极端风险中的数据和不确定性——非线性预期

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英文标题：
《Data and uncertainty in extreme risks - a nonlinear expectations
  approach》
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作者：
Samuel N. Cohen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Estimation of tail quantities, such as expected shortfall or Value at Risk, is a difficult problem. We show how the theory of nonlinear expectations, in particular the Data-robust expectation introduced in [5], can assist in the quantification of statistical uncertainty for these problems. However, when we are in a heavy-tailed context (in particular when our data are described by a Pareto distribution, as is common in much of extreme value theory), the theory of [5] is insufficient, and requires an additional regularization step which we introduce. By asking whether this regularization is possible, we obtain a qualitative requirement for reliable estimation of tail quantities and risk measures, in a Pareto setting.
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中文摘要：
尾部数量的估计，如预期短缺或风险价值，是一个困难的问题。我们展示了非线性期望理论，尤其是文献[5]中引入的数据稳健期望，如何帮助量化这些问题的统计不确定性。然而，当我们处于重尾环境中时（尤其是当我们的数据由帕累托分布描述时，这在许多极值理论中很常见），文献[5]的理论是不够的，需要我们引入一个额外的正则化步骤。通过询问这种正则化是否可行，我们获得了在帕累托环境下可靠估计尾部数量和风险度量的定性要求。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Data_and_uncertainty_in_extreme_risks_-_a_nonlinear_expectations_approach.pdf (277.3 KB)

2022-5-31 20:34:00 上传

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关键词：不确定性 确定性 非线性 不确定 Expectations

极端风险中的数据和不确定性——一种非线性预期方法萨缪尔·科恩数学研究所，牛津大学萨缪尔。cohen@maths.ox.ac.ukFebruary2015年8月15日摘要尾部数量的估计，如预计短缺或风险值，是一个困难的问题。我们展示了非线性期望理论，尤其是[5]中引入的数据稳健期望，如何帮助量化这些问题的统计不确定性。然而，当我们处于重尾环境中时（尤其是当我们的数据是由帕累托分布描述的，这在许多极值理论中很常见），理论[5]是不够的，需要我们引入额外的正则化步骤。通过询问这种正则化是否可行，我们得到了在帕累托环境下可靠估计尾部数量和风险度量的定性要求。1引言统计学在一定程度上是将数据和概率模型结合起来预测未知情况的一种方法。这必然会导致不确定性，不仅如估计的概率模型所描述的那样，而且还会导致模型本身的正确性。在许多情况下，描述这种不确定性并将其纳入我们的决策非常重要。这些问题特别突出的一个领域是在考虑外部结果时。就其本质而言，这涉及到查看不可能发生的事件，通常超出可用数据的范围。“极值理论”的一个关键目的是证明从观测值推断的合理性。特别是，Fisher–Tippett–Gnedenko和Pickands–Balkema–de Haan theoremstell告诉我们，假设它们存在，重整化极值的可能分布在一个小类中，允许使用渐近近似方法。

尽管如此，我们仍然必须估计这些分布的参数，直觉表明，在使用这些模型时，仍然存在很大程度的不确定性。自奈特（Knight）[9]的工作以来，概率模型所描述的不确定性有时被称为“风险”，而缺乏模型知识则被称为“不确定性”。如何将不确定性纳入决策的问题由来已久。贝叶斯统计方法通过对未知量进行分布、对观测值进行假设，然后对可能的未知量进行积分来实现这一点。这有效地迫使所有不确定性被“线性”处理，人们无法将代理人对不确定性的厌恶与其对风险的厌恶（即模型中包含的随机性）分开来描述。相反，统计学中的分类方法允许参数的不确定性（例如，通过使用置信集），但通常使用的公理化决策理论支持相对有限。从公理化方法到结果评估的一种方法是“非线性期望”。这些是ic类期望值的数学概括，允许以严格和精确的方式表示风险和不确定性。非线性预期可以被视为最坏情况估值的一般化，Wald[13]在统计背景下考虑了这一点，但更加注重对多个随机结果进行估值，而不是最小化特定固定风险。在金融领域，非线性预期在凸风险度量理论中发挥了特殊作用，例如，见F¨ollmer和Schied[7]。

