无通信的共同代理委托代理问题

我们用C1,2,2（[0，T]×RN×R）表示函数在时间上连续可微的空间和关于其空间变量的两次连续可微函数，并且当基础空间上没有歧义时，我们通过写C1,2,2来简化旋转。2多委托人/代理人模型在本文中，我们考虑委托人-代理人问题，其中N个委托人雇用一个代理人来管理N个风险项目。在这个模型中，我们认为项目之间可能相互关联，雇佣代理的行为会影响每个项目。本节介绍问题的数学模型。我们首先定义了N个项目的动态，然后将代理人和委托人的效用最大化问题设置为阿克伯格均衡。允许Ohm := C（[0，T]，RN）是正则空间，X是正则过程。在我们的模型中，进程X描述了所有N个项目的ou TPUT。设F为正则滤波，对于任何有限维无量纲空间（E，k·kE），P（E）（分别为Pr（E））将表示E-值，F-自适应可积过程（分别为F-可预测的过程）。设P为上所有概率测度的集合Ohm. 在本文中，我们考虑X上的模型，其形式如下：（ν，Pν），使得ν是F-渐进的，Pν∈ P和xt=x+Rtb（s，Xs，νs）ds+Rt∑sdWPνs，Pν-a.s.（2.1），其中ox∈ Rn是输出的初始值；o漂移函数b:[0，T]×RN×RN-→ 由bi表示的组件的rni，即b（t，x，ν）=（bi（t，x，νi））1.≤我≤N、 o∑是F-逐步可测量的过程，取RN，N的值，表征不同项目之间噪声的相关性；oWPν是一个Pν-布朗运动。过程ν被视为代理的作用力，并通过漂移函数b影响输出X。

更确切地说，我们对输出过程的漂移和波动性设置了以下假设。假设2.1。∑有界且对于任何t∈ [0，T]，矩阵∑可逆且有界逆。漂移函数b（t，Xt，ν）对于每个ν都是F累进的∈ 注册护士。Forany i公司∈ {1，…，N}和every（t，x）∈ [0，T]×RN，映射ν∈ RN7→ bi（t，x，νi）是连续可微的，并且存在一个正常数C，使得对于任何（t，x，ν）∈ [0，T]×RN×RN | bi（T，x，νi）|≤ C（1+kxk+|νi |），kνb（t，x，ν）k≤ C出于技术原因，我们将分析限制在以下可接受的努力上：定义2.2（可接受的努力）。我们用一组可容许的努力（ν，Pν）表示，使得（2.1）成立，ν取A中的值 Rnso：（Mνt）t∈[0，T]：=EZtb（s，Xs，νs）·∑-1sdWPνst型∈[0，T]是F-鞅，其中E表示Doléans-Dade指数。由于Mν是每个容许作用力的F-鞅，{Pν}ν都是等价测度。更准确地说，我们有dPνdP=MνT，其中P：=Pox+Z·∑sdXs-1（2.2）和Pis是维纳测度。在我们的模型中，代理人在终端时间T从N个委托人那里得到一个给定工资的效用，并且他的努力通过成本函数c:[0，T]×RN×RN7来减少他的总回报-→ R+。更准确地说，每个委托人，例如委托人i，向代理人提出一个合同，工资由ξi表示，ξi是一个R值FT可测量的随机变量。代理人的总工资为ξ·1N，其中ξ=（ξ，…，ξN）和1ndentes N维向量（1，…，1）, 居住在下述可接受合同的某些空间。我们考虑风险规避参数大于0的代理的指数效用，因此，在给定一组工资ξ和容许努力（ν，Pν）的情况下，代理在时间t=0时的效用∈ A isuA（ξ，ν）：=EPν- 经验值-RA公司ξ·1N-ZTc（t，Xt，νt）dt.假设2.3。

