Heston SDE的已实现波动率和参数估计

自kVk以来- Wkk公司≤ cε1/2by（60），定义（53）μmεgiveskμmε- mk公司≤NNXk=1 | |周- Vk公司||+NNXk=1Vk- m级≤ cε1/2+c√N, （61）我们使用了（50），这意味着∞Xj=1（Vk- m） （V（k+j）- m）≤ 常数<∞.我们想指出，术语O（1/√N) 在上面的表达式中，由经验平均值m的误差引起，由直接观测值Vk计算得出. 因此，无法从分析上改进（61）中的估计值。如果我们取N = ε-1，这证明了实波动率经验平均值^mε以ε1/2的速度收敛于Vt的渐近平均值。接下来，我们研究了滞后协方差的估计量。设U为与[U]最接近的整数/（ε） ]int，因此| U - u| ≤  . 定义（W）=^Kε（u）+（^mε）=NNXk=1WkWk+uan和m（V）=NNXk=1VkV（k+U）.通过范数的次加性，我们得到了KH（W）- M（V）k≤ cε1/2。（62）设ψ为Vt的渐近密度，用m（s）=Eψ[vvt+s]表示平稳滞后二阶矩，它不依赖于t。根据定理2，对于每个固定的a和y>0，有一个常数C，使得对于所有的t和s≤ 一个有边界（VT+s- 米（秒））≤ Ce公司-κT.（63）Pythus Verifieskvj下的LnormVj公司+U- m（U）k≤ Ce公司-κj. （64）（63）和（64）中的上述两个界限提供了常数C和C=κ/2，使得对于所有εNXj=1kVjVj公司+U- m（U）k≤ Ce公司-c1.- e-c≤复写的副本. （65）根据Lnorms的次可加性，不等式（65）表示kM（V）- m（U）k≤CcN公司. （66）重新组合我们的定义和符号，我们有^Kε（u）=-（^mε）+H（W），K（u）=-m+m（u），K（u）=-m+m（U）。这意味着，因为K（u）是u中的Lipschitz，| m（u）- m（u）|=| K（u）- K（u）|≤ C | U- u |≤ C. （67）我们有明显的恒等式^Kε（u）- K（u）=H（W）- （^mε）-m（u）- m级- M（V）+M（V）- m（U）+m（U）和hencek^Kε（U）- K（u）K≤ 公里数- （^mε）k+kH（W）-M（V）k+kM（V）- m（U）k+| m（U）- m（u）|。我们现在使用边界（61）、（62）、（66）和（67）来获得K^Kε（u）- K（u）K≤ cε1/2+c√N+ cε1/2+c√N+CN+ C.

（68）优化最后一个界限，并确保所有项的收敛速度与ε相同→ 0，我们强制选择√N~  ~ ε1/2（69），相当于选择 ~ ε1/2和N~ ε-3/2.因此，对于每个固定的V=y>0，以及任何固定间隔[0，L]内的所有时间滞后u，有一个常数C实现边界K^Kε（u）- K（u）K≤ Cε1/2。在Pyof^Kε（u）到K（u）和^mε到m下的L收敛，意味着它们在Py下的概率收敛。根据方程式（54），我们的赫斯顿参数估值器的形式为^θε=Φ（^Kε（0）、^Kε（u）、^mε），其中Φ是一个C函数。因此，估计量^θε以概率收敛到θ=Φ（K（0），K（u），m）为ε→ 0.1阶和2阶矩的L-收敛速度ε1/2意味着，通过切比雪夫不等式，Py|^Kε（u）- K（u）|≥ ε1/3≤ Cε1/3与^mε具有类似的不等式。由于Φ是C，Py下的这些概率收敛速度意味着，通过函数Φ的一阶泰勒展开，参数估值器本身的概率收敛速度相同。8渐近最优分割尺寸J（ε）用T（ε）表示收益率过程的总观察时间rta公式（16）给出的已实现挥发度yεT包括细分滑动窗口（T-ε、 t）转换为J（ε）区间，并平均相应的J（ε）平方收益率增量。从可观测过程Yεtwith t计算一阶和二阶矩估计量≤ T（ε），我们在N（ε）瞬间k对该过程进行子采样（ε） ，k=1，N（ε），具有明显的关系N（ε）（ε） =T（ε）。前提是使用二次抽样方案（ε）~ ε-3/2, (ε) ~ ε1/2（70）和隔板尺寸J（ε）~ 1/ε，我们当前的理论界可以保证L的收敛速度~√Yεt的ε- VT和我们对波动率Heston SDE中参数的可观测估计的概率一致性。