在最近的一篇论文[5]中，介绍了一种将这些非线性期望与统计估计联系起来的方法。在本文中，我们将探讨这种思维方式对极端价值理论的一些影响。特别是，我们将考虑量化我们的不确定性如何导致外部外推的怀疑，以及衡量决策风险的不同方法如何需要不同数量的数据。本文的工作如下。在对非线性预期理论及其与估计的关系进行初步总结之后，我们将考虑如何将这些预期与风险度量结合起来，在某些情况下对应于尾部的外推。然后，我们将研究调整这些非线性预期的方法，这在考虑无边界结果时经常需要。最后，我们将把这一理论应用于一个具有重尾的经典估计问题，并得出各种风险度量的估计结论。备注1。Embrechts、Kl¨uppelberg和Mikosch[6]在他们著名的《金融和保险中的外价值理论》教科书中，考虑了外剥的挑战。特别是，他们讨论了他们倾向于只看分布的中等高分位数，而不是估计尾部的德佩尔。他们说，我们之所以不愿意绘制0.9999或更高分位数的曲线图，是因为我们觉得这些估计值应该非常谨慎。[…]正如我们所见，这些估计的统计可靠性在总体上很难判断。

虽然我们可以计算出这些估计量的近似置信区间，但这种构造强烈依赖于无法在实践中验证的数学假设。-Embrechts、Kl¨uppelberg和Mikosch，[6，p.364]（原文强调）在本文中，我们对支持这种沉默的正式分析进行了部分尝试。我们将看到，非线性期望理论给出了一定的界限（取决于手头的数据量），超过这个界限，估计的不确定性将主导高分位数（和类似数量）的计算，因此统计推断是有问题的。2 DR预期考虑以下问题。假设我们有一个族{X}∪ {Xi}i∈正则空间上的Nof实值随机变量(Ohm, F） =（RN，B（RN）），其中B（RN）表示Borel圆柱σ-代数。我们观察xN={xN}Nn=1，并试图得出φ（X）的可能值的结论，其中φ是一些（已知的，Borel可测量的）实函数。因此，我们的目标是估计X的分布，以解释我们估计中的不确定性。从经典的角度出发，我们首先提出了一系列度量，假设每个N的σ（xN）相等<∞, 与{X}的可能联合分布相对应∪ {Xn}n∈N、 对于这些分布中的每一个，我们都得到了log-likeliho-odl（xN；Q）=对数dQ |σ（xN）dQref |σ（xN）（xN）（相对于某些参考度量值QrefonOhm). 然后我们可以确定散度，或负对数似然比，αQ | xN（Q）=-l（xN；Q）+supQ∈Ql（xN；Q）。如果我们知道“真”度量Q，那么给定观测值xN的φ（X）的自然估计将是条件期望EQ[φ（X）| xN]。从形式上讲，由于这只适用于几乎所有观测值xN，并且我们有一个可能不可计数的测量值族，这可能会导致技术困难。

