无通信的共同代理委托代理问题

然后，通过表示βi，对于相应的最大化子，我们推导出UPi（x）=ui（0，x，r-Pj6=iyj）和最优合同ξi，ITH负责人提出的建议是ξi，= r-Xj6=iyj+ZTαi，sds+ZTβi，s·dXs，带αi，s=Gs、 Xs，Xj6=iβjs+βi，s-Xj6=iαjs。因为我们用一个HJB方程来解决每个主体的问题，所以我们自然会得到一个由N个HJB方程组成的系统。与[DJLS00，定理8.4和8.5]类似，可以从方程组中推导出定义2.5意义上的纳什方程。我们假设所有i=1，····，N的偏微分方程（4.13）都有解，并且也满足平衡条件（4.3）。假设4.6。对于任何i∈ {1，…，N}和（t，x，y，pi，~pi，~qi，ri）∈ [0，T]×RN×R×RN×R×R×R存在（αi，t、 x，y，（pi，~pi，~qi，ri）1≤我≤N）1.≤我≤N、 βi，t、 x，y，（pi，~pi，~qi，ri）1≤我≤N）1.≤我≤对于任何1≤ 我≤ Nλit、 x，y，pi，~pi，~qi，ri，Xj6=iβj，, βi，= 0，NXi=1αi，t=Gt，x，NXi=1βi，t！。（4.15）此外，我们假设以下完全耦合的偏微分方程系统允许一个解u=（ui）1≤我≤确保该ui∈ C1、2、2全部1≤ 我≤ 编号：Lt、 x、y、ui、，徐毅，是的，徐毅，y yui，x、 yui，Sα(-i） ，Sβ(-i） ，βi，= ktui，ui（T，x，y）=UPi(li（x）- y） ，（t，x，y）∈ [0，T）×RN×R.（4.16），L=t+H，βi，:= βi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤NSα(-i） ：=Xj6=iαj，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤NandSβ(-i） ：=Xj6=iβj，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N.定理4.7。假设4.6为真。此外，定义任何1≤ 我≤ Nξi，= yi+ZTαi，sds+ZTβi，s·dXs，带αi，t： =αi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N和βi，t： =βi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N.然后，合同集（ξi，)1.≤我≤Nis是一个可容许的纳什均衡。证据

结果与[DJLS00，T h eorems 8.4和8.5]的论点相同，由于命题4.5.4.3风险中性原则的特殊情况，之前解决原则问题的程序的主要区别在于检查假设4.6是否成立，即完全耦合HJB方程的系统（4.16）的解是否存在。在一般情况下，这显然是一个棘手的问题。在本节中，我们将说明如果本金都是风险中性的，并且没有贴现因子，即≡ 0和UPi(li（x）- y） =li（x）- y、 （x，y）∈ RN×R，方程组在合理的假设下是可解的。回想第i个主体的值函数（4.11）。自k起≡ 0和主风险中性，我们有UI（0，x；yi）：=supβi∈HBM OEνh类li（XT）- Yyi，αi，βiTi=supβi∈HBM OEνli（XT）- 易-ZT公司Gs、 Xs，’βs- Sα(-i） sds公司-ZTβis·dXs,= -yi+supβi∈HBM OEνli（XT）-ZT公司Gs、 Xs，’βs- Sα(-i） s+βis·bs、 Xs，ν*s（Xs，’βs）ds公司,式中，’β：=PNi=1βi。由于我们只对特定的纳什均衡感兴趣，我们可以假设α=G（s，Xs，’βs）n，因此（4.15）的第二行是满足的，并且上述控制问题进一步简化为：ui（0，x；yi）=-yi+supβi∈HBM OEν“”li（XT）-ZTG公司s、 Xs，’βsN+βis·bs、 Xs，ν*s（Xs，’βs）!ds#。正如我们所看到的，这里的随机控制问题不再像一般情况那样具有状态变量。因此，我们选择Pni=1yi=rso，相应的HJB方程为半线性，如下所示：tui+Tr（∑t∑）t型xui）+supβn(徐毅- β） ·bt、 x，ν*t（x，’βt）-G（t，x，’βt）No=0，ui（t，x）=li（x）。（4.17）此外，达到（4.17）中最高值的一阶条件为：βi，t=xui（t，x）-NΦ（t，x，’β）（4.18），其中Φ（t，x，’β）：=M-1ββG（t，x，’βt）+N bt、 x，ν（t，x，’βt）, （4.19）式中，M′β：=νb（t，x，ν（t，x，’βt））zν（t，x，’βt）。

