一个显式违约传染模型及其在信贷中的应用

在典型的首期利率为u（i）且掉期利差为s（i）的CDO第一期中，现金流如下：o（默认段）保护卖方承担（4.4）中给出的第L（i）（Xt）期损失。o（特优航段）保护买方支付u（i）pi=u（i）（pi- pi-1） 初始和s（i）(pi-L（i）（Xtk）-1))kat每个付款时间tk，其中k=1，···，m。因此，违约分期的价值必须与溢价分期的价值一致，这使得第一期的价差（i）乘以（i）=mPk=1e-rtkE公司L（i）（Xtk）- L（i）（Xtk）-1)- u（一）pimPk=1e-rtk公司pi- E[L（i）（Xtk-1)]k、 （4.5）式中，E表示风险中性概率测度P下的预期。请注意，在（4.5）中，我们假设违约仅发生在每个时间间隔的起点【ti-1，ti]。在文献中，每个时间间隔的终点和中点-1，ti]也被使用，参见，例如Mortensen（2006）、Erras等人（2010）以及Cont和Minca（2013）。然而，这些差异仅会对我们的校准结果产生轻微影响，但不会导致不同的结论。作为推论3.9和公式（4.2）和（4.4）的直接结果，在下面的命题中进一步计算了部分息差s（i）。提案4.4。

假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1和4.1成立。对于上述特定的CDO，我们有以下结果。（i） 第一期的息差s（i）由（4.5）给出，E【L（i）（Xtk）】由【L（i）（Xtk）】=NXn=0XF计算得出∈A（n）L（i）（F）Xπ∈∏（F/)bLπ（n）nXi=0α（n）i（π）·Ee-LFπi·RtkΦ（u，Yu）du,其中A（n）：={F∈ N：| F |=N}，L（i）由（4.4）给出，α（N）i（π）：=α（N）i（LFπ，LFπ，···，LFπN）由（3.10）给出，运算符L和bl由（3.7）和（3.9）定义。（ii）如果所有债务人的回收率Ri=R相同，则累积损失L（i）（Xtk）及其预期值分别为byL（i）（Xtk）=i（i）（| Xtk |），E[L（i）（Xtk）]=NXn=kVi-1k+1I（i）（n）XF∈A（n）Xπ∈∏（F/)bLπ（n）nXi=0α（n）i（π）·Ee-LFπi·RtkΦ（u，Yu）du,其中i（i）（n）：=1- 注册护士（n）- 不及物动词-（1）+- （n）- 六）+, Vi：=N1- R·pi，（4.6）和k-Vik是Vi.Proof的整数部分。它紧随推论3.9。此处省略计算。4.3定价示例在本小节中，我们简化了命题4.4在两种特定传染模型下的结果：（1）命题4.6中的同质传染模型（HCM）和（2）命题4.8中的近邻传染模型（NCM）。这两种模型都是假设3.7中强度模型的特例。假设4.5（同质传染模型）。假设强度族λ由假设3.7给出。我们进一步假设违约传染在债务人之间是同质的。具体而言，对于所有i 6=j，Φ（t，y）=y和h（n）=e，weassumeρij=ρ-δn，其中δ为常数，可解释为传染恢复率。假设4.5中引入的同质传染模型（HCM）与inFrey和Backhaus（2010）以及Laurent et al。

（2011），其中作者仅通过齐次泊松过程指定其违约强度λ，而我们的违约强度λ族由两个分量组成：一个来自宏观经济因子Φ，另一个来自集团间传染矩阵（ρij）。对所有异质组间传染进行建模会导致大规模的参数和数值问题，例如模型参数校准的计算效率和鲁棒性损失。因此，我们在数值研究中将主要局限于HCM。我们注意到，对于iTraxx和CDX等大型指数上的CDO份额，HCM是一个合理的假设，尽管这可能与特殊风险起着重要作用的股票份额不同。在上述HCM下，我们得到以下结果。提案4.6。假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1、4.1和4.5成立。第i期的息差s（i）由（4.5）给出，预期E【L（i）（Xtk）】由EHL（i）（Xtk）i=N计算-1Xi=0Γi·expA（ai，0，tk）+yB（ai，0，tk）+ 1，其中泛函A，B来自引理4.3，A：=PNi=1βi，ak：=ρk（N- k） e类-对于所有i=0，1，···，N，k=1，···，N和Γiis定义的δk- 1，byΓi：=aNXn=最大值（i，kVi-1k+1）（n- 1)!（N）- 1)!（N）- n） 哦！ρn-1I（i）（n）e-δn（n-1） /2α（n）i（a，a，···，an）。证据有关证明，请参阅附录B.3。接下来，我们考虑近邻传染模型（NCM），其中每个债务人Oi只能影响其邻居Oi-1和Oi+1。我们在假设4.7中描述了该模型，并在命题4.8中获得了相关结果。假设4.7（近邻传染模型）。假设3.7给出强度族λ。我们进一步假设每个义务人Oi只能影响其邻居Oi-1和Oi+1。

