多资产非流动的局部风险最小化

然后存在一些常数C>0，使得e[（（F-1kbk）jSjk+1）]≤ CE[Var（Vk+1 | Fk）dXi=1αk；i，j+dXi=1（c（εk+1）αk；i，j+αεk；i，j）E[| Xik+2 | Fk]]（49）E[（（F-1kbk）j）]≤ CE[Var（Vk+1 | Fk）dXi=1βk；i，j+dXi=1（c（εk+1）βk；i，j+βεk；i，j）E[| Xik+2 | Fk]]（50）对于所有j=1，d其中（F-1kbk）jis向量（F）的第j个分量-1kbk）。termc（εk+1）表示一个正常数，取决于时间k+1的过程ε，因此对于εk+1→ 0，c（εk+1）收敛到零。证据首先请注意，从方差的定义和使用有界平均方差tradeo fff，可以直接得出以下结论：[|Sjk+1 | | Fk]=变量(Sjk+1 | Fk）+（E[Sjk+1 | Fk]）≤ CAk；j、 （51）此外，表示F=fk和b=bk，我们从塔的性质得到，并使用不等式（51）E[（（F-1b）jSjk+1）]=E[（（F-1（b+bε））j）E[|Sjk+1 | | Fk]]≤ 2CE[dXi=1 | F-1j，i |（| bi |+| bεi |）Fj，j]（52）此外，使用条件Cauchy-Schwarz不等式和条件等式（E[XY | G]）≤ E[X | G]E[Y | G]关于bεi的定义与方差收益率[（（F-1b）jSjk+1）]≤ CE[dXi=1 | F-1j，i |（Var（Vk+1 | Fk）Fi，i+E[|εik+1Sik+1 | Fk]E[| Xik+2 | Fk]）Fj，j]=CE[dXi=1 | F-1j，i |（Var（Vk+1 | Fk）Fi，i+|εik+1 | Fi，即[| Xik+2 | Fk]+| Fεi，i | E[| Xik+2 | Fk]）Fj，j]。（53）平等的另一个也同样如此。备注3.5。对于流动性不足情况下LRM策略的存在，我们将使用引理3.8和引理3.9。对于最优策略^X（在流动性不足的LRM标准下），我们需要证明^Xjk+1Sjk+1∈ L2,1和^Xjk+1∈ L2,1T。第一个可积性性质表明，策略^X属于^d（S），所有Rd值p可预测策略的空间X=（Xk）k=1,2，。。。，T+1，因此X*kSk公司∈ L2,1T对于k=1，2，T需要第二个来显示第一个。

然而，为了表明最优策略的流动性成本是可积的，这两个可积性性质都是必需的。在有限流动性情况下，即ε=0，因为术语c（εk+1）αk；i、 jandαεk；i、 jvanish，我们不需要引理3.9的第二个不等式。这意味着在没有流动性成本的多维情况下，只需显示^X∈^Θd（S），通过使用绑定平均方差tradeo fff和F-属性。同样，在一维情况下（d=1），我们有αk；1,1=| Ak；1 | | Ak；1 |，βk；1,1=Ak；1 | Ak；1 |，αεk；1,1=Aεk；1Ak；1 | Ak；1 |，βεk；1,1=| Aεk；1 | | Ak；1 |（54）式中，术语αk；1,1，βεk；1,1以1和βk为界；1,1，αεk；1,1由F-对角特性一致限定。此外，对于ε=0，只需显示引理3.9的第一个不等式，即ich减少toE[（（F-1kbk）Sk+1）]≤ CE[| Vk+1 |]（55），如Schweizer（1988）中的经典一维情况。回想一下，在这种情况下，只有有界平均方差交易假设才是必要的。我们继续主要定理，其中我们证明了在非流动性和一些温和条件下，边际价格过程存在局部风险最小化策略S.3.3最优策略的存在性和递归构造使用前3.1节中的假设，我们能够证明在非流动性和此外，通过反向诱导论证给出明确的表示。定理3.10（存在结果）。假设S h为F性质，有界m均值方差权衡，满足F对角条件。让协方差m矩阵在任何时候k=0，1，…，均为正定义，T- 1.

