一个显式违约传染模型及其在信贷中的应用

我们的经验发现支持系统性违约风险加上债务人之间的违约传染可能是总违约风险的主要组成部分，这与Jorion和Zhang（2007）的结果一致。附录A缺省过程XIn的构造与表征本节，在假设3.1和3.2下，我们通过附录A.1中的对（τn，Xτn）n=0,1，·····，构造缺省过程X，并分别证明附录A.2中X的条件马尔可夫性和附录A.3中X的鞅性。定理3.4紧接着X的构造完成，并显示了马尔可夫和鞅的性质。回想一下N={1，2，···，N}，其中N是群中债务人的数量，N是N的σ-代数，由N的所有子集组成。为了继续，我们进行以下定义：N+：={（E，F）：E，F∈ N和E F}，N++：={（E，F）∈ N+：E 6=F}，E+（i）：=E∪ {i} ，E-（i） ：=E/{i}，对于所有i∈ N和E∈ N、 在完全概率空间下(Ohm, C、 P），给出了一个外生Rd值随机过程Y。假设一类泊松过程M={（MEF（t））t≥0：（E，F）∈ 根据假设3.1，强度为1的N++}。作为假设3.1的直接结果，过程y和MEFare对所有（E，F）都是相互独立的∈ N++。此外，一系列过程∧：=（λEF（t））t≥0，满足假设3.2中规定的所有条件。对于任何0≤ s≤ t和E，F∈ N、 设∧EF（s，t）：=∧EF（t）- ∧EF（s）=RtsλEF（u）du，并定义过程cMEF=（cMEF（t））t≥0bycMEF（t）：=MEF（λEF（t）），带（E，F）∈ N++，且σ-字段低于f：=σcMEF（s）：0≤ s≤ t型∪ C-可忽略集合，FEF∞:=_t型≥0FEFt和F（n）∞:=_（E、F）∈N++：| F|≤nFEF公司∞.这里是操作员∈由所有索引（Hi）i生成的sigma代数的indexHistands∈索引（索引集可以是不可数的）。

回忆假设3.2，如果F 6=E+（i），其中i∈ Ec，则所有t的Cmef（t）=0≥ 下面关于CMEF的命题很容易检查，因此省略了证明。提案A.1。假设3.1和3.2成立。processcMEF，其中（E，F）∈ N++，满足以下特性：（i）对于任何∈ N、 我∈ Ec，整数n≥ 0和0≤ s<t，PhcMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（s）=n财政年度∞_费用+（i）ti=PhcMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（s）=n财政年度∞i=经验值-∧EE+（i）（s，t）×（λEE+（i）（s，t））nn！。（ii）对于任何E∈ N、 我∈ Ec，整数m，n≥ 0和0≤ s<t<u，PhcMEE+（i）（u）-cMEE+（i）（t）=m，cMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（s）=n财政年度∞i=经验值-∧EE+（i）（s，u）×（λEE+（i）（t，u））mm！×（λEE+（i）（s，t））nn！。（iii）对于任何（E，F），（E，F）∈ N++和（E，F）6=（E，F），cMEFandcMEFare条件依赖于FY∞.基本上，命题A.1表明，对于任何固定的E∈ N和i∈ Ec，过程CMEE+（i）为FY∞-强度为∧EE+（i）的条件非齐次泊松过程。A、 1缺省过程XIn的构造本小节，我们通过对（τn，Xτn）n=0,1，····，n的归纳来构造缺省过程X。回想一下，在我们的框架下，τ是第n个缺省时间，Xτ是在时间τn之前违约的债务人集。一旦为所有n=0，1，·····，n构造了（τn，Xτn），我们遵循（2.1）并定义缺省过程X，下一步：=Xτn，如果τn≤ t<τn+1，其中τ=0，τn+1=+∞. 注意，对于所有t，Xt=N≥ τN。下面的归纳算法允许我们为该对构造一个序列（τN，XτN）N=0,1，····，N。步骤1。按照惯例，设τ=0，Xτ=0。第2步。假设（τn，Xτn）定义为n<n，并满足（i）τ和Xτnare F（n）∞-可测量，P[τn<+∞] = 1.（ii）P[| Xτn |=n]=1。第3步。