具体来说，我们设置Φ（t，y）=y，h（n）=e-δ与ρji=p、 如果{i=j+1，1≤ j≤ N- 1} 或{j=N和i=1}q，如果{i=j- 1, 2 ≤ j≤ N} 或{j=1，i=N}0，否则p>0，q>0，δ是常数。提案4.8。假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1、4.1和4.7成立。第一期的息差s（i）由（4.5）给出，预期E【L（i）（Xtk）】由EHL（i）（Xtk）i=1+和-1Xn=kVi-1k+1AnBn+aANBN，其中a：=NPi=1βi，aN=0，ak：=e-k=1，2，···，N时的δk（p+q）- 1，andAn：=I（I）（n）e-δn（n-1） /2（p+q）n-1，Bn：=nXi=0α（n）i（a，···，an）exp{a（ai，0，tk）+yB（ai，0，tk）}，n=1，···，n- 1，BN：=N-1Xi=0α（N）i（a，···，aN）exp{a（ai，0，tk）+yB（ai，0，tk）}，泛函a，B如引理4.3所示。证据证据见附录B.4.5数值研究。在第5.1节中，我们演示了如何应用命题4.6和4.8的理论结果计算CDO指数和份额利差，并以Toye为例计算附着/分离时间。此外，我们还进行了敏感性分析，以调查各种模型参数对分期付款利差的影响。在第5.2节中，我们主要侧重于根据市场数据校准同质传染模型，并验证我们新的违约风险模型的实际应用。在本节中，强度系列λ和宏观经济因子Y在假设4.1中进行了规定。我们在研究中考虑了两种特定的违约模型，即假设4.5中的同质传染模型（HCM）和假设4.7中的近邻传染模型（NCM）。

我们为我们的默认传染模型选择以下基本参数债务人数量为N=125（例如，iTraxx的构成）；无风险利率isr=5%；CDS保费按季度支付，即：。，k≡ 1/4 := ; 所有债务人的回收率相同，R=40%。o（4.1）给出的Y的α跳跃扩散过程的参数为κ=0.6、θ=0.02、σ=0.141、l=0.2和u=0.1，这些参数取自Du ffe和Garleanu（2001）的表2在HCM中，我们设置ρ=0.05，δ=-0.008，且a=0.35，这些参数的含义见假设4.5和命题4.6在NCM中，我们设置p=0.3，q=0.3，δ=-0.7，且'a=0.35，有关这些参数的含义，请参见假设4.7和命题4.8。本节中所有数值研究的编程代码均用Python编写，并在配备Intel（R）2.50 GHz处理器和8.0GB RAM的Thinkpad PC上执行。5.1敏感性分析我们首先使用命题4.6（针对HCM）和命题4.8（针对NCM）中的公式计算5年期CDO份额利差，并将其列在bp中（1bp=10-4） 在表1中。在本例中，我们采用了与iTraxx Europe相同的附加点，并将前期利率从500个基点设置为0个基点，从股权部分设置为超级高级部分。预付款是艺术性的，仅用于说明目的。例如，iTraxx Europe的股权利差是以百分比报价的tranchenominal的前期溢价，加上500个基点的运行费。在本例中，由于 = 0.25，到期日为5年，付款数量为m=20。HCMand和NCM的CPU运行时间分别为5.73秒和2.41秒。表1:HCM和NCM牧场预付利率（bp）HCM下的5年期CDO部分利差。利差（bp）NCM。

