Heston SDE的已实现波动率和参数估计

这是因为用j=ε计算的参数估计的收敛速度相当快-图3：赫斯顿波动率SDE参数估值器数值L误差的对数-对数图。Weplot，作为log（ε）的函数，k^θε的对数-θk（左上面板），k^κε-κk（右上面板），k^γε-γk（底部面板）。粗体蓝线和粗体红线-参数估值器使用J=ε的realizedvolatility计算-1和J=ε-分别为2。黑色虚线-根据波动率的直接观测值计算的参数估计值，蓝色虚线表示斜率为1/2的直线参考线。在J=ε的情况下-1与ε=0.05，0.1相比，所有参数估计值中ε=0.01，0.02的较小值误差较小。参数估计器本身的行为如图4所示。很明显，次采样区域J=ε-1ε=0.05,0.1的较大值会导致非常大的误差。在J=ε的计算格式下，参数θ的估计更准确-1对于ε=0.01，但在这种情况下，估计参数κ和γ仍有大约10%的相对误差。另一方面，J=ε时，估计所有三个参数的相对误差要小得多-2和ε=0.1。因此，最有益的策略是使用更大的窗口ε来计算具有大量点J=ε的已实现波动率-2返回过程。Heston参数κ和γ的可观测估计的渐近行为强烈依赖于Yεt的滞后协方差Kε（u）的行为。

因此，我们也给出了两个特定时滞u=0和u的^Kε（u）估计的数值结果≈ 0.6。Yε皮重的平均和滞后协方差由其经验估计量近似，由^mε=NNXj=1Yεj给出,^Kε（u）=N- 序号-sXi=1YεjYε（j+s）- （^mε），（80）其中，对于滞后u=0，整数s为s=0，且选择时应确保s ≈ 滞后u时为0.6≈ 0.6. 回想一下，真实波动率的平稳矩由（49）、（50）给出。图4：赫斯顿波动率SDE与ε的参数估计量行为。粗体蓝线和粗体红线-参数估值器使用J=ε的已实现波动率计算-1和J=ε-分别为2。黑色虚线-根据波动率的直接观测值计算的参数估计值。滞后协方差的误差由蒙特卡罗模拟ask^Kε（u）计算得出- K（u）K≡vuutMCMCXk=1^Kε（u）- K（u）, （81）其中，总和涉及M C=1000个独立的^Kε（u）评估。协方差估计的结果如图5所示。估计的二阶矩的误差行为与前面讨论的参数估计的行为一致。特别是对于ε的范围∈ [0.01，…，0.1]J=ε计算的^Kε（u）的收敛速度-1似乎比ε快得多-1/2，尤其是对于^K（0）。与参数估计的行为类似，我们推测这是由于ε的有限范围。选择滞后uε是出于一些实际考虑。特别是，应在计算参数估值器^κ后进行后验检查，并确保估计的滞后相关K（uε）不太接近0或1，例如通过检查e-^κuε介于0.3和0.7之间。除了上述实际约束外，uε的选择是任意的。

我们进行了数值模拟（此处未报告），研究了滞后uε的其他几种选择。特别是，我们考虑了duε≈ 0.3和“消失滞后”情况uε= ≡√ε。我们的数值模拟表明，对于此处考虑的特定切斯顿SDE参数，选择uε≈ 0.6给出了观测矩估计和参数估计的近似最优渐近行为。图5：由方程式（81）计算的Yεt二阶矩的误差对数图。左侧面板-对数k^kε（0）- K（0）K，右面板-对数K^Kε（u）- K（u）K带u≈ 0.6.11结论我们对Heston联合SDE驱动联合进行了广泛的分析和数值研究，即平方波动率VT和收益率Rt。由于波动过程VT无法直接观察到，因此实现的波动率Yεt通过滑动窗口中的RSS返回过程计算得出[t- ε、 t]提供不可观测Vt的经典可观测近似值。本文的主要目的是确定和研究由Yεt计算的Heston SDEs参数的可观测估计量，并显示ε→ 0、这一背景为我们的间接可观测性的一般框架提供了依据，其中不可观测过程X的动力学参数估计值只能从过程Yεt的观测值计算得出→ 从收益率Rt计算实现的波动率Yεt需要划分窗口[t- ε、 t]转换为J（ε）时间间隔。对于Heston SDE，我们证明了Lqnorms kYεt的精确界-Vtkqin J（ε）和ε的项。特别是，我们表明kYεt- Vtk公司≤ C√ε提供J（ε）~ 1/ε. 然而，对于小窗口尺寸，ε，分区尺寸j（ε）~ 1/ε不太实用，因为对于小窗口尺寸ε，它们需要大量的点。

