Bodnar和Schmid（2009）），在多周期设置下，估计窗口重叠的问题显得非常关键；（iii）由于多变量结构，确定估计的多期最优投资组合权重的联合分布是一项具有挑战性的任务。为了应对所有这三个挑战，我们选择贝叶斯方法。从Winkler（1973）和Winkler and Barry（1975）开始，贝叶斯方法是一种在单周期最优投资组合问题中建立交易策略的成熟方法，并一直持续到今天。有关概述，请参见Brandt（2010），其中也讨论了贝叶斯投资组合方法，或Avramov和Zhou（2010）。正如Avramov和Zhou（2010）所指出的，贝叶斯设置是对人类决策过程和信息利用的现实描述。过去的事件和经验至少在一定程度上影响了市场参与者的信念，即投资将如何发展。

投资者信念通过代表资产回报行为相关信息的先验分布建模。虽然有很多可能指定先验，但我们关注非信息性差异先验和信息性共轭先验（参见Zellner（1971）和Gelman、Carlin、Stern和Rubin（2014）），不仅是为了计算原因，而且主要是因为它们在金融文献中很受欢迎（c.f.、Barry（1974）、Brown（1976）、Klein和Bawa（1976），Frost和Savarino（1986）、Aguilar和West（2000）、Rachev、Hsu、Bagasheva和Fabozzi（2008）、Avramov和Zhou（2010）、Sekerke（2015）、Bodnar、Mazur和Okhrin（2017））。此外，它们的应用允许以闭合形式导出相应的后验分布，这使我们能够访问重要的风险度量并构建可信集。根据其随机表示，给出了在两种雇佣优先级下获得的最优投资组合权重的后验分布。随机表示是计算统计学（c.f.、Givens和Hoeting（2012））和椭圆等高线分布理论（参见Gupta、Varga和Bodnar（2013））中的一个成熟工具，Bodnar、Mazur和Okhrin（2017）已经在贝叶斯统计中使用了该工具。事实证明，导出的随机表示非常强大，使我们不仅可以获得多期最优投资组合权重的后分布，还可以确定持有期每个点的财富预测分布。因此，我们能够获得后验预测财富分布的分位数，并且可以计算投资组合生命周期内每一点与投资组合相关的风险，此外，还可以对权重及其不确定性进行分析性贝叶斯估计。

除了这些令人愉悦的特性外，由于不再需要马尔可夫链蒙特卡罗方法，因此从计算角度来看，所开发的随机表示非常有效。除了推导这些结果之外，我们还说明了这种方法及其在实际数据上的性质。Wet使用富时100指数（FTSE 100）的数据对模型进行了详尽的研究。2016年6月23日，英国举行全民公投，决定退出欧盟。在这一次公投中，英国选民更普遍地被视为“脱欧”，其中绝大多数英国选民决定退出欧盟。虽然这一结果事先被视为可能性较小的期权，但它被视为对英国经济影响最小的期权，因此应该对涵盖这一时期的投资组合产生影响。其余的论文结构如下。在第2节中，我们简要回顾了Bodnar、Parolya和Schmid（2015b）提出的具有指数效用的多期最优投资组合选择问题的解决方法。定理1和2（第2.2节）给出了两个先验条件下最优组合权重的随机表示，用于推导权重的相应Bayes估计（定理3）及其方差矩阵（定理4）以及证明后验渐近正态性（定理5）。在第2.3节中，我们获得了持有期内财富的后验预测分布，这是在两种部署的先验条件下，根据定理6中的随机表示提供的。