对于任何E∈ N，其中| E |=N<N，且i∈ Ec，定义τn+1（E，i）：=影响>τn：cMEE+（i）（t）6=cMEE+（i）（τn）o，τn+1：=XE∈N： | E |=N{XτN=E}·min{τN+1（E，i）：i∈ Ec}，Xτn+1：=E∪ {i∈ Ec：τn+1=τn+1（E，i）}，给定{Xτn=E}。直观地说，τn+1（E，i）是债务人Oi的默认时间，因为集合E中的债务人已经违约，其中i∈ 欧共体。τn+1是第（n+1）个默认时间，假定默认过程为τnisXτn。值得指出的是，集合{i∈ Ec：τn+1=τn+1（E，i）}不是空的，因为n是有限的。下面的引理完成了（τn，Xτn）的定义。引理A.2。假设3.1和3.2成立。对于任意整数1≤ n<n，假设（τi，Xτi）i=0,1，···，如上述算法步骤2所定义，以下两个断言成立：（i）τn+1和Xτn+1都是F（n+1）∞-可测量的（ii）P[τn+1<+∞] = 1和P[| Xτn+1 |=n+1]=1。证据（i） 自τnand Xτnare F（n）∞-可测量，τn+1为F（n+1）∞-可通过施工测量。对于anyE∈ N、 我们有{XτN+1=E}=[i∈E{Xτn=E-（i） ，Xτn+1=E}=[i∈E{Xτn=E-（i） ，τn+1=τn+1（E-（i） ，i）}∈ F（n+1）∞.因此，我们得出结论Xτn+1为F（n+1）∞-可测量的（ii）显示P[τn+1<+∞] = 1，可以证明P[τn+1（E，i）=+∞] = 0表示所有E∈ N安迪∈ 欧共体。自P[τn<+∞] = 1，我们得到p[τn+1（E，i）=+∞] = 限制→+∞P[τn+1（E，i）>t>τn]=极限→+∞Pht>τn，cMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（τn）=0i≤ 限制→+∞EhPhcMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（τn）=0财政年度∞ii=极限→+∞E经验值-∧EE+（i）（τn，t）= 0，在推导最后一个等式时，我们假设∧EE+（i）（s，t）→ +∞ 作为t→ +∞.对于任何E∈ N，其中| E |=N，i，j∈ 当i 6=j时，命题A.1的断言（iii）意味着Cmee+（j）是FY∞-条件独立于Mee+（i）。

因此，对于所有i，j，我们有P[τn+1（E，i）=τn+1（E，j）]=0∈ Ecand i 6=j，thusP[| Xτn+1 |=n+2]=XE：| E |=nXi，j∈Ec，i6=jP[Xτn=E，Xτn+1=E∪ {i，j}]≤XE：| E |=nXi，j∈Ec，i6=jP[Xτn=E，τn+1（E，i）=τn+1（E，j）]=0。相同的参数导致P（| Xτn+1|≥ n+3）=0。然后，我们得出结论，P[| Xτn+1 |=n+1]=1。证据到此为止。在此阶段，默认进程X的构建完成。在我们继续展示X的马尔可夫性质之前，我们在下面的命题中给出了基本的结果，这是下一小节中的命题的关键。续集中使用了以下符号：Gn：=σ{τ，Xτ；···；τn，Xτn}，λE（t）：=-λEE（t）和∧E（t）：=-∧EE（t）。（A.1）提案A.3。假设3.1和3.2成立。使用上述归纳算法构造的序列（τn，Xτn）n=0,1，····，n满足以下性质：（i）Xτn Xτn+1对于所有n=0，1，···，n- 独立泊松过程不会同时跳变。（ii）对于所有n=0，1，···，n- 1和t≥ 0，Pτn+1- τn>t | FY∞∨ Gn公司= 经验值-Zτn+tτnλXτn（u）du,和P[τn+1>t | FY∞∨ Gn]·1{τn≤t} =经验值-ZtτnλXτn（u）du· 1{τn≤t} 。（iii）对于所有s≥ 0，F∈ N，其中| F |=N+1，其中N=0，1，···，N- 1，P[Xτn+1=F，τn+1∈ ds | FY∞∨ Gn]=1{τn≤s} λXτnF（s）exp-ZsτnλXτn（u）duds，即对于N×R+，E上的任何可测函数f（·，·）f（Xτn+1，τn+1）| FY∞∨ Gn公司=XF车型∈N、 | F |=N+1Z+∞f（f，s）1{τn≤s} λXτnF（s）e-RsτnλXτn（u）duds。证据

