多资产非流动的局部风险最小化

（11） 正如我们稍后将看到的那样，通过最小化（11）中的表达式，我们将能够在流动性不足的情况下构建LRM策略的明确表示，在这种情况下，L-范数不会过分强调流动性成本的大值。2.2基本问题描述经典局部风险最小化的目的是局部最小化策略的条件均方增量成本。我们的标准是，在降低流动性成本的同时，最大限度地减少股票价格随机波动带来的局部风险。它平衡了低流动性成本与不良复制之间的关系。这种方法类似于Gliardi&Gen,cay（2014）或Rogers&Singh（2010），产生了一个可处理的问题。在时间k的局部风险最小化过程中，我们仅在yk和Xk+1中最小化，以便通过在过去或未来的时间对持股进行筛选，从而做出当前最佳的战略选择。定义2.2和定义2.3为我们提供了最小化问题所基于的最优性标准。定义2.2。时间k时策略Д=（X，Y）的局部扰动Д′=（X′，Y′）∈{0，1，…，T- 1} 是一种交易策略，使得所有m 6=k的Xm+1=X′m+1和Ym=Y′m。通过稍微滥用符号letTαk（Д）：=E[（CT（Д）- Ck（Д））| Fk]+αE[十、*k+2[Sk+1(Xk+2）- Sk+1（0）]| Fk]。（12） 我们在定义2.3中规定了一些α在非流动性条件下的局部风险最小化（LRM）策略∈ R+。定义2.3。交易策略Д=（X，Y）称为非流动性下的局部风险最小化ftαk（Д）≤ Tαk（Д′）P–a.s.（13）对于任何时间k∈ {0，1，…，T- 1} 定义2.3假设对于任何策略，经典成本过程C是squ是整数，流动性成本是可积的。定义2.1确保了这一点。还请注意，在定义2.3中，我们仅考虑了当前的流动性成本。

这相当于在Tkin方程（11）上最小化，因为我们只在局部最小化。备注2.2。选择α=1代表了对市场价格波动产生的对冲风险和流动性成本产生的对冲成本的同等关注。否则，α<1表示对错过对冲风险的重大风险厌恶，α>1表示对非流动性成本的重大风险厌恶。也可以通过确定值过程α=（αk）k=0,1，…，进行推广，。。。，尽管微不足道，我们的结果仍将保持不变。因此，在下文中，我们假设给出了α，我们的目标是在流动性不足的情况下找到一个局部风险最小化策略，即VT（ν）=H，XT+1=\'XT+1，YT=\'YT。接下来是一些有用的引理，即使在多维情况下，也可以通过与Lamberton等人（1998）中使用的引理类似的方法来显示。为了完整性，我们在附录6中提供了它们的证明。第一个引理表明，局部风险最小化策略的一个主要属性，即其成本过程是鞅，可以推广到我们的设置中。原因是，通过只改变Fk可测量的无风险投资，策略Д可以被扰动为Д′，使得C（Д′）是鞅。这反过来减少了（12）中的第一项，但第二项保持不变。引理2.4。对于流动性不足的LRM策略，成本过程C（Д）是鞅。此外，根据成本过程的鞅性质，我们得到了表示形式，Rk（Д）=E[Rk+1（Д）| Fk]+Var(k=0，1，…，k+1（Д）| Fk）P–a.s.（14），T- 因此，对于非流动性下的LRM策略，非流动性下的二次线性风险过程（QLRP）表示为tαk（Д）=E[Rk+1（Д）| Fk]+Var(Ck+1（Д）| Fk）+αE[十、*k+2[Sk+1(Xk+2）- Sk+1（0）]| Fk]。（15） 下一个引理提供了扰动策略的QLRP过程的表示。引理2.5。