扩散（bp）[0，3%]500 1002 418[3%，6%]400 840 190[6%，9%]300 795 211[9%，12%]200 777 235[12%，22%]100 739 259[22%，60%]0 619 283接下来，我们计算HCM下的附着和脱离时间（以年为单位）。从表2中的结果来看，我们观察到，股权部分将在半年内遭受损失，并在1.25年内被消灭。然而，更高的份额【12%、22%】和【22%、60%】需要几十年才能被消灭。表2:HCM分支机构下的依附和分离时间分离违约债务人依附时间（年）分离时间（年）[0，3%]6 0.5 1.25[3，6%]13 1.25 1.75[6，9%]19 1.75 2.25[9，12%]25 2.25 3[12，22%]46 3 11[22，60%]125 11 294然后我们重点分析HCM下CDO部分利差的各种因素的敏感性。在敏感性研究中，我们每次只调查一个因素，并保持其他因素与基本参数设置中相同。我们考虑的因素是违约传染率ρ、传染恢复率δ、支付次数m、违约恢复率R、宏观经济均值回复率κ和波动率σ。为了便于说明，我们为所有贷款选择预付利率u（i）=0。根据图1中的图表，我们得出以下结论。o除了宏观经济波动率σ外，CDO部分利差对此处考虑的所有因素都非常敏感在所有考虑的六个因素中，只有违约传染率ρ与分期付款利差呈正相关，而其他因素则呈负相关分期付款利差对违约传染率ρ和传染恢复率δ具有极强的弹性。人们可以将δ解释为政府干预或集团的自我恢复率。

与其他份额相比，权益份额对δ的敏感性较低。图1:HCMLast下CDO部分利差的敏感性分析，我们研究违约债务人的数量如何随时间变化，涉及四个因素ρ、δ、κ和σ。结果如图2所示。我们发现，违约传染率ρ的增加导致违约债务人的增加，因为ρ直接衡量违约传染率。同时，当δ、κ或σ增加时，违约义务人的数量减少，因为这减轻了传染的严重程度。图2:HCM5.2市场校准下违约债务人数量的演变在第5.1节中，基本参数是预先选择的，而不是使用市场数据进行校准。在本小节中，我们使用2007年5月11日观察到的CDX北美高收益（CDX.NA.HY）指数的市场数据及其利差来校准违约强度系列∧的参数。CDX。不适用。HY指数由等权N=100的债务人组成，其附件点为0、10、15、25、35。前两部分【0、15】和【15、25】按预付费的百分比报价，而其他部分按连续价差费用的百分比报价。我们使用Giesecke和Kim（2007）的数据。在剩下的研究中，我们只考虑假设4.5中引入的同质传染模型（HCM），因为近邻传染模型（NCM）不能很好地拟合市场数据。因此，我们打算使用CDX。不适用。HY市场数据估计参数vectorx=（a，ρ，δ，κ，θ，σ，u，l，y）。为了获得最佳的fit^x，我们解决了以下最小化问题minx∈ΘXi=1T rache imodel- rache imarket rache imarket！，式中，Θ=（0，2）×（0，2）×(-2, 1) × (0, 7) × (0, 7) × (0, 0.4) × (0, 5) × (0, 1) × (0, 10).rache imodelis第一期在HCM下的价差（见提案4.6）。

T rache imarketis是i\'sbid-ask报价的平均值，其中i=1、2、3、4，T rache 5市场是CDX。不适用。HY索引。我们同时考虑5Y和7Y CDX。不适用。校准中的HY指数。我们应用Python Scipy包中构建的顺序Leatsquares编程（SLSQP）方法来解决上述最小化问题。用于雅可比矩阵数值近似的步长设置为1.49e-10，停止准则的最小值的精度目标为1e-15。我们首先将模型参数分别校准为两个指数，并将结果列在表3中。5Y CDX的校准最佳参数。不适用。HY为a=1.135，ρ=0.00258，δ=0.0149，κ=0.958，θ=0.680，σ=0.125，u=2.380，l=0.236，y=0.998。7Y CDX的校准最佳参数。不适用。HY是a=1.199，ρ=0.00356，δ=0.00950，κ=1.400，θ=0.884，σ=0.382，u=0.362，l=0.320，y=1.000 5Y和7YCDX的平均绝对百分比误差（AAPE）。不适用。HY指数分别为4.36%和4.73%，均处于合理水平，因为市场价格中包含了流动性风险和做市商溢价。与Mortensen（2006）一样，我们也认为很难排除细分市场或市场效率造成的供需影响，或许不应预期市场价格会完全上涨。接下来，我们使用两个指标的联合数据并重新进行校准。结果见表4。在联合校准的情况下，最佳模型参数为a=1.0372，ρ=0.00558，δ=0.0264，κ=1.219，θ=0.898，σ=0.375，u=2.495，l=0.155，y=4.063。在自上而下和自下而上的方法下，系统性和特质性默认风险的贡献是独立的。准确地说，假设个人违约强度采用Geesecke et al.（2011）的形式，在他们的研究中考虑类似的可行区域。