（i） 这是显而易见的。（ii）对于任何E N，其中| E |=N，因为{cMEE+（i）（t）：i∈ Ec}为FY∞-条件独立关闭（n）∞, 我们得到{Xτn=E}Pτn+1- τn>t | FY∞∨ Gn公司= 1{Xτn=E}P“\\i∈Ec{τn+1（E，i）>τn+t}财政年度∞∨ Gn#=1{Xτn=E}P“\\i∈EcncMEE+（i）（τn+t）-cMEE+（i）（τn）=0o财政年度∞∨ Gn#=1{Xτn=E}exp(-xi∈Ec∧EE+（i）（τn，τn+t））=1{Xτn=E}exp{-∧E（τn，τn+t）}。第二个等式可以通过遵循相同的论点来证明。（iii）对于0≤ s<t，E∈ N，其中| E |=N，i∈ Ec，我们有p：=PhcMEE+（i）（s）-cMEE+（i）（τn）=0，cMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（s）>0，cMEE+（j）（t）-cMEE+（j）（τn）=0，j∈ Ec，j 6=i财政年度∞∨ Gni·1{τn≤s、 Xτn=E}≤ P[Xτn+1=E+（i），s<τn+1≤ 财政年度∞∨ Gn]1{τn≤s、 Xτn=E}≤ PhcMEE+（j）（s）-cMEE+（j）（τn）=0，j∈ Ec，j 6=i，cMEE+（i）（t）-cMEE+（i）（s）>0财政年度∞∨ Gni·1{τn≤s、 Xτn=E}：=P.自F起∈ N和| F |=N+1，我们有F=E+（i）=E∪ {i} 为了一些E和i∈ 欧共体。表示P（s，t；F）=e-∧EE+（i）（τn，s）1.- e-∧EE+（i）（s，t）Yj公司∈Ec，j6=iexp{-∧EE+（j）（τn，t）}，p（s，t；F）=1.- e-∧EE+（i）（s，t）Yj公司∈Ec，j6=iexp{-∧EE+（j）（τn，s）}。很容易看出P=1{τn≤s、 Xτn=E}·p（s，t；F）和p=1{τn≤s、 Xτn=E}·p（s，t；F）。因此，在集合{τn≤ s、 Xτn=E}，我们得到p（s，t；F）≤ P[Xτn+1=F，s<τn+1≤ 财政年度∞∨ Gn]≤ p（s，t；F）。

通过正则条件概率的存在，存在一个随机测度p（n），其中p（n）（ω，a）：Ohm ×N×B→ [0，1]，使得p（n）（ω，F×（s，t））等于p[Xτn+1=F，s<τn+1≤ 财政年度∞∨ Gn]（ω）。辛塞利姆特↓sp（s，t；F）t- s=极限↓sp（s，t；F）t- s=λXτnF（s）exp-ZsτnλXτn（u）du,我们得到，对于所有s>τn（ω），dp（n）（ω，F×ds）ds=λXτnF（s）exp-ZsτnλXτn（u）du.因此，对于N×R+上的任何可测函数f（·，·），E[f（XτN+1，τN+1）| FY∞∨ Gn]=XF∈N、 | F |=N+1Z∞τnf（F，s）p（n）（ω，F×ds）=XF∈N、 | F |=N+1Z∞τnf（F，s）λXτnf（s）exp-ZsτnλXτn（u）duds=XF∈N、 | F |=N+1Z∞f（f，s）1{τn≤s} λXτnF（s）exp-ZsτnλXτn（u）duds，完成了证明。A、 2 XIn的条件Markov性质和转移概率这一小节，我们的主要目的是展示缺省过程X的条件Markov性质，并刻画其转移概率。相关结论见命题A.4。提案A.4。假设3.1和3.2成立。按照附录A.1构建的默认流程X满足以下属性：（i）对于任何0=t≤ t<···<tn和任意集 = F F · · ·  Fn公司∈ N、 我们有p“N[i=1{Xti=Fi}财政年度∞#= P“n[i=1{Xti=Fi}FYtn#=n-1Yi=0G（ti，ti+1；Fi，Fi+1），（A.2），其中G在（3.4）中定义。（ii）（马尔可夫性质）。对于任何F∈ N和0≤ 我们有Xt=F | FXs∨ FYt公司= PXt=F |σ（Xs）∨ FYt公司.证据（i） 回顾（A.1）中定义的GN。我们首次展示，对于任何（E、F）∈ N+，A∈ G | E |和0≤ s<t，PA{Xs=E，Xt=F}| FY∞= G（s，t；E，F）·PA{Xs=E}| FY∞, （A.3）其中G在（3.4）中定义。假设| E |=m，| F/E |=n，其中0≤ m、 n个≤ N我们用归纳法证明（A.3）。步骤1：如果n=0，即e=F。

