Heston SDE的已实现波动率和参数估计

所以foreach ~ m∈ M、 让M*= 最大值（m（1），m（q））。设z（~ m）为指数m（k）的个数，使得m（k）=m*.对于1≤ r≤ q、 调用~m的集合∈ 这样z（~ M）=r。那么M是不相交子集Mr的并集，r=1，q、 每个~ m∈ Mrcontains最多q- r+1不同指数m（k）。因此，每个Mrhas cardinalCard（Mr）≤ Jq公司-r+1。我们现在分别考虑两种情况（i）r≥ 2和（ii）r=1。对于r≥ 2我们可以有一张上限卡（Mr）≤ Jq公司-1和前挡板（M- M） =qXr=2卡（Mr）≤ （q）- 1） Jq公司-1、鉴于（33），X ~ m∈（M）-M） E【Q~M】≤ 卡片（M- M） hbqεJiq≤ （q）- 1） bqqεq/J.（34）我们现在单独考虑Ms。修复任意~ m∈ M、 最大M*= 最大值（m（1）。然后通过单个指数i达到m（q*只有m（i*) = m级*m（i）<m*对于i 6=i*. 这意味着2≤ m级*≤ Jsince q公司≥ 2、然后我们可以将~m重新排序为多索引~ν，验证ν（1）≤ ν(2) ≤ . . . ≤ ν（q- （1）≤ （m）*- 1） <ν（q）=m*.设s=tj-1和t=tj。对于1≤ k≤ q-1所有的Uν（k）都是Gs可测的，因此e[Q~m | Gs]=Uν（1）。Uν（q-1） E[Uν（q）| Gs]。由于（21）和定义（27），我们有Uν（q）| Gs= E[D（s，t）| Gs]=0，因此，对于m，E[Q~m | Gs]=0∈ M、 因此，单相[Q]=X ~ M∈M-ME[Q~m]和方程（34）暗示E【Q】= E【Q】≤ （q）- 1） bqqεq/J.（35）方程（31）和（35）得出边界Kh（t，ε）kq=εE【Q】1/季度≤ 3bq/J1/q.（36）结合方程（24）和两个边界（36）和（26），我们得出结论，对于所有偶数q≥ 2，全部t≤ 所有ε>0，一个haskYεT- Vtkq≤ 3bq/J（ε）1/q+Cqε1/2。（37）因此当limε→0J（ε）=+∞, 我们得到了Lqconvergencelimε→0kYεt- Vtkq=0，且该收敛对于0是一致的≤ t型≤ T

为了最小化（37）给出的收敛速度上限，必须明确施加J（ε）~ 1/εq/2，然后为ε→ 0一haskYεt- Vtkq~ ε1/2.对于u6=0，上述证明中给出的返回过程不等式仍然成立，因为我们重新考虑固定时间T>0，并且不努力在T中有统一的界。例如，考虑（22），u6=0k（Rt- Rs）kq=（kRt- Rsk2q）≤u（t- s）+tZspVudZu第2季度利用（12）我们得到了边界（Rt- Rs）kq≤u（t- s） +k2q（t- s） 1/2≤uT+k2q+2uk2qT1/2（t- s）≡CT，q（t- s） 。证据到此结束。4赫斯顿模型参数的可观测估计器4.1根据真实波动率数据进行参数估计要将赫斯顿模型与资产价格数据拟合，需要估计SDE（2）的参数u、ρ和赫斯顿波动率SDE（3）的参数向量θ。由于波动率vt是不可观测的，赫斯顿模型参数估计的关键问题是估计θ（参见，例如[9]）。考虑第一种理想但不现实的情况，即我们得到一组N个真实波动率值V={Vn},按时间间隔进行次采样. 对于由平滑参数化SDE驱动的过程，许多出版物研究了从底层SDE实际生成的大型数据集进行的参数估计（例如参见[1、3、2、14、25、28、27、37、34、15]等）。其中有几种方法依赖于极大似然估计（MLE）或矩量法。最大似然估计量：对于赫斯顿波动率SDE，θ的最大似然估计量已在[9]中进行了全面分析，其中它们是根据真实平方波动率的任何有限集合V.Decorator参数约束和→ ∞, 这些极大似然估计被证明是渐近一致的，当κθ/γ>1时，它们是渐近正态的。