成本函数c（t，Xt，ν）对于每个ν都是F累进的∈ 注册护士。Forany（t，x）∈ [0，T]×RN，m apν7-→ c（t，x，ν）是连续可微、递增和凸的。存在0<κ<κ和（m，m）∈ [1, +∞) ×（0，m）su chthat0≤ c（t，x，ν）≤ C（1+kxk+kνk1+m），κkνkm≤ kνc（t，x，ν）k≤ κ1+kνkm！andlimkνk→+ ∞c（t，x，ν）kνk=+∞.成本函数c明显依赖于代理人的努力，而c在其中增加的事实强调，付出更大的努力会导致代理人付出更大的成本。凸性假设可以看作是一种排斥效应，即代理的工作越高，他对增加或减少努力的敏感性越高。成本c也可以取决于结果本身。例如，如果结果的价值很低，那么代理人可能会有某种程度的抑郁，他的行为可能会受到它的直接影响。在给定工资ξ的情况下，代理人通过选择一个可接受的努力，试图最大限度地发挥其效用。因此，给定一组由决策者提出的契约ξ，Agent问题的弱公式isUA（ξ）：=sup（ν，Pν）∈AuA（ξ，ν）。（2.3）用A表示（ξ） 代理的最佳响应集，给定一个工资ξ向量。如果得到最好的回答，我们将研究N个主体在试图最大化其自身效用时的纳什均衡。考虑一个具有预订实用程序R的代理∈ R、 也就是说，N-Principals必须在合同集ξ向代理满意度（ξ）提出的约束条件下解决ir效用最大化问题≥ R、 （2.4）否则，代理人可拒绝为其工作。现在我们介绍第i个主体的问题。假设她的回报是由函数upi:R给出的-→ R增大和凹陷。

主i的问题isUPi：=supξi∈Ci:UA（ξ）≥Rsupν∈A.（ξ） EνKTUPi公司(li（XT）- ξi）, （2.5）式中oKT：=e-RTkrdris贴现过程具有有界过程k；oli： 注册护士-→ R是线性增长的清算函数；oCIS是一套可接受的合同，稍后将予以定义（见（4.8））。备注2.4。我们对校长问题的定义遵循【CPT15】中的定义。正如在经典文献中（参见[San08，CPT14，CPT15]），我们将使用合同ξ的半鞅表示将委托人问题转化为标准随机控制问题。在这个变换之后，我们将看到ν上的最大化∈ A.（ξ） 不会改变问题的结构。因此，为了简化旋转，我们在本文的其余部分假设（ξ） 是一个单态，我能读到的主要问题是asUPi：=supξi∈C： UA（ξ）≥REν（ξ）KTUPi公司(li（XT）- ξi）.我们可以提供两个有趣的例子，这两个例子已经由[BW85]在Discrete案例中进行了研究。竞争负责人。如果现在考虑到第i个委托人收到了xittime，并且如果她的项目高于其他项目的经验平均值，那么可能会得到更高的效用，那么我们有li（x）=xi+γixi-N- 1Xi6=jxj, x个∈ RN，其中γi≥ 0通常是她对项目i的亲和力参数。这种情况与[BW85]中调查的非合作主体的行为密切相关。关于这种情况下不同参数的影响示例，请参阅第5.3节。合计报价。如果现在考虑可以聚合N个委托人，那么我们可以将此问题简化为经典的次优情况下的单一委托代理模型，其中输出的每个第i个分量都有一个效率参数γi，与其他分量相比。

在这种情况下，称为母公司的总本金的回报为NXI=1XiT1+γi-N- 1Xj6=iγj- ξ，其中ξ是N个工资的总和。这种情况与[BW85]第2节中的合作模型一致，将在第5.2节中进行更深入的研究。最后，我们介绍了N个主体之间的纳什均衡。定义2.5（纳什均衡）。A合同ξ∈ 如果满足ξi，则Cn是当时委托人的纳什均衡∈CiEν(ξ)KTUPi公司li（XT）- ξi= Eν(ξ)KTUPi公司li（XT）- ξi，, 1.≤ 我≤ N带UA（ξ) ≥ R、 3解决代理问题[San08，CPT14，CPT15]中的基本思想是研究具有（正向）半鞅表示的契约。一方面，该表示可以通过简单的验证参数帮助解决代理问题。另一方面，将主问题简化为标准随机控制问题。在我们的研究中，我们将借用这个想法。然而，我们只使用工资之和ξ·1N的半鞅表示，而不是表示每个合同ξi。首先，让我们回顾一下BMO空间的定义。定义3.1。对于任何进程Z∈ H： ={Z∈ Pr（RN）：EP【RTkZtkdt】<∞}（回想（2.2）中定义的P），我们说Z∈ HBM O，如果存在非负常数，则对于任何t≤ 我们没有ZTtkZskds≤ C、 在本文的其余部分，我们将研究以下类型的合同：CN：=nξ：UA（ξ）≥ Rand th here is Y∈ RNand Z∈ HBM要求ξ·1N=Y+ZTG（t，Xt，Zt）dt+ZTZt·dXt，P-a.s.o，（3.6），其中G（s，x，z）：=RAk∑szk公司- supν∈A.b（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）. 根据recallingRemark 2.4，我们在此假设arg maxνb（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）是每个（t，x，z）的单音子，表示νt（x，z）：=arg maxνb（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）. （3.7）引理3.2。假设假设2.1和2.3为真。