通过命题A.3的断言（ii），我们得到了A{Xs=E，Xt=F}| FY∞= EA{τm≤s、 Xτm=E}·Pτm+1>t | FY∞∨ 克财政年度∞= 经验值-ZtsλE（u）du· EA{τm≤s、 Xτm=E}exp-ZsτmλE（u）du财政年度∞= H（s，t；E）·EhA{τm≤s、 Xτm=E}P[τm+1>s | FY∞∨ 总经理]财政年度∞i=H（s，t；E）·PhA{τm≤ s<τm+1，Xτm=E}财政年度∞i=G（s，t；E，F）·P[A{Xs=E}| FY∞].步骤2：假设（A.3）适用于所有对（E，F）∈ N+，F/E |=k，其中0≤ k<N.现在考虑一对（E，F）∈ N+，F/E=k+1。

通过命题A.3的（ii）和（iii），我们推导出p[A{Xs=E，Xt=F}|FY∞]= EhA{Xs=E，τm+k+1≤t、 Xm+k+1=F}Pτm+k+2>t财政年度∞∨ Gm+k+1财政年度∞i=E“A{Xs=E}{Xτm+k+1=F，τm+k+1≤t} 经验值(-Ztτm+k+1λF（u）du）财政年度∞#=xi∈F/EEhA{Xs=E，Xτm+k=F-（i） }Zts{τm+k≤h} λF-（i） F（h）×exp(-Zhτm+kλF-（i） （u）du-ZthλF（u）du）dh财政年度∞i=Xi∈F/EZtsλF-（i） F（h）膨胀{-ZthλF（u）du}×EA{Xs=E，τm+k≤h、 Xτm+k=F-（i） }exp-Zhτm+kλF-（i） （u）du财政年度∞dh=Xi∈F/EZtsλF-（i） F（h）膨胀-ZthλF（u）du×EhA{Xs=E，τm+k≤h、 Xτm+k=F-（i） }Phτm+k+1>hGm+k∨ 财政年度∞iidh=Xi∈F/EZtsλF-（i） F（h）膨胀-ZthλF（u）duPA{Xs=E，Xh=F-（i） }| FY∞dh=Xi∈F/EZtsλF-（i） F（h）膨胀-ZthλF（u）duXπ∈∏（F-（i） /E）Hk（s，h；Fπ，···，Fπk）PA{Xs=E}| FY∞dh=P[A{Xs=E}| FY∞]xi∈F/EXπ∈∏（F-（i） /E）ZtsλF-（i） F（h）膨胀-ZthλF（u）duHk（s，h；Fπ，···，Fπk）dh=P[A{Xs=E}| FY∞]Xπ∈π（F/E）Hk+1（s，h；Fπ，··，Fπk+1）=G（s，t；E，F）P[A{Xs=E}| FY∞],这表明等式（A.3）适用于| F/E |=k+1。现在取A in（A.3）为A={Xti=Fi，i=1，···，n- 2} ∈ G | Fn-1 |，我们得到p“n[i=1{Xti=Fi}财政年度∞#= P[A{Xtn-1=Fn-1，Xtn=Fn}| FY∞]= G（tn-1，tn；Fn公司-1，Fn）PA{Xtn-1=Fn-1}财政年度∞= G（tn-1，tn；Fn公司-1，Fn）P“n-1[i=1Xti=Fi财政年度∞#=n-1Yi=0G（ti，ti+1；Fi，Fi+1）。（A.2）的第二个等式来自以下事实qn-1i=0G（ti，ti+1；Fi，Fi+1）是FYtn可测量的。这就完成了断言（i）的证明。（ii）注意∈ N和0≤ s<t，使用（i）中的（A.2），我们得出Xt=Fσ（Xs）∨ FYt公司=XE公司F{Xs=E}P[Xs=E，Xt=F | FYt]P[Xs=E | FYt]=XEF{Xs=E}·G（s，t；E，F）。因此，它足以证明，对于所有（E，F）∈ N+，即{Xs=E}P[Xt=F | FXs∨ FYt]=1{Xs=E}·G（s，t；E，F），或等效地， n≥ 1. s≤ t<t<···<tn≤ t、 E类 · · ·  恩 E、 和B∈ FYt，EhB{Xs=E，Xti=Ei，i=1，·····，n}G（s，t；E，F）i=P[B{Xs=E，Xti=Ei，i=1，······，n，Xt=F}]，这在（i）中很明显。

