NIG和VG征税市场的亚洲期权定价

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英文标题：
《Pricing Asian options for NIG and VG Levy markets》
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作者：
Belkacem Berdjane
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this work, we study the value of an Asian option in the case of exponential Levy markets. More specifically, we are interested in the NIG (normal inverse Gaussian) the VG (variance gamma) models. The exponential Levy models produce incomplete markets. There are therefore an infinite number of equivalent martingale measures. We are interested in two methods of constructing of the risk-neutral measures. The first is based on the Esscher transform, and the other consists of bringing a risk-neutral correction on the dynamics of the trajectories. It turns out, according to the numerical results obtained, that the two methods generally produce the same prices.
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中文摘要：
在这项工作中，我们研究了指数利维市场情况下亚式期权的价值。更具体地说，我们对NIG（正态逆高斯）和VG（方差伽马）模型感兴趣。指数利维模型产生不完全市场。因此，有无穷多个等价鞅测度。我们对构建风险中性度量的两种方法感兴趣。第一种是基于Esscher变换，另一种是对轨迹动力学进行风险中性校正。结果表明，根据获得的数值结果，这两种方法通常产生相同的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：期权定价 NIG Mathematical Quantitative Optimization

评估方案（A）中的干部人数（d）类型和差异（G）gammaBelkacem Berdjane*2017年6月5日，我们正在研究一种新的选择——亚洲指数。加上s’intereste au modèle NIG（正态逆高斯）和le modèle VG（方差γ）上的分词。不完整产品的指数模型。Ils存在于计量单位，相当于实现鞅的价格。关于测量构造的两种方法。普雷米雷是埃舍尔变换器的基础，而欧特则认为在轨迹的动态中，这是一个“中立的风险”修正器。这是一场胜利，是一场胜利的胜利，是一场胜利的胜利。Mots clé：指数模型、基金、产品、转换*加拿大魁北克省蒙特勒大学马赫特马提克分校_b@yahoo.fr1简介：对于金融机构而言，布莱克·斯科尔斯（Black Scholes）的3月标准模型是一个普通模型和一个利用率模型，这是一个持续的过程，是一个独立和固定资产相关的过程。Lesrendement de Stsuifent une loi log normale，即log（St/St-1） N（（u- σ/2), σ). 这是一个“简单”的条件，它可以完全代替公式，例如欧洲期权的价值计算。事实上，《资产定价基础》（voir[47]）交易规则*, 如果你是中立的，那么你就可以实现你的F-鞅。

欧洲类型、付款方式和金额的计算方法：Ct=e-r（T-t） E类*（f（Su，t≤u≤T） | Ft）（1）oùE*设计一种中性的方法。Lorsque on a faire a une calleuropéen f（苏，t≤u≤T） =（ST- K） +，这是一个公平的解决方案，也是布莱克-斯科尔斯公式的补充。黑色Scholes的模式是实践和利用的模式，例如[32]和[36]。在三月的财务报告中，财务数字的变化不符合对数正态分布。例如，l\'asymétrie d e la distribution empiliquesde log（St）et le fait que les queues des distributions de Stsont plusépaisses que log normal（如[36]、[11]、[22]）。在黑斯科尔斯标准的替代品中，有一种新的选择。在3月底观察到的统计数据中，对挥发性物质的随机性和挥发性物质的样本进行了统计（参见：Berdjane和Pergamenschikov【1】【2】、Boyarchenko和Levendorskii【13】、Chan【14】和Schoutens【21】等），然后再加上人口的可能性莱维进程。1977年，一个重要的过程是一个重要的过程（夸张的过程），这是一个重要的过程。Les modèle NIG（正态逆Gaussienne），et Les modèLes VG（方差Gamma）font parties de laclasse GH est sont investis par de nombreux Cherchurs。