任何未定权益的时间H=(R)X*T+1+YT∈ L2,1T带\'X*T+1∈ L2,1和XT+1∈ L2，dT，在流动性不足的情况下，存在一个局部风险最小化策略，其中，XT+1=\'XT+1，而Y=\'YT。此外，该策略具有r表示^Xk+1=F-1kbkP–对于k=0，…，a.s，T- 1（56）^Yk=E[^Wk | Fk]-^X*k+1SkP–对于k=0，1，…，a.s，T- 1（57），其中^Wk=H-PTm=k+1^X*m级sm证据证明是k=0，1，…，的反向感应论证，T第一组^XT+1=^XT+1和^YT=^YT。因此，请确定一些k∈ {0，1，…，T- 2} 假设在时间l=k，T- 2（i）^Xjl+2Sjl+2∈ L2,1和^Xjl+2∈ L2,1T（ii）| Xjl+2 | Sjl+1∈ L1,1T（iii）^X*l+2Sl+1+^Yl+1∈ L2,1T，^Yl+1∈ Fl+1对于所有j=1，d保持不变。在时间k时，我们希望将表达式（21）在所有X′k+1上最小化，并表明以下特性对于所有j=1，d： （i）X′，jk+1Sjk+1∈ L2,1和X′，jk+1∈ L2,1T（ii）| X′，jk+1 | Sjk∈ L1,1T（iii）（X′k+1）*Sk+Y′k∈ L2,1T，Y′k∈ FkProperties（i）-（iii）将确保（^X，^Y）∈ Θd（S）。首先，我们定义函数fkas不等式（23），并注意到fkas中的所有项都可以通过归纳假设进行积分。既然存在正定义，则存在最小化问题的唯一解，并且可以构造anFk可测最小imizer^Xk+1，其等于F-1kbk。Fur thermore定义方程式（57）中的Ykas。那么很明显，^yk是可测量的。^X*k+1Sk+Yk=E[每周| Fk]∈ L2,1T从H开始∈ L2,1T，诱导假设stm=k+2^X*m级sm∈ L2,1和^X*k+1Sk+1∈ L2,1T，我们将在下面显示。现在让我们首先展示^Xjk+1Sjk+1∈ L2,1T。通过引理3.9的不等式（49），我们知道对于常数C>0，E[（^Xjk+1Sjk+1）]≤ CE【Var（^X*k+2Sk+1+Yk+1 | Fk）dXi=1αk；i、 j+dXi=1（c（εk+1）αk；i、 j+αεk；i、 j）E[| Xik+2 | Fk]]（58）保持不变。因为归纳假设^X*k+2Sk+1+^Yk+1和^Xik+2都在L2,1对于alli=1。

，d，则仍需证明项αk；i、 j，αεk；i、 jare一致有界于kandω。这遵循引理3.8。类似地，可以证明^Xjk+1∈ L2,1使用引理3.9的不等式（50）。接下来，我们展示了流动性成本E[Pdj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2-^Xjk+1 | | Fk]是可积的。从表达式（21）的极小化问题中，由于^Xk+1是一个极小化子，我们知道（w.l.o.g.α=1）：Var（^X*k+2Sk+1+^Yk+1- （^Xk+1）*Sk+1 | Fk）+E[dXj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2-^Xjk+1 | | Fk]≤ Var（^X*k+2Sk+1+^Yk+1 | Fk）+E[dXj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2 | | Fk]（59）保持不变，其中右侧对应于选择Xk+1=0。考虑到双方的期望值，并且由于通过定义条件方差是非负的，我们得到[dXj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2-^Xjk+1 |]≤ E[|^X*k+2Sk+1+^Yk+1 |]+E[dXj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2 |]（60），其中我们使用了Var（X）≤ E | X |。现在，根据归纳假设，^X*k+2Sk+1+^Yk+1∈ L2、1T和Sjk+1 | Xjk+2|∈ L1,1T对于所有j=1，那么很明显，液体成本Pdj=1εjk+1Sjk+1 | Xjk+2-^Xjk+1 |位于L1,1T。特别是εjk+1Sjk+1 | Xjk+2-^Xjk+1|∈L1,1T对于所有j=1，d、 这是因为确定性过程ε和边际价格过程S在假设下都是非负的。为了完成证明，还需要证明| Xjk+1 | Sjk∈ L1,1T。这是必要的，以便完成归纳论证，并能够证明下一步中的流动性成本再次是可积的。因此，从等式| Xjk+1 | Sjk=-|^Xjk+1|Sjk+1+| Xjk+1 | Sjk+1（61）我们需要证明| Xjk+1|Sjk+1和| Xjk+1 | Sjk+1均位于L1,1T。如前所述，由于所有j=1，…，液化成本都是可积的，d和since通过归纳假设| Xjk+2 | Sjk+1∈ L1,1然后是不等式0≤ |^Xjk+1 | Sjk+1≤ 2 |^Xjk+2-^Xjk+1 | Sjk+1+2 | Xjk+2 | Sjk+1（62）如下。Sin ceεjk>0这意味着| Xjk+1 | Sjk+1对于所有j=1。