证明就完成了。A、 3 XIn的鞅性质在这一小节中，我们通过证明∧：=（λEF（t））t族完成了定理3.4证明的最后一部分≥0根据假设3.2的规定，是默认过程X的默认强度。关键结果总结在下面的命题中。提案A.5。对于任何F∈ N、 过程XF=（XF（t））t≥0，定义为xf（t）：=1F（Xt）-ZtλXuF（u）du是一个ˇF-鞅，其中ˇF=（ˇFt）t≥0：=（FXt∨ FYt）t≥0.证明。这足以证明，对于所有0≤ s≤ t、 E类∈ N、 带E F，即1{Xs=E}E[XF（t）- XF（s）|ˇFs]=0，即{Xs=e}e[1{Xt=F}- 1{Xs=F}|ˇFs]=1{Xs=E}EZtsλXuF（u）duˇFs.根据单调类定理，对于任何s<s<···<sn<s和E · · ·  恩 E、 在不失一般性的情况下，我们采用任意的∈ FYs，B={Xsi=Ei，i=1，···，n}，并显示eAB{Xs=E}ZtsλXuF（u）du= EAB公司{Xs=E，Xt=F}- 1{Xs=E，Xs=F}. （A.4）在下文中，我们将证明（A.4）适用于E=F和E的情况 F回顾（3.4）和（3.5）中定义的函数G和Hde。案例1：E F在不丧失一般性的情况下，我们假设| F |=| E |+m和m≥ 1.

然后，利用命题A.4中的（i）和（ii），我们得到AB{Xs=E}ZtsλXuF（u）du=Xk公司∈F/Eztshaehb{Xs=E，Xu=F-（k） }财政年度∞iλF-（k） F（u）idu+ZtsEhAEhB{Xs=E，Xu=F}财政年度∞iλF F（u）idu=Xk∈传真/传真AG（0，s；, E） ···G（（sn，s；En，E）ZtsλF-（k） F（u））G（s，u；E，F-（k） ）du+EAG（0，s；, E） ···G（（sn，s；En，E）ZtsλF F（u））G（s，u；E，F）du.取任意π=（π，···，πm）∈ π（F/E），回忆一下（Fπk）k=0,1、····、min（3.1）和λF F（u）=-λF（u），我们得到ztshm（s，u；Fπ，···，Fπm）λF（u）du=ZtsλF F（u）ZusλFπm-1Fπm（v）exp-ZuvλFπm（l）dl百米-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） dvdu=ZtsλFπm-1Fπm（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） Ztvexp-ZuvλF（l）dlλF F（u））dudv=ZtsλFπm-1Fπm（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1)经验值{-ZtvλF（l）dl}- 1.dv=ZtsλFπm-1Fπm（v）exp-ZtvλF（l）dl百米-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） dv-ZtsλFπm-1Fπm（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） dv=Hm（s，t；Fπ，···，Fπm）-ZtsλFπm-1F（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） dv。因此，ZtsλF F（u）G（s，u；E，F）du=Xπ∈π（F/E）ZtsHm（s，u；Fπ，···，Fπm）λF（u）du=Xπ∈π（F/E）Hm（s，t；Fπ··，Fπm）-Xπ∈π（F/E）ZtsλFπm-1F（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，Fπm-1） dv=G（s，t；E，F）-Xk公司∈F/EXπ∈∏（F-（k） /E）ZtsλF-（k） F（v）Hm-1（s，v；Fπ，···，F-（k） ）dv=G（s，t；E，F）-Xk公司∈F/EZtsλF-（k） F（v）G（s，v；E，F-（k） ）dv。最后，我们能够证明AB{Xs=E}ZtsλXuF（u）du= E[1AG（0，s；φ，E）G（s，s；E，E）··G（sn，s；En，E）G（s，t；E，F）]=EAP[Xsi=Ei，i=1，···，n，Xs=E，Xt=F | FY∞]= P[AB{Xs=E，Xt=F}]，完成了E的证明 F情况2：E=F。因为G（s，t；E，E）=H（s，t；E）=exp{-RtsλE（u）du}，我们导出AB{Xs=E}ZtsλXuF（u）du=中兴通讯AB{Xs=E，Xu=E}λEE（u）du=EAG（0，s；, E） ···G（sn，s；En，E）ZtsλEE（u）G（s，u；E，E）du= EAG（0，s；, E） ···G（sn，s；En，E）经验值-ZtsλE（l）dl- 1.= EAB{Xs=E，Xt=F}- EAB{Xs=E}= EAB（1{Xs=E，Xt=F}- 1{Xs=E}）.这证明了E=F的情况，从而完成了命题的证明。B技术证明B。1定理3.5的证明。