THNKνt（x，z）k≤ C1+kzkm和| G（t，x，z）|≤ C1+kzk+KZKXK.证据该证明与[EP16]或[EMP16]的pro ofs遵循相同的路线。备注3.3。得益于对后向SDE的研究，我们知道该集的规模相当大。事实上，假设具有终端值ξ和生成器G的BSDE在BMO空间中具有具有Z的解（Y，Z），并且UA（ξ）≥ R、 那么ξ属于CN。例如，由于[Kob00]，众所周知，所有有界ξ都是UA（ξ）≥ Rbelong至中国大陆。下面的命题揭示了代理的最佳努力。提案3.4。假设假设2.1和2.3为真。对于ξ∈ CN，if（ν*, Pν*) ∈ A此处ν*t： =νt（Xt，Zt），那么我们有ua（ξ）=-e-RAYandν*这是代理人的最佳努力。证据注意，P和Pν是所有容许作用力的等效度量。利用ξ·1N的半鞅表示，我们得到了可容许的νthatuA（ξ，ν）=EPνh- 经验值- RA公司ξ·1N-ZTc（t，Xt，νt）dti=EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTG（t、Xt、Zt）- c（t，Xt，νt）dt+ZTZt·dXt我≤ EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTRAk∑tZtk公司- b（t，Xt，νt）·Ztdt+ZTtZt·dXti=EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTRAk∑tZtkdt+ZTtZt·dWPνti=-e-雷。最后一个等式是由于Z∈ HBM O，如果νt=ν，则不等式为anequality*t（Xt，Zt）。备注3.5。（ν）的一个充分条件*, Pν*) ∈ A可以是m≥ 1，所以ν*∈HBM O因此（ν*, Pν*) ∈ A、 4解决前面提到的主体问题，这里的主要困难在于，在解决主体问题时，我们没有成分ξi的半鞅表示。

相反，我们只有工资总额ξ·1N的这种表示。在本文中，我们只对以下契约集合中的纳什均衡感兴趣：eCN：=（ξ∈ 中国大陆：（y，α，β）∈ RN×P（RN）×HBM O（RN，N），ξi=yi+ZTαisds+ZTβ：，is·dXs，1.≤ 我≤ N） ，其中HBM O（RN，N）将定义3.1扩展到RN，无价值流程。更直观地说，我们用半鞅形式在合同中寻找纳什均衡。因此，在这样的纳什均衡下，每个原则都应该在以下契约中最大化其效用：Ci（ξ-i） ：={ξi：ξ∈CN}，（4.8），其中ξ-i=（ξ，···，ξi-1，ξi+1，···，ξN）. 如果没有歧义，我们将仅用Ci表示集合。注意，与[BW85，（i′）]类似，如果合同ξjof其他主体j 6=isupξi，则可以写出第i个主体（2.5）的问题∈CiEν（ξ）KTUPi公司li（XT）- ξ·1N+Xj6=iξj. （4.9）在以下各节中，我们试图在以下思想的指导下描述纳什均衡（4.8）中的定义立即导致平衡条件对于每个主体，优化（4.9）可以转化为标准随机控制问题，从而得到HJB方程。因此，我们自然地得到了一个与Pr-incipals问题相关的N个耦合HJB方程组。使用经典的验证论证，我们可以证明这种HJB方程系统为合同类中的委托人问题提供了一个纳什方程特别地，如果所有主体都是风险中性的，则每个主体的随机控制问题都与一个半线性HJB方程相关联，并且具有更好的可解性。备注4.1。我们想评论并解释为什么这类合同在我们的模型中看起来是合理的。

首先，这类合同是非马尔可夫的，众所周知，在单委托代理模型中，只要假设产出的动态性由某个参数α提高，即b（t，x，a）：=αx+at，就得到非马尔可夫合同。所以，并没有理由考虑XT的CNonlyContaining函数的子集。第二点是，人们可能会认为，由于任何合同ξ都是FT-具有良好可积性的可测随机变量，通过考虑Yt：=E[ξi | Ft]，我们从鞅表示定理得到，存在一个过程Z，使得ξi=E[ξi]+RTZt·dWs。因此，ξ可以被视为随机积分的终值。然而，我们将在下文中说明，由于代理人和委托人之间的斯塔克伯格博弈，这类合同不稳健，不包含阿纳什均衡（见下文命题4.3）。最后，我们想坚持这样一个事实，即对组分ξiis的限制允许用于我们的工作，因为我们的目标是只得到纳什均衡的存在。这项工作的一个扩展可以是考虑CNC中包含的更大类别的合同，这样一来，组件ξi不一定具有α和β的半鞅分解，并比较这两类合同（例如，在帕累托效率方面）。然而，这个问题似乎非常困难，并不是我们工作的核心。在继续之前，让我们进一步解释一下合同类别的含义。第i位负责人的任何工资ξ取决于其他负责人的项目Xj，j 6=i。我们对此现象提供了一些解释。对模型的解释首先，我们可以假设第i个委托人向代理人承诺了其公司价值的一部分，但也承诺了其他委托人结果的一部分。

