多资产非流动的局部风险最小化

对多维情况的扩展很简单。正如我们已经提到的，（线性）供给曲线k（x）=（1+xεk）sk也可以取负值，当负交易x是这样的时候，回忆一下矩阵F是正定义的，当且仅当它的主要子元素都是正的。x个≤ -1/ε. 因此，一个自然的问题是如何定义函数h:R→ 使电源CUR rve PROCESS Sk（x）=h（x）Sk（83）为非负。这可以通过例如functionh（x）=（1+xεk）1{x来实现≥-zk}+（1- zkεk）1{x<-zk}（84）定义为某些确定性正过程z=（zk）k=0,1，。。。，t其中0<zk≤ 1/εk对于所有k=0，1，T那么，zksk代表了卖出大量股票时收到的价格的下限。非流动性^Cb（Д）=（^Cbk（Д））k=0,1…下的相应成本过程，。。。，Tof a策略Д=（X，Y）则为^Cbk（Д）：=Vk（Д）-kXm=1XmSm+kXm=1εmSm|Xm+1|{Xm+1≥-zm}-kXm=1zmεmSmXm+1{Xm+1<-zm}。（85）此外，如第3.2节和命题2.6中的时间k，我们希望最小化表达式（w.l.o.g.α=1）Var（Vk+1（ν）- X′k+1Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1 | Xk+2- X′k+1 |{Xk+2-X′k+1≥-zk+1}| Fk]- E[zk+1εk+1Sk+1（Xk+2- X′k+1）1{Xk+2-X′k+1<-zk+1}| Fk]（86）在所有适当的X′k+1上。重写上述表达式时，需要最小化函数^fbk:R×Ohm → R+由^fbk（c，ω）=c | Abk（ω）定义- 2c^bbk（ω）+c^dbk（ω）+Var（Vk+1 | Fk）（ω）+E[εk+1Sk+1 | Xk+2 |{Xk+2-c≥-zk+1}| Fk]（ω）- E[zk+1εk+1Sk+1Xk+2{Xk+2-c类<-zk+1}| Fk]（ω）（87），其中使用以下符号，^Abk=Var(Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1{Xk+2-c≥-zk+1}| Fk]^bbk=Cov（Vk+1，Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1Xk+2{Xk+2-c≥-zk+1}| Fk]^dbk=E[zk+1εk+1Sk+1{Xk+2-c类<-zk+1}| Fk]。

（88）此外，在与第3.2节和第3.1节类似的论点和假设下，可以使用支配收敛定理证明方程ddc^fbk（c）=0给出了最优策略^И=（^X，^Y）完全符合隐式关系^Xk+1=Cov（Vk+1，Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1^Xk+2{Xk+2-^Xk+1≥-zk+1}| Fk]-QVar(Sk+1 | Fk）+E[εk+1Sk+1{Xk+2-^Xk+1≥-zk+1}| Fk]（89），其中q=E[zk+1εk+1Sk+1{Xk+2-^Xk+1<-zk+1}| Fk]。（90）4电力市场的应用在本节中，我们应用之前的结果，用面临流动性成本的电力期货对冲亚洲式电力期权。这些期货可能有不同的到期日，即某些对冲工具可能在期权到期之前终止（最终时间范围T），而这些工具中的对冲只能在[0，T]的某些子区间内进行。前几节中我们的设置没有涵盖这种情况，假设所有对冲工具在T之前都可以进行对冲。因此，在4.2.4.1小节的电力市场示例之前，我们在前面的章节中简要介绍了如何将不同期限的对冲工具嵌入到我们的设置中，然后在4.2.4.1小节的随机基础上重点介绍了不同期限的对冲工具(Ohm, F、 F，P）对于最终时间范围T，现在考虑非负价格过程Sj=（Sjk）k=0,1，。。。，到期的可用对冲工具≤ T，j=1，d、 也就是说，只有在时间Tj之前，才能对资产j进行套期保值≤ T，j=1，d、 在不丧失一般性的情况下，我们假设0<T≤ T≤ · · · ≤ Td公司≤ T为了将这种情况纳入我们的一般设置中，我们引入了一个相关的d维价格过程▄S=（▄Sk）k=0,1，。。。，T通过在剩余时间间隔[Tj，T]上部分保持每个资产Sjconstant:Sjk=Sjk[0，Tj）（k）+SjTj[Tj，T]（k）（91），对于j=1，d和k∈ {0，1，…，T}。