理论选择J（ε）~ 1/ε似乎对于赫斯顿SDE和实际股价数据的具体拟合来说是非常大的。因此，我们还从数值上研究了一个更实用的选项j（ε）~ ε-1.备注。优化的次抽样方案（70）需要总观测时间T（ε）~ ε-1、因此，一阶和二阶矩估计量的相关收敛速度（58）可以重新表示为ask^Kε（u）- K（u）K≤CpT（ε）和k^mε- mk公司≤CpT（ε）。然而，要计算实际波动率Yεt，我们需要J（ε）~ 每个滑动窗口中的1/ε时间点，因此可观测矩估值器的计算需要观测点总数n≡ n（ε）=n（ε）J（ε）~ 1/ε7/2.因此，我们的矩估计的收敛速度可以用回归过程ask^Kε（u）的观测时间点总数n表示如下- K（u）K≤ 中国大陆-1/7和k^mε- mk公司≤ 中国大陆-1/7.甚至更实用的选择J（ε）=1/ε也会导致缩放K^Kε（u）- K（u）K≤ 中国大陆-1/5和k^mε- mk公司≤ 中国大陆-五分之一。当可用观测时间不是先验有界时，这些收敛速度上界对于某种理论情况来说是次优的。事实上，Ho Off mann[32]指出，当总观测时间T→ ∞ 人们应该期望更经典的收敛速度n（ε）-1/2，而对于固定T，论文[32]建议最佳收敛速度应为n（ε）-1/4. 然而，结果[32]集中于近似最大似然估计，因此，不能直接应用于本文所考虑的基于动量的估计。9已实现波动率收敛到真实波动率的有效速度9.1通用随机波动率模型与Heston SDEsRecall相比，已实现波动率Yε皮重由公式（16）计算，时间窗口的分区大小为J（ε）[t- ε、 t）]。

当收益率Rt和平方波动率Vt由联合Heston SDE驱动时，我们在定理1中证明，对于每个固定的偶数整数q和有界的s，Lqnorms kYεs- vskq必须验证，对于某些常数C=C（q），边界εs- Vskq公司≤ C1/J（ε）1/q+√ε. （71）我们的数值模拟表明，对于“中等”分区尺寸J（ε）~ 1/ε，可以改进（71）以产生以下收敛速度，对于q=2、4和s有界，kYεs有效- Vskq公司~√ε。（72）对于q=2，这确实由（71）暗示。然而，对于q=4，我们的理论界（71）似乎高估了达到收敛速度所需的分区J（ε）的大小~√ε在本文中，为了数值验证已实现波动率的有效陆地收敛速度yεtto真实波动率vt，我们对联合Heston SDE进行了以下密集模拟。9.2 Heston SDEs模拟概述我们已经用以下特定参数κ=1.7、θ=4、γ=2、u=0.05、（73）和驱动jointHeston SDEs的布朗噪声之间的相关系数的3个值ρ=0、0.3、0.7对联合Heston SDEs进行了数值模拟。Feller条件有效，因为2κθ/γ=3.4。将渐近曲线模拟为ε→ 0，我们考虑分区大小j（ε）=10，40，ε-1, ε-ε=0.1、0.05、0.02、0.01、0.005的五个值。本文给出了固定划分大小J=10，40的模拟，以说明已实现波动率近似波动率的误差不会衰减为ε→ 如果分区有固定数量的点，则为0。

J=ε的数值模拟-1, ε-2更有趣的是，它们提供了对收敛速度的洞察，并为间接可观测性下的参数估计选择了最佳子采样区域。真实波动路径的模拟由SDE的Euler离散化方案实现，时间步长为10-6，除了ε=0.005，J（ε）=1/ε，其中时间步长为1.25×10-我们通过生成200000条独立的模拟路径{Vt，Yεt}，来执行aMonte Carlo模拟。然后，我们将这20万条路径划分为子集合，如第9.4.9.3节所述，对于ε=0.01和ρ=0的联合样本路径{Vt，Yεt}的快照，图1显示了联合路径{Vt，Yεt}的四个示例，其中实现的挥发度Yε是用（74）中列出的四个J（ε）连续计算的。显然，对于较大的分区尺寸J（ε），Vtby Y Yεt的近似精度大幅提高。最小的J（ε）等于10，会对Yεt产生许多非常严重的误差- Vt.对于J=40，我们仍然注意到一些显著的误差。但对于J（ε）=10000，vt和Yεtnearly的采样路径重合。如此大的分区大小通常是不可行的：对于每分钟采样的盘中股价，分区大小J=10000将需要约20个交易日的不切实际的滑动时间窗口；对于每秒采样的股票价格，这样的划分需要大约2.7小时的滑动窗口。