Le modèLe NIG en particulier，est devenu un centre d\'intérèt importantácause de sa flibilité（voir Barndorff&Nielsen[11]）。期权估价的顺序、新模式的引入、倍数。La plus important serait probablem La perte de La complétudedu m arché（et donc La perte de l\'unicitéde La mesure risque neutre）。这是我的唯一选择，因为我有资格提出自己的问题，所以我的产品很有竞争力。丹麦与欧盟就以下问题建立了密切关系：一个问题，一个问题，一个问题，一个问题，一个问题，一个问题。这是一场组织诉讼：第一节是导言，第二节是一个过程。在rappeler les d"efinitions de processus de Lévy的Commoncerapar上，puis par’introduction des mod"eles demarchéde type index de Lévy。La第2.1节和第2.2节讨论了如何进行改造。关于第2.3节，第2.4节，第2.3节，第2.4节，第2.3节，第2.3节，第2.4节，第2.3节，第2.3节，第2.3节，第2.3节，第2.4节，第2.3节，第2.3节，第2.4节，第3节，第3节，第。La section 3 sera consacrée au résulats numériques obtenus第三节。La第4节结论。2黑色Scholes自动调味汁和prix轨迹中的组分浓度指数模型。在三月观察统计数据的时候，我们需要一个报告，然后再加上葡萄干。Premièrement les prix peuvent sauter soudainment（événementparticulier，crash，…）当然，这是一种冒险行为，但这种冒险行为仍在继续。

Deuxièmement，le phénomène du“smile devolatilité”，l\'asymétrie des对数des rendement，ainsi que l\'paisseur des queuers deleurs distribution，qui sont des propriés observes dans les données de marché，peuventbienètrereprésentés par les mode les index de lévy；这是布莱克·斯科尔斯的经典之作（voir[37]）。三重过程（a，σ，ν）是指过程中的轨迹中断（随机连续），以及独立的容器和位置。Ces条件支持：保证暴露条件κ（ξ）的存在不符合条件：e（eiξXt）=etκ（tξ）=exp（tiaξ）-σξ+ZR（eiξx- 1.- iξx1 | x |<1）ν（dx）！）Les processus d e Lévy sont essentiellement des processus avec sauts，car on peut démontr er（voir[37]）这辆车继续行驶。Pour assurer la positifitédes prix，on modeélise souvent les cours d\'actions commonentielles de processus de LévySt=Sert+Xt（2）Pour appilique ce modèleéL\'valuation des options，il faudrait montrer L\'existence d\'unemesure martingaleéequivalent，a fin d\'avoir la viabilit du marché（Th orème fondamentalde L\'资产定价\'）。Lorsque le processus de Lévy Xtest u n MB ou u n processus deposson，les prix d\'actifs basés sur the modèle donnent liueáun marchécomplett（度量鞅联合体）。这是一个不完整的三月（voir[14]et[15]）。

在现代商业竞争中，我们的经验表明，两人的可能性相当于两人的能力，而这两人的能力是不同的。2.1衡量鞅等价性，我们的担保人在3月的融资模式中，在一个有机会套利的情况下，是值得期待的。例如，在[25]、[29]、[24]等文中，我们讨论了度量鞅等价（MME）的存在性。布莱克-斯科尔斯模型，布朗漂移变化中的平均鞅。在烹饪过程中，切西·恩斯特·帕斯卡（ceci n\'est Pasmable）和梅塞雷斯（mais une grande variétéde mesures）的烹饪方法相当。这是一个衡量标准变化的命题，它涉及到恢复过程和恢复过程。命题2.1（voir【18】Théorèmes 33.1 et 33.2）。Soit（X，P）未处理，a valeurs réelles，et Soit（a，σ，ν）sont triplet caractéristique。Soitη∈ R etφ：R→ R telqueZR（eφ（x）/2- 1） ν（dx）<∞et soitUt：=ηXc+ZtZR（eφ（x）- 1） ~JX（dsdx）oùXcdésigne la partie continue（movement brownien）de X，et▄JXc\'est la mesurede sauts compense de X.Le processus e e（U）t（l\'exponentielle stochastique de U）est unemantigale positive tell que de probability de P′d| FtdP▄Ft=e（U）testéequivalente a P.Sous la mesure P′，过程X是三重风险过程（a，σ′，ν′）oùν′=νeφ（3）σ′=σ+Z | X|≤1x（ν′）- ν） （dx）+aη（4）Un示例，qui sera par la suite，a la b ase de la construction de la MME，est donnépar la transformée d\'Esscher。2.2转变为普通大众的生活方式，并将其转变为生活方式。