请注意，用[9]的显式MLE公式中的已实现挥发度Yεtin替换不可观测挥发度vt的影响是一项相当技术性的任务，我们将在未来的论文中完成。基于矩的估计器：在本文中，我们将重点讨论Heston SDE参数向量θ的自然矩估计器^θ。由于真正的平方波动率vt是不可观测的，^θ被构造为可观测波动率Yεt的经验均值和两个滞后经验协方差的显式光滑函数。4.2间接可观测性下的参数估计本文考虑的矩估计方法正式属于我们在[11]中介绍的一般间接可观测性框架。在这个框架中，我们分析了可观测过程Yεt，作为ε→ 0，在Lto中收敛到一个由向量θ参数化的不可观测过程XT。特别是，在【11】中，在选择多个可观测值N（ε）和子采样率后（ε） ，θ的可观测估计量^θ（ε）被构造为可观测Yεn的经验平均值和经验滞后协方差的光滑函数(ε), 1 ≤ n≤ N（ε）。

在一组广泛适用的间接可观测性假设下，我们在[11]中证明了可以构造可观测估计量，其一致性为ε→ 0，提供N（ε）和（ε） 充分选择。在这里，我们关注以下间接可观测情况：（i）不可观测过程XT是平方波动过程Vt（ii）可观测Yεt收敛到Vtasε→ 0是由与Vt相关的回报率过程定义的已实现波动率。请注意，在本论文中，波动率过程Vt在确定性V=y>0时不是平稳的；因此，本论文的分析结果需要对之前在【11】中使用的方法进行一些相当技术性的改进。5平方挥发度的跃迁密度5.1显式跃迁密度考虑由θ参数化的赫斯顿挥发度SDE（3）驱动的平方挥发度Vt。我们将始终假设V>0具有所有阶的有限矩，如果V是确定性的，当然是这样。ForT>0，引入以下简写符号νT=e-κT，r=2κθγ- 1>0，∧=2κγ，λT=∧1- νT.（38）如【23】所示，马尔可夫扩散过程vt有一个明确的跃迁密度pT（z，y），我们通常将其简称为p（z，y），由pT（z，y）=p（Vs+T=z | Vs=y）=λT给出zyνTr/2exp(-λT（z+yνT））Ir（2λT√zyνT），（39）其中Iris是第1类r阶的修正贝塞尔函数。如【23】所述，对于固定T，线性比例Vt→ 2λTVT将转变密度pT（z，y）转换为p（2λTVT=z | 2λTV=y）=pTz2λT，y2λT2λT=zyνTr/2exp(-（z+yνT）/2）Ir(√zyνT），对于每个固定的y，是一个非中心χ密度，非中心性参数N CP（T，y）=yνTandDF R=2r+2个自由度。

注意，dfr=4κθ/γ=2θ∧。5.2自νT起的平稳平方波动过程vt→ 0和λT→ ∧作为T→ ∞, pT（z，y）以e的速度逐点收敛-κT，到自治Heston挥发性SDE的唯一稳态密度ψ（z）。通过ψ（z）=∧Γ（r+1）（∧z）rexp给出了allz>0的稳态密度(-∧z）。（40）当初始条件为随机密度ψ时，所有VT都具有相同的密度ψ，由赫斯顿波动率SDE驱动的过程VT变得严格平稳。关于这种稳态扩散的期望值将表示为Eψ。注意，由于limT→∞NCP（T，y）=0，线性重缩放z→ 2∧z将定态密度ψ（z）转换为（2∧）-1ψ（z/2∧），这是一个标准χ密度，DF R=2r+2个自由度。6平方挥发度的条件矩6.1非中心χ矩设X为具有非中心χ密度的随机变量，密度为DF R自由度和非中心参数N CP。然后，对于0，拉普拉斯变换Lap（z）=E（ezX）为≤ z<1/2，搭接（z）=（1- 2z）DF RexpNCPz1- 2z= （1）- 2z）DF R∞Xn=0n！（NCP）nz1级- 2zn、 扩展1/（1）-2z）对于固定的DF R，我们获得了z系列的Lap（z）=∞Xq=0πq（NCP）zqq！，其中，πq（NCP）是N CP中的q次多项式，系数完全由DF R和q决定。表示ncχ（q）和stχ（q）非中心χ密度和具有DF R自由度的标准χ密度的q阶矩。然后我们得到多项式表达式ncχ（q）=πq（NCP）和stχ（q）=πq（0）。（41）例如，对于非中心χ和标准χ的前两个矩，有以下众所周知的公式Cχ（1）=π（NCP）=DF R+NCP，ncχ（2）=π（NCP）=NCP+2NCP（DF R+2）+DF R+2DF R，stχ（1）=DF R，stχ（2）=DF R+2DF R。（42）6.2平方挥发分的条件矩-κand DF R=2r+2由θ决定。