为了使（4.18）对即将到来的推理有意义，我们引入以下假设。假设4.8。假设oν*: （t，x，z）7→ ν*（t，x，z）在z上连续可微；oM'β对所有（t，x，'β）都是可逆的函数Id+Φ（t，x，·）是可逆的，其逆函数用φ（t，x，·）表示。此外，定义（t，x，z）：=z- ^1（t、x、z）· bt、 x，ν*（t，x，Д（t，x，z））- Gt、 x，Д（t，x，z）, （4.20）并假设o对于某些γ，α∈ （0，1），长：x 7→PNi=1li（x）∈ Hγ（RN）（霍尔德空间），∑t∑t型∈ H（[0，T]）和H∈ [0，T]×RN×RN；o的y有界子集的Hα（K）oH（t，x，z）=O（| z |），对于所有（t，x）∈ [0，T]×RN。备注4.9。假设4.8的第一部分在我们的方法中是结构化的，而第二部分是我们将在下面的论证中遇到的PDE可解性的充分条件。读者可能会在不同的环境中找到替代条件。定理4.10。假设2.1、2.3和4.8成立。然后，由方程（4.17）组成的方程组，对于所有i=1，···，N，允许经典解。备注4.11。证明上述结果的主要思想是研究“聚合”方程。让我们做以下直观的分析。将所有1的方程式（4.18）相加≤ 我≤ N，我们形式上有‘β=十五- Φ（·，’β），其中V=PNi=1ui，因此‘β=Д（·），十五）。使用最佳βi，在（4.18）中，我们可以为所有1重写（4.17）≤ 我≤ N组件tui+Tr（∑t∑）t型xui）+(徐毅- βi，t） ·bt、 x，ν*t（x，’βt）-G（t，x，’βt）N=0，ui（t，x）=li（x）。（4.21）将N个方程相加，我们得到所谓的“聚合”方程：tV+Tr∑t∑t型十五+ H（·，xV）=0，（t，x）∈ [0，T）×RN，V（T，x）=L（x），（4.22），其中H在（4.20）中定义。在假设4.8下，上述方程允许解V∈ H类(-1.-γ） 2+α（参见定理12.16，第315页，[Lie96]）。

请注意，（4.22）不一定有唯一的解决方案，但它不会影响以下论点。定理4.10的证明在这个证明中，我们将构造方程组的一个解，使用（4.22）的一个解V。注意，我们对V有以下表示：V（t，x）=Efl（XT）+ZTtHs、 Xs，十五（s、Xs）ds公司Xt=xi。（4.23）现在确定所有1≤ 我≤ 编号：tui+Tr（∑t∑）t型xui）+NH（·，xV）=0，~ui（T，x）=li（x）。上面的方程是一个热方程，因此它允许一个经典的解，并且▄ui（t，x）=EPhli（XT）+ZTtNH（s，Xs，xV（s，Xs））dsXt=xi。与（4.23）一起，很明显V=PNi=1u和th usxV=NXi=1x▄ui。（4.24）现在定义“β：=Д（·），xV），βi：=x▄ui-NΦ（·，’β）。（4.25）从（4.24）中可以看出，’β=PNi=1βi。还请注意NH（·，xV）=NΦ（·，Д（·，xV））·b·, ν*(·, φ(·, xV））-G（t，x，Д（·，xV））N=x▄ui- βi· b·, ν*(·,β)-G（t，x，’β）N。因此ui是（4.21）的解。与（4.25）一起，我们得出结论，uis是（4.17）的一个经典解。5对具有两个相关原理的模型的应用，带appertence参数5.1 bi Principals modelLetν：=（ν，ν）设W为二维布朗运动且∑的一个可容许效应∈ R2,2是可逆矩阵。我们假设t h在o没有折扣系数，即。