我们的数值模拟表明，使用更实际的分区尺寸J（ε），可以在Lsense中获得合理的数值估计~ 1/ε. 然而，Lerrors kYεt- vtkar对分区大小的选择更加敏感。Heston SDEs参数的可观测估计量定义为经验LMean的显式函数和根据N（ε）观测值Yεj计算的两个经验滞后协方差（ε） ，j=1，N（ε）的实际波动率，随时间步次采样(ε). 我们证明，为了使可观测参数估值器能够以最快的速度收敛到真参数，最优子采样区域由N（ε）提供~ ε-3/2和(ε) ~ ε1/2，带J（ε）~ ε-2、我们的次抽样方案（69）在经验协方差估计误差和真实波动率与实际波动率之间提供了必要的平衡。该最优次抽样方案对应于总观测时间T（ε）=N（ε）(ε) ~ 1/ε和观测返回率值的原子数n（ε）=n（ε）J（ε）=1/ε7/2。令人惊讶的是，我们的数值模拟表明，子采样系统N（ε）的收敛速度要快得多~ ε-3/2和(ε) ~ ε1/2，带J（ε）~ ε-1对于较大范围的ε∈ [0.01, 0.1]. 三种参数估计的收敛速度均接近ε。在间接可观测性下计算的参数估计量不如直接观测到的波动过程时间序列的估计量。因此，我们推测J=1/ε的亚采样区域的收敛速度应为ε 0.01. 然而，用数值模拟验证这一点在计算上非常昂贵。此外，我们还观察到，与J=1/ε的次抽样区域相比，次抽样区域J=1/ε的相对误差要大得多。

因此，为了降低计算成本，最佳估计策略是使用较大的窗口ε来计算已实现的波动率，其中J=1/ε的点数较多。当对总观测时间T（ε）施加一个界时，我们的理论和数值模拟表明，赫斯顿波动率谱参数的估计误差较低。T（ε）上的上界实质上迫使ε上的下界。因此，在实践中，过度定义用于计算已实现波动率的滑动时间窗口的划分是不利的。此外，当T（ε）有界时，减小滑动窗口ε的大小会限制该窗口内返回过程的观察次数减少，这会通过已实现的波动率对真实波动率产生更不准确的近似。我们对赫斯顿SDE的理论分析和数值模拟为将联合赫斯顿SDE与股票价格的实际观察相结合提供了实践指导。特别是，我们的结果应有助于确定用于计算实际波动率的滑动窗口大小ε的适当选择，以及选择收益率观测的有效次采样时间步长。确认。一、 T.和R.A.部分得到了NSF拨款DMS-1109582的支持。一、 T.isalso也得到了NSF拨款DMS-1620278的部分支持。波动率的多项式函数和定理2我们评估平方波动率Vt的多项式函数的条件矩。设Fs为驱动Heston波动率SDE的Brownian Bt生成的过滤。请注意，当波动性过程开始于任何固定的V=y>0时，或当波动性过程是由波动性Heston SDE驱动的唯一平稳过程时，FSA的调节会给出相同的结果。回想一下定理2的陈述。

固定k个变量（x，…，xk）中总次数为n的任意多项式h。设0=u（0）<u（1）<…<u（k）是k+1滞后瞬间的任意序列。对于T>0，定义随机变量sh和HTbyH=hVu（1），Vu（k）和HT=hVu（1）+T，Vu（k）+T. （82）回想一下，νT=e-Tκ。定义wj=e-κ（u（j+1）-u（j）），对于j=0，k- 然后有一个多项式P OLin k+2变量，使得对于所有T>0和所有y>0Ey（HT）=P OL（νT，yνT，w，w，…，wk-1). （83）POL的阶数和系数由整数n、k、h的系数和向量θ确定。然后，由Limt给出渐近多项式矩→∞Ey（HT）=Eψ（H）=P OL（0，0，w，w，…，wk-1） 。对于任意整数q≥ 1有一个正常数C和一个整数p≥ 1，仅由q，k，θ和多项式h确定，对于所有正T和y，以及所有0=u（0）<u（1）<…<u（k）Ey[| HT- Eψ（H）| q]≤ C（1+yp）e-Tκ。（84）特别是q=1时Ey（HT）- Eψ（H）≤ C（1+yp）e-Tκ。（85）备注。等式（84）还暗示，作为T→ ∞, 随机多项式泛函将Lq范数收敛到常数Eψ（H），其中Lq范数在Ey下计算。还要注意的是，定理及其下面的证明中引入的所有常数都不依赖于实际滞后u（0）<u（1）<…<u（k）。定理2的证明：证明。对于线性，我们只需要考虑h是k变量中的单项式的情况。对于k=1，结果由（44）证明。通过k上的递归继续，假设k中的单项式的结果为真- 1变量（x，…，xk）。k变量中的任何单项式h都可以写成h=xmg（x，…，xk）。定义=gVu（2）+T，Vu（k）+THT=Vmu（1）+TGT。递归假设提供了（k+1）变量中的多项式R，使得对于所有TEy（GT）=R（νT，yνT，w，w，…，wk-1） 其中R的系数由g，θ确定。