下一个命题涉及VtMq（y，T）的条件矩计算≡ E【Vqs+T | Vs=y】=E【VqT | V=y】≡ Ey[VqT]。（43）提案2。对于每个q≥ 对于每个y>0，条件矩Ey[VqT]对于所有T保持统一边界≥ 有一个系数仅取决于q和θ的多项式qq，因此对于所有s，T和y>0，Mq（y，T）≡ E[Vqs+T | Vs=y]=Qq（y）。（44）作为T→ ∞, 矩Mq（y，T）以指数速度νT=e收敛-由赫斯顿波动率SDE驱动的稳态微分vt的κt有限矩mq=Eψ[Vqt]。证据重新缩放Vs→ 带λTin（38）的2λTVs将Vs=y的Vs+tgiventh的条件分布转换为非中心χ，df R=2r+2=2θ∧，N CP=（2λTy）νT=νT2∧1- νTy。这种重缩放意味着，使用非中心χ矩（41），Mq（y，T）=（2λT）qE（2λTVT）q | 2λTV=2λTy=（2λT）qπq2λTyνT=1.- νT2∧qπqyνT2∧1- νT.通过Hq（a，b）=aqπq定义总次数q的齐次多项式Hq（a，b）b/a, （45）其中πq（·）由第6.1节中介绍的拉普拉斯变换定义。因此，Hqdepend的系数仅在q和θ上。接下来，我们定义qq（y）=总部1.- νT2∧，yνT. （46）自0起≤ νT≤ 1是（38）给出的常数，Qq（y）的表达式（46）证明了方程（44）。方程（44）还暗示了常数C的存在，使得MQ（y，T）≤ 所有T的C（1+y）Qf≥ 因此，对于每个V=y>0，力矩Ey[VqT]对于所有T保持有界≥ 如第5.2节所述，按∧重新缩放将稳态密度ψ转换为标准χ分布，因此稳态动量sMQ=Eψ[VqT]=Zy≥0yqψ（y）Dy必须是有限的。

作为T→ ∞, 两个νT=e-κTand NCP趋向于0，λt→ ∧而DFR保持不变。因此，由于（44），（46），Mq（y，T）以指数速度νTtomq=Eψ[Vqs]=Hq收敛2Λ, 0≡ πq（0）。6.3平稳差异的平均值和协方差VtUsing（42），以及Vtby 2λ音调的适当重缩放，可以轻松计算平方波动过程的前两个条件动量，从y>0开始，即m（y，T）=Ey[VT]=（1- νT）θ+νTy，（47）M（y，T）=Ey及物动词= yνT+2yνT（1- νT）（θ+1/λ）+（1- νT）θ（θ+1/λ），（48），其中Ey[·]是（43）中定义的条件矩。特别是，作为T→ ∞, 方程（47）和（48）得出了稳态扩散的前两个力矩Vtm=Eψ[Vs]=θ和m=EψVs公司= θ+ θ/Λ. （49）此外，由Heston波动率SDE驱动的平稳微分具有平均值m=θ和滞后协方差K（u）=covψ[VsVs+u]，由K（u）+θ=Eψ[VsVs+u]=Eψ[VsM（Vs，u）]=Eψ[Vs（1- νu）θ+νuVs]=θ+νu（m- θ） 对于任何时间滞后u≥ 这就得到了平稳协方差k（u）=e-uκθγ2κ和K（0）=θγ2κ。（50）6.4 Heston SDE参数作为渐近矩的函数我们现在可以将θ=（κ，θ，γ）表示为平稳波动率微分Vt的三个矩的显式光滑函数θ=Φ（m，K（0），K（u）），即其均值m，方差K（0），以及某些固定（但任意）u>0的滞后协方差K（u）。

等式（49）和（50）确实意味着参数（κ、θ、γ）可以用力矩m、K（0）和K（u）表示，如下θ=m=Eψ[Vt]，κ=-乌洛格K（u）K（0）, γ=2K（0）κθ，（51），定义上述函数Φ。7基于矩的可观测估计量我们现在使用我们之前在赫斯顿波动率SDE上的结果来研究赫斯顿参数的一类基于矩的估计量，并讨论当可观测数据由实际波动率生成时它们的一致性。7.1基于矩的可观测估计器的计算如果窗口大小ε>0，请选择一个子采样时间间隔 ≡ （ε） 还有一些观测n≡ N（ε）。然后，实现的波动过程（16）生成N（ε）realizedvolatieswk=Yεk的可观测数据集（ε） ，k=1。N（ε）。接下来，我们指定如何使用这些N（ε）可观测数据来估计静态微分Vt的任何滞后协方差K（u）。表示a在最接近a的整数中，我们用u来近似滞后u（ε） 式中，U=U（U，ε）=u（ε）因此| u- U(ε)| ≤ (ε). （52）因为K（u）是u中的Lipschitz，所以有一个常数C≡ C（u）使得| K（u）- K（U(ε))| ≤ C（ε） 对于所有ε>0。然后，对于任何ε和时滞u，我们定义了平稳扩散vt的平均和滞后方差K（u）的可观测经验估计值，如下^mε=NNXk=1Wk，^K（u）≡^Kε（u）=-（^mε）+N- 联合国-UXk=1WkWk+U，（53），其中U=U（U，ε）和N=N（ε）。公式（51）将参数向量θ表示为显式C函数Φ（m，K（0），K（u））。这自然会导致定义θ的可观测参数估计器θ（ε），通过θ（ε）=Φ（μmε，μKε（0），μKε（u））。这一定义产生了以下赫斯顿参数的显式可观测估计值^θ（ε）=^mε，^κ（ε）=-ulog^Kε（u）^Kε（0）！，^γ（ε）=^Kε（0）^κ（ε）^θ（ε）。（54）7.2平方挥发性Theorem 2多项式泛函的渐近性。考虑任意固定多项式h（x。