当我们使用可数生成的Borel s步数时，同时为每个∈ Q、 我们可以定义给定xN的正则条件Q-概率分布，即概率核Q:RN×B（R）→ [0，1]使得Q（xN（ω），A）=Q（X∈ A | xN）（ω），从而获得“正则”条件表达式Q[φ（X）| xN]：=ZRφ（X）Q（xN，dx）。我们在下面的内容中使用这个常规条件期望。例如，参见Cohen和Elliott【4，第2.6节】或Shiryaev【12，第II.7节】，了解该结构数学的更多细节。备注2。我们将把注意力集中在{X}的简单情况上∪{Xn}n∈每个Q下的Nare iid∈ Q、 在这种情况下，Q中的每个度量可以用Q下X的密度fQof来描述，我们得到了简化l（xN；Q）=PNi=1log fQ（Xi）和E[φ（X）| xN]=E[φ（X）]。[5]的关键思想是定义以下运算符。定义1。对于固定常数k>0，γ∈ [1，∞], 定义非线性预测Ek，γQ | xN（φ（X））=supQ∈QnE[φ（X）| xN]-kαQ | xN（Q）γo，我们写| x的地方|∞= 0表示| x |≤ 1，和∞ 否则我们称之为dExpection（带参数k，γ）。\'“DR”是一个故意含糊不清的首字母缩略词，指的是“分散稳健”或“数据驱动稳健”。我们可以看到，Ek、γQ | xN是在考虑各种模型Q下的预期值的基础上建立的，受每个模型对观测数据xN的拟合程度的影响。这允许DR期望对统计图像中固有的不确定性进行编码。这种非线性期望具有许多优雅的性质。从非线性膨胀理论的角度来看，它是单调的、凸的、恒等变的，并为所有常数赋值。通过指定ρ（φ（X））=Ek，γQ | xN，可以获得一个风险度量，从F¨ollmer和Schied【7】、Frittelli和Rosazza Gianin【8】和Artzner、Delbaen、Eber和Heath【1】的意义上来说(-φ（X）），或将φ（X）视为“损失”。

如果γ=∞.同时，与文献中的大多数风险度量不同，预测是直接从观测数据构建的，以表示统计不确定性。为了执行类别统计估计，代理需要指定要考虑的模型类别Q（以及在贝叶斯分析中，模型的先验分布）；问题剩下的唯一输入是观测值xN。在DR期望框架中，还需要不确定性厌恶参数k和曲率参数γ。与将统计推断与结果评估分开相比，预测将两者结合起来，因为可能性是预测定义的一部分。观察结果不仅通过条件作用（如贝叶斯分析）影响我们的期望，还决定了哪些模型Q∈ Qare‘good’，从很好地拟合我们过去的观察结果的意义上来说。备注3。这种方法的一个关键优势是，我们定义了每个函数φ的DR表达式。这允许一致地进行不同φ的比较，并且统计不确定性对不同φ的影响可能不同。虽然我们在上文中假设X是实值的，但如果X是Rd值（或者更一般地说，Borel是可测量的，并且在一些可分离的Banach空间中是有值的），则没有问题，这使得建模具有很大的灵活性。在{X}的设置中∪ {Xn}n∈Nare iid，并且在[5]中详述的Q的一些正则性假设下，可以证明DR期望是φ（X）期望值的一致估计，即Ek，γQ | xN（φ（X））→PEP[φ（X）]作为N→ ∞, 对于每个P∈ Q、 对于k>0和γ的任何值∈ [1，∞].

同样清楚的是，γ=∞与假设检验中的内曼-皮尔逊引理密切相关，因为它认为模型的负对数似然比αQ | xN（Q）是有效的。为了给出精确的渐近陈述，以下定义将被证明是有用的。此处P*是与P相关的外部度量，用于处理任何潜在的可测量性缺乏。定义2。考虑序列f={fn}n∈Nand g={gn}n∈Nof函数Ohm → R、 （i）当fn/gni随机有界时，我们写出f=OP（g），即P*（| fn/gn |>M）→ 0作为M→ ∞ 对于每个n，（ii）只要limn→∞P*（| fn/gn |>）=0表示所有>0。请注意，这取决于度量值P的选择。备注4。在[5]中，对于IID观测值和X，在对族Q的不同假设下，获得了一系列大样本渐近结果。假设Q是由θ参数化的“nice”exponential族的子集∈ Θ（特别是，假设1，如下面的详细信息d所示）和基于大小为N的样本的最大似然估计值（表示为^θN）已明确定义。对于有界φ，获得了以下大样本近似值：Ek，1Q | xN（φ（X））=E^θN[φ（X）]+k2NV（φ，^θN）+OP（N-3/2），瑞典克朗，∞Q | xN（φ（X））=E^θN[φ（X）]+r2kNV（φ，φθN）+OP（N-3/4），每P∈ Q、 式中，V（φ，^θN）是MLE的“局部方差”，由V（φ，^θ）定义：=Eθ[φ（X）]θ^θ（一）-1^θ)Eθ[φ（X）]θ^θ,对于I^θN处的观测信息矩阵（负对数似然的Hessian）。备注5。[5]中的结果集中于{X}∪ {Xn}n∈Nare iidunder Q中的每一个模型。从建模角度来看，这是非常有限的。然而，从定义上可以清楚地看出，DR期望仅通过条件期望和对数似然依赖于集合Q，在观测数据xN下进行评估。

