数据驱动的统计不确定性非线性期望

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英文标题：
《Data-driven nonlinear expectations for statistical uncertainty in
  decisions》
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作者：
Samuel N. Cohen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In stochastic decision problems, one often wants to estimate the underlying probability measure statistically, and then to use this estimate as a basis for decisions. We shall consider how the uncertainty in this estimation can be explicitly and consistently incorporated in the valuation of decisions, using the theory of nonlinear expectations.
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中文摘要：
在随机决策问题中，人们通常希望从统计上估计潜在的概率测度，然后将此估计用作决策的基础。我们将考虑如何使用非线性期望理论，将该估计中的不确定性明确且一致地纳入决策评估中。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

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PDF下载：
--> Data-driven_nonlinear_expectations_for_statistical_uncertainty_in_decisions.pdf (356.1 KB)

2022-5-25 16:43:23 上传

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关键词：不确定性 确定性 非线性 不确定 Mathematical

数据驱动的决策统计确定性非线性预期萨缪尔N.科恩数学研究所，牛津大学塞缪尔分校。cohen@maths.ox.ac.ukSeptember22，2016摘要在随机决策问题中，人们通常希望从统计上估计潜在的概率度量，然后将此估计用作决策的基础。我们将考虑如何使用非线性期望理论，将该估计中的不确定性明确且一致地纳入决策评估中。关键词：统计不确定性、稳健性、非线性期望。MSC 2010:62F86、62F25、62A86、91G70、90B50示例1。考虑以下问题。设{Xn}n∈Nbe相同独立伯努利随机变量，未知参数p=p（Xn=1）=1- P（Xn=0），即独立投掷相同的、可能不公平的硬币。你观察{Xn}Nn=1，然后需要对iid试验X的可能行为得出结论。在经典的频率分析框架中，这很简单：p的估计量（来自MLE或矩匹配）由^p=SN/N给出，其中SN=PNn=1XN；此估计具有抽样方差p（1-p） /不适用≈ ^p（1- ^p）/N.假设我们需要对X进行下注评估。给定损失函数φ，我们通常会计算预期损失E[φ（X）]，其中预期基于估计参数。在不损失一般性的情况下，我们可以计算φ（0）=0，因此推断的表达式简单地由^E[φ（X）]=^pφ（1）给出。这导致了一个令人惊讶的结论：p估计的准确性对我们对赌注的评估没有影响。要了解这一点，请考虑一个基于N′的示例>> N无观测，但具有相同的^p值。那么，估计的精度（如抽样变量的倒数所示）要高得多，但下注的预期损失是相同的。

因此，在考虑这种下注时，这种方法得出的结论是，当精确或不精确地知道p时，您在设置之间是不一样的。例如，假设有两枚硬币，第一枚硬币被投掷了3次，有2个头，第二枚3000次，有2000个头。然后，预计损失标准指出，你在选择投注哪一枚硬币上是不同的，这是与经验相关的。请注意，此结论不会因损失函数φ的存在而改变。现在，有些人可能会认为这是频点估计法中的一个特殊问题，因为p估计的误差或不是我们计算期望时使用的概率框架的一部分。那么，让我们采用Bayesianaproach并在p上放置一个参数，例如（共轭）β分布b（α，β）。后验分布为B（α+SN，β+N- 序号）；这具有平均up：=（α+SN）/（β+α+N）和方差up（1- up）/（β+α+N+1）。之后的预期损失为upφ（1）；同样，这并不取决于es tima te的精度。优先使用的选择是无关紧要的，因为行为是由（为我们的观察结果生成的σ-代数写FN）E[φ（X）| FN]=E决定的E[φ（X）| p，FN]FN公司= E[pφ（1）| FN]=E[p | FN]φ（1），因此只有p的后验平均值有任何影响，而不是其后验方差（或任何其他不确定性度量）。即使我们超越了预期收益，例如考虑后验均值方差标准，我们也会发现φ（X）的后验方差是φ（X）- E[φ（X）| FN]FNi=E[p | FN]（1- E[p | FN]）φ（1），仍然只取决于p的后验平均值。