概率分布（x），参数réel tel queRReθydF（y）<∞, la transformée d\'Esscher Fθ（x）est dêniepar：dFθ（x）=eθxdF（x）RReθydF（y）（5）Si la分布F admet une dens s s itéalors Fθadmetégalement une densityéFθ（x）=eθxf（x）RReθyf（y）（6）Pour plus plus d\'informations sur transform e d\'Esscher on peut se réererá[28]et[26]。La transformée d’s cher pour une measure de probabilityés，peutètredèfinie de faconanalogue。donnéun espace de probabilité(Ohm, F、 P），等变量aléatoire X，等参数θ；la transformée d\'Esscher Pθ（ou la mesure d\'Esscher）est dênie pardPθ=eθXdPE[eθX]（7）存在一个条件。在衡量鞅的过程中，存在一个简单的极限，即满足过程=EQ（eXt）=exp{tκQ（1）}oùQest L\'exposant caractéristique de Xtsous Q。κQest sous la formeκQ（x）=κ（x+θ）- κ（θ）（8）Lorsque l’é方程κQ（1）=r admet une seule解θ*l\'exposant caractéristiqueκQest appeléla transformée d\'Esscher。解决方案的数量（分配队列）。定理2.2。假设T＞0且存在θ*∈ R tel qu eκ（θ*+ （1）- κ（θ*) = 0avec E[Eθ*XT]<∞ et E[E（θ*+1） XT]<∞ , alors：dP*dP=eθ*XT公司-κ（θ*)T（9）d"efit une MME（mesure martingaleéequivalente）pour（St）0≤t型≤T、 Le processus Xtest unprocessus de Lévy sous P*三重caractéristique est（a*, σ*, ν*) 阿维卡*= a+σθ*+Z（eθ*x个- 1） x1 | x|≤1ν（dx）（10）σ*= σ (11)ν*（dx）=eθ*xν（dx）（12）证明。Voir【59】théorème 4.1.2.3 Le processus Normal Inverse Gaussien（NIG）Un processus de Lévy N IG（α，β，u，δ）est Un processus stochastique tel que Xt~NIG（α，β，ut，δt）。

Neus rappelons la densitéN IG（α，β，u，δ），α≥ 0, δ ≥ 0, |β| ≥ α,u ∈ R、 qui est dЖfinie par la f ormulef（x）=αδKαpδ+（x- u）pδ+（x- u）膨胀δqα- β+β（x- u）（13） oùKest la fonction de Bessel modifie de troisième type。在处理过程中，不需要测量接触角（ξ）=δαπ| x | eβxK（α| x |）和接触角qα- β-qα- (β + ξ)A l\'aide de（8）on peut montrer（voir[7]）que s us la mesure martingaleéequivalented\'Esscher，Xtest un processus N IG（α，β*, u，δ）oùβ*= β + θ*=-1+sα（u- r） δ+（u- r）-（u- r） 4δ（14）Cette dernière propriétéet la formule（1）Permetent de calculer par simulations MontéCarlo，la valeur d\'une option d e type Europenne。我们可以称之为欧洲，也可以称之为现代的干部，用一个明确的公式来解释黑色Scholes（voir【7】）。Ct=e-r（T-t） E类*（（ST- K） +| Ft）=StZ∞ln（K/St）NIG（α，β+θ）*+1，（T-t） δ，（t-t） u）（x）dx- er（T-t） KZ公司∞ln（K/St）NIG（ln（K/St）；α,β+θ*,（T-t） δ，（t-t） u）（x）dx（15）Cette formule nus sera très utile pour des fins de comparison，a fin de valider le le program d e simulation。2.4过程方差GammaL\'un des examples les plus simples de processus de Lévy，avec une intensitéin finiede sauts，est le processus gamma。这是一个独立的处理程序，以及一个电话站≥ 0，Xt~ Γ（λt，γ）。Naus rappelons la densitéde la loigamaΓ（λ，γ）f（x）=γλxλ-1e级-γxΓ（λ），x>0Le processus gamma admet comme fonction caractéristique la fonctionE（eiuXt）=（1- iu/γ）-λtet la densitéde la mesure d Lévy associéeáce processus est donnée parν（x）=λe-γxxx>0A处理部分γ，关于构造和处理过程VG（方差γ）[38]，[39]。