根据马尔可夫性质，我们得到GT | Fu（1）+T= RνT，Vu（1）+TνT，w，w，工作时间：-1..由于Ey[HT]=Ey[Vmu（1）+TE（GT | Fu（1）+T）]，我们得到Ey[HT]=EyhVmu（1）+TR（νT，Vu（1）+TνT，w，w，工作时间：-1） i.R的每个单项式M的形式为νpT（Vu（1）+TνT）jS（w，w，…，wk-1） 对于一些p，j和一些多项式。然后在（83）的右侧，M贡献了形式为Γ（M）=νp+jTS（w，w，…，wk）的项-1） EyhVm+ju（1）+Ti。由于（44）中q=m+j，最后一个条件期望是两个变量νu（1）+T=νtw和Vνu（1）+T=yνtw中的多项式，系数仅取决于m+j和θ。因此，Γ（M）是ν和yνT中的多项式，其系数是（w，w，w，…，wk）中的多项式-1） ，完全由m，j，θ确定。然后，由R的单项式M贡献的所有Γ（M）的和Ey（HT）必须具有相同的属性。这就完成了（83）的证明，通过在k上递归。在（83）中写入P OL作为k+2变量zi中的多项式P OL（z）。向量z（T）=（νT，yνT，w，…，wk-1） 倾向于z(∞) = （0，0，w，…，周-1） 作为T→ ∞. 多项式Q（z（T））=P OL（z（T））- P OL（z(∞)) 可以写一些整数pQ（z（T））=νTA+pXs=1ysνsTAs，其中s=0，p、 每个Asis都是（k+1）变量（νT，w，…，wk）中的多项式-1). 由于所有这些正（k+1）变量都小于1，因此每个| As |对于所有T保持有界≥ 0和allu（0）<u（1）<…<u（k）。因此，存在一个常数C，使得| As |≤ C和ys≤ C（1+yp）对于所有s=0，p、 T型≥ 0，y>0。对于所有s≥ 1我们有νsT≤ νT=e-Tκ，因此Q（z（T））的展开式提供了一个新的常数Csuch，对于所有u（0）<u（1）<…<u（k），Ey（HT）- Eψ（H）=Q（z（T））≤ C（1+yp）e-Tκ代表所有T≥ 0，y>0。这证明了（85）。LetH=Eψ（H）。展开β（T）=（HT- H） qas形式Hq中术语的线性组合-jHjTforj=0，q、 回想一下，h是x，x，…，中的多项式，xk。

对于j固定，σj=hj也是多项式inx，x，xk。通过定义（82），我们可以表示∑=hj和∑T=HjTas∑=σjVu（1），Vu（k）和∑T=σjVu（1）+T，Vu（k）+T.对于每个j，应用于多项式σ=hj的方程式（85）提供了常数cj和整数p（j），例如Ey（∑T）- Eψ（∑）≤ Cj公司1+yp（j）e-Tκ代表所有T≥ 0，y>0，因此存在常数cj，以便Ey（(R)总部-jHT）- Eψ（(R)Hq-jHT））≤ cj公司1+yp（j）e-Tκ代表所有T≥ 0，y>0。将其应用于j=0，q和使用牛顿二项式公式得出，对于一些新常数C，Eβ（T）≤ Ce公司-TκqXj=0cj1+yp（j）对于所有T≥ 0，y>0，这完成了（84）的证明。参考文献【1】Y.Ait-Sahalia，《离散抽样差异的最大似然估计：封闭式近似方法》，计量经济学，70（2002），第223-262页。[2] Y.Ait-Sahalia，《多元差异的闭式似然展开》，Ann。统计员。，36（2008），第906-937页。[3] Y.Ait-Sahalia和R.Kimmel，《随机波动率模型的最大似然估计》，金融经济学杂志，83（2007），第413-452页。[4] Y.Ait-Sahalia，P.Mykand和L.Zhang，《市场微观结构噪音存在下连续时间过程的采样频率》，金融研究评论，18（2005），第315-416页。[5] S.Alizadeh、M.W.Brandt和F.X.Diebold，《随机波动模型的基于范围的估计》，《金融杂志》，57（2002），第1047-1091页。[6] R.Azencott、A.Beri、A.Jain和I.Timofeyev，《多尺度动力学的次抽样和参数估计》，公共数学。Sci。，11（2013），第939-970页。[7] R.Azencott、A.Beri和I.Timofeyev，《高斯分布参数估计的自适应亚抽样》，J.Stat.Phys，139（2010），第1066-1089页。[8] R.Azencott，A.Beri和T.Timofeyev，《间接可观测下平稳随机过程的参数估计》，J。

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