如果C（Д）是鞅，而Д′是时间k的局部摄动，则tαk（Д′）=E[Rk+1（Д）| Fk]+E[(Ck+1（Д′）| Fk]+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]。（16） 备注2.3。由于Rk+1（Д）=Rk+1（Д′），对于在时间k时的任何局部孔径Д′，从方程（16）可以看出，需要最小化过var(Ck+1（Д）| Fk）+αE[十、*k+2[Sk+1(Xk+2）- 时间k时的Sk+1（0）]| Fk]（17）（另见命题2.6）。提案2.6。当且仅当满足以下两个性质时，交易策略Д=（X，Y）是非流动性下的LRM：（i）C（Д）是鞅。（ii）对于每个k∈ {0，1，…，T- 1} ，Xk+1最小值Var（Vk+1（Д）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]（18）在所有Fk可测量的dom变量X′k+1上，因此（X′k+1）*Sk+1∈ L2,1和（Xk+2-X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]∈ L1,1T。命题2.6非常普遍，因为它适用于任何供给曲线。对于流动性不足情况下LRM策略的存在性和递归构造，我们将在下一节中考虑供应曲线的一个特例，该供应曲线源自乘法极限订单。对于这个模型，我们可以明确地构造最优策略，并且我们能够陈述确保最优策略属于空间的条件。3线性供应曲线当在非流动性环境下通过限额订单簿（LOB）进行交易时，流动性成本与订单簿的深度有关。我们没有考虑对冲策略的任何反馈影响，因此我们假设弹性的速度，即订单在交易后自我恢复的能力是有限的。我们选择供给曲线的形式Sk（x）=（Sk（x），Sdk（xd））*beSjk（xj）=Sjk+xjεjkSjk（19），并假设价格过程S是非负半鞅，ε=（εk）k=0,1，。。。，Tisa正向确定性Rd值过程。

请注意，Sk（x）可能会对某些x取负值，但在实践中，这不太可能发生在εk和x的可测量值较小的情况下。现在，让我们描述一下供应曲线特定形式的（乘法）限制指令簿。对称、一维、时间独立（为简单起见）LOB由密度函数q表示，其中q（x）dx是价格水平xSk下的出价或要价。表示byF（ρ）=Rρq（x）dx通过LOB以价格ρSk购买的数量。如果投资者在时间k通过LOB发出x=F（ρ）股票的指令，则一些限价指令被删除，报价被上移到Sk（x）+：=g（x）SKG，其中g（x）解出方程x=Rg（x）q（y）dy，即g（x）=F-1（x）。由于我们没有考虑任何价格影响，因此在交易结束后，价格会回到Sk。x份订单的成本为SkRg（x）ρdF（ρ），对于函数q的适当选择，其应等于xSk（x）=xSk+εxSk。选择一个独立于价格的密度q（x）=2ε（20）就可以了。过程ε可以被视为流动性不足的衡量标准。ε趋于零时，市场流动性增强，流动性成本消失。备注3.1。假设供给曲线Sk（x）在交易规模x中增加，这意味着非负流动性成本，即x[Sk（x）- Sk（0）]≥ 0.s特别选择线性供给曲线意味着εSk | x |时间k时规模为x的交易的流动性成本。请注意，为了避免负流动性成本，有必要假设边际价格过程s为非负。请注意，当价格过程缩减时，流动性成本自然也会增加，但LOB中的资产可用性不会增加，因为订单深度Qk（y）=2εk仅取决于εk。命题2.6告诉我们如何根据LRM准则在流动性不足时构建最优策略。