此外，我们考虑一个正的、确定性的Rdvalued流动性过程ε=（εk）k=0,1，。。。，T、 在区间上扩展了一些εjm>0∈ [Tj，T]对于所有j∈ {1，…，d}，即我们在扩展价格动态期间假设正流动性成本。很明显，投资者在这段时间内不会交易资产j，因为在这段时间内，资产产生零收益，同时产生正的流动性成本。事实上，利用k的事实≥ 我们有Slk+1=0，从命题2.6，属性（ii）中可以直接看出，在这种情况下，LRM策略的形式必须是▄Xlm=0，对于m=Tl+1，T，l∈ {1，…，d}。i、 e.套期保值者在时间Tj+1时，对其在第j项资产中的头寸进行流动性评估。因此，在我们的扩展市场中，LRM策略X自动尊重到期日Tj、j以外的原始对冲约束∈ {1，…，d}因此也是我们设定的aLRM策略，具有不同成熟度的对冲工具。在下文中，如果k，我们称资产▄sj在时间k处于活动状态≤ 如果k>Tj，则在时间k时Tjand处于激活状态。对于不同期限的对冲工具，第3节中制定的线性支持曲线下LR M策略的存在和计算▄Sjk（xj）=▄Sjk+xjεjk▄Sjkas现在采用以下形式。使用LRM策略▄X full fills▄Xlm=0表示m=Tl+1，T，l∈ {1，…，d}，步骤k的最小化∈ {0，1，…，T- 1} 函数fkin（23）的最小值减小到函数▄fk:Rd-lk×Ohm → R+定义为fk（c，ω）=dXj=lk+1 | cj | Ak；j（ω）- 2dXj=lk+1cjbk；j（ω）+dXj6=i，j，i≥lk+1cjciDk；j、 i（ω）（92）+Var（Vk+1 | Fk）（ω）+dXj=lk+1E[εjk+1Sjk+1 | Xjk+2 | Fk]（ω），其中s ums仅在资产上Sj，j=l+1。。。，d、 在k\'thperiod期间处于活动状态，即lk：=最大{r∈ {1，…，d}：Tr<k}。

因此，定理3.10中要求的LRM策略存在的条件降低为低维条件，在每个期间，这些条件仅与主动对冲工具有关。更准确地说，使用第3节中的符号，我们为每个周期定义∈ {0，1，…，T- 1} 对称矩阵Fk∈ 研发部-lk×d-lk（Fk的一个主子矩阵）乘以▄Fk；i、 j=Dk；i+lk，j+lk，对于i 6=j，~Fk；i、 j=Ak；i=j，i，j时的j+lk∈ {1，…，d- lk}和▄bk：=（bk；lk+1，…，bk；d）*∈ 研发部-lk。然后最小化（92）等于求解c中的线性系统▄Fkc=▄bk.（93∈ 研发部-lk。请注意，Fk=~Fk+~Fεk，其中Fε=diag（Aεk；l+1，…，Aεk；d），~Fk是矩阵Fk，对于j=l+1，…，εjk+1=0，d、 这是价格过程协方差矩阵的简化形式。根据第3节中的参数，我们得到了关于不同成熟度对冲工具中LRM策略存在性的第3.10条的以下版本：推论4.1。考虑未定权益H=(R)X*T+1+YT∈ L2,1，其中“XT+1=0，aprice过程的形式如等式（91）所示。假设对于每个第k个周期，协方差矩阵fk为正定义。此外，假设在时间k的第k个期间内，活动资产的平均方差权衡、偏离性能和F对角线条件保持不变∈ {0，1，…，T- 1} 。然后，在流动性不足的情况下，存在LRM策略^И=（^X，^Y），^XT+1=0，^YT=H。尤其是对于k∈ {0，1，…，T- 1} 我们有^X=（\'0，~X）和\'0=（0，…，0）∈ RLKXk+1=F-1kbkP- a、 s.（94）in Rd-k的lkand∈ {0，1，…，T- 1} ^Yk=E[^Wk | Fk]-^X*k+1SkP–a.s.（95），其中^Wk=H-PTm=k+1^X*m级Sm。4.2电价市场中的LRM策略在本节的其余部分，我们现在考虑通过LRM策略在流动性成本下利用电力期货对冲亚洲式电力期权的示例。