对于较小的J（ε）值，消除| Yεt大尖峰的实用补救措施- Vt |是直接或通过使用（16）中的加权平均值对Yεteither进行时间平滑。0.2 0.4 0.6 0.8 1t0246810J=100.2 0.4 0.6 0.8 1t0246810J=400.2 0.4 0.6 0.8 1t0246810J=1/=100 Vt和Yt快照=0.01，J=10，40，1/，1/20.2 0.4 0.6 0.8 1t0246810J=1/2=10000图1：波动率Vt和实现的波动率Yεtsnapshots，ε=0.01，四个分区尺寸J=J（ε），如（74）。每个子图以纯蓝色显示波动率Vt，0的一条随机轨迹的时间演化≤ t型≤ 1，并以红色虚线显示已实现波动率Yεt的相关随机时间演变。赫斯顿波动率SDE中的参数如（73）所示。这两个Heston SDE由零相关性ρ=0.9.4 kYεt数值渐近的布朗运动驱动- Vtkqasε→ 0我们将所有200000条模拟路径划分为1000条路径的子集合，从而得到G=200条这样的子集合。这使我们能够计算波动率和已实现波动率之间数值估计LQ误差的置信区间。特别是，我们fix T=1，对于每个子系综，经验矩Mk（q）为| YεT-VT | q，k=1，G提供了Lqerrors kYεT的估计量^eqk=（Mk（q））1/qf-VTkq。这些LQ误差的最终估计值由^Eq=GGXk=1^eqk，（75）给出，95%置信区间^Eq±1.96σ（q），其中σ（q）=GGXk=1^eqk-^Eq.表1和图2给出了陆面收敛的数值结果。对于恒定的部分尺寸J（ε）=10，40，根据我们的分析界限（71），^ean和^Eerror估计几乎都是恒定的（与ε无关）。此外，J=40时的^Eas油井^EER误差大约是J=10时的两倍。

对于q=2，我们的理论界（71）正确预测了这一点。但对于q=4，我们的理论界过于悲观，因为它预测J=40时的^应比J=10时的^小约1.4倍-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2log（）-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51L2 Vt和YtJ之间的误差=1/J=1/21/2-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2log（）-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5L4 Vt和YtJ之间的误差=1/J=1/21/2图2：用ρ模拟Heston SDEs=0，参数列在（73）中。T=1的土地误差对数图。对于分区尺寸J（ε）=ε，我们在左侧子图上绘制log（^E），在右侧子图上绘制log（^E），作为log（ε）的函数-1（蓝色实线）和J（ε）=ε-2（红色虚线）。点黑线表示坡度为1/2的参照线。ε=0.005 0.01 0.02 0.05 0.1^E，J=10 1.85±0.13 1.85±0.14 1.86±0.14 1.88±0.14 1.94±0.14^E，J=10 2.98±0.58 3.00±0.6 3.01±0.63 2.99±0.52 3.09±0.58^E，J=40 0.95±0.07 0.96±0.07 0.98±0.07 1.05±0.15±0.08^E；E，J=40 1.52±0.24 1.53±0.24 1.56±0.27 1.63±0.22 1.76±0.24^E，J=1/ε0.45±0.03 0.64±0.05 0.90±0.07 1.39±0.09 1.94±0.15^E，J=1/ε0.71±0.1 1 1.01±0.15 1.41±0.24 2.20±0.38 3.09±0.58^E，J=1/ε0.16±0.008 0.23±0.013 0.34±0.019 0.57±0.033 0.90±0.056^E，J=1/ε0.23±0.017 0.32±0.028 0.48±0.041 0.83±0.074 1.34±0.16表1：J（ε）=10,40，1/ε和1/ε的数值模拟中（75）定义的估计^和^误差值。95%置信区间用“±”数字表示。图2描述了分区尺寸J（ε）=ε的对数-对数比例上的土地误差-1和J（ε）=ε-2、由于ε足够小，这两种情况下的估计误差图几乎是斜率为1/2的完美直线。

