一个显式违约传染模型及其在信贷中的应用

根据命题A.4的断言（i），我们推导出，对于任何F∈ N和0≤ s<t，thatP[Xt=F | FXs∨ FYt]=XEF{Xs=E}P[Xs=E，Xt=F | FYt]P[Xs=E | FYt]=XEF{Xs=E}·G（s，t；E，F），证明了（3.2）。要显示（3.3），请注意，对于任何有界FYt可测ξ，Eh{Xt=F}ξFXs公司∨ FYsi=EhEh{Xt=F}ξFXs公司∨ FYti公司FXs公司∨ FYsi=XEF{Xs=E}EhξG（s，t；E，F）FXs公司∨ FYsi=XEF{Xs=E}EhξG（s，t；E，F）1{Xs=E}FYsiP[Xs=E | FYs]=XEF{Xs=E}EhξG（s，t；E，F）G（0，s；, E）FYsiG（0，s；, E） =XEF{Xs=E}EhξG（s，t；E，F）FYsi。这就结束了定理3.5的证明。推论3.9的证明依赖于以下引理。引理B.1。设z（·）是定义在R＋上的非负函数，z（·，·）是由z（s，t）：=Rtsz（h）dh给出的R＋×R＋上的非负函数。设l，l，···，Ln为n+1实数，其中n为正整数。对于任何0≤ s<t，确定序列（Hm）m=0,1，···，nbyHm（s，t；l，···，lm）=Ztse-lmZ（u，t）·Hm-1（s，u；l，···，lm-1） dZ（s，u），m=1，2，···，n和H（s，t；l）=e-lZ（s，t）。然后，hm可以减少到hm（s，t；l，···，lm）=mXi=0α（m）i（l，···，lm）e-liZ（s，t），（B.1），其中（α（m）i）s在（3.10）中定义。证据我们用归纳法证明了这个引理。k=0的基本情况很简单。接下来假设（B.1）对k=0，1，···，m成立，其中m<n。关于Hm+1，我们有Hm+1（s，t；l，···，lm+1）=Ztse-lm+1Z（u，t）Hm（s，u；l，···，lm）dZ（s，u）=mXi=0α（m）i（l，···，lm）Ztse-lm+1Z（u，t）e-liZ（s，u）dZ（s，u）=mXi=0α（m）i（l，···，lm）e-lm+1Z（s，t）Ztse-（李-lm+1）Z（s，u）dZ（s，u）=mXi=0α（m）i（l，···，lm）e-lm+1Z（s，t）lm+1- 李e-（李-lm+1）Z（s，t）- 1.=mXi=0lm+1- liα（m）i（l，···，lm）e-liZ（s，t）-mXi=0lm+1- liα（m）i（l，···，lm）e-lm+1Z（s，t）=mXi=0α（m+1）i（l，···，lm，lm+1）e-liZ（s，t）-mXi=0α（m+1）i（l，···，lm+1）e-lm+1Z（s，t）=m+1Xi=0α（m+1）i（l，···，lm，lm+1）e-liZ（s，t），其中在最后一个等式中，我们使用了方程α（m+1）m+1：=-Pmi=0α（m+1）i（l，···，lm+1）in（3.10）。

然后完成防护。B、 2推论的证明3.9证明。很容易看出，对所有人来说（E，F）∈ N++带| F/E |=N和π∈ π（F/E），λFπkFπk+1（t）=LFπk（πk+1）Φ（t，Yt），λFπk（t）=-λFπkFπk（t）=LFπkΦ（t，Yt）。从引理B.1的（B.1）开始，通过设置z（t）=Φ（t，Yt）表示所有t≥ 0和li=LFπi，我们得到hn（s，t；Fπ，···，Fπn）=n-1Yk=0LFπk（πk+1）Hn（s，t；LFπ，··，LFπn）=bLπ（n）nXi=0α（n）i（LFπ，··，LFπn）exp-LFπiI（s，t）=bLπ（n）nXi=0α（n）i（π）exp-LFπiI（s，t）,式中，I（s，t）=RtsΦ（u，Yu）du。上述等式以及定理3.5的结果完成了推论3.9的证明。B、 3命题证明4.6证明。对于任何F∈ N，其中| F |=N，π=（π，···，πN）∈ ∏（F/), 我们有blπ（n）=（n- 1)!ρn-1e级-δn（n-1） /2βπ和LFπk=ak，k=0，1，···，N。此外，回忆A（N）={F∈ N：| F |=N}，我们有xf∈\\Xπ∈∏（F/)βπ=NXi=1βi（n- 1） 哦！中国大陆-1N-1=a（N- 1)!（N）- n） ！，对于任何双索引序列（wnj），j，n，NXn=kVi-1k+1nXj=0wnj=NXj=0NXn=最大值（j，kVi-1k+1）wnj，其中Vi-1=N1-Rpi公司-1和k Vi-1k是Vi的整数部分-1、召回I（I）（·）由第4.4条第（4.6）款定义。利用上述结果，我们得出：L（i）（Xtk）]=NXn=kVi-1k+1XF∈A（n）I（I）（n）Xπ∈∏（F/)（n）- 1)!ρn-1e级-δn（n-1） /2βπnXi=0α（n）i（a）Ehe-aiI（0，tk）i=NXn=kVi-1k+1I（i）（n）（n）- 1)!ρn-1e级-δn（n-1） /2nXi=0α（n）i（a）Ehe-所有（0，tk）iXF∈A（n）Xπ∈∏（F/)βπ=NXn=kVi-1k+1I（i）（n）（n）- 1)!ρn-1e级-δn（n-1） /2nXi=0α（n）i（a）Ehe-所有（0，tk）ia（N- 1)!（N）- n） =NXi=0Ehe-aiI（0，tk）iaNXn=最大值（i，kVi-1k+1）I（I）（n）（n）- 1)!（N）- 1)!（N）- n） 哦！ρn-1e级-δn（n-1） /2α（n）i（a），=n-1Xi=0Ehe-所有（0，tk）iΓi+a（（N- 1)!)ρN-1I（i）（N）e-δN（N-1） /2α（N）N（a），其中（a）：=（a，a，···，an）和I（0，t）=RtΦ（u，Yu）du。因为所有i=0，1，···，N的ai>0- 1，通过设置tk→ +∞, we derive1=limtk→+∞E[L（i）（Xtk）]=a（（N- 1)!)ρN-1I（i）（N）e-δN（N-1） /2α（N）N（a）。然后获得所需的结果。B、 4命题证明4.8证明。回想一下（3.9）中Lπ（n）的定义。

