多资产非流动的局部风险最小化

在第一种情况下，我们将重点放在利用涵盖期权交付期（Tc，Tc）的各种期货组合对冲期权。为此，我们考虑了三个期货F、F、F，其交货期分别为[TF、TF]、[TF、TF]、[TF、TF]，其中我们将Tc=TF=TF=0.0125，Tc=TF=TF=0.1，TF=0.05。我们考虑了时变流动性结构（104），其中我们设定Mi=0.005，Ni=2Mi，δi=0.000001，以及恒定流动性结构（105），其中我们设定Mi=Ni=0.01，i=1，2，3。我们计算LRM策略Д=（X，Y）的标准T（Д）、T（Д）、L（Д）和C（Д），其中￠T（Д）=E[（CT（Д）- C（Д））]是二次套期保值标准，L（Д）=E[PTm=1十、*m+1[Sm(Xm+1）- Sm（0）]]流动性成本，T（Д）=T（Д）+L（Д）我们的LRM最小化组合标准（11），以及C（Д）=E[H-PTm=1（Xm）*Sm]时间0时策略的成本。表1和表2中分别显示了具有时变流动性（104）和恒定流动性（105）的LRM策略ДL=（XL，YL）的结果。此外，我们在零流动性成本（即εi=0）的情况下，使用经典的LRM策略ДC=（XC，YC）计算结果。回想一下，数量Tis通过ДLand最小化Tis通过ДC最小化。为了进行比较，我们在两种情况下使用相同的轨迹。第一个值得注意的是，套期保值成本和相应的最小化标准确实减少了可用套期保值工具的数量。此外，在流动性成本下，使用策略ДLis的初始成本比使用策略ДCsince it的成本更高，生成最优策略Дlun的成本也更高。为了关注涵盖期权交付期的两个期货的套期保值表现，我们考虑了两个例子。在第一种情况下，我们考虑期货F、F的交期重叠，而在第二种情况下，期货F、F（见图1b）的交期不同。

从表1和表2中，通过比较数量T（ДL），我们可以看出，F与F的情况下，F的性能更好，因为它们产生的成本更低。在具有时变流动性的表2中，这是因为注意到，为了使用最小二乘蒙特卡罗方法计算模拟的条件预期，我们需要模拟2维。同时使用马尔可夫过程和L的基函数。Fhas的交付周期比Fand更短，可用于更长时间的套期保值。在表1中，我们看到，在流动性不变的情况下，尽管FH的交付期与期权H完全一致，但最好使用tw o对冲工具Fand F进行对冲。通过观察数量T（ДC），我们可以观察到，对于经典LRM标准下的经典LRM策略，F和F的表现更好，仅仅是因为对冲工具的规模不断扩大。回想一下，我们的二次标准平衡了低流动性成本和不良复制。例如，可以在表1和表2中看到这一点。事实上，从我们的例子来看，期货F，F表现更好，市场波动产生的成本T（ДL）更少，但产生的流动性成本L（ДL）比期货F，F更多。此外，请注意，与Fin表1的结果相对应的图1a证实了Agliardi&Gen,cay（2014）和Rogers&Singh（2010）的数字结果，他们发现非流动性条件下的最优策略的波动性小于经典策略。这是非常直观的，因为仓位的大幅变动会带来巨大的流动性成本。

在图1b中，我们可以观察到，在交割期开始之前，两种期货都被积极使用，但在进入交割期之后，几乎只有用于套期保值的未来金融机构，因为金融机构比FAN更具流动性，到期时间也更晚。在第二种情况下，我们关注各种对冲星座中出现的流动性成本和对冲绩效之间的权衡。为此，我们分别考虑三个交付期为[TG，TG]、[TG，TG]、[TG，TG]的期货G、G、G，并设置Tc=TG=TG=TG=TG=0.05、Tc=TG=0.1、TG=0.075、TG=0.0125。另一方面，模型规格与上述第一组相同。我们考虑了两个示例，其中一个是com monfuture G，其每iod的交付量与选项H相同。从表3和表4中，我们可以观察到，根据数量T（ДL），G，G的性能优于G，G。从▄T（ДC）中我们可以看出，在经典环境中也是如此。这主要是因为，未来的Gexpires晚于Gand，其交付期在期权的交付期内。注：通过比较两个示例的数量T（ДL），我们观察到，在表4中，它们之间的差异小于表3中的差异。这是因为在这种情况下，Gis在这段时间内的流动性比Gin高[0，0.0125]，可以用于低流动性成本的混合。因此，正确确定流动性的期限结构似乎很重要。在图2和图3中，我们显示了两种情况下一条轨迹的策略。在图3b中，实际上可以看出，在[0，0.0125]期间，Gis是一种更为活跃的对冲工具，在这种情况下，Gis的流动性比未来Gin的流动性更高，这与时间相关的流动性有关。对冲工具ST（ДL）T（ДC）~T（ДL）~T（ДC）L（ДL）L（ДC）C（ДL）C（ДC）F2.19E-3 4.79E-2 2.03E-3 3.40E-4 1。56E-4 4.76E-2 1.09E-2 9.29E-3F，F1.86E-3 3.64E-2 1.67E-3 2.92E-4 1。

