无通信的共同代理委托代理问题

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英文标题：
《Principal-Agent Problem with Common Agency without Communication》
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作者：
Thibaut Mastrolia (CMAP), Zhenjie Ren (CEREMADE)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we consider a problem of contract theory in which several Principals hire a common Agent and we study the model in the continuous time setting. We show that optimal contracts should satisfy some equilibrium conditions and we reduce the optimisation problem of the Principals to a system of coupled Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. We provide conditions ensuring that for risk-neutral Principals, the system of coupled HJB equations admits a solution. Further, we apply our study in a more specific linear-quadratic model where two interacting Principals hire one common Agent. In this continuous time model, we extend the result of Bernheim and Whinston (1986) in which the authors compare the optimal effort of the Agent in a non-cooperative Principals model and that in the aggregate model, by showing that these two optimisations coincide only in the first best case. We also study the sensibility of the optimal effort and the optimal remunerations with respect to appetence parameters and the correlation between the projects.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了一个契约理论问题，其中多个委托人雇佣一个共同的代理人，并研究了连续时间环境下的模型。我们证明了最优契约应该满足一些平衡条件，并将委托人的优化问题归结为一个耦合的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程组。我们提供了条件，确保对于风险中性主体，耦合HJB方程组允许解。此外，我们将我们的研究应用于一个更具体的线性二次模型，其中两个相互作用的主体雇佣一个共同的代理。在这个连续时间模型中，我们扩展了Bernheim和Whinston（1986）的结果，在该结果中，作者比较了非合作委托人模型和聚合模型中代理人的最优努力，表明这两种优化仅在第一种最佳情况下重合。我们还研究了最优努力和最优报酬对偏好参数的敏感性以及项目之间的相关性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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关键词：委托代理 代理问题 Quantitative Applications Optimisation

没有通信的公共代理的主要代理问题*Thibaut-Mastrolia+任振杰2018年1月15日摘要本文考虑了一个契约理论问题，其中多个委托人雇佣一个共同代理人，并在连续时间环境下研究了该模型。我们证明了最优契约应该满足一些平衡条件，并将主体的优化问题归结为一个耦合的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程组。我们提供了条件，确保对于风险中性的主体，耦合的HJ B方程组允许一个解。此外，我们将我们的研究应用于一个特殊的线性二次模型，其中两个相互作用的主体hireone共同代理。在这个连续时间模型中，我们扩展了[BW86]的结果，在该结果中，作者比较了非合作主体模型和聚合模型中代理的最优努力，表明这两种优化仅在第一个最佳情况下一致（见第5.2节）。我们还研究了最佳努力和最佳报酬对偏好参数的敏感性以及项目之间的相关性（见命题5.3）。关键词：道德风险模型、共同代理、HJB方程体系。AMS 2000科目分类：93E20、91A0 6、91A15、91B16、91B70、60H30。JEL受试者分类：C73、D21、D82、D86、J41。*这项工作得到了ANR项目Pacman的支持，ANR-16-CE05-0027+CMAP，埃科尔理工大学，萨克莱路，91128，蒂堡帕莱索。mastrolia@polytechnique.edu.

本文作者感谢法国兴业银行（SociétéGénérale）资助的The Chair Financial Risks（风险基金会）塞雷梅德，巴黎多芬大学，巴黎理工大学，塔斯伊尼拉特雷德广场，75016巴黎，真杰。ren@ceremade.dauphine.frContents1导言22多委托人/代理人模型73解决代理人问题104解决委托人问题124.1均衡条件。144.2完全非线性HJB方程的一般情况。154.3风险中性委托人的特殊情况。185对具有两个相关主体的模型的应用，具有亲和力参数215.1 bi主体模型。215.2与总报价模型的比较。235.3食欲、效率和相关参数的影响。256结论281简介2016年，生物多样性和生态系统服务政府间科学政策平台（简称IPBES）深入调查了食物生产问题中的授粉者和授粉过程。为了根据IPB ES的报告说明我们研究的动机，例如，考虑一块划分为种植不同作物的土地，每个土地由一个所有者（she）管理。业主有兴趣与养蜂人合作，以确保更好的产量。在这种情况下，养蜂人将蜂箱分布在不同作物的田间，并通过授粉努力提高作物所有者的产量。因此，每个作物所有者都必须向养蜂人提供足够好的激励措施来照顾自己的作物。

