Heston SDE的已实现波动率和参数估计

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英文标题：
《Realized volatility and parametric estimation of Heston SDEs》
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作者：
Robert Azencott and Peng Ren and Ilya Timofeyev
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present a detailed analysis of \\emph{observable} moments based parameter estimators for the Heston SDEs jointly driving the rate of returns $R_t$ and the squared volatilities $V_t$. Since volatilities are not directly observable, our parameter estimators are constructed from empirical moments of realized volatilities $Y_t$, which are of course observable. Realized volatilities are computed over sliding windows of size $\\varepsilon$, partitioned into $J(\\varepsilon)$ intervals. We establish criteria for the joint selection of $J(\\varepsilon)$ and of the sub-sampling frequency of return rates data.   We obtain explicit bounds for the $L^q$ speed of convergence of realized volatilities to true volatilities as $\\varepsilon \\to 0$. In turn, these bounds provide also $L^q$ speeds of convergence of our observable estimators for the parameters of the Heston volatility SDE.   Our theoretical analysis is supplemented by extensive numerical simulations of joint Heston SDEs to investigate the actual performances of our moments based parameter estimators. Our results provide practical guidelines for adequately fitting Heston SDEs parameters to observed stock prices series.
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中文摘要：
我们对赫斯顿SDE基于矩的参数估值器进行了详细的分析，这些参数估值器共同推动了收益率R\\u t$和平方波动率V\\u t$。由于波动率不可直接观测，我们的参数估计量是根据已实现波动率的经验矩$Y\\u t$构建的，当然，这些波动率是可观测的。已实现的波动率是在大小为$\\ varepsilon$的滑动窗口上计算的，并划分为$J（\\ varepsilon）$区间。我们建立了联合选择$J（\\ varepsilon）$和回报率数据的次抽样频率的标准。我们得到了已实现波动率到真实波动率的$L^q$收敛速度的显式界，即$\\变ε\\到0$。反过来，这些界限也提供了赫斯顿波动率SDE参数的可观测估计值的L^q$收敛速度。我们的理论分析得到了联合Heston SDE广泛数值模拟的补充，以研究基于矩的参数估值器的实际性能。我们的结果为将赫斯顿SDEs参数与观察到的股价序列充分拟合提供了实用指南。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Realized_volatility_and_parametric_estimation_of_Heston_SDEs.pdf (824.22 KB)

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关键词：参数估计 sto SDE Est 波动率

Heston-SDEsRobert-Azencott的已实现波动率和参数估计*Peng Ren+Ilya Timofeyev2020年3月16日摘要我们对赫斯顿证券交易所基于可观测矩的参数估值器进行了详细分析，这些估值器直接驱动收益率Rt和平方波动率Vt。由于波动率不是直接可观测的，我们的参数估值器是从可观测的已实现波动率Yt的经验矩构建的。在尺寸为ε的滑动窗口上计算实现的波动率，并将其划分为J（ε）区间。我们建立了联合选择J（ε）和返回率数据子采样频率的标准。我们得到了实现挥发度收敛到真挥发度的lq速度ε的显式界→ 反过来，这些界限也提供了我们对赫斯顿波动率SDE参数的可观测估计的LQ收敛速度。我们的理论分析得到了联合Heston SDE的广泛数值模拟的补充，以研究基于矩的参数估值器的实际性能。我们的结果为将赫斯顿SDEs参数充分拟合到观察到的股票价格序列提供了实用指南。关键词：赫斯顿模型、参数估计、已实现波动率、间接可观测性1引言随机微分方程（SDEs）的参数估计一直是多个学科的一个活跃研究领域。大多数已发表的结果集中于直接可观测性情况，其中可观测数据XT假设由SDE本身生成。但在许多实际情况下，驱动不可观测过程XT的DES被一个向量θ参数化，该向量θ需要从可观测数据Yεt估计出来，而已知可观测数据Yεt只收敛于Xtasε→ 我们将这些情况称为间接可观测性上下文。

然后，一个关键点是评估由于使用近似数据而产生的估计误差（例如，参见[24、36、35、39、4、12、33]）。在我们的论文[7，6，8，11]中，我们分析了在多个上下文中间接可观测性下参数估计的渐近一致性。特别是，在[11]中，我们证明了基于间接近似观测的经验矩的参数估计的渐近精度，对于一类广泛的具有“快速”混合特性的不可观测平稳非高斯过程XT。在这里，我们将[11]的结果扩展并深化到众所周知的NHESTON SDE的参数估计[31]，共同驱动任意资产的收益率Rto及其平方波动率Vt。由于波动率不是直接可观察的，因此通过计算平均时间窗（t- ε、 t）。例如，在[32、30、13、20、21、3、38、5]中研究了此类波动率近似值。本文主要研究赫斯顿波动率SDE的可行参数估计，我们从已实现波动率过程Yεt的一阶和二阶经验矩构造了可观测参数估计量，并将其L-一致性分析为ε→ 为了做到这一点，我们将已实现波动率的L收敛推广到Lq（其中q是奇数）。例如，在[16，17]中，也讨论了最大似然估计和平方根差异的Lqnorms估计。虽然极大似然估计（MLE）已在许多情况下用于估计随机微分方程的参数，包括赫斯顿模型（如[10，29]），但MLE对模型误差非常敏感。