k=0这两个主体都是风险中性的，即UP=UP=I，身份功能漂移b是力的线性函数，使得b（t，x，ν）：=Kν，其中K是系数K的对角矩阵，kon是代表项目1和2的代理效率的对角线图c是由c（t，x，ν）=kνtk定义的经典二次成本函数li（x）：=（1+γi）xi- γixj，1≤ i 6=j≤ 2带appertence参数r sγ，γ∈ [0，1]，表示Γ：=（1+γ- γ, 1 + γ- γ）.显然，模式l是我们在第4.3节中讨论的特殊情况的一个示例。从（3.7）可以看出，代理人的最优努力与合同的波动系数之间存在以下关系：ν= K（β+β）。此外，从（4.11）和（4.12）可以看出，值函数为：UPi（x）=s upβiEνh类l（XT）-ZT公司RAk∑（βs+βs）k-kK（βs+βs）k-Sα(-i） s+K（βs+βs）·βisdsi。我们有定理4.10中的下列定理。推论5.1。存在（α1，, β1,) 和（α2，, β2,) 这样，以下PDE系统允许C1,2（[0，T]×R）中的溶液（v，v）-电视（t，x）-xv·K（β1，t+β2，t） +TrΣΣ十五-RAk∑(β1,t+β2，t） k+kK（β1，t+β2，t） k+α2，t型- K（β1，t+β2，t） ·β1，t） =0v（t，x）=（1+γ）x- γx，（5.26）和-电视（t，x）-xv·K（β1，t+β2，t） +TrΣΣ十五-RAk∑(β1,t+β2，t） k+kK（β1，t+β2，t） k+α1，t型- K（β1，t+β2，t） ·β2，t） =0v（t，x）=（1+γ）x- γx，（5.27）和一阶条件（4.15）成立，即，β1,= 十五- K-2RA∑∑(β1,+ β2,)β2,= 十五- K-2RA∑∑(β1,+ β2,)α1,+ α2，=RAk∑(β1,t+β2，t） k级-Kkβ1，t+β2，tk。（5.28）在本节的其余部分，我们将计算方程组（5.26）、（5.27）的显式解。

我们从（5.28）中了解到，在这种情况下，函数Φas（4.19）是：Φ（β）=2K-2RA∑∑β。此外，我们有ν（β）=（Id+Φ）-1(β) =I+2K-2RA∑∑-1β=：Mβ因此，本例中的“聚合方程式”为：-电视（t，x）-Tr公司ΣΣ十五- 十五公里xV+RAk∑M十五k+kKMxV k=0V（T，x）=x·Γ，（5.29）很容易观察到，在PDE（5.29）具有唯一的smo oth溶液v（T，x）=x·Γ+λ（T- t） ，（5.30），λ=Γ·KMΓ-RAk∑MΓk-特别是kKMΓk，xV=Γ，th usβ1，+ β2,= φ(xV）=MΓ和ν*= KMΓ。（5.31）结合一阶条件（5.28），我们得到（β1，= 十五- K-2RA∑∑MΓ，β2，= 十五- K-2RA∑∑MΓ。（5.32）因此，假设α1，= α2，, 我们知道方程（5.26）的解满足：-电视（t，x）-Tr公司ΣΣ十五-Γ·KMΓ+RAk∑MΓk+kKMΓk=0v（T，x）=（1+γ）x- γx，很容易计算上述方程的显式解：v（t，x）：=△λ（t- t） +（1+γ，-γ） x带λ：=Γ·KMΓ-5RAk∑MΓk-kKMΓk。类似地，我们计算方程（5.27）的解asv（t，x）：=￠λ（t- t） +(-γ、 1+γ）x.5.2与具有聚合报价的模型的比较在本节中，我们将前一节中研究的竞争性公共代理示例与可以聚合委托人的模型进行比较，即可以将问题简化为第2节末尾提到的一个单一委托代理模型。在这种情况下，可以通过考虑同一类合同来解决代理问题，即存在（Y，Z）∈[R+∞) ×HBM O（R），ξ=Y+ZTZs∑dWs+ZTRAk∑Zsk+kKZsk- KZs·Zsds=Y+ZTZs∑dWs+ZTRAk∑Zsk+kKZskds，其中W是一个Pν-布朗运动。