在第3节中，通过计算最优投资组合权重的渐近分布、确定投资组合财富的信用集以及指定每个时间点的违约概率，将建议的贝叶斯方法应用于英国脱欧数据。第4节总结了本文的主要结果，而所有技术证明都移至附录（第5节）。2多期最优投资组合的贝叶斯分析2.1多期优化问题的解析解让Xt=（Xt，1，Xt，2，…，Xt，k）>是在时间点t获取的k项资产收益的随机向量。在本文中，我们假设资产收益X，X。。。完全可交换且多变量中心球对称。这一假设尤其意味着（例如，见Bernardo和Smith（2000年，命题4.6）），在给定平均向量u和协方差矩阵∑的情况下，资产收益是独立且相同分布的，条件分布由Xt |u和∑给出~ Nk（u，∑）（k维正态分布，平均向量u，协方差矩阵∑）。值得注意的是，强加的假设意味着资产收益的无条件分布既不是正常的，也不是独立分布的。尽管如此，资产回报的无条件分布似乎很严重，这通常是财务数据所观察到的。数量u和∑表示资产收益分布的参数，其中∑假设为k×k维正定义矩阵。我们考虑一个多期投资组合问题，初始财富分配在时间点t=0，投资组合结构的后续日期在时间点t∈ {1，2，…，T}。设vt=（vt，1，…，vt，k）>表示在时间t确定的投资组合权重向量，设rf，t表示在时间t内无风险资产的回报。

我们假设允许卖空，即权重也可能为负值。向量VT规定了与风险资产相关的投资组合的结构，而财富部分等于1- 1> VTI投资于无风险资产，其中1表示1的k维向量。则投资者在t期的财富表示为SWT=Wt-1(1 + (1 -1> vt公司-1） 射频，t+v>t-1Xt）=重量-1（1+射频，t+v>t-1（Xt- rf，t1））。投资者寻求最终财富的效用最大化，即U（WT），其中U（x）=-经验值(-γx）是指数效用函数，绝对风险规避系数γ>0决定投资者对风险的态度。优化问题由v（0，W）=max{vs}T给出-1s=0E[U（WT）]（1），其中取所有重量v，…，的最大值，。。。，vT公司-1规定了投资初期以及随后所有重新分配期间的投资组合结构。（1）的解是从最后一个周期开始，应用Bellman方程在0，1。。。T- 1、时间点T的优化问题- 然后由v（t）给出t-t、 WT公司-t） =最大{vs}t-1s=T-春节-t“max{vs}t-1s=T-t+1ET-t+1[U（WT）]#=最大VT-春节-t型V（T-t+1，重量-t型rf，T-t+w>t-t+1（XT-t+1- rf，T-t+11）)根据终端条件U（WT）=-经验值(-γWT）带WT-t+1是t期间的最佳港口权-t+1。有关该方法的详细信息，请参见Pennacchi（2008），而Bodnar、Parolya和Schmid（2015b）在指数效用下确定了（1）的分析解。后面的结果总结在命题1中。提案1。设Xt，t=0。。。，T是k个风险资产的条件独立且相同分布向量的序列，Xt |u，∑~ Nk（u，∑）。设∑为正定义。

然后，最优多期投资组合权重由WT=Ct∑给出-1(u - rf，t+11），Ct=（γWtTYi=t+2Rf，i）-1（2）对于t=0。。。，T- 其中Rf，i=1+Rf，iandQTi=T+1Rf，i≡ 1、尽管命题1提供了多期投资组合选择问题的简单解决方案，但公式（2）无法直接应用于实践，因为u和∑是资产收益分布的未知参数。因此，在构建投资组合（2）之前，必须估计这两个数量。然而，使用估计的平均向量和估计的协方差矩阵代替总体矩阵并不能确保估计的组合权重与真实权重一致。然后提出了两个主要问题：（i）估计的投资组合与总体投资组合的偏差有多大？以及（ii）对估计的投资组合进行投资是否合理？这两个问题都必须使用统计方法来处理，并且与为u和∑构建的估计值的分布特性密切相关。传统的估计投资组合权重的方法依赖于传统统计学中使用样本均值向量和样本协方差矩阵的方法。让xt-n+1。。。，xtbe资产收益的观察向量，被视为相应随机向量Xi的实现，i=t-n+1。。。，t、 然后，通过xt=ntXi=t估计时间点t的平均向量和协方差矩阵-n+1xind St=n- 1tXi=t-n+1（xi- xt）（xi- xt）>。（3） 将（2）中的u和∑替换为（3）中的相应估计，得到多期最优投资组合的样本估计。这导致^wt=CtS-1t（xt- rf，t+11），Ct=（γWtTYi=t+2Rf，i）-1对于t=0。。。，T- 1.