对于仅依赖于φ（X）后验定律的任何准则，都会得到相同的结论。从这一点，我们可以得出结论，在这个简单的环境中，频率论者和Bayesian n预期损失论者都未能将p的不确定性纳入我们的决策中。这类示例的异常行为之前已经被注意到。例如，凯恩斯评论道（使用“证据权重”一词来表示一个类似于概率精确度的概念）：因为在决定行动方案时，似乎可以假设我们应该考虑权重以及不同预期的概率-J、 凯恩斯（M.Keynes），一篇关于概率的论文，其数学原因是伯努利随机变量的混合物是可再加上伯努利随机变量的。因此，在X的边际分布水平上，每个层次模型都等价于一个非层次模型，贝叶斯方法在数学上增加了一点。换言之，由于伯努利分布是一个单参数族，后验分布只能记住一个值——估计概率，因此没有地方“存储”估计精度的知识。

这种设置的简单性似乎是人为的，但它表明，一般来说，人们不能声称aBayesian后验预期损失法足以处理所有形式的不确定性。凯恩斯的论文详细讨论了这一观点，但并没有将其作为统计学的一个原则，如下一句所示：“但很难想出任何明确的例子，我不确定‘证据权重’理论是否有多大的实际意义。”从某种意义上说，本文的目的是以具体的数学方式解决缺乏示例的问题，并基于经典统计方法提出实用的解决方案。1921年【13，p.76】奈特【14】认为，忽视这种不确定性并不能描述人们的行为——我们通常对结果概率的知识有着严格的偏好（另请参见阿拉斯更普遍的批判）。这使得我们能够区分“风险”和“不确定性”这两个概念，前者与给定p的X的结果有关，后者与我们对p的缺乏知识有关。在上述两个经典al框架中，有一种自然的和阶级的方法来处理这一问题。对于常客，可以考虑为p建立一个置信区间，而不是使用点估计值^p，然后根据置信区间内参数的最差经验比较赌注。随着样本量的增加，置信区间缩小，因此（固定值为^p）下注的价值增加。类似地，对于贝叶斯，使用可信区间代替置信区间。

虽然这是众所周知且明智的，但（表面上看）这是一个临时问题，需要从哲学上加以辩护：例如，在Bayesiansetting中，p中的不确定性应该已经包含在E[φ（x）| FN]的评估中，因此这种方法似乎是重复计算不确定性。在更复杂的环境中，参数p被多维参数替换，我们有兴趣比较各种随机结果的值（其期望值通常是参数的非线性函数），置信集变得不那么自然，因此似乎需要一种更为普遍和严格的方法。在本文中，我们将给出一种这样的方法。如例1所示，为了充分考虑我们的统计不确定性，我们不能简单地估计结果的（后）分布。相反，我们需要保留一些关于这个估计有多准确的知识，并将这些额外的知识输入到我们的决策中。

为此，我们将对一种方法提出一般性建议，证明其一些一般性质，并选择相关示例。这是我们的关键哲学观点：当评估存在估计和模型不确定性的结果时，仅仅依靠一个固定模型下的结果分布是不够的；评估还应取决于其他参数选择和模型在多大程度上符合我们评估所依据的观察结果。我们将研究使用似然函数（表明模型对我们观察结果的拟合程度）生成与风险度量密切相关的“凸期望”的效果，而不是简单地处理单个概率。这是奈特论证的一个重要简化，奈特论证还研究了估计未来事件概率的问题，就其本质而言，这些事件与已经发生的事件不同。尽管如此，“骑士不确定性”这一术语已经变得很常见，因为它指的是缺乏概率知识，因此我们保留了这一用法。经常在数学金融领域学习。F¨ollmer和Schied[8]对这些非线性膨胀的理论进行了详细探讨（直到符号发生了一些变化），并给出了处理“骑士不确定性”的严格数学方法。在经济学中，这与Gilboa和Schmeidler的多重收益模型密切相关【10】。然而，关于将非线性预测与统计联系起来的工作却很少。例如上面的示例1，我们的建议如下。