我们正在考虑的电力期货价格过程基于Benth et al.（2007）中提出的连续时间多因素现货价格模型，我们在本周之前的第4.2.1小节中回顾了该模型，在第4.2.2.4.2.1小节中的一个示例中，我们明确计算和模拟了LRM策略Benth et al.（2007）中的电力市场模型，即时间t的现货电力价格E（t）∈ [0，T]由（T）=nXi=1∧i（T）Yi（T），（96）建模，其中i=1，n正确定性函数∧iaccounts for季节性和yi是Ornstein-Uhlenbeck随机微分方程的解dyi（t）=- λiYi（t）dt+σi（t）dLi（t），Yi（0）=Yi，（97），其中λi>0是常数，σi（t）是确定的正有界函数。此外，Li是独立的、递增的pu-re-jum-p-L'evy过程，具有跳跃测度Ni（dt，dz），其具有形式为νi（dt，dz）=dtνi（dz）的确定性可预测补偿器。请注意，由于李的增长性质，确保了易建联的积极性，从而也确保了现货价格E的积极性。我们假设模型（96）是在随机基础上定义的(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）其中过滤（Ft）0≤t型≤可用的套期保值工具是电力期货，根据电力的流动特性，它在一个交付期内为TF<TF提供现货电力≤ 而不是在固定的时间点。也就是说，交割期结束时（正式结算）期货的报酬为- tfztftffe（u）du，（98），资产的寿命终止于TF。为了计算无电期货的价格动态，为了简单起见，我们假设P已经是一个等价的鞅测度，这样，期货在时间t的价格F（t；TF，TF）≤ TFA交易资产由f（t；TF，TF）=E“TF表示- TFZTFTFFE（u）du英尺#。

（99）使用显式解Yi（u）=Yi（t）e-λi（u-t） +Zutσi（s）e-λi（u-s） Olns-tein-Uhlenbeck组件的dLi（s）（100），i=1。。。n、 （99）中条件预期的简单计算得出连续时间现货模型中期货合约的以下价格：命题4.2。交付期为[TF，TF]的电力期货在时间t的价格F（t，TF，TF）由F（t，TF，TF）=nXi=1Yi（t）TF给出- tfztftft∧i（u）e-λi（u-t） du+TF- TFZTFTFZutZR+σi（s）∧i（u）e-λi（u-s） 0的zνi（dz）dsdu（101）≤ t型≤ TF，and f（t，TF，TF）=TF- TFZtTFE（u）du+nXi=1Yi（t）TF- TFZTFt∧i（u）e-λi（u-t） du+TF- TFZTFtZutZR+σi（s）∧i（u）e-λi（u-s） zνi（dz）dsdu（102）用于TF≤ t型≤ TF。基于这一连续时间现货和期货价格模型，我们现在构建了一个离散时间电力市场模型，该模型通过对连续时间过程进行采样（在0=t，t，…）的若干交易时间内。。。，T，即我们的对冲工具Sj，j=1。。。d、 由以下形式的期货价格过程给出：=0的Fj（tk，TFj，TFj）≤ tk公司≤ TFj公司≤ T（103）在下文中，我们始终假设交货期时间是离散时间网格的一部分，即TF，TF∈ {t，t，…，t}。到期后，期货合约停止存在，交易不再可能。在交割期间，根据交易所的惯例，交易要么根本不可能，要么流动性很低。我们通过规定[TF，TF]期间的高流动性成本来证明这一特征，当流动性成本趋于一致时，不可能进行交易。在交割期之前，人们通常会在电力市场上观察到，期货的流动性越高，交割期的剩余时间越短。