更改可行区域Θ只会对校准产生轻微影响。表3：5Y和7Y CDX的单独校准。不适用。HY Indexetranche 5Y Bid 5Y Ask 5Y Model 7Y Bid 7Y Ask 7Y Model[0，10%]70.50%70.75%66.70%80.13%80.38%78.39%[10，15%]34.50%32.89%55.50%55.75%53.44%[15，25%]316.00 319.00 337.72 582.00 587.00 626.24[25，35%]79.00 81.00 78.82 180.00 183。00 180.07指数262.85 263.10 248.00 307.50 307.75 278.43MinObj 0.011 0.016AAPE 4.36%4.73%表4：5Y和7Y CDX的联合校准。不适用。HY Indexetranche 5Y Bid 5Y Ask 5Y Model 7Y Bid 7Y Ask 7Y Model[0，10%]70.50%70.75%67.22%80.13%80.38%77.61%[10，15%]34.50%33.72%55.50%55.75%54.26%[15，25%]316.00 319.00 342.02 582.00 587.00 604.84[25，35%]79.00 81.00 77.46 180.00 183.00 174.16指数262.85 263.10 245.87 307.50 307.75 273.66MinObj 0.031AAPE 4.83%λi（t）=常数·λ（t）+λi（t），其中λ和i是分别代表系统和向斜成分的独立过程，见Mortensen（2006）。我们的数值研究表明，系统违约风险与违约传染风险（由个人传染率矩阵（ρij）i，j∈在我们的框架下），即使没有个人特质因素，也可能是总违约风险的主要组成部分。这一关键发现与Jorion和Zhang（2007）的结论一致。对于单名CDS，个人特质风险可能起着关键作用；而对于CDX和iTraxx等CDS指数，特殊风险在聚合故障影响中不太显著。最后，我们关注HCM中的一个重要参数，违约传染率ρ，见假设4.5。使用5Y和7Y CDX的单独校准参数（ρ除外）。不适用。HYindexes，我们计算隐含违约传染率ρ，并在表5中给出相应部分的结果。

请注意，第一期的隐含ρ是求解方程（i），模型（ρ）=s（i），市场的ρ，类似于看涨期权/看跌期权的隐含波动率。我们观察到隐含违约传染率ρ的“微笑”模式，类似于期权的波动性“微笑”和CDX份额的隐含相关性“微笑”，见O\'Kane和Livesey（2004）。一种可能的解释是，CDO部分是细分的，每个部分都包含多种影响，包括系统性和特殊性信贷风险、流动性影响以及某些部分的供求关系。表5：隐含违约传染率ρ5Y期隐含ρ7Y隐含ρ[0，10%]0.0027 0.010[10，15%]0.00092 0.0082[15，25%]0.0026 0.0075[25，35%]0.0026 0.0072指数0.0027 0.00826结论我们提出了一个新的信用风险建模违约传染框架，该框架考虑了债务人之间的动态传染效应和宏观经济因素的影响。我们考虑了一组可违约债务人，并通过集值马尔可夫过程X=（Xt）对违约过程进行建模，其中Xt是时间t前已违约的所有债务人的集合。我们能够以显式形式推导违约过程X的动态，并将结果应用于获得信用债务义务（CDO）的分析定价公式。在我们的一般框架内，研究了齐次传染模型（HCM）和近邻接触模型（NCM）作为特例。在数值研究中，我们展示了如何轻松编程分析定价结果来计算分期付款价差，并研究了各种模型因素对分期付款价差的影响。此外，我们使用5Y和7Y CDX。不适用。HY市场数据用于校准HCM并验证我们新框架的实际应用。该模型适用于5Y和7Y CDX。不适用。Hytrance的价差和指数相当不错。