考虑数量E（φ（X））=supq，而不是在一个特定的估计度量下处理预期损失E[φ（X）]∈[0,1]qφ（1）+（1）- q） φ（0）- （k）-1α（q））γ对于固定的不确定性，平均参数k>0和指数γ≥ 1，其中α是我们观察到的负对数似然，移动到最小值零，that是（如上所述，对于^p=SN/N），α（q）=N^p日志^pq+ （1）- ^p）日志1.- ^p1- q≈N^p（1- ^p）（q- ^p），（1）其中近似值为大N，在某种意义上将在后面探讨（它本质上是中心极限定理m的a，见第3.2节）。当α（^p）=0时，写ξ=φ（X），我们有E（ξ）≥ E[ξ]，基本计算给出了E（ξ）的一个（Ratherineatest）公式，表示为o f^p，N，k，φ（1）和φ（0）。运营商给出了损失的“较高”预期，这取决于给定样本的参数估计的确定性。因此，我们正在考虑p的所有可能值，并使用我们的数据来确定我们认为它们的合理性（如所示-（k）-1α（p））γ）。因此，我们不试图给出p的任何点估计，也不假设我们可以将p视为具有已知分布的随机变量。如果我们使用E在一系列赌注φi之间进行选择，我们将得到一个经典的极大极小或“鲁棒优化”问题（例如，见Ben-Tal、El-Ghaoui和Nemirovski[4]），miniE（φi（X））=miniupq∈[0,1]qφi（1）+（1- q） φi（0）- （k）-1α（q））γ.经验E可以被认为是“上”期望，并且是凸的。相应的“较低”期望值-E类(-ξ） 也可以定义，并保存。这自然会导致- E类(-ξ） ，E（ξ）是ξ的区间预测。

与Dempster-Schafer理论中更为常见的量，如（频率）置信区间、（贝叶斯）可信区间和上下概率相比，我们发现区间估计在描述参数不确定性时是一个自然的研究对象。我们应该看到，置信区间（尤其是似然区间）是我们方法的特例。备注1。此处采用的方法专门用于考虑“不确定性”（缺乏概率知识），而不是“风险”（缺乏结果知识，但概率已知）。特别是，如果我们有足够的数据可以准确地知道概率度量，那么我们的期望值就是经典的期望值，并且不涉及任何损失。损失或效用函数可以用来纳入这些影响，或者我们的方法可以扩展以允许更广泛的评估类别（见备注9）。本文如下所述：首先，我们总结了非线性期望的一些基本性质。其次，我们考虑了使用对数似然作为惩罚函数和相应的“发散鲁棒非线性期望”的基础的影响，以及它们与相对性的关系。利用这一点，我们在参数和非参数设置中梳理出通用的大样本近似。最后，我们讨论了差异稳健预期和稳健统计（尤其是估计）之间的联系。1非线性期望在本节中，我们介绍了非线性期望和对流风险测度的概念，并讨论了它们与测度空间上的罚函数的关系。这些对象为建模rando m设置中不确定性的存在提供了技术基础。

这一理论在F¨ollmer和Schied[8]以及Frittelli和Rosazza Gianin[9]以及其他许多著作中都有详细探讨。在这里，我们提供了我们分析所需的该理论的关键细节，但没有证明。定义1。让(Ohm, F、 P）是概率空间，L∞（F） 表示P-本质有界F-可测随机变量的空间。L上的一个非线性期望∞（F） 是地图：L∞（F）→ r满足假设，o严格单调性：对于任何ξ，ξ∈ L∞（F） ，如果ξ≥ ξa.s.然后E（ξ）≥E（ξ），如果加上E（ξ）=E（ξ），则ξ=ξa.s.o常数平凡性：对于任何常数k∈ R、 E（k）=k.o平移等效变量：对于任何k∈ R、 ξ∈ L∞（F） ，E（ξ+k）=E（ξ）+k。额外满足度的“凸”期望o凸性：对于任何λ∈ [0，1]，ξ，ξ∈ L∞（F） ，E（λξ+（1- λ） ξ）≤ λE（ξ）+（1- λ） E（ξ）。如果E是凸期望，则ρ（ξ）=E定义的算子(-ξ） 被称为凸风险度量。一类特别好的凸期望是满足下半连续性的序列{ξn}n∈N L∞（F） 带ξn↑ ξ∈L∞（F） 点方向，E（ξn）↑ E（ξ）。以下定理（用风险度量的语言表示）是由F¨o llmer和Scheid[8]以及Frittelli和Rosazza Gianin[9]提出的。定理1。设Mdenote上所有概率测度的空间(Ohm, F） 关于P绝对连续。假设E是下半凸期望。然后存在一个“惩罚”函数α：M→ [0，∞] suchthatE（ξ）=supQ∈M公式[ξ]- α（Q）.此外，还有一个极小的此类函数，由αmin（Q）=supξ给出∈L∞（G）公式[ξ]- E（ξ）对于Q∈ M、 提供α（Q）<∞ 对于某些Q等价于P，我们可以将注意力限制在m等价于P的度量上，而不会失去一般性。经典凸分析表明，α是E的Fenchel–Legendre共轭，也是一个凸函数，是弱下半连续的。