我们通过以下流动性结构εjforthe futures Fj，j=1，…来捕捉这种行为。。。d： εjt=aj（1- 经验值(-（TFj- t） ）+δj，aj=Mj1- 经验值(-0的TFj）≤ t型≤ TFj，εjt=nj，对于TFj<t≤ TFj。（104）未来Fjthus的流动性结构εjj从时间0时的常数Mj>0开始，并在时间上呈指数下降，直到交付期开始，达到δj>0的水平。在交付期间，它会跳到一个恒定（高）水平Nj>0。此外，在我们的模拟研究中，我们将（104）中的时变流动性结构与εjt=mj0给出的恒定流动性结构进行了比较≤ t型≤ TFj，εjt=nj，对于TFj<t≤ TFj。（105）对于Mj>0和Nj>0.4.2.2电力认购期权的LRM策略，在第4.2.1小节规定的电力市场模型中，我们现在打算计算一个金融结算的亚洲认购期权的LRM策略，该认购期权写在电力期货上，交付期[Tc，Tc]为0<Tc<Tc≤ T，即该索赔由H=\'YT和\'YT=Tc给出- TCZTCTCCE（u）du- K+（106）对于某些执行价格K，在下文中，我们将始终假设期权性质与最终时间范围相等：Tc=T。我们将分析和比较投资者是否可以对冲两种不同的期货F，F，分别对应的交割期[TF，TF]和[TF，TF]，其中我们假设TF≤ TF公司≤ T和TF6=TF。在这种情况下，推论4.1确保在流动性成本下存在LRM策略。事实上，从命题3.4可以清楚地看出，有界均值方差tradeo fff和F对角线条件都适用于各个时期的活跃资产，因为这些资产具有独立的增量。此外，根据命题？？以及备注3.8，仍需检查条件CauchySchwarz不等式是否严格，即。

对于每个k∈ {0，…，TF}主动对冲工具Fand Fful fillcov(Fk+1，Fk+1 | Fk）<变量(Fk+1 | Fk）变量(Fk+1 | Fk），（107），确保逆矩阵F-1K存在，并且F属性保留。TheCS不等式实际上是严格的，因为TF6=tf，这确保了P（Fk+1=aFk+1）<1对于任何常数a∈ R、 因此，根据推论4.1，存在LRM策略^И=（^X，^Y）流动性不足，形式为^XT+1=0，^YT=H和^X=（\'0，^X），其中\'0=（0，…，0）∈ RLKXk+1=F-1kbkP–a.s.（108）英寸Rd-LK代表k∈ {0，…，T- 1} 。注意，矩阵F-k为1kis 2×2维∈{0，…，TF- 1} 和k的一维∈ {TF，…，TF- 1} 。要计算最优策略X，需要计算s q可积随机变量X和Y的条件期望s的形式E[Y | X]。Longstaff&Schwartz（2001）在融资中首次使用的最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法是计算此类条件期望值的一种流行方法，我们在下文中也采用了这种方法，用于美式期权的估值。我们没有深入讨论LSMC方法的更多细节，只提到我们使用通过binning方法构造的指示符函数作为基本函数。有关LSMC方法的详细介绍，请参阅Fries（2007）。在我们的二维示例中，我们需要模拟，▄XT+1=0▄Xk+1=Ak；2bk；2对于k∈ {TF，…，TF- 1} Xk+1=（PXk+1，<<Xk+1）对于k∈ {0，…，TF- 1} ，当eXk+1=Ak时；1Ak；2.- |Dk；1,2 |（Ak；2bk；1- Dk；120万；2） ~Xk+1=Ak；1Ak；2.- |Dk；1,2 |（Ak；1bk；2- Dk；120万；1） 。（109）要实现LSMC方法，需要确保条件期望中的所有随机变量都是平方可积的。下面的推论4.3保证了这一点，它主要基于引理3.9。对于推论4.3，我们使用第4.1节的符号，其中▄S=（▄S。

