选择行为的类量子模型

为认知过程E1、2和C1分配权重α、β和αβ<->2、原则上，α和β的值由决策者主观确定。在（α，β）=（0，1）或（1，0）的情况下，αβ为零。这意味着决策者认识到这对对象，当且仅当他/她意识到这两个对象的存在时。（α，β）=(√,√)这意味着决策者会以某种方式关注它们的存在。2.2评估函数我们假设的决策者具有比较从N个对象中选择的一个rbitrarilypair的功能。公式（3）的形式重写为ρ=|ψihψ|，|ψi=αeiθ| 1i+β2i=αeiθβ.这种表示在量子理论中被称为纯态，用于比较态的广义构造，见第。2.3。根据以下地图。^1D:S（H）7→ R、 ^1D（·）：=tr（D·）。（4） S（H）表示H=CN上所有比较状态（密度矩阵）的集合。算子D由一个自伴算子定义，它也被写成一个N×N复矩阵；D=NXk，lF（k，l）| kihl |=NXk，lF（k，l）tkl（5）F（k，l）∈ C是矩阵的（k，l）-分量。从自伴性质F（k，l）*= F（l，k）是满足的。对象k和l是事件独立的，并且彼此不兼容。（正交性hk | li=δk，清楚地说明了这一事实。）然而，决策者在进行比较的认知操作时会将它们关联起来。相关性，即决策者如何看待k和l之间的差异，被编码为F（k，l）=hk | D | li。我们给出其形式asF（k，l）=（英国- ul）eiφkl，（6）其中uk是决策者对对象k的效用。

此后，我们将其称为“评估函数”。评估的简单示例让我们解释评估函数ДD（ρ）在两个对象之间的选择中的使用：比较状态ρ以公式（3）的形式给出：ρ=1 eiθe-iθ.式中，f空气度（α，β）=(√,√) 假设为。从定义ofEq开始。（6） ，算符D表示为2×2矩阵asD=0（u- u） eiφ（u- u） e类-iφ.在量子理论的形式主义中，可测量的物理量由像D这样的自伴算子给出，tr（Dρ）的值定义为状态ρ的期望值D。对于计算dρ=u- uei（φ-θ） eiφe-iφe-i（φ-θ）,计算φD（ρ）=tr（Dρ）=cosΘ（u- u） ，Θ=φ- 得到θ。参数Θ确定评估方向。例如，在cosΘ>0的情况下，以以下方式使用上述ДD（ρ）。如果ДD（ρ）≥ 0，然后是1 2，如果ДD（ρ）≤ 0，然后是2 1、在cosΘ<0的情况下，如果ДD（ρ）≤ 0，然后是1 2，如果ДD（ρ）≥ 0，然后是2 1.2.3选择标准让我们提醒一下本节开头的情况：如果决策者绘制了a（B）标段，他/她将得到概率Pi（Qi）为xi（i=1，····，n）的结果。我们将这种情况下的对象定义为事件（经验），{（A，x），····，（A，xn），（B，x），···，（B，xn）}。（例如，（A，xk）表示他/她绘制洛A并获得结果xk的事件（经验）在我们的建模中，这些将由希尔伯特空间中的向量表示。首先，让我们介绍空间的张量积，H=HLot HOutcome；HLotis是由两个向量| Ai和| Bi跨越的二维空间，HOutcomeis是由{| xii，i=1，···，n}跨越的n维空间。这里，hA | Bi=hB | Ai=0，hxi | xji=δi，jareassumed，即{| Ai |xi，····，| Ai|xni，| Bi |xi，····，| Bi |xni}。是H=C2n的CONS。

这些向量对应于上述对象。此后，{| Ai |xii}和{| Bi |xii}被{| ii，i=1，···，n}和{| ii=| n+ii，i=1，····，n}替换：我们称事件（经验）（A，xi）和（B，xi），object-i和object'i。（object-i或object'i的效用由u（xi）=ui给出。）比较状态ρ可以定义为H=cnn，N=2n。然后，{Pi}和{Qi}的统计信息将嵌入其结构中。在本小节中，两种类型的ρ是在不同的条件下设计的，并且在每种情况下，评估值ДD（ρ）被用作在A和B之间进行选择的标准。2.3.1经典比较状态在绘制两个批次后，您将用概率Pi×Qj识别经验（A，xi）和（B，xj）。此上下文将在以下比较状态中解释。ρC=nXi，j=1PiQj |ψijihψij |∈ S（H），（7），其中|ψiji是形式为|ψiji的归一化向量=√（| Ai |xii+| Bi |xji）=√（| ii+| ji），其中'j=n+j。状态ρ是所谓混合状态的形式。注意，ρCis中的|ψijihψij |重写为|ψijihψij |=（Ei+E'j）+Ci<->\'j，这与式（3）的状态o相同，其中（α，β）=(√,√): 位于ψijihψij |的决策者意识到由i、\'j表示的对象的存在，并将它们识别为一对。这被解释为在抽取两个批次后所经历的认知状态。2.3.2经典标准比较状态ρCis的评估，计算公式为：ДD（ρC）=nXi，j=1PiQjИD（|ψijihψij |）=nXi，j=1PiQjcosΘi'j（ui- uj）。（8） 通常，混合态定义为ρ=PMkαk |ψkihψk |，其中{αk}是满足PMkαk=1和{ψki的概率分布∈ CN}是N维向量，其形式为一。这里，我们使用等式（6）的运算符D。ДD（ρC）的值是{ДD（|ψijihψij |）}的统计量。