本例中的情况典型地说明了一个信息不对称的公共代理问题，即作物所有者需要设计合同来激励养蜂人，每个人都要提高自己的产量，而不直接观察养蜂人和他的养蜂人是如何影响作物的。因此，在所谓的多重委托人/代理人问题以及更普遍的激励理论中，作物所有者扮演着委托人的角色，养蜂人可以被视为代理人。见吉隆坡IPBES第四届会议全体会议批准的报告【PIFN+16】。激励或契约理论出现于70年代，是在对管理雇主财富的员工的绩效进行不完全观察的情况下，通过研究两个经济实体之间的最优支付计划，米尔莱斯（Mirrlees）[Mir76]在其他人中的工作而提出的。拉丰和蒂罗尔的教科书【LT93】随后对这一点进行了研究，并在监管系统和tw o各方之间的潜在博弈中进行了说明，我们参考了拉丰和马蒂莫特的调查书【LM09】，了解了许多与这一理论相关的例子。更准确地说，合同理论中考虑的道德风险的情况可以描述如下。委托人（她）想雇佣另一个实体，即代理人（he）来管理一个项目。此外，Age n t有一个保留实用程序，允许他接受或拒绝委托人提出的合同。委托人遇到的主要困难是，她对代理人的工作可能知之甚少。因此，我们需要区分两种类型的问题。首先，我们可以假设委托人控制代理人的努力和向其提出的最佳报酬。这种情况符合风险分担模型，称为“第一最佳”。

在这种情况下，我们只研究在代理人的保留效用约束下，委托人选择最优努力和最优报酬的问题。在大多数情况下，校长无法观察赫拉金特的努力，而只能观察他的工作成果。因此，委托人的问题是在满足代理人保留效用的所有合同中，设计一个使其效用最大化的最优合同，而不必观察、也不必说控制他的努力。这种更现实的情况被称为道德风险问题或次优问题。在实践中，我们用Stackelberg均衡来确定代理人和委托人之间的博弈，即给定任何固定的合同，代理人是相应的最佳反应，并且基于这些可预测的反应，委托人选择最佳合同，以最大化其效用。70年代与契约理论相关的研究主要在一个或多个周期的离散时间框架内处理问题，即，契约的努力、结果和所有其他相关数量在有限空间中取值。H"olmstrom和Milgrom在开创性论文[HM87]中研究了一个连续时间模型，其中他们考虑了财富过程的布朗模型，并假设委托人使用指数效用进行优化。这项工作后来被许多其他作者扩展。Sch"attler和Sung在[SS93]中提供了解决问题的一阶充分条件。Sung in【Sun95】研究了当药剂可以控制输出扩散时的问题。然后，Hellwig和Schmidt在[HS01]中将离散时间模型和连续时间模型联系起来。所有这些都使用了随机控制理论的复杂工具，如动态规划和鞅方法。

更多详细信息，请参阅宋[Sun01]的调查论文或Cvitanicand Zhang的书[CZ13]。最近，契约理论引入了新的成分，这使我们能够研究更一般的模型，并获得易于处理的结果。Sannikov在[San08]中研究了一个模型，在该模型中，委托人向代理人提供连续的报酬，并选择一个随机的退休时间。桑尼科夫认为，作为这篇论文的一个显著贡献，代理人问题的价值（持续效用）应该被视为委托人问题的状态变量。后来，Cvitani\'c、Possama"i和Touzi在[CPT14、CPT15]中提出了一个非常通用的程序，用一次性付款解决委托人/代理人问题，其中代理人可以控制产出的漂移和波动。他们观察到，作为一个效用最大化问题，Agent的问题可以简化为求解Pardoux和Peng【PP90】（另见El Karoui、Peng和Quenez【EKPQ97】）中引入的倒向随机微分方程（BSDE），或其完全非线性推广，即Soner、Touzi和Zhang【STZ12】中引入的二阶BSDE（2BSDE）。正如桑尼科夫所建议的那样，委托人的问题，给定了代理人的最佳反应，因此是一个标准的随机控制问题，具有两个状态变量：代理人的输出过程和持续效用。H"olmstrom和Milgrom问题的扩展并不局限于单主体/单代理模型。Koo、Shim和Sung在[KKSS08]中，Elieand Possamaiin在[EP16]中，将其扩展到了单一委托人/多代理人模型。在这些工作中，代理人的目标是在委托人提出的合同中找到纳什均衡。

Elie和Possama"i证明，代理之间的纳什均衡可以描述为多维BSDE的解，而委托人的问题可以归结为以所有代理的连续效用为状态变量的随机控制问题。Elie和Possama"i特别研究了一个单一委托人/两个代理人的例子，其中代理人相互竞争。很奇怪的是，在这个例子中，野心较小的代理可能会做出较少的努力，并将工作交给另一个代理。最近，在[Mas17]中研究了规划师旨在通过发现帕累托最优来为代理人的福利服务，并将结果与[EP16]中代理人达到纳什均衡的结果进行了比较。特别是，在[Mas17]中提供了充分和必要的条件，以便在规划师处，P areto最优值与纳什均衡值相吻合，可以比经典的多代理次优情况有更高的回报。本文研究了连续集上的多主体/单主体问题。更准确地说，我们在本文中假设，多个委托人的目标是雇佣一个同时为所有委托人工作的共同代理人。这种常见的代理问题与养蜂人的例子相呼应，我们参考了El Karoui和Rouge【REK00】以及Hu、Imkeller和Müller【HIM+05】的作品。上述作物所有者，据我们所知，尚未在连续环境中进行研究。然而，在离散的情况下，有几家公司已经研究了这个问题。80年代，Baron在[Bar85]中研究了一个涉及监管者面临非本地化外部性的共同代理问题。他以环境保护署（EPA）和公共事业委员会为例说明了他的研究，以控制非本地化的污染外部性。