其次，一些外部性可能表现为网络效应（例如，请参见[Laf89、BS62、LM94]，了解有关这种现象定义的更多解释）。这通常与养蜂人和作物所有者的介绍性例子相吻合，因为每个作物所有者都可以通过授粉过程从其他作物的蜂箱中受益。另一种解释是考虑雇用同一代理人的母公司和一些子公司（然后是委托人）。例如，就具体而言，该模型非常适用于德国公司Sonnen Gm bH，在该公司中，代理商与生产、使用和共享能源相关。备注4.2。由于共同的代理框架，委托人通过向代理人提出不赔偿而具有搭便车行为，而另一委托人则完全补偿代理人的情况并非均衡。实际上，如下面的定理4.7所示，通过取αi，= 0，βi，不等于零。4.1均衡条件建议4.3（纳什均衡的必要条件）。Letξ= （ξi，)1.≤我≤Nbe一个纳什均衡，其中ξi，以三重态（yi，αi，, βi，).然后，以下平衡条件适用于（yi，αi，, βi，)1.≤我≤编号：NXi=1yi=Y，NXi=1αis=G（s，Xs，NXi=1βis）NXi=1βis=Zs。（4.10）证明。这一结果仅根据CN（3.6）和Ci（4.8）的定义得出。4.2具有完全非线性HJB方程的一般情况我们将充分刻画纳什均衡。我们从第i个原则（4.9）的问题开始。表示r：=-ln公司(-R） RA，所以我们有（ξ）≥ R<==> Y≥ r、 感谢提案3.4。

从命题4.3可知，upi（x）=supξi∈CiEνKTUPi公司li（XT）- ξ·1N+Xj6=iξj= 苏皮≥r-Pj6=iyjsup（αi，βi）∈P（R）×HBM OPNi=1αis=G（s，Xs，PNi=1βis）EνhKTUPi(li（XT）- Yyi，αi，βiT）i=supyi≥r-Pj6=iyjui（0，x，yi），=ui0，x，r-Xj6=iyj,其中ui（0，x，yi）：=supβi∈HBM OEνhKTUPil（XT）- Yyi，αi，βiTi、 （4.11）和yyi，αi，βiT=yi+ZTGs、 Xs，sβ(-i） s+βis- Sα(-i） sds+ZTβ是·dXs，（4.12），其中Sα(-i） ：=Pj6=iαjand Sβ(-i） ：=Pj6=iβjand，固定（αj，βj）j6=i。主体（4.11）的问题与具有以下特征的随机控制问题相一致：o两个状态变量：输出X和值过程Yyi，αi，βi；o一个控制变量：系数βi。它与以下HJB方程相关：-(途易- kui）（t，x，y）- supβi∈RNH（t，x，y，徐毅，是的，徐毅，y yui，x、 yui，Sα(-i） s，sβ(-i） s，βi）=0，ui（T，x，y）=UPi(li（x）- y） ，（t，x，y）∈ [0，T）×RN×R.（4.13），其中哈密顿量H定义为任意（T，x，p，~p，q，~q，R，sa，sb，b）∈ [0，T]×RN×RN×R×RN，N×R×RN，N×R×RN×RNbyH（T，x，p，p，q，q，R，sa，sb，b）：=p·b（T，x，ν（x，b+sb））+~pG（s、x、b+sb）- sa+b·b（t，x，ν（x，b+sb））+Tr（∑t∑）tq）+Tr（b∑t∑tbq）+Tr（1N∑t∑tbr）假设4.4（FOC）。存在一个最大值βi，对于b 7-→ H（t，x，p，~p，q，~q，r，sa，sb，b）满足关系式λi（t，x，p，~p，~q，r，sb，βi，t） ：=bH（t、x、p、~p、q、~q、r、sa、sb、b）=0。（4.14）然后，第i个原理的问题可以通过经典的Verifitiontheorem来解决。提案4.5（验证）。Letξ∈eCNand用（yj，αj，βj）表示与ξj相关的三重态，j 6=i。假设存在H JB方程（4.13）inC1,2,2（[0，T]×RN×R）的解。