我们期望矩估计量*德克萨斯州休斯顿休斯顿大学数学系，邮编77204-3008(razencot@math.uh.edu).+德克萨斯州休斯顿休斯顿大学数学系，邮编77204-3008(pren@math.uh.edu).德克萨斯州休斯顿休斯顿大学数学系，邮编77204-3008(ilya@math.uh.edu)。对于基础模型的小扰动，低阶的更为稳健，适用于可观测且可能有噪声的数据。Yεt的经验矩取决于明确的子抽样方案，该方案规定了关键的计算参数（例如，窗口中的点数（t- ε、 t）、observationaltime step和总观察次数）作为窗口大小ε的函数。特别是，最优子抽样方案涉及选择观测时间步长的显式表达式（ε） 以及已实现波动率的观测次数N（ε）。证明了在间接可观测性条件下，矩估计的最优收敛速度为O（ε1/2）。当在小持续时间ε的滑动窗口上计算实现的波动率时，我们的目标是确定接近最优的股票价格子抽样率，从而能够很好地控制驱动（不可观察）波动率的赫斯顿SDE参数的估计误差。与间接可观测性下Heston SDE波动率参数估计的其他结果（如[30]）相比，我们的结果同时估计了波动率SDE中的漂移和扩散参数。一般SDE扩散项的参数估计是一项微妙的任务；已经引入了几种方法[32、18、29、22]，但比较各种估计器的性能和稳健性仍然是一个活跃的研究领域。应用【11】中发展的一般理论需要对赫斯顿模型进行实质性的分析研究。

对于在长度为ε的滑动窗口上计算的已实现挥发度Yεt→ 0时，我们给出了Yεtto真波动率vt的Lqconvergence速度的具体估计，并推导出了Yεt的显式近似最优次抽样方案，用于经验矩的一致估计。我们将赫斯顿SDE参数的可观测估计量的理论收敛速度计算为ε→ 0，我们将其与数值计算的收敛速度进行比较。为此，我们利用ε→ 我们的模拟验证了我们对已实现波动率的理论收敛率，以及我们对赫斯顿参数的估计。Wethus验证用于计算每个实现波动率的数据点数量的渐近最优范围。我们的数值结果表明，对于较小但真实的ε值，在数据子采样频率低于理论规定的速率的情况下，我们的可观测参数估计仍然可以达到接近最优的收敛速度。我们介绍了赫斯顿模型，并在第2节中讨论了平方波动率的Lq-H¨older连续性。我们在第2.4节中介绍了已实现波动率和间接可观测性的概念。我们在第3节中证明了已实现波动率的Lqconvergence。第5、6节讨论了赫斯顿模型的一些分析性质，第7节介绍了波动过程的基于矩的参数估计。第7节中的定理3是我们的主要分析结果之一，因为它计算了已实现波动率的抽样经验矩的L收敛率，从而得出了基于已实现波动率的可观测参数估值器的收敛率。在第8节中，我们讨论了平均窗口（t- ε、 t）。

在第9节和第10节中，我们对赫斯顿模型进行了广泛的数值研究，包括对实际波动率过程的Land L收敛速度、参数估值器的收敛速度和经验协方差估值器的数值计算。结论见第11.2节Heston随机波动率模型2.1通用随机波动率模型在著名的Barnsdor ff-Nielsen论文[13]中，通用随机波动率模型考虑资产价格过程，使得收益率过程dRt=dAt/ATI由形式dRt=udt+pVtdZt的SDE驱动，（1）其中u是一个常数，zt是一个标准的一维布朗运动，平方可积连续过程Vt>0称为收益率的即期方差或平方波动率。在本文中，我们将重点讨论经典的Heston联合SDE，它们是随机波动率模型中广泛使用的例子。2.2 Heston联合SDE称，在Heston模型【31】中，对于资产价格和平方波动率Vt的随机动力学，两个耦合SDE共同驱动Vt，收益率dRt=dAt/At，即dRt=udt+pVtdZt，（2）dVt=κ（θ-Vt）dt+γpVtdBt。（3） 这里Zt和Bt是标准的一维布朗运动，具有恒定的瞬时相关性（dZtdBt）=ρdt，其中-1 < ρ < 1.自主波动率SDE（3）由3个参数进行参数化，即Vt的“长期平均值”θ>0、“逆转率”κ>0和γ>0。为了确保VT对于所有t几乎肯定为正，Vis几乎肯定为正，参数向量θ=[κ，θ，γ]必须验证经典的Feller条件[26]κθγ>。（4） 在本文中，我们假设波动率方程中的参数满足上述Feller条件。第一个赫斯顿SDE（2）由资产价格的常数“平均回报率”u>0和相关系数ρ进行参数化。