，d.术语| Xjk+1|Sjk+1也可以通过^Xjk+1这一事实进行积分Sjk+1和^Xjk+1均为L2,1T。Indedwe haveE[|^Xjk+1|Sjk+1]≤ E[|^Xjk+1|{|Sjk+1|≤1} ]+E[| Xjk+1Sjk+1|{|Sjk+1|≥1}]≤ E[| Xjk+1 |]+E[| Xjk+1Sjk+1 |]（63），这证明并完成了时间k的归纳步骤。时间k=T时的基本情况，其中^X*通过相同的参数和对H和“XT+1，”“YT”的假设，T+1ST+^YT=H是清楚的。事实上，自从*T+1ST+^yt和^XT+1都是平方可积的，那么从引理3.9和引理3.8可以得出^XjTSjT公司∈ L2,1T和^XjT∈ L2,1对于所有j.此外，请注意，假设^XjT+1SjT∈ L2,1T，^XjT+1∈ L2,1可以显示| XjT+1 | SjT∈ L1,1T。通过与上述相同的论证，这将意味着流动性成本的可积性。| XjT | SjT- 1.∈ L1,1可以通过使用与归纳步骤证明中完全相同的元素来表示。最后，通过定义^YT- 1=E[H-^X*TST | Fk]-^X*TST公司- 1（64）那么很明显^YT- 1英寸- 1-可测量和^X*TST公司- 1+^YT- 1=E[H-^X*TST | Fk]属于L2,1T。C（^И）的鞅性质来自于^Y的构造，因为每次k wehaveE[CT（^И）]- Ck（^И）| Fk]=0（65），因此根据命题2.6，由于两个属性都是满足的，那么交易策略^Д=（^X，^Y）是流动性不足下的局部风险最小化，并且证明是完整的。备注3.6。在一维情况下，非流动性下的LRM策略^И=（^X，^Y）具有表示^Xk+1=Cov（Vk+1（^Д），Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1^Xk+2 | Fk]变量(Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1 | Fk]（66）Vk（^Д）=E“H-TXm=k+1^XmsmFk#（67）对于εk+1趋于零，我们得到了经典的局部风险最小化策略，而不考虑流动性不足。让我们用'Д=（'X，'Y）来表示这一点。此外，我们可以很容易地注意到，在S是鞅的情况下，则Vk（^Д）=E[H | Fk]=Vk（(R)Д）。

这意味着这两个账面价值相等。我们可以很容易地检查，当εk+1等于完整性，即有限的流动性成本时，则^Xk+1→ E“Sk+1··ST^XT+1E[Sk+1 | Fk]··E[ST | FT- 1]Fk#。（68）考虑现金结算，即^XT+1=0和^YT=H，其中期权的价值必须以现金支付，因为这通常是市场标准。那么我们显然有^Xk+1→ 0表示所有k=0，1，εk+1时的T→ ∞. 从财务角度来看，这是有道理的，因为对于投资者来说，最好的选择是不进行任何投资，以避免有限的流动性成本。在d维情况下也可以进行类似的观察。3.4根据协方差矩阵F性质的一个充分条件，即使用定义3.7中的F性质，以证明定理3.10中反向计算的非流动性条件下，命题2.6的局部风险最小化策略的可积性。在本节中，我们将展示这种情况与协方差矩阵F的关系。在继续之前，让我们回顾一下主子矩阵的定义（见Horn&Johnson，2012）。主子线的定义：通常让P∈ Rm，nbe具有mrows和n列的实矩阵，以及letα {1，…，m}，β {1，…，n}是索引集。用P[α，β]表示位于由α索引的P行和由β索引的列中的条目的（su b）矩阵。对于α=β，用P[α]=P[α，α]表示位于由α索引的P的行和列中的条目的（子）矩阵。那么P[α]被称为P的主子矩阵。下面的引理3.11给出了协方差矩阵F的有效准则。引理3.11。如果存在δ，则S具有F性质∈ （0，1）使得Det（Pk）- （1）- δ） det（巴基斯坦）≥ 0（69）对于所有主子矩阵Pkof fk和主子矩阵PAkof FAkwhere FAk：=尺寸为l×l的诊断（Ak；1，…，Ak；d），其中l∈ {2, . . .