特别是，如果所有{i}j}具有相同的估值，则与预期效用的差异成正比；ДD（ρC）=cosΘ（nXi=1Piui-nXj=1Qjuj）∝ 每个- EB。（9） 作为一个例子，我们的模型可以实现基于预期效用理论的准则。2.3.3非经典比较状态经典比较状态ρCof等式（7）的形式是对抽签后经历的认知状态{|ψijihψij}的统计描述。在本小节中，我们将讨论另一种描述绘画前认知过程的比较状态。我们从抽签作为一种度量的行为开始讨论。通过测量获取信息解决了观察者在重新测量之前持有的不确定性。换言之，通过测量，不确定性的感知转变为确定性信息的感知。我们相信量子理论的数学形式主义描述了这种转变，量子理论一般通过测量来讨论状态变化。在我们的描述中，两个批次的不确定性意识由以下两个密度运算符表示。σA=|ψAihψA |，σB=|ψBihψB |，（10），其中|ψAi A和|ψBi定义为H=CN=2n中的归一化向量。例如，如果决策者抽签A并知道事件（A，xi）（object-i）的结果，则σ表示的不确定性将转化为有限认知（iihi）。根据量子理论，从σAto | iihi |开始的状态转换由miσAM表示*itr（MiσAM*i） =| iihi |，其中Mi（i=1，····，N）称为测量运算符，由Mi=| iihi |定义。

此外，测量{Mi}后获得的统计描述定义为nxi=1MiσAM*i=nXi=1tr（MiσAM*i） | iihi |=nXi=1 | hi |ψAi | | iihi |。这里，tr（MiσAM）的值*i） 对应于结果i的测量概率：tr（MiσAM*i） =| hi |ψAi |=π。因此，σAis中的向量|ψAi写为|ψAi=nXi=1ppeiθAi | ii。（11） 这种形式被称为量子叠加。类似地，σbha中的ψBi的形式为ψBi=nXi=1pQieiθB'i'ii。（12） 从这些结果中可以看出，概率分布{Pi}和{Qj}是决定|ψA，Bi方向的元素。利用上述|ψA，Bi，我们定义了以下比较状态：ρ=|ψihψ|，|ψi=√（|ψAi+|ψBi）。（13） 注意，该ρ重写为ρ=（σA+σB）+CA<->B、 （14）其中<->B=|ψAihψB |+|ψBihψA |。式（14）的形式清楚地解释了测量前阶段A和B之间选择的基本认知过程：式（14）中的（σA+σB）一词意味着决策者意识到两个lo t s的存在<->B表示他/她认识到这两个批次是要比较的一个批次。2.3.4非经典标准让我们讨论非经典比较状态ρ的评估；ДD（ρ）=ДDσA+ ^1DσB+ ^1D加利福尼亚州<->B. （15） 这里，我们使用公式（6）中的评估函数ДDwith D。第一项和第二项σA和ДDσB计算为ДDσA=nXi，j=1pPiPjcosΘij（ui- uj）ДDσB=nXi，j=1pQiQjcosΘ'i'j（ui- uj），（16），其中Θij=φij-θAi+θAjandΘij=φij-θB'i+θB'j。我们称这些术语为风险评估。例如，如果批次A中的结果为100美元（概率P）和10美元（概率1-P，决策者看到100美元和10美元之间的差异可能会感到风险，当P=1/2时，他/她会估计出最高的风险。这样，决策者将从结果和概率的差异中评估风险。如等式形式所示。