88E-4 3.61E-2 1.07E-2 9.19E-3F，F1.51E-3 1.59E-2 1.31E-3 2.20E-4 2。01E-4 1.57E-2 1.05E-2 8.92E-3表1：恒定流动性参数的模拟结果。对冲工具ST（ДL）T（ДC）~T（ДL）~T（ДC）L（ДL）L（ДC）C（ДL）C（ДC）F1.63E-3 4.11E-2 1.49E-3 3 3.40E-4 1。40E-4 4.08E-2 1.05E-2 9.29E-3F，F1.56E-3 3.58E-2 1.35E-3 2.92E-4 2。10E-4 3.55E-2 1.04E-2 9.19E-3F，F7.09E-4 1.28E-2 4.50E-4 2.20E-4 2。59E-4 1.26E-2 9.66E-3 8.92E-3表2：时变流动性参数的模拟结果。对冲工具ST（ДL）T（ДC）~T（ДL）~T（ДC）L（ДL）L（ДC）C（ДL）C（ДC）G3.22E-3 2.30E-2 2.99E-3 7.75E-4 2。28E-4 2.23E-2 1.60E-2 1.41E-2G，G2.33E-3 8.03E-3 2.06E-3 5.21E-4 2。68E-4 7.51E-3 1.55E-2 1.39E-2G，G2.95E-3 1.52E-2 2.69E-3 7.12E-4 2。55E-4 1.45E-2 1.58E-2 1.40E-2表3：固定流动性参数的模拟结果。对冲工具T（ДL）T（ДC）~T（ДL）~T（ДC）L（ДL）L（ДC）C（ДL）C（ДC）G1.66E-3 1.45E-2 1.49E-3 7.75E-4 1。69E-4 1.37E-2 1.50E-2 1.41E-2G，G1.32E-3 4.64E-3 1.13E-3 5.21E-4 1。92E-4 4.12E-3 1.47E-2 1.39E-2G，G1.63E-3 1.25E-2 1.39E-3 7.12E-4 2。39E-4 1.18E-2 1.49E-2 1.40E-2表4：具有时变流动性p参数的模拟结果。（a） 仅对与索赔H具有相同交付期的未来F进行套期保值。套期保值策略xc与无流动性成本的经典案例相关联，xl与参数M=N=0.01的恒定流动性结构（105）案例相关联。观察到，流动性不足的最优LRM策略xl的波动性小于经典LRM策略XC。（b） 使用两个期货进行套期保值，并使用连续的交割期，这两个交割期共同涵盖了索赔H的每个iod的交割。其他期货具有时变流动性结构（104），参数M=M=0.005，N=2M，N=2M。

从图中可以观察到，最优LRM策略X1、Lunder非流动性Corres Pounds to The future Fand X2、Lto to The future F，其流动性更高，到期时间比F晚。从图中可以看出，Fis使用更积极。在交割期间，两种期货都变得非常缺乏流动性，因此可以观察到持有量的快速下降。图1：不同流动性结构和不同对冲工具下最优LRM策略的样本路径比较。所有绘图都基于底层的相同实现。5结论在一个无套利模型框架中，本文提出了一个新的二次套期保值标准，该标准旨在最小化基础股票价格随机波动的风险，同时产生较低的流动性成本。它继承了Rogers&Singh（2010）和Agliardi&Gen,cay（2014）的精神，扩展了Schweizer（1988）的二次局部风险最小化方法。它在数学上易于处理，足以考虑可计算的公式。在mild条件下，优化问题可以以封闭形式求解。此外，通过在我们的设置中嵌入具有不同到期日的多维价格过程，可以考虑作为一种可能的应用，对电力交易所中的亚洲式期权进行套期保值（a）对两个具有恒定流动性结构（1 05）的期货G，gw进行套期保值，i=1，2的参数Mi=Ni=0.01。（b） 使用具有时变流动性结构（104）的期货G，gw进行套期保值，参数Mi=0.005，Ni=2，i=1，2。在期货非常缺乏流动性的交割期内，持有量突然下降。图2：在不同的流动性结构下，但使用相同的hed ge工具，最优LRM策略的样本路径比较。这两种期货有重叠的交付期，从一起开始，但提前到期。