具体而言，我们定义Zt=ρBt+（1- ρ） 1/2βt，其中bt和β皮重是两个独立的标准布朗运动。设Ft为Bt产生的递增过滤。设Gt为配对（Zt，Bt）产生的递增过滤，或等于（βt，Bt）产生的递增过滤。然后，联合SDE（2）、（3）有一个唯一的解决方案Vt，RTV从任何固定的V>0和R开始。此外，Vt对Ft、Gt都不参与，RTI对Gt都不预期。VT和RTA在t中都是连续的。我们将使用快捷符号E[U | V=y]≡ Ey[U]对于任意随机变量U.2.3平方挥发度的Lq-H¨older连续性，我们现在证明了Heston SDEs的解Rt，V在Lq中是H¨older连续的，H¨older指数为1/2。提案1。设Rt，Vt为Heston SDE（2）、（3）共同驱动的回报率和平方波动率，从任意固定的V=y>0和R=R开始。任意固定的时间T>0。然后（T，y，r）和Heston SDEsparameters确定每个q≥ 2常数C=C（q），因此，对于所有0≤ s≤ t型≤ T，kVtkq≤ C和kVt- Vskq公司≤ C√t型- s、 （5）kRtkq≤ C和kRt- Rskq公司≤ C√t型- s、 （6）此外，当VT是由Hestonvolatility SDE驱动的唯一平稳过程且Ris固定时，方程（5）和（6）仍然成立。证据考虑一个递增过滤Wt，让Wt是一个关于Wt的渐进可测标准布朗运动。让X是所有连续过程{Xt}的集合，这些连续过程对于Wt是渐进可测的，对于Wt是非预期的。经典鞅不等式（见[19]中的方程（3.1））指出，对于每个正q，有一个通用常数Hqsuch，它适用于所有（Xt）∈ X和所有0≤ s≤ t、 E“ZtsXudWu公司q#≤ HqE“ZtsXuduq/2#，（7），表示hq=H1/qq，明显等同于ZtsXudWu公司q≤ 总部ZtsXudu问题2！1/2. （8） 修复q≥ 2，T>0。

设Rt，Vt为从任意固定V>0和R开始的Heston SDE的解。表示Ft和Gt分别由Bt和Bt对（Zt，Bt）生成的过滤。然后，波动率SDE的解Vt相对于Bt是可测量和非预期的。回报率SDE的解Rt相对于Zt是可测量和非预期的。接下来，首先应用（8），Wt=Ft，Wu=Bu，Xu=√Vu，然后第二次使用Wt=Gt，Wu=Zu，Xu=√Vu。这将产生0≤ s≤ t、 全部q≥ 2.ZtspVudBuq≤ 总部ZtsVudu问题2！1/2≤ 总部ZtskVukq/2du1/2, (9)ZtspVudZuq≤ 总部ZtsVudu问题2！1/2≤ 总部ZtskVukq/2du1/2. （10） 通过进一步证明的命题2，有一个常数CqkVtkq≤ CQ表示所有t。因此（9）和（10）表示，kq=hq√cq/2，ZtspVudBuq≤ kq（t- s） 1/2，（11）ZtspVudZuq≤ kq（t- s） 1/2。（12） 整合Heston SDE（2），（3），我们得到VT- Vs=（t- s） κθ-κZtsVudu+γZtspVudBu，（13）Rt- Rs=（t- s） u+ZtspVudZu。（14） 由于（11），（12），这意味着0≤ s≤ t型≤ T，kVt- Vskq公司≤ αq（t- s） 1/2和kRt- Rskq公司≤ δq（t- s） 1/2（15）带δq=√Tu+kq和αq=√Tκ（θ+cq）+γkq。这证明了（5）V>0且固定。当波动率vt是固定的，只有R固定时，完全相似的证明成立。2.4已实现波动率和实际波动率每日或日内市场数据提供离散时间t下的观察到的资产价格，因此提供了回报率Rt的离散版本，但无法直接观察到或从市场数据中精确得出即期方差vt，因此无法观察到。