，d}，对于所有k=0，1，T证据让d∈ N≥2，x k∈ {0，1，…，T}省略时间k表示F=Fk。此外，我们用FAm表示；Al：=FAm；Al（Am，Am+1，…，Al-1，Al+1，Al+2，Ad）表格，l∈ {1，…，d}，m<l，the（d-m） ×（d-m） 对称矩阵，其中i=j，j∈ {1，…，l-m} 我们设置了FAm；Ali，j=Am+j-1和j∈ {l- m、 ，d- m级- 1} 我们设置了FAm；Ali，j=矩阵对角线元素的Am+j+1。否则，对于i 6=j，我们设置FAm；Ali，j=Dm+i-1，m+j-1莫里，j∈ {1，…，l- m} 和FAm；Ali，j=Dm+i+1，m+j+1，对于i，j∈ {l- m、 ，d- m级- 1} 。对于m=lwe set FAl；Al：=FAl；Al（Al+1，Al+2，…，Ad），等于F，不含前l行和列。还要注意，对于l=d，我们有FAm；Ad：=FAm；Ad（Am，Am+1，…，Ad-1） 这相当于没有第一个m- 1行和列，没有最后一行和最后一列。因为Aj=Aj+Aεjand使用矩阵F和Fare对称的事实，然后是oneA矩阵P∈ Rn，nhas荷兰大小为l×l的不同主子矩阵可以计算thatdet（F）- （1）- δ） d et（FA）=det（F）- （1）- δ） det（FA）+Aε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） d et（diag（A，A，A，…，Ad））]+Aε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） d et（diag（A，A，A，…，Ad））]+Aε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） d et（诊断（A，A，A，…，Ad））]+···++Aεd[检测（FA；Ad（A，A，A，…，Ad-1） （）- （1）- δ） det（诊断（A，A，A，…，Ad-1） ）]，（70）其中，Fisdd公司= 1大小为d×d和FA的主子矩阵P[{1，2，…，d}]；Ad（A，A，A，…，Ad-1） =P[{1，2，…，d- 1} ]其中一个dd公司-1.= d Fof大小的主子矩阵（d- 1） ×（d- 1） 。剩余的d- 1大小的主要子矩阵（d- 1） ×（d- 1） 可以递归计算，如方程式（70）中的d- 1方程式R.H.S中的项。例如，我们有一个ε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） d et（诊断（A，A，A，…）。

，Ad））]=AεnAε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） det（diag（A，A，A，…，Ad））]+Aε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） det（diag（A，A，A，…，Ad））]+Aε[det（FA；A（A，A，A，…，Ad））- （1）- δ） det（diag（A，A，A，…，Ad））]+···++Aεd[det（FA；Ad（A，A，A，…，Ad-1） （）- （1）- δ） det（诊断（A，A，A，…，Ad-1） ）]+det（P[{2，3，…，d}]）- （1）- δ） det（PA[{2，3，…，d}]）o.（71）注意到FA；Ad（A，A，A，…，Ad-1） =P[{2，3，…，d- 1} ]是dd公司-2.Fof大小的主子矩阵（d- 2） ×（d- 2） 。剩下的dd公司-2.- 1尺寸的主要子矩阵（d- 2） ×（d- 2） 可以按上述相同的方式递归计算。继续计算（对于每个项），我们得到det（F）- （1）- δ） d et（FA）=det（P[{1，2，…，d}]）- （1）- δ） det（PA[{1，2，…，d}]）+AεnAεn。Aεd-3nAεd-2[检测（FAd-2.广告-2（公元前-1，Ad））- （1）- δ） d et（诊断（Ad-1，Ad））]+Aεd-1[检测（FAd-2.广告-1（公元前-2，Ad））- （1）- δ） d et（诊断（Ad-2，Ad））]+Aεd[det（FAd-2.Ad（Ad-2，Ad-1） （）- （1）- δ） det（诊断（Ad-2，Ad-1） ）]+det（P[{d- 2，d- 1，d}]）- （1）- δ） det（PA[{d- 2，d- 1，d}）o。o+。（72）这意味着，我们重写了术语det（F）- （1）- δ） det（FA）分为dl（不同）主子矩阵Pof Fof大小l×l，其中l∈ {3，…，d}。此外，我们正在处理2×2矩阵的行列式，如下所示：例如，由于Ad≥ Adwe havedet（时尚-2.广告-1（公元前-2，Ad））- （1）- δ） det（诊断（Ad-2，Ad））=δAd-2Ad- |Dd公司-2，d|≥ δAd-2Ad- |Dd公司-2，d |=det（P[{d- 2，d}]）- （1）- δ） det（PA[{d- 2，d}]）。（73）同样适用于其他2×2主子矩阵，因为Aj≥ AJ对于j=1，d、 既然Aεj≥ 0表示j=1，假设不等式（69）成立，那么我们可以估计出（F）- （1）- δ） d et（FA）≥ det（P[{1，2，…，d}]）- （1）- δ） det（PA[{1，2，…，d}]）+AεnAεn。