在时间上向后，我们需要最小化时间kVar（Vk+1（ν）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）+αE[dXj=1εjk+1Sjk+1（Xjk+2- （X′k+1）j）| Fk]（21）注意价格上移的乘法方式。在加法LOB中，其形式为Sk（x）+：=Sk+g（x），如Roch（2011）中所述。有关乘法和加法限制指令簿的说明，请参见例如Lokka（2012）。在文献中，这就是所谓的弹性效应，衡量交易后新的买入或卖出订单填补LOB的比例。在我们的案例中，我们具有有限的弹性。在所有适当的X′k+1（见定义2.1）上，选择Ykso，使成本过程C成为鞅。在继续之前，让我们首先介绍一些符号：Ak；j： =Var(Sjk+1 | Fk）Aεk；j： =E[εjk+1Sjk+1 | Fk]Ak；j： =Ak；j+Aεk；jbk；j： =Cov（Vk+1，Sjk+1 | Fk）bεk；j： =E[εjk+1Sjk+1Xjk+2 | Fk]bk；j： =黑色；j+bεk；jDk；j、 i：=Cov(Sjk+1，Sik+1 | Fk），对于所有i，j=1，…，对于i 6=j（22），d和k=0，T- 此外，我们可以通过定义函数fk:Rd×重写表达式（21）Ohm → R+asfk（c，ω）=dXj=1 | cj | Ak；j（ω）- 2dXj=1cjbk；j（ω）+Xj6=icjciDk；j、 i（ω）+Var（Vk+1 | Fk）（ω）+dXj=1E[εjk+1Sjk+1 | Xjk+2 | Fk]（ω）。（23）固定ω1可以很容易地计算多维函数fk的梯度。我们需要求解梯度（fk）=0来计算极值点的候选点，这将转化为求解FKC=bk（24）形式的线性方程组，其中fk∈ Rd×Dw，带Fk；i、 j=Dk；i、 对于i 6=j，Fk；i、 j=Ak；对于i=j和bk=（bk；1，…，bk；d）∈Rd.设Fεk=diag（Aεk；1，…，Aεk；d），并用Fk表示矩阵Fk，其中εjk+1=0表示所有j，即边际价格过程S的协方差矩阵。然后对称矩阵Fk是两个实符号、正半定矩阵Fk=Fk+Fεk的和。这意味着矩阵Fk也是正半定矩阵，因此也是Hessian矩阵，计算为Hfk（c）=2Fk。

因此，假设协方差矩阵FK是正的，这意味着FK是可逆的，方程（24）h是唯一的解。此外，由于Hesse矩阵也是正的，因此函数c→ fk（c，ω）是严格凸的，这意味着c*:= F-1KBK是一个全局最小值。此外，由于矩阵F-1和Bk都是可测量的。很明显，最小值c*也是Fk可测量的。3.1市场价格过程的性质，以表明最优策略c*上述计算属于空间Θd（S），我们需要对矩阵Fk进行更强的假设，可以将其简化为对S的协方差矩阵的假设。我们现在将实施这些假设。结果将证明，它们既有独立的增量，也有独立的回报。定义3.1。如果对于某些常数>0（E），我们说S具有有界的均值方差权衡过程[Sjk+1 | Fk]）Var(Sjk+1 | Fk）≤ C P–所有j=1，d（25）在k和ω中均匀分布。事实上，如果εjk+1对所有j=1都为正，…，则fk为正定义，d、 定义3.2。我们说，对于某些常数C>0（E[Sjk+1 | Fk]）Var（Sjk+1 | Fk），S修改了上述有界平均方差权衡过程IFF≤ C P–所有j=1，d（26）在k和ω中一致。此外，对于某些常数C>0（E[Sjk+1 | Fk]）Var（Sjk+1 | Fk），S修改了低于有界平均方差的权衡过程≥C P–a.s.对于所有j=1，d（27）在k和ω中一致。如果这两个界限都成立，那么我们说S修改了有界均值方差贸易效应。备注3.2。请注意，对于S是子鞅的情况，修改后的上述有界均值方差tradeo fff的性质意味着有界均值方差tradeo fff的性质，因为使用（a+b）≤ 2a+2b我们可以估计（E[Sjk+1 | Fk]）≤ 2（E[Sjk+1 | Fk]）+2 | Sk|≤ 4（E[Sjk+1 | Fk]）（28），其中我们还使用了Sjkis为阳性的事实。定义3.3。