Gis的交付期与索赔H中的一项相同。LRM策略X1、L、X2、Lunder非流动性分别对应于未来对冲工具G。使用各种期货。在模拟研究中，我们分析了不同交割期和流动性水平的不同期货对下的套期保值绩效和成本，使我们能够调查套期保值绩效和流动性成本之间的关系。6附录引理证明2.4。这些论点遵循Lamberton et al.（1998）中引理1的证明。设Д=（X，Y）为流动性不足下的LRM策略，并fix一些k∈ {0，1，…，T- 1} 。假设C（Д）不是鞅，我们可以通过定义X′：=X，并仅通过将时间k的增量成本的条件期望加到Y，Y′：=E[CT（Д），来选择时间k的局部摄动Д′=（X′，Y′），并在时间k修改现金持有量Y′- Ck（Д）| Fk]+Yk。（118）这意味着E【CT（Д′）- Ck（Д′）| Fk]=0和Var（CT（Д′）- Ck（Д′）| Fk）=Var（CT（Д）-Ck（Д）| Fk）。由于对于随机变量X，E[X]=Var[X]+（E[X]），可以得出以下结论：（a）使用两个期货G，G进行套期保值，其具有恒定的流动性结构（1 05），i=2，3的参数Mi=Ni=0.01。（b） 使用两个期货G，G进行套期保值，其流动性结构随时间变化（104），参数SMI=0.005，Ni=2，i=2，3。图3：在不同流动性结构但使用相同对冲工具的情况下，最优LRM策略的样本路径比较。这两个期货有连续的交割期，其中一个交割期更早。与索赔H的交货期一致。最优LRM策略X1，Lunder非流动性对应ds与对冲工具GandX2，Lto G。使用策略Д′，风险过程变小，即Rk（Д′）≤ Rk（Д）。（119）由于X′：=X，流动性成本等于。该影响，Tαk（ν′）≤ Tαk（Д）。

（120）由于Д是流动性不足下的LRM策略，我们必须在Tαk上具有相等性，而在Rki上则具有相等性。e、 ，Rk（Д′）=Rk（Д）。因此，成本过程C（ν）必须是鞅。引理2.5的证明。正如Lamberton等人（1998年）（见命题2的证明）所述，通过使用MMA 2.4和E[CT（ν′）这一事实- Ck（Д′）| Fk]=Ck+1（Д′），（121），根据C（Д）的鞅性质，可以得出以下结论：Rk（Д′）=E[Rk+1（Д）| Fk]+E[(Ck+1（Д′）| Fk]。（122）此外，由于Д′是在时间k时的局部摄动，我们有e[（X′k+2- X′k+1）*[Sk+1（X′k+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]=E[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]|Fk]（123），权利要求如下。命题2.6的证明。该证明遵循Lamberton et al.（1998）中命题2的证明步骤。首先让我们看看<= ” 证明方向。根据定义2.3，我们想表明，Д=（X，Y）是非流动性下的aLRM策略。因此，请确定一些k∈ {0，1，…，T- 1} 并且，设Д′=（X′，Y′）为时间k时的局部摄动。由于性质（i）成立，且Д′为时间k时的局部摄动，那么通过引理2.5，我们得到了等式tαk（Д′）=E【Rk+1（Д）| Fk】+E[(Ck+1（Д′）| Fk]+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]（124）此外，根据我们对条件方差的定义[(Ck+1（Д′）| Fk]≥ 风险值(Ck+1（Д′）| Fk）（125），因此我们可以估计αk（Д′）≥ E【Rk+1（Д）| Fk】+Var(Ck+1（Д′）| Fk）+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]。（126）由于在时间k时出现局部扰动，则X′k+2=Xk+2，Y′k+1=Yk+1，因此我们得到(Ck+1（Д′）| Fk）=Var（Ck+1（Д′）| Fk）=Var（Vk+1（Д′）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）=Var（Vk+1（Д）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）（127），我们可以得出结论，tαk（ν′）≥ E[Rk+1（Д）| Fk]+Var（Vk+1（Д）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]。