是指（扩展）套期保值策略的价格过程。基本上，e需要TF6=TF或TF6=TF，因此条件Cauchy-Schwarz不等式是严格的。见备注3.8。这意味着，两种期货都是线性独立的，概率为正。推论4.3。假设边际价格过程的组成部分S和偶然目标H都在L4,1T以及XT+1=0。根据推论4.1的假设，在非流动性条件下存在LRM策略^И=（^X，^Y），因此对于某些常数C>0E[（℃F-1kbk）jSjk+1）]≤ C（E | Vk+1（^Д）|+dXi=1E | Xik+2 |）（110）E[（）-1kbk）j）]≤ C（E | Vk+1（^И）|+dXi=1E | Xik+2 |）（111）表示k∈ {0，1，…，T- 1} 式中，Vk+1（^Д）=E【H】-PTm=k+2^X*m级Sm | Fk+1]。特别是，条件期望中的所有随机变量（Ak、j、bk、jand、Dk、j、I）对于所有j=lk+1，…，都是平方可积的，d和k=0，1，T- 1.证明。流动性不足下LRM策略^И=（^X，^Y）的存在直接来自推论4.1。Vk+1（^Д）=E[H-PTm=k+2^X*m级| Sm | Fk+1]也直接来自推论4.1中定义的^yk。根据Lemma 3.9和Lemma a 3.8，适用于时间k的活跃资产∈ {0，1，…，T-1} ，我们得到[（）-1kbk）jSjk+1）]≤ CE[（Var（Vk+1（^И）| Fk）+dXi=1E[| Xik+2 | Fk]）]。（112）此外，使用Var[X]≤ 我们可以估计，E[（）-1kbk）jSjk+1）]≤ CE[（E[| Vk+1（|И）| Fk]+dXi=1E[| Xik+2 | Fk]）]≤ CE[E[| Vk+1（^|И）| Fk]+dXi=1E[| Xik+2 | Fk]]=C（E | Vk+1（^|）|+dXi=1E | Xik+2 |）（113），其中对于最后一个不等式，我们使用了条件Jensen不等式，对于等式，我们应用了tower属性。类似地，我们也得到了索赔的第二个不等式。这表明，E[（^Xjk+1Sjk+1）]≤ C（E | Vk+1（^И）|+dXi=1E | Xik+2（114）E[（^Xjk+1）]≤ C（E | Vk+1（^Д）|+dXi=1E | Xik+2 |）（115）对于所有k=0，1，T-1，j=lk+1，d

根据Vk+1的定义（^И）和假设∈ L4,1和^XT+1=0，可以递归地认为^Xjk+1Sjk+1和^Xjk+1位于L4,1T。此外，我们还有一些j∈ {lk+1，…，d}时间k∈ {0，1，…，T- 1} 对于termbk；j=Cov（Vk+1（^），Sjk+1 | Fk）=E[Vk+1Sjk+1 | Fk]- E【Vk+1 | Fk】E【Sjk+1 | Fk】（116）该Vk+1（^Д）∈ L2,1T，Sjk+1∈ L2、1T和Vk+1（^И）Sjk+1∈ L2,1T自Vk+1（^И）∈ L4,1T，~ Sjk+1∈ L4,1和Cauchy-Schwarz不等式。对于termbεk；j=E[εjk+1Sjk+1^Xjk+2 | Fk]（117）我们有Sjk+1^Xjk+2∈ L2,1T自▄Sjk+1∈ L4,1T，^Xjk+2∈ L4，1和u使用柯西-施瓦辛格等式。因此，所有随机变量在条件期望中为bk；jare平方可积。类似地，术语Ak也是如此；jand Dk；j、 i.我们现在讨论电力市场模型的规格，以进行模拟研究。为此，我们考虑了具有两个OU因子（n=2）的现货价格模型（96），即基态和尖峰态，随着快速向正态水平和常数季节性函数∧=1的快速向上移动。我们设定Y（0）=Y（0）=0.5，并假设常数波动率σ=0.34，σ=0.01，平均回归率λ=0.01，λ=0.1。对于驱动L'evy过程，我们假设Lis是γ过程，其中L（t）具有Γ（γt，α）分布，La复合泊松过程具有强度γ和exp（α）分布的跳跃。我们设置γ=γ=α=1，α=0.1。这两个OU过程都是使用欧拉模式模拟的。此外，我们在（106）中设定了执行价格K=1.05，在绩效标准（12）中设定了α=1，这意味着市场价格波动风险与流动性成本之间存在同等的关系。我们将模拟和分析两种不同的设置，每种设置都有不同交割期的不同期货对，作为看涨期权的可用对冲工具。