Ce nouveau processus V G（x，λ，γ，β，σ）estobtenus en changant léchelle de temps d\'un movement brownen avec drift，par unprocessus gamma:Yt=x+βXt+σBXt（16）C\'est donc un movement brownen sur une temp aléatoire donnée par leprocessus gamma。在炒制过程中，加工过程中的方差γ是最大的。La densitéd\'une loi V G（x，λ，γ，β，σ）de paramètres x∈ R、 λ>0，γ>0，β∈ R etσ>0 est donnée parf（x）=Rπσγλeβ（x-x） /σ（| x- x |/σ）λ-1/2Γ(λ)pβ/σ+2γλ-1/2Kλ-1/2|x个- x |σqβ/σ+2γV G型指数（x，λ，γ，β，σ=1）即：Yt~V G（xt，λt，γ，β，1）浇注≥ 0，Hubalek et Sgarra【40】ont calculéla MME\'aide dela transformée d\'Esscher。Il s\'avère que siβ+2γ≤拉梅斯鞅d\'Esscher P*这是一个过程。Siβ+2γ>la mesure d\'Esscher P*existe et le paramètred\'Esscher est donnépar la formule explicite：θ*= -β +-1+p1+βε- ε+2γεεoùε=1- ex0/λ，x>0Le processus Y s ou s P*est un processus V G（x，λ，γ*, β*, 1） avec公司γ*= γ- βθ*- θ*/2β*= β + θ*Grace doncácette prop riété，et a l\'aide de la formule（1），on peut calculer la valeur d\'uneoption de type européenna l\'aide de simulations MontéCarlo。注：qu\'un过程方差gamma peutêtreécrit comme la difference de deuxprocessus gamma indépendantsYt=G+（t）- G-（t） （17）G+est un processus gamma（λ=（u+）ν+，γ=u+ν+），c\'estádire de paramètre de moyenneu+et de paramètre de varianceν+，et G-最新工艺gam ma（（u-)ν-,u-ν-) 电话：u+=qβ+2σ/ν+β/2 (18)u-=qβ+2σ/ν- β/2 (19)ν+= (u+)ν (20)ν-= （u-)ν（21）Cette propriétéest très intéressante，et sera utilisée pour les simulations。2.5度量鞅的等价性是变换的e\'Esscher n\'est pas seule méthode pou r obtenir Une MME pour leprocessus VG ou pour les pr processus NIG。

关于LévyS指数方程{St=SeYt，t≥ 0}oùY est un processus V G（x=0，λ=1/ν，γ=ν，β，σ）（即：que le subsigur de（16）est un processus gamma de paramètre de moyenneu=1 etparamètre de varianceν）；如果您的头发是红色的，那么您的头发会是红色的：E（iuYt）=1- iuβν+σνu！t/ν（22）在suivant[32]，[5]et[4]上，表示测量风险中性，le cours statment comme traj extoirest=Se（r+ω）t+Yt（23）oùr est le renderation instantanéde l\'actif sans risque。La constanteωdЖnie par léquatione-ω=E前任, 如果一个鞅实现了一个公平的价格，那么这个价格就等于一个累积的价格。公式（22）在peut avoir une form上明确表示ω：ω=log（1- βν - σν/2）ν（24）Dans le cas des modèles NIG，un procédésimilaire permet d\'obtenir les traj extoiressous la mesure risque neutre，qui seront sous la forme（23）avecω=- u - δqα- β+δq（α- （1+β））（25）注意：dans ces deux cas le PROCESS NIG et VG DOIENT起始值为零，（即：dans la formule（16）on aura x=0）et l\'instant initialégalement doitêtre initialisét=0。Ainsi donc，pour lévaluation des options de type européenne，on use l\'expressionsous la mesure risque neutral du processus St（即：公式（23）），et on use les simulation Monté-Carlo pour trouver le prix graceála formule（1）。3 Résultats numériques3.1指数型NIGOn souhaite comparer la valeur d\'une option asiatique don népar la mesure鞅d\'Esscher et celle donée par la formule（23）et（25）。请把这杯酒倒在你的酒里。T=1/12 et T=2/12，S=36，K=34，35，36，37。。。这是第七条规定的程序；α=81.6，β=3.69，δ=0.0103，u=-0.000123.