因此，如果我们的模型“接近”ANID设置，在某种意义上，我们的期望和可能性与iid模型的期望和可能性相似（可能在空间转换后），那么对DR期望的同情行为不应受到显著影响。备注6。DR Expectation特别旨在强调统计确定性，而不是个人的风险厌恶。特别是，上述结果（特别是当与怀特的经典分析相结合时[14]）表明，作为样本量N→ ∞, 在iid情况下，Ek，γQ | xN（φ（X））≈ -Ek，γQ | xN(-φ（X））≈ EP[φ（X）]，其中P是Q中最接近数据经验分布的度量。这样，当样本量较大（即统计确定性较低）时，可以看出个体的偏好在DR期望中不起任何作用。2.1数据稳健的风险度量为了将注意力集中在极端事件上，或包括个人的风险厌恶，我们可能希望将我们的重点从灾难恢复预期上扩展。传统上，当忽略统计不确定性时（因此DR经验将被对未知分布的预测所取代），标准方法是用X表示损失，用φ表示效用函数。在我们的环境中，遵循这种方法将产生一种预期效用理论，其中预期被DR预期所取代。根据随机结果的规律，直接将预测与风险评估相结合，可以获得更多有趣的病例。正如我们将看到的，许多常见的风险评估都属于这种类型，例如风险价值和预期缺口，以及经典的统计数据，如预期和方差。

将M写成R上的概率测度空间，我们考虑一个映射R:M→ 代表特定分布赌博的“风险”。然后，我们可以将R的风险厌恶（将X定律视为固定的）与DRE预期的不确定性厌恶（考虑到我们在该定律中的不确定性）结合起来。我们在以下定义中正式确定了这种结构。定义3。在测度Q（给定观测值x）下，为随机变量ξ的（正则条件）定律在R和LQ（ξ| x）上的概率度量空间写出mf。让R：M→ R是一个图，其中R（LQ（ξ| x））表示我们的头寸ξ的风险，假设Q∈ Q是一个“真实”的模型。我们通过定义（Ek，γQ | x）将Ek，γQ | x和R结合起来o R） （ξ）：=supQ∈QnR（LQ（ξ| x））-kαQ | x（Q）γ矿标志7。为了简单起见，我们将通过添加pre fix“DR-”来确定此结构。例如，结合DR预期和预期短缺，如以下示例所示，我们得到“DR预期短缺”，类似于“DR风险值”。示例1。考虑（上）预期空头在水平给出的风险评估（也被称为条件风险值、尾部风险值或ris k的平均值，由不同的作者）。对于ξ具有连续分布的模型P，这可以写为r（LP（ξ））=EP[ξ|ξ≥ F-1P（1- ）]=ES（ξ），其中fp是测量值P下X的cdf。这是一个cohe-rent风险度量（或非线性预期），也可以写成（见F¨ollmer和Schied[7]或McNeil、Frey和Embrechts[11]中的进一步讨论）ES（ξ）=supP′~PnEP′[ξ]- 若kdP′/dP k，则|α（P′；P）w其中|α（P′；P）=（0∞< -1.∞ 否则在R对应于凸期望（基于参考测度）的特殊情况下，这种构造可以自然地简化。提案1。