我们说，对于某些常数C>0qVar，S满足F-对角条件(Sjk+1 | Fk）+E[Sjk+1 | Fk]qVar（Sjk+1 | Fk）≥ C P–所有j=1，d（29）在k和ω中一致，如果对于某些常数C>0qVar（Sjk+1 | Fk）E[Sjk+1 | Fk]+qVar(Sjk+1 | Fk）≥C P–a.s.对于所有j=1，d（30）在k和ω中均匀分布。备注3.3。定义3.3中的F-对角条件名称来自矩阵F的对角项sinceFk；j、 j | Fk；j、 j|=qVar(Sjk+1 | Fk）+E[εjk+1Sjk+1 | Fk]qVar（Sjk+1 | Fk）-2 | Fεk；j、 j | Fk；j、 j | Fk；j、 j|=qVar（Sjk+1 | Fk）E[εjk+1Sjk+1 | Fk]+qVar(Sjk+1 | Fk）-2.（31）对于j=1，…，写入Sjk+1=Sjk（1+ρjk+1），d，我们用ρ=（ρk）k=0,1，。。。t S的D维回报过程。接下来的两个命题3.4和3.5给出了边际价格过程S上的前一个属性成立的充分条件。提案3.4。对于满足▄C的S≤ 风险值(Sjk+1 | Fk）≤ C对于某些正常数C，对于所有j=1，℃，d、 然后F对角条件h成立。特别是，如果S具有独立增量，则S具有附加的均值-方差权衡，并满足F-对角条件。证据该主张直接源于以下事实：≤ 风险值(Sjk+1 | Fk）≤ C、 提案3.5。对于具有修改的有界均值-方差转换的S h，则F-对角线条件成立。特别是，如果S具有独立的retur ns，则S具有有界的平均方差tradeo fff，并满足F-对角条件。证据这一说法直接源于S修改了有界平均方差的等级。备注3.4。考虑几何布朗运动的一维Black-Scholes模型，isSkh=Sexp（bkh+σWkh）（32），具有离散化时间步长t=h。然后返回过程ρkc可定义为，1+ρk=SkhS（k-1） h（33），且为对数正态分布。这也是一个i.i.d.随机变量的过程。

根据公式3.5，S具有有界的均值-方差权衡，并满足F-对角条件。3.2一些预备知识现在让我们陈述一下定理3.10证明中所需的一些有用引理，以表明可积条件已经满足。在下文中，我们将使用符号αk；i、 j：=Fk；j、 肯尼迪机场；i、 i | F-1k；j、 i |αεk；i、 j：=Fk；j、 j | Fεk；i、 i | | F-1k；j、 i |βk；i、 j：=Fk；i、 i | F-1k；j、 i |βεk；i、 j：=| Fεk；i、 i | | F-1k；j、 i |（34）对于i，j=1，d和k=0，当逆矩阵F-1kof FK存在。在下文中，我们将用Mk表示；i、 j无第i行和第j列的m矩阵fk。还可以从线性代数中回忆一下，如果对称矩阵fk的逆存在，则f-1k；j、 我=(-1） 引理3.9中使用的i+jdet（Mk；i，j）det（Fk）。引理3.6。对于所有d∈ N≥2： det（Mk；i，j）≤ CFk；j、 肯尼迪机场；i、 idYl=1l6=i，j | Fk；l、 l |对于所有i，j=1，d，i 6=j（35）| Fk；j、 j | det（Mk；j，j）≤所有j=1，…的C det（FAk），d（36）Fk；j、 肯尼迪机场；i、 idet（Mk；i，j）≤所有i的C det（FAk），j=1，d（37）对于某些正常数C、~C和'C，其中FAk：=diag（Ak；1，…，Ak；d）。证据首先请注意，最后一个不等式（37）紧随前两个不等式之后。事实上，对于情况i 6=j和自Fk起；j、 j≤ Fk；j、 j（因为εjk+1和Sjk+1都是非负的）对于所有j，那么从不等式（35）我们得到了det（Mk；i，j）≤ CFk；j、 肯尼迪机场；i、 idYl=1l6=i，j | Fk；l、 l |。（38）由于矩阵FAkis是对角矩阵，那么很明显，现在不等式（37）紧随i 6=j。情况i=j直接来自不等式（36）。对于显示d=2的不等式（35）和（36），这是微不足道的。我们将展示cased=3的不等式（35）。然后类似地出现不等式（36）。设w.l.o.g.i=1。对于j=2，我们有det（Mk；1,2）=（Dk；1,2Ak；3- Dk；2,3Dk；1,3)≤ 2 | Dk；1,2 | | Ak；3 |+2 | Dk；2,3 | | Dk；1,3 |（39）其中我们使用了不等式（a+b）≤ 2a+2b。