（16） ，风险评估的程度由{cosΘij}和{cosΘi'j}的值规定。从今以后，我们称他们为“德者”。风险评估似乎在现实选择行为方面经验丰富。然而，在经典标准ДD（ρC）中，这一经验事实被忽略，见第。2.3.2。第三个术语ДD加利福尼亚州<->B式（15）中的计算公式为ДD加利福尼亚州<->B=nXi，j=1pPiQjcosΘi？j（ui- uj），（17），其中Θi'j=φi'j- θAi+θB'j。该项对应于经典标准ДD（ρC）=Pi，jPiQjcosΘi'j（ui-式（8）的uj）。这里应该注意到，等式（17）中的意识权重由概率乘积的平方根给出。在Θi'j=Θ的情况下，经典标准实现了基于预期效用理论的选择，见等式（9）。在相同的情况下，等式（17）写为ДD加利福尼亚州<->B= cosΘ“nXi，j=1pPiQjui-nXi，j=1pPiQjuj#。这里，我们考虑以下值：ДD加利福尼亚州<->BPk，l√PkQl=cosΘ“nXi=1√皮克√Pkui-nXj=1pQjPlQluj#=cosΘ“nXi=1Piui-nXj=1Qjuj#。（18） 注：Pni=1Pi=1，Pnj=1Qj=1。从上述方程式中，可以看出，计算结果是加利福尼亚州<->B本质上等同于预期效用的计算，PiPiuiandPjQjuj。我们称之为{Pi}和{Qi}，这与统计概率、主观概率不同。主观概率▄Pi重写为▄Pi=√圆周率√Pi+Pk6=iqPk1-圆周率√1.- Pi=√圆周率√Pi+ξ√1.- Pi。（19） {Pk6=i1的值-上述等式中的Pi}表示除i以外的结果的概率分布。ξ=Pk6=iqPk1的范围-Piis 1≤ ξ≤√m级- 让我们用函数wξ（x）解释统计概率和主观概率之间的关系=√x个√x+ξ√1.- x（0≤ x个≤ 1） 。（20） 图1显示了wξ（x）在m=3和ξ时的行为=√m级- 1.

有必要发现wξ（x）实现了概率加权函数的特征，这解释了小概率（统计）主观上被高估，大概率主观上被低估的实验事实。在前景理论中，概率加权函数是解释VNM理论中违反独立性公理的重要概念。事实上，从现象学的讨论中，已经提出了各种加权函数（【Prelec（1998）、Rieger&Wang（2006）、Tversky&Kahneman（1992）】）。特别是，我们注意到了双参数加权函数的形式，wλ，δ（x）=δxλδxλ+（1- x） λ，这在[Gonzalez&Wu（1999）]中进行了讨论。参数λ和δ分别控制函数的曲率和高程。λ=1/2，δ=1/ξ的唯象函数以q的形式实现。（20） ，它由密度操作符的状态表示派生而来。图1:wξ（x）在m=3和ξ时的行为=√m级- 1（实线），类似于Prospect理论中提出的概率权重函数。在到目前为止的讨论中，我们表明非经典准则ДD（ρ）具有两个特征：1。ДD（ρ）包括风险评估。2、φD（ρ）解释了概率加权函数的性质。这些是描述现实选择行为所需的要点。事实上，在下面的章节中，使用ДD（ρ）来描述几个著名的决策现象，这些现象在标准预期效用理论的框架内是无法解释的。3模糊情况下的选择行为描述在本节中，我们考虑未知风险下的选择行为，而概率分布不明确。

埃尔斯伯格首先讨论了模糊性下的选择行为：他指出，许多真正的决策者更喜欢已知风险而不是未知风险，这种趋势被称为表1：埃尔斯伯格悖论的例子。30balls 60ballsR W Yf$100 0 0f0$100 0f$100 0$100f0$100$100模糊性厌恶不能在标准预期效用理论中解释。为了解决这一矛盾，人们提出了几种数学模型。然而，Machina最近提出了模糊下的选择行为的例子，即使在流行的模糊厌恶模型中也无法解释。以秒为单位。3.1，我们在我们的模型中讨论了埃尔斯伯格悖论的解，并在第。3.2，我们证明了我们的模型也可以在相同的模型下求解Machinaparadox。3.1埃尔斯伯格悖论的解埃尔斯伯格悖论在以下句子中解释：一个瓮包含90个球。30个球为红色（R）。其他60个球是白色（W）或黄色（Y），但其比率未知。考虑一下表中显示的四个彩票。1，在每一种情况下，如果你从瓮中抽取e球，你可能会得到100美元。请注意，所有彩票都包括获得100美元和一无所获的活动。桌子。2显示为事件分配的概率，{（fk，100），（fk，0），k=1，2，3，4}。参数α（0≤ α≤ 1） 表中规定了白球和黄球的未知比率，包括（fk，100）和（fk，0）的概率，k=2，3。人们可以看到，很多人对结果的概率有着模糊性。埃尔斯伯格预测，许多真正的决策者更喜欢fto fand和fto f，即，（f f）∧（f） f） 。这种歧义厌恶倾向与预期效用理论的标准方式不一致，其中，f fif且仅当f f