，xk）表示k个变量（x，…，xk）中的总阶数n。Let0=u（0）<u（1）<…<u（k）是k+1滞后瞬间的任意序列。对于T>0，定义H，HTbyH=HVu（1），Vu（k）和HT=hVu（1）+T，Vu（k）+T.回想一下，νT=e-κT.定义wj=e-κ（u（j+1）-u（j）），对于j=0，k- 然后，有一个多项式P OLin k+2变量，使得对于所有T>0和所有y>0Ey（HT）=P OL（νT，yνT，w，w，…，wk-1). （55）POL的阶数和系数由整数n、k、h的系数和向量θ确定。然后，由Limt给出渐近多项式矩→∞Ey（HT）=Eψ（H）=P OL（0，0，w，w，…，wk-1） 。对于任意整数q≥ 1有一个正常数C和一个整数p≥ 1，仅由q，k，θ和多项式h确定，对于所有正T和y，以及所有0=u（0）<u（1）<…<u（k）Ey公司（HT- Eψ（H））q≤ C（1+yp）e-κT.（56），特别是对于q=1，有Ey（HT）- Eψ（H）≤ C（1+yp）e-κT.（57）证明。为了更好的可读性，附录A中给出了详细的证明。备注。等式（56）还暗示，作为T→ ∞, 随机多项式函数在Lq范数下收敛到常数Eψ（H），其中Lq范数在Ey下计算。注意，定理中引入的常数C不依赖于时间滞后u（0）<u（1）<…<u（k）。7.3可观测估计量的一致性^θ（ε）是已实现波动率的三个特定经验矩的函数，关键的一致性问题是估计，如ε→ 0，^mε到mand^Kε（u）到K（u）的收敛速度。这些收敛速度强烈依赖于N（ε）和(ε). 在[11]中，我们确定了子抽样方案，以优化平稳不可观测极限过程的这些收敛速度。现在，我们证明了由赫斯顿SDE驱动的非平稳波动率的类似结果。定理3。

考虑回报率为Rt且波动率平方为Vt的资产，由HestonSDEs（2）、（3）共同驱动。修复确定性初始条件，Rand V=y>0。调用py轨迹{Rt，Vt}在路径空间中的概率分布。实际挥发率Yε皮重由公式（16）和J（ε）计算得出~ ε-2、Yε皮重随时间步次采样（ε） 生成N（ε）个观测值Wk=Yεk(ε). 然后，我们应用公式（53）计算渐近滞后协方差K（u）的可观测经验估计量^Kε（u）和^mε- θ=极限→∞E【VtVt+u】和平均m=极限→∞真实波动率。然后，存在一个子抽样方案，该方案保证对于任何固定的正L和y，存在一个常数C=C（L，y，θ），因此，对于所有滞后，0≤ u≤ 五十、 一个hask^Kε（u）- K（u）K≤ Cε1/2和k^mε- mk公司≤ Cε1/2，（58），其中L-范数是根据Py计算的。此外，在Py下，由公式（54）给出的可观测参数估值器^θε以概率收敛到真实的Heston参数θasε→ 对于足够的常数C，Pyk^θε- θkR≥ ε1/3≤ Cε1/3。（59）证明。修正时滞u和V=y>0。所有Lq范数均在Py下计算。符号“constantC”将指定一个通用常量，该常量可以将值从一个绑定更改为另一个绑定。根据定理1，有一个常数csuch，对于所有t，kVtk≤ 坎德kVt- Yεtk≤ kVt公司- Yεtk≤ cε1/2。（60）因此，对于所有s和t，有一个常数csuch，kVsVt- YεsYεtk≤ cε1/2。标志 ≡ (ε). 次采样实现挥发度Wk=Yεk通过公式（53）确定波动性一阶矩和二阶矩的可观测经验阻尼因子。