负责人设法进行以下优化：U=supZE（1+γ- γ） XT+（1+γ）- γ） XT公司- ξ如前所述，我们可以计算最优控制：Z= MaΓ，带Ma：=RA∑∑+ K-1K。此外，代理的最佳努力应该是νP f=KMaΓ。通过比较νP扇ν在（5.31）中，我们立即得出以下结论。提案5.2。竞争模型中公共代理的努力与聚合模型中公共代理的努力一致，当且仅当代理是风险中性的，即RA=0。与[BW86]中离散案例模型的结果链接。回想一下，如果代理是风险中性的，那么众所周知，在单一委托代理问题中，第一个最佳情况下的努力与第二个最佳情况下的努力是一致的（例如，参见[LM09，命题4.1]）。事实上，在我们的特定模型中，作为它的一个扩展，如果要计算自己的最大努力，就必须求解uf B=supν，ξEνXT·Γ- ξ · 1- ρe-RA（ξ·1）-RTkνskds）,使用拉格朗日乘数ρ>0，确保代理收到其效用保留R<0。在这种情况下，通过使用G’teaux导数来表征最优ξ（例如参见[EP16]中使用的方法），我们可以在轻松计算之后得到以下优化器ν,F Bt：=KΓ，ξ· 1=KΓ-罗洛语(-R） 。因此，我们已经证明，在竞争模型中，风险中性代理的“第二好”努力与“第一好”努力是一致的。在离散情况下，这正是[BW86]中结果的扩展。最佳薪酬比较。在普通年龄n-cy模式l中，我们已经看到给予代理人的报酬为ξ+ ξ= R+TRAk∑MΓk+kKMΓk|{z}=：δ+ZTMΓ·σdWs、 在聚合模型中，我们回顾ξ:= R+TRAk∑MaΓk+kKMaΓk|{z}=：δa+ZTMaΓ·dWsLet∑：=I，那么，我们得到m=k2RA+kk2RA+k安德玛=kRA+kkRA+k在这个特殊的模型中，我们有δa≥ δ、 即。

如果代理人受雇于总公司（父母公司），则其薪酬的非风险部分高于由两个不同公司雇用的情况。这是不明智的，因为直觉上，如果公司相互竞争，代理应该获得更高的回报。然而，有人注意到，代理的作用更大（kνP fk公司≥ kνk） 在可以解释这种影响的聚合模型中。5.3食欲、效率和相关参数的影响ltρ∈ [-1，1]是相关参数，因此∑：=1 0ρp1- ρ, K：=k0千在这种情况下，我们得到一个（繁琐但简单的）计算ν1，=2RAk公司（1+γ- γ） kρ- （1+γ- γ） k级- kk（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 2RA（k+k）- kkν2，=2RAk公司（1+γ- γ） kρ- （1+γ- γ） k级- kk（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 2RA（k+k）- KK相关性和食欲参数的影响。假设k：=k=k。在这种情况下，ν1，（ρ） ：=2RAk（（1+γ- γ)ρ - （1+γ- γ)) - k（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- kν2，（ρ） ：=2RAk（（1+γ- γ)ρ - （1+γ- γ)) - k（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- 请记住ν1，(ρ) - ν2,（ρ） =4RAk（（γ- γ)(ρ + 1)) - 2k（γ- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- k=（γ- γ）-4RAk（ρ+1）- 2k2RA（ρ- （1）- 4耙- k、 因此，一旦γ>γ，我们就得到ν1，(ρ) > ν2,（ρ） 这样，代理人就可以为雄心勃勃的委托人工作。此外，我们有d（ρ）：=ν1，ν(ρ) -ν2,ν(ρ) = (γ- γ） 2RAk（1+ρ）+k2RAk（1- ρ） +k，带ν:= ν1,+ ν2,.注意函数ρ∈ [-1, 1) 7-→ d（ρ）是凸的，并且是递增的，我们得出，具有更雄心勃勃的主体的代理所付出的努力的比例与具有较小雄心勃勃的主体的代理所付出的努力的比例之间的差异随着参数ρ的增加而增加。换言之，项目关联度越高，代理人付出的努力比例就越受每个委托人志向参数差异的影响。