本小节的目的是使用Sec中的模型模拟上述情况下的选择行为。2、首先，让我们考虑为表2：事件概率（fk，100）和（fk，0）之间的选择提供的比较状态。（fk，100）（fk，0）f1/3 2/3f2α/3（3- 2α）/3f（3- 2α）/3 2α/3f2/3 1/3F。我们使用方程（13）的非经典态形式；ρf-f=|ψihψ|，|ψi=√（|ψfi+|ψfi），（21），其中|ψfi=r | fi |100i+r | fi |0i=r | 1i+r | 2i，|ψfi=r2α| fi |100i+r1-2α| fi |0i=r2α| 3i+r1-2α| 4i。（22）这里，{| 1i，| 2i，| 3i，| 4i}是H=C上的一个CONS，它对应于批次fand f中的事件集。注，ρf-fis重写为ρf-f=σf+σf+Cf<->f、 σfk=|ψfkihψfk |和Cf<->f=|ψfihψf |+|ψfihψf |。评估函数Д中的运算符D以ofEq的形式定义。(6);D=Xi，jF（i，j）| iihj |，（23），其中F（i，j）*= F（j，i）。如果（i，j）=（（fk，100），（fk′，0）），F（i，j）=（u（$100）-u（0））eiφij，如果（i，j）=（（fk，100），（fk′，100））或（（fk，0），（fk′，0）），F（i，j）=0。在上述定义中，标准ДD（ρf-f） 计算公式为ДD（ρf-f） =ДDσf+ ^1Dσf+ ^1D查阅<->f,^1Dσf=√cosΘδu，（24）ДDσf=p2α（3- 2α）cosΘδu，（25）ДD查阅<->f=√3.- 2αcosΘ+√αcosΘδu.（26）此处δu=u（100美元）- u（0）>0。^1D查阅<->f包括√3.-2αcosΘδuand√αcosΘδu，分别是（f，100）和（f，0）之间的比较项，以及（f，0）和（f，100）之间的比较项。（f，100）和（f，0）效用的差异将有助于提高f的偏好，而（f，0）和（f，100）效用的差异将降低f的偏好。从这个角度来看，cosΘ≥ 0和cosΘ≤ 0是一个ssumed。条款σf和ДDσf代表fand f中的风险评估。对于倾向于厌恶（类似）风险的决策者，风险影响将成为减少（增加）f偏好的原因，而o nein f将成为增加（减少）f偏好的原因。

因此，cosΘ和cosΘ给出的两个风险评估度（DERs）满足cosΘcosΘ≤ 0.此外，我们不需要σf具有未知参数α，请参见等式。（25），即风险评估具有模糊性。根据托尔斯伯格的预测，一般来说，未知风险比已知风险对选择行为的影响更大。这一本质在我们的模型中的条件| cosΘ|<| cosΘ|中得到了体现。为了简化讨论，让我们将参数{ij}设置为满足cosΘ=1，cosΘ=-1，cosΘ=0，cosΘ=λ。然后，ДD（ρf-f）=√3.- 2α-√α+λp2α（3- 2α）！δu.（27）参数λ是模糊批次F的顺序；如果λ>0（<0），决策者不喜欢模糊性。此标准用作f fifДD（ρf-f） >0或f fifДD（ρf-f） <0。以同样的方式，我们可以考虑由φD（ρf）给出的fand和ft之间的选择标准-f）=√α-√3.- 2α+λp2α（3- 2α)!δu.（28）图2：α- Ellsberg悖论中的λ选择相图，其中，参数α表示未知的r比率，λ表示批次fand f.Ellsb-berg的预测（（f f）∧ （f） f） ）在λ>0的范围内实现。注：比较状态ρf-f定义在希尔伯特空间H′=C上，该空间与H不同。该标准用作f fifДD（ρf-f） >0或f fifДD（ρf-f） <0。第三项中的参数λ是具有模糊性的批次F的顺序。等式中所示的标准。（27）和（28）被视为变量α和λ的函数：ДD（ρf-f） ：=平方英尺-f（α，λ）和ДD（ρf-f） ：=平方英尺-f（α，λ）。因此，决策者的选择取决于（α，λ）的值。参见图。2表示α- λ相图给出（f f）∧ （f） f） ，（ff）∧ （f） f） ，（f f）∧ （f） f） 或（f f）∧ （f） f） 。让我们看看这张图中λ=0的线：偏好（ff）∧ （f） f） 当α<1/2，和（f f）∧ （f） f） 当α<1/2时。