一个显式违约传染模型及其在信贷中的应用

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英文标题：
《An Explicit Default Contagion Model and Its Application to Credit
  Derivatives Pricing》
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作者：
Dianfa Chen, Jun Deng, Jianfen Feng, Bin Zou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a novel credit default model that takes into account the impact of macroeconomic information and contagion effect on the defaults of obligors. We use a set-valued Markov chain to model the default process, which is the set of all defaulted obligors in the group. We obtain analytic characterizations for the default process, and use them to derive pricing formulas in explicit forms for synthetic collateralized debt obligations (CDOs). Furthermore, we use market data to calibrate the model and conduct numerical studies on the tranche spreads of CDOs. We find evidence to support that systematic default risk coupled with default contagion could have the leading component of the total default risk.
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中文摘要：
我们提出了一个新的信用违约模型，该模型考虑了宏观经济信息的影响和传染效应对债务人违约的影响。我们使用集值马尔可夫链对违约过程进行建模，违约过程是组中所有违约债务人的集合。我们获得了违约过程的分析特征，并使用它们导出了合成债务抵押债券（CDO）的显式定价公式。此外，我们使用市场数据对模型进行了校准，并对CDO的部分利差进行了数值研究。我们发现有证据表明，系统性违约风险加上违约传染可能是总违约风险的主要组成部分。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> An_Explicit_Default_Contagion_Model_and_Its_Application_to_Credit_Derivatives_Pricing.pdf (2.53 MB)

2022-6-1 00:19:33 上传

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关键词：Applications Quantitative Application Measurement information

一个显式违约