此外，凸性表明，代理人对每个委托人的工作比例的敏感性随着相关参数的增加而增加。项目之间的相关性越大，相关性的微小变化对代理所付出的努力比例的差异影响越大。我们将这些经济结果打包在以下命题命题5.3中。已经证明了以下典型事实o如果代理人受雇于总公司（母公司），则与他受雇于两个不同公司的情况相比，其薪酬的非风险部分更高。o简单地说，通过考虑相等的性能参数ki，代理可以为更雄心勃勃的委托人提供更多的服务项目关联度越高，代理人所付出的努力比例就越受各负责人志向参数差异的影响。此外，代理为每个主体提供的功比例的敏感性随着相关参数的增加而增加。风险中性代理人。假设∑=Id，RA=0。在这种情况下，M=Idandν= KΓ。换句话说，我们有ν1，= k（1+γ）- γ)ν2,= k（1+γ）- γ).当且仅当ifk（1+γ）时，代理为委托人工作更多- γ） >k（1+γ- γ） 。（5.33）现在设x：=γ- γ.o 首先，我们注意到一些直观的结果。如果两位负责人具有相同的竞争参数（即γ=γ），则代理人更愿意与他更为有效的负责人合作。同样，如果这两个委托人都有效率参数（即k=k），那么代理人会为更雄心勃勃的委托人工作现在假设γ=0，γ=1。那么，条件（5.33）永远不满足，代理人不为委托人1工作，无论其表现如何。

这意味着代理人不为委托人工作，而与竞争对手不同，而另一委托人很有竞争力现在假设γ∈ [0，1]和γ∈ [0，1）.表示x：=γ- γ∈ [-1, 1).域x≤ 0与主体1比主体2更雄心勃勃的情况一致（相反，当x≥ 0）。条件（5.33）可以重写kk>1+x1- x、 x个∈ [-1, 1).设f（x）：=1+x1-x、 x个∈ [-1，1），则f明显增大且凸。让我们来解释f的增长。W h en x大于0，我们注意到f（x）大于1，这表明在缺乏环境的情况下，主1，即γ<γ，可以与她的效率参数平衡，因为它存在一个x域≥ 0，即委托人1比委托人2少，但代理人为少的委托人1工作。现在转到f的凸性。这一现象非常有趣，因为它表明，当一个委托人明显比另一个更具野心，例如γ<<γ时，野心参数的一点修改会导致代理人对委托人1和委托人2的努力之间的商发生很大变化。换言之，如果委托人1明显比委托人2雄心勃勃，那么从这一状态轻易得出的结果将导致代理人在管理委托人1和委托人2的项目方面所做的努力有很大的不同。例如，如果负责人1稍微增加一点雄心壮志，代理将管理更多的项目。当两位委托人在相对绩效方面有非常不同的行为时，初始目标参数r的偏差和为代理人提供的工作质量之间存在一种杠杆效应。