每个实体在防范风险方面都有自己的目标，因此可以出现冲突利益，而监管机构之间的合作并不成立。因此，Baron在其特定的监管模式中实现了合作和非合作均衡。Braverman和Stiglitz【BS82】展示了公共代理问题的另一个有趣的应用，涉及农民和地主的分成制。后来，Bernheim和Whinston（见[BW85，BW86]）提出了一种分析公共机构问题的一般方法。他们提供了描述均衡特征的充分必要条件，并证明了主体之间的非合作均衡仅对第一个最佳努力水平有效（即达到经典的第二个最佳努力水平和结果）。Dixit、Grossman和Helpman在[DGH97]中阐述了Bernheim和Whinston的工作，他们考虑了非拟线性效用函数，并用灰平衡描述了一般公共代理问题的平衡。y还讨论了Paret o意义上的效率。如上所述，所有以前的工作都研究了离散时间模型中的公共代理问题。据我们所知，这一主题尚未在连续时间环境下利用扩散模型进行探讨，而这样的设置显然简化了技术论证并产生了易于处理的解决方案（如[San08，CPT14，CPT15]所示）。我们的工作可以看作是伯恩海姆和范斯顿以及迪克西特、格罗斯曼和赫普曼在这方面工作的延伸，我们还试图描述合同之间的纳什均衡。

我们的研究仍然是具有信息不对称的纳什均衡分析的一部分（例如，参见[16]），通过表明每个主体发现此类均衡的问题都被简化为找到一个完全耦合的HJB方程的解。这一关系在书籍【Car16，DJLS00】中得到了很好的研究，卡莫纳和杨格也将其应用于【CY11】中时间限制较宽松的捕食者交易。在这里，我们将我们的模型注册为上述所有工作的延续，假设每个负责人都是理性的，目的是找到他面对其他负责人的行为的最佳反应报酬，这自然会导致纳什均衡的调查。本文的总体结构如下，在第2节中，我们陈述了我们研究的公共代理模型。我们特别介绍了平衡的定义。然后，我们使用验证结果解决了第3节中的公共代理问题。在这项工作的核心部分，我们在第4a节中提出了解决委托人共同代理问题的一般程序，通过导出相应的HJB方程组的完全耦合系统来描述特定合同集中的纳什均衡。我们特别证明，当委托人是风险中性的，我们可以通过考虑将委托人聚合为唯一委托人的问题的解决方案，找到相应系统的解决方案。作为我们工作的一个应用，我们在第5节中研究了两个委托人雇佣一个共同代理人的模型，将委托人不合作的竞争模型与委托人的出价进行聚合，聚合后的出价符合经典的双边委托人/代理模型。

在整个研究过程中，我们试图对我们的数学模型和结果进行经济解释。最后，通过超越最初介绍的由作物所有者支付报酬的养蜂人的例子，本文可以作为一个很好的起点，来处理政府管理等应用程序，在这些应用程序中，不同级别的同一注册会计师对一家公司进行了补偿，以回顾[BW85]中关于外国借贷问题的例子，正如Tirole[Tir03]的工作中所揭示的那样。标记。在本文件中，T>0表示合同到期，并假设为固定期限。设N为正整数。我们用|·······································。我们用大小为N的实方阵空间来识别RN，nw，赋以Eu clidean normon RN，N。设M在RN，N，1中≤ j≤ N和1≤ l ≤ N，我们用Mj表示：∈ R1×N（分别为：，l∈ RN，1）其第j行（分别为l-第列）。我们设置了M∈ RN，n变换为M。我们还将RN识别为R1，对于RN的任何元素x，通过第i个分量和x识别为Nand，wedenote(-i） 注册护士-1维向量x(-i） ：=（x，…，xi-1，xi+1，xN）.让G：b∈ RN7-→ G（b）∈ R、 我们表示为bG（b）∈ Rn G的梯度。当G是多元的，并且在不存在歧义时，bg表示G相对于向量r b的梯度。当N=1时，我们简单地写yv是任何函数v对实变量y的导数。假设实函数u是x的多元函数∈ R和y∈ R、 wedenote公司y，yu是u的二阶导数，关于x和x的u的sizeN×N的雅可比矩阵x、 yu是u的导数o相对于y和x的RN，N值对角矩阵。