现在，应用我们得到的条件CauchySchwarz不等式，det（Mk；1,2）≤ 2Ak；1Ak；2 | Ak；3 |+2Ak；2Ak；3Ak；1Ak；3.≤ 4Ak；1Ak；2 | Ak；3 |。（40）j=3的情况类似，因此等式（35）成立。利用拉普拉斯公式和矩阵Fk和Fk的对称性，可以推广任意d的证明。F-性质的下一个定义至关重要，不仅是为了将Schweizer（1988）的LRM标准扩展到非流动性情况（即ε6=0），而且（尤其是）也为了扩展到多维情况。在一维情况下，F属性转换为Var(Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1 | Fk]≥ 0表示始终充满的一维价格过程。此外，如果我们处理的是独立组件，即Si和Sj对于i 6=j是独立的，那么它会导出到det（FAk）≥ 0也始终成立，因为矩阵是正半定义的。因此，下一个属性本质上与多维价格过程S的协方差矩阵相关。我们将在第3.4节稍后看到，这个属性可以简化为S的协方差矩阵上的一个属性。在下面的内容中，C表示一个通用的正常数，该常数可能会随着行的变化而变化。定义3.7。如果存在δ，我们说过程S具有F性质∈ （0，1）使det（Fk）- （1）- δ） det（FAk）≥ 0（41）对于所有k=0，1，T w此处FAk：=诊断（Ak；1，…，Ak；d）。引理3.8。假设S具有F性质并满足F对角条件。然后是αk；i、 j，βk；i、 j，αεk；i、 jandβεk；i、 对于所有i，j=1，…，jare在k和ω中一致有界，d、 证明。对于第一项αk；i、 jwe有αk；i、 j=Fk；j、 肯尼迪机场；i、 idet（Mk；i，j）det（Fk）≤ Cdet（FAk）det（Fk）≤ C（1- δ） （42）通过使用引理3.6中的第一个不等式（37），然后是F性质。

第二，回顾一下价格过程S和过程ε均为非负的假设。术语βk；i、 j我们可以估计情况i=jβk；i、 j=Fk；i、 idet（Mk；i，i）det（Fk）≤ CFk；i、 i | Fk；i、 i | det（FAk）det（Fk）≤ C（1- δ） （43）使用引理3.6中的不等式（36），然后使用F性质和不等式（29）。对于情况i 6=j，使用引理3.6中的不等式（35），我们得到了det（Fk）βk；i、 j=Fk；i、 idet（Mk；i，j）≤ CFk；j、 j | Fk；i、 i | dYl=1l6=i，j | Fk；l、 l|≤ CFk；j、 j | Fk；j、 j | det（FAk）（44）和F-性质与不等式（29），βk；i、 jis一致有界。此外，通过与βk项相同的参数；i、 对于情况i=jαεk，我们有；i、 j=| Fεk；i、 i | Fk；i、 idet（Mk；i，i）det（Fk）≤ C | Fεk；i、 i | Fk；i、 i | Fk；i、 i | det（FAk）det（Fk）≤ C（1- δ） （45）使用F-性质和不等式（30）。对于i 6=j，我们可以估计det（Fk）αεk；i、 j=| Fεk；i、 i | Fk；j、 jdet（Mk；i，j）≤ C | Fεk；i、 i | Fk；i、 i | Fk；j、 j | dYl=1l6=i，j | Fk；l、 l|≤ C | Fεk；i、 i | Fk；i、 i | Fk；i、 i | det（FAk）（46），根据F-性质和等式（30），αεk；i、 jis也一致有界。对于最后一项βεk；i、 对于i=jβεk，我们有；i、 j=| Fεk；i、 i | det（Mk；i，i）det（Fk）≤ C | Fεk；i、 i | | Fk；i、 i | det（FAk）det（Fk）≤ C（1- δ） （47）F财产。此外，对于i 6=jdet（Fk）βεk；i、 j=| Fεk；i、 i | det（Mk；i，j）≤ C | Fεk；i、 i | Fk；i、 iFk；j、 jdYl=1l6=i，j | Fk；l、 l |=C | Fεk；i、 i | Fk；i、 i | Fk；i、 i | Fk；j、 j | Fk；j、 j | det（FAk）（48），其中从F-性质和F-对角条件中，最后一项βεk；i、 jis统一边界。我们还利用了一个事实，即过程ε是确定性的，并且我们有一定数量的hed老化时间。引理3.9。假设F-k存在1K∈ {0，1，…，T}和S具有有界的平均方差tradeo fff。L et（X，Y）是任何交易策略。