（128）此外，由于（ii）成立，则tαk（ν′）≥ E[Rk+1（Д）| Fk]+Var（Vk+1（Д）- （Xk+1）*Sk+1 | Fk）+αE[（Xk+2- Xk+1）*[Sk+1（Xk+2- Xk+1）- Sk+1（0）]| Fk]。（129）另一方面，我们通过定义（见方程式（12））Tαk（Д）=Rk（Д）+αE[十、*k+2[Sk+1(Xk+2）- Sk+1（0）]| Fk]。（130）由于C（Д）是鞅，我们得到风险过程Rk（Д）的表示（14）。因此我们可以得出结论，tαk（Д）=E[Rk+1（Д）| Fk]+Var(Ck+1（Д）| Fk）+αE[（Xk+2- Xk+1）*[Sk+1（Xk+2- Xk+1）- Sk+1（0）]| Fk]（131）最后，因为（129）和（131）保持Tαk（Д′）≥ Tαk（Д），这表示“<= ” 证明方向。现在，假设Д是流动性不足下的LRM策略，即Tαk（Д′）≥ Tαk（ν）对于在时间k时的任何局部孔径，我们将显示“=> ” 证明方向。引理2.4的性质（i）成立。因此，仍需显示属性（ii）。由于C（ν）是鞅，而Д′是时间k处的局部摄动，那么从引理2.5我们知道方程（16）成立。另一方面，由于（131）成立（从C（ν）的鞅性质），那么从f作用，Tαk（ν′）≥ Tαk（Д）我们有[Rk+1（Д）| Fk]+E[(Ck+1（Д′）| Fk]+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]≥ E【Rk+1（Д）| Fk】+Var(Ck+1（Д）| Fk）+αE[（Xk+2- Xk+1）*[Sk+1（Xk+2- Xk+1）- Sk+1（0）]| Fk]（132），根据条件方差的定义，我们可以得出以下结论：(Ck+1（Д′）| Fk）+（E[Ck+1（Д′）| Fk]）+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]≥ 风险值(Ck+1（Д）| Fk）+αE[（Xk+2- Xk+1）*[Sk+1（Xk+2- Xk+1）- Sk+1（0）]| Fk]（133）对于所有X′k+1和Y′k。在引理2.4的证明中固定X′k+1并选择Y′kas，不等式仍然成立，流动性成本保持不变。

因为这张照片给了我们[Ck+1（Д′）| Fk]=0（如引理2.4的证明），并且由于Д′在时间k处的局部扰动为Д，我们得到了它们的线性Var（Vk+1（Д）- （X′k+1）*Sk+1 | Fk）+αE[（Xk+2- X′k+1）*[Sk+1（Xk+2- X′k+1）- Sk+1（0）]| Fk]≥Var（Vk+1（Д）- （Xk+1）*Sk+1 | Fk）+αE[（Xk+2- Xk+1）*[Sk+1（Xk+2- Xk+1）- Sk+1（0）]| Fk]。（134）这表明财产（ii）有效，证明已完成。参考Sagliardi，R.&Gen,cay，R.（2014）。通过具有不同流动性的限额指令簿进行套期保值。《衍生品杂志》，22（2），32–49。Bank，P.&Baum，D.（2004年）。与大型交易员在金融市场进行套期保值和投资组合优化。数学金融，14（1），1-18。Bank，P.、Soner，H.，&Voss，M.（2017年）。临时价格影响的Hegding。数学芬南。经济。，11, 215–239.Benth，F.&Detering，N.（2015年）。在能源方面进行公关和对冲亚洲风格的期权。《金融与随机》，19（4），849–889。Benth，F.、Lange，N.，&Myklebust，T.（2015）。能源市场中Quanto期权的定价和对冲。《能源市场杂志》，8（1），1–35。Benth，F.、Meyer Brandis，T.、Kallsen，J.（2007）。用于电力现货价格建模和衍生品定价的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程。应用程序。数学鳍14 (2), 153–169.Beutner，E.（2007年）。交易成本下的均值-方差对冲。运筹学数学方法研究，65（3），539–557。C,etin，U.，Jarrow，R.，和Protter，P.（2004）。流动性风险与套利定价理论。金融与随机，8。C,etin，U.，Soner，H.，和Tou-zi，N.（2010）。针对流动性成本下的小投资者的期权对冲。《金融与随机》，14（3），317–341。Coleman，T.，Li，Y.，&Patr on，M.（2003）。分段线性风险最小化下的离散套期保值。《风险杂志》，5（3），39–65。F¨ollmer，H.&Sonderman，D.（1986）。非冗余或有权益对冲。InW公司。Hildenbrand，A.M.-C.E。

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