然而，对于每一个小的ε>0，VT的可观察近似值是由已实现的波动率Yεt提供的，根据离散化的回归率计算得出。划分每个滑动时间窗口Wεt=[t- ε、 t]在J（ε）等间隔内，我们定义J（ε）+1时间瞬间tn=t- ε+nε/J（ε），对于n=0，J（ε）。然后通过公式εt=εJ（ε）Xn=1（Rtn）计算实现的挥发度Yε皮重- Rtn公司-1). （16） 我们将始终假设分区大小J（ε）veri fieslimε→0J（ε）=+∞.3[13]中所示的实际挥发率对赫斯顿挥发率的Lq近似值，当ε→ 0时，已实现的波动率Yεt必须收敛于Vtin L。对于Heston SDESW，现在将此结果推广到所有q的lqf收敛≥ 2，具有LQ收敛速度的估计。定理1。确定Heston SDEs（2）、（3）得出的回报率Rt和平方波动率Vtdrivenb的任何起点V>0和Rf。修复T>0和任意偶数整数q≥ 2、然后是常数c（q），对于任何ε>0和分区尺寸J（ε）的选择，以及任何t<t，由（16）verifykYεt定义的实现挥发度Yεtde- Vtkq≤ cJ1/q（ε）+ε1/2. （17） 因此，当ε→ 0和J（ε）→ ∞, Yεt收敛到Vtin Lq，均匀大于0≤ t型≤ T此外，如果对某个固定的a>0施加J（ε）>（a/ε）q/2，则具有thenkYεt- Vtkq≤ c1 + 1/√一ε1/2.证据回想一下一个众所周知的引理，很容易被重复证明。引理1。对于每个整数q≥ 1和任意随机变量W，Wqin Lq，一个有E[WW…Wq]≤ kWkqkWkq。kWqkq。（18） 对于每个q，通过（5）和（6）固定T>0，V>0，R≥ 1，存在一个常数cq，使得对于0≤ s≤ t型≤ 音调haskVtkq+kRtkq≤ CQ和kVt- Vskq+kRt- Rskq公司≤ Cq（t- s） 1/2。（19） 首先假设Heston SDE（2）中的参数u=0表示收益。

然后Rt-Rs=Rts√VudZu，andby Ito公式，（Rt- Rs）=ZtsVudu+2Zts（Ru- Rs）pVudZu。因此，变量D（s，t）由D（s，t）=（Rt）定义- 卢比）-ZtsVudu（20）必须验证（D（s，t）| Gs）=0。（21）此外（19）givesk（Rt- Rs）kq=（kRt- Rsk2q）≤ C2q（t- s） （22）因此（20）yieldskD（s，t）kq≤ k（Rt- Rs）kq+ZtskVukqdu≤ bq（t- s） （23）bq=C2q+Cq。对于每个ε>0，选择分区大小J（ε），并分区滑动窗口[t- ε、 t]按时间点tn=t- ε+nε/J，n=0，J、 已实现挥发率YεtYεt=JXn=1（Rtn）的召回公式（16- Rtn公司-1） 。研究Yεt- 我们引入分解εt- Vt=H（t，ε）+K（t，ε）。（24）其中，H（t，ε）和K（t，ε）是定义的灰分（t，ε）=Yεt-εtZt-εVudu和K（t，ε）=εtZt-εVudu- Vt.（25）我们可以重写K（t，ε）asK（t，ε）=εtZt-ε（Vu- 这意味着kk（t，ε）kq≤εtZt-εkVt- Vukqdu。方程式（19）给出了界限kVt- Vukq≤ Cq（t- u） 1/2适用于u≤ t型≤ T和hencekK（T，ε）kq≤CqεtZt-ε（t- u） 1/2du=Cqε1/2。（26）我们现在研究H（t，ε）。定义UNF n=1，J byUn=D（tn-1，tn）=（Rtn- Rtn公司-1)-tnZtn公司-1Vudu。（27）公式（25）则直接表示h（t，ε）=εJXn=1Un。（28）从（23）和（27）中，我们获得了KUNKQ≤ bq（tn- 田纳西州-1） =bqεJ.（29）定义多项式Q=Q（U，…，Un）byQ=Q（U，…，Un）=JXn=1Un！q、 （30）由于q是偶数，我们得到，由于（28），| H（t，ε）| q=H（t，ε）q=εqE[q]。（31）接下来，我们推导了（30）中定义的Q在E[Q]上的界。为此，我们首先定义了集合M≡ 所有多重整数的M（q，J）~M=（M（1），m（q））和所有m（k）∈ [1，J]。对于任何~ m∈ M用Q~M表示，单项式Q~M=Um（1）Um（2）。嗯（q）。然后，我们可以展开多项式Q，如下所示Q=JXn=1Un！q=X ~ m∈MQ~m。那么（31）等于| H（t，ε）| q=εX~m∈ME[Q ~ m]。（32）由于引理1和（29），我们得到了所有~m∈ ME（Q～m）≤ kUm（1）kq。kUm（q）kq≤bqεJq、 （33）上述界限适用于大多数~m∈ 但需要在M的特定子集上重新定义。