Aεd-3nAεd-2[det（P[{Ad-1，Ad}]）- （1）- δ） det（PA[{Ad-1，Ad}]）]+Aεd-1[det（P[{Ad-2，Ad}]）- （1）- δ） det（PA[{Ad-2，Ad}]]+Aεd[det（P[{Ad-2，Ad-1}]) - （1）- δ） det（PA[{Ad-2，Ad-1} ]）]+det（P[{d- 2，d- 1，d}]）- （1）- δ） det（PA[{d- 2，d- 1，d}）o。o+。≥ 0。（74）表示数量det（F）- （1）- δ） det（FA）可以通过主子矩阵的行列式，通过Fand（69）中的项，从下面估计，因此，假设索赔如下。命题3.12为我们提供了一个F-属性完全填充的示例。提案3.12。假设协方差矩阵Fk在任何时候都是正定义的k=0，1，T和sj对于每个j=1，…，都有独立的返回，d、 然后，F-propertyholds。证据让d∈ N≥2、固定k∈ {0，1，…，T}。首先，我们介绍符号“Ak”；j： =Var（ρjk+1），\'Dk；i、 j：=Cov（ρik+1，ρjk+1），对于i 6=j，其中'Fk；i、 j=(R)Ak；j表示i=j，(R)Fk；i、 j=(R)Dk；i、 约瑟怀斯。你的目标是利用引理3.11。为简单起见，我们省略时间k，并表示F=Fk。首先要注意的是，由于协方差矩阵Fis的正定义为endet（F）>0，det（FA）>0。（75）正在使用Sjk+1=Sjkρjk+1，ρjk+1独立于所有j=1的fk，d、 。由于Sjk>0，这意味着det（F）- （1）- δ） det（FA）≥ 0<==> 详图（(R)F）- （1）- δ） 数据（(R)FA）≥ δ为0（77）∈ （0，1）。此外，由于“Fand”和“F”是det（\'F）>0和det（\'F\'A）>0的确定性矩阵，因此det（\'F）- （1）- δ） 详图（\'F\'A）≥ 0（78）表示某些δ∈ （0，1）。

对于Fof s size d×d的1主子矩阵，这也是矩阵x，我们要显示det（F）+（1- δ） det（FA）≥ 0（79），对于独立收益和正边际价格过程，等于det（(R)F）+（1- δ） 数据（(R)FA）≥ 0，如等价关系（77）所示。因此，这仍然需要证明，对于所有人来说（不同的）dl主子矩阵Pof Fof大小l×l，其中l∈ {2，…，d- 1} 我们有det（P）+（1- δ） det（PA）≥ 某些δ为0∈ （0，1）。现在再次使用Fkis正定义这一事实，我们知道每个主子矩阵Pis正定义（Horn&J oh nson，2012，观察7.1.2）。这意味着det（P）>0，det（PA）>0。（80）由于所有主要子矩阵都是票价协方差矩阵，那么通过与上述相同的论证（和明显的符号），我们得到了det（(R)P）- （1）- δ） 数据（\'P\'A）≥ 某些δ为0∈ （0，1），对于独立收益和Sjk>0，它等效于t（P）+（1- δ） det（PA）≥ 0。（81）最后，从引理3.11可以得出如下结论。提案3.13。假设协方差矩阵Fkat始终k=0，1，T为正定义，且sj对于每个j=1，…，具有独立增量，d、 那么F属性就成立了。证据后面是类比推理的论点，如命题3.12所示。备注3.7。注意，重写引理3.11，当ε=0时，条件只是简化为协方差矩阵为suchdet（F）- （1）- δ） det（FA）≥ 某些δ为0（82）∈ （0，1）和主子矩阵不需要考虑。备注3.8。在二维情况下，以确保Fkis正定义，即Ak；1Ak；2.- Dk；1,2>0，Ak；1> 0，Ak；2> 0，在独立收益（或增量）的情况下，我们只需要严格的Cauchy-Schwarz不等式，这意味着沙必须是线性相关的。然后可以应用第3.12条提案。3.5非负电源曲线为简单起见，本节考虑一维情况。