由于NCM模型的传染结构，每个盲蝽只会影响其最近的两个邻居。因此，只有当F是圆{1的连续序列时，bLπ（n）才是非零的→ 2.→ 3.→ · · · → N→ 1} 。用S（i）表示有元素且以1+i%N开始的序列，即S（i）={1+i%N，1+（i+1）%N，···，1+（i+N- 1） %N}。这里，%表示两个整数的余数。我们有：Xπ∈∏（S（i）/)bLπ（n）=Xπ∈∏（S（i）/)n-1Xj=0{π=1+（i+j）%N}bLπ（N）=e-δn（n-1） /2n-1Xj=0β1+（i+j）%NCjn-1pn-1.-jqj，其中Cknis是从n个元素中取出k个不同元素的组合数。利用上述结果，我们导出了xf∈A（n）Xπ∈∏（F/)bLπ（n）=NXi=1Xπ∈∏（S（i）/)bLπ（n）=e-δn（n-1） /2NXi=1n-1Xj=0β1+（i+j）%NCjn-1pn-1.-jqj=e-δn（n-1） /2NXi=1β英寸-1Xj=0Cjn-1pn-1.-jqj=(R)ae-δn（n-1） /2（p+q）n-注意，我们有lfπ=L=NXi=1βi=a，LFπN=LN=0=aN，LFπk=Xi∈（Fπk）cbLFπk（i）=e-δkXi∈（Fπk）cXj∈Fπkρji=e-δk（p+q）：=ak，对于所有k=1，2，···，N- 1、现在我们准备根据命题A的断言（ii）计算E[L（i）（Xtk）]。4E[L（i）（Xtk）]=NXn=kVi-1k+1XF∈A（n）I（I）（n）Xπ∈∏（F/)bLπ（n）nXi=0α（n）i（(R)an）Ehe-aiI（0，tk）i=NXn=kVi-1k+1I（i）（n）nXi=0α（n）i（(R)an）Ehe-所有（0，tk）iXF∈A（n）Xπ∈∏（F/)bLπ（n）=NXn=kVi-1k+1I（i）（n）e-δn（n-1） /2a（p+q）n-1nXi=0α（n）i（(R)an）Ehe-所有（0，tk）i=aN-1Xn=kVi-1k+1I（i）（n）e-δn（n-1） /2（p+q）n-1nXi=0α（n）i（(R)an）Ehe-aiI（0，tk）i+aI（i）（N）e-δN（N-1） /2（p+q）N-1N-1Xi=0α（N）i（(R)aN）Ehe-aiI（0，tk）i+α（N）N（\'aN）！，其中，在上面的最后一个等式中，我们使用factaN=0，and（\'an）：=（a，a，···an）表示正整数n。因为ai>0表示所有i=0，1，···，n-1、让tk→ +∞, 它给出1=limtk→+∞E[L（i）（Xtk）]=aI（i）（N）E-δN（N-1） /2（p+q）N-1α（N）N（(R)aN）。这就完成了证明。参考Bielelcki，T.R.，Cr'epey，S.，和Herbertsson，A.（2011）。组合信用风险的马尔可夫链模型。在《牛津信用衍生品手册》中。Black，F.和Cox，J.C.（1976年）。

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