图2非常令人信服地证明了两种类型的估计误差^ean和^Edo标度，如J（ε）的ε1/2~ 1/ε以及J（ε）~ 1/ε. 因此，我们对联合Heston SDE的数值模拟支持以下关于渐近行为的猜测（如ε→ LerrorkYεt的0）- Vtk公司~J（ε）-1/2+ ε1/2. （76）我们的模拟表明，对于q=2和q=4，收敛速度kYεt- Vtkq~√当使用分区大小J（ε）计算已实现波动率Yε时，可实现固定t的ε~ 1/ε. 这也意味着对于分区大小J（ε）~ 1/ε，在L速度下，已实现波动率的滞后协方差应收敛到真实滞后协方差~√ε。我们想指出，这些结果是针对有限ε得出的≥ 0.01. 将这些结果推广到ε的较小值是非常耗时的，并且可能会改变ε的lqerror的渐近行为 0.01. 令人惊讶的是，这种次抽样方案~ 与我们的分析估计相比，1/ε给出了Lnorm更快的收敛速度。如上所述，对于ε的极小值，数值模拟可能与我们的分析一致，并产生ε1/4的收敛速度。改进的收敛速度可能与我们的LQ分析估计中的常数比有关。矩估计的收敛速度如以往所示，因为ε数值计算的值如此之小，成本非常高昂。对于这里所考虑的ε的实际值，我们得到了ε1/2的估计收敛速度。我们还进行了数值模拟，ρ=0.3和ρ=0.7（为简洁起见，此处不显示），其中ρ是驱动关节Heston SDE的两个布朗运动Bt和Zt之间的相关性。ρ>0时的数值结果与ρ=0时的数值结果几乎相同。

这与我们对定理1的证明是一致的，定理1探索了驱动真实波动率Vt的自主Heston SDE（3），而没有使用Heston SDE（2）进行收益率过程。我们证明的另一个关键因素是研究条件期望E（Y | X），当X和Y是有限个vt值的多项式函数时。同样，该分析未使用赫斯顿SDE（2）。定理1中引入的常数可能依赖于ρ，但我们的数值模拟表明，这种依赖性相当弱。10 Heston参数可观测估计量的有效收敛速度在本节中，我们评估了Heston波动率SDE参数可观测估计量θε、κε、γε的数值收敛速度。回想一下，这些估计值是基于实际波动率的估计协方差。这组模拟按照第9.2节所述进行，ε=0.1、0.05、0.02、0.01的四个值如下。利用两种不同的分配尺寸J（ε）=1/ε（ε=0.1、0.05、0.02、0.01），（77）J（ε）=1/ε（ε=0.1、0.05、0.02）计算实现的挥发度。（78）为了计算估计量，我们使用sup抽样方案（ε）=50ε-3/2, （ε） =ε1/2（79），这是（70）中我们一般制度的特例。赫斯顿SDE参数估计误差的数值估计值是使用蒙特卡罗方法计算的，该方法具有1000条长轨迹，与上述亚抽样制度一致。每条长轨迹产生一组使用（54）计算的估计参数值。滞后uε选择为约0.6。然而，由于在我们的离散公式中，滞后是, i、 e.uε=r×（ε） 对于不同的ε值，滞后略有变化。

具有不同ε值的模拟滞后值选择为beuε=[0.64、0.66、0.56、0.6]。图3给出了参数估值器L误差的数值估计。Lerrork^θε-θkis如图3左上部分所示。由于^θε估计挥发过程的经验平均值，表达式（61）直接适用于这种情况。图3表明，尽管两种情况下的二次抽样制度（79）是相同的，但计算已实现波动率J的点数显著影响参数估计器的行为。首先，J=ε的数值误差显著减少（约10倍）-2与J=ε相比-其次，Lerror的渐近行为似乎也受到J的选择的影响，这对于参数θ来说是最明显的。对于亚抽样体系（79）和（77），所有三个参数的Lerror衰减都比ε1/2快得多。然而，在（78）中选择J时，参数估计的误差与直接可观测下计算的估计几乎相同，误差与ε1/2成正比。我们想指出，这里给出的数值模拟是针对ε的有限值∈ [0.01, . . . , 0.1]. 我们推测，对于ε<0.01的较小值，用J=ε计算的所有参数估计的收敛速度-1应改为ε-与在直接可观测性下计算的估计量相对应的黑线的1/2和渐近线。我们的数值模拟具有重要的实际意义。特别是，我们的数值结果表明，对于较大的ε值，遵循区域J=1/ε是重要的。然而，人们可以切换到不同的制度（例如J~ ε-3/2或偶数J~ ε-1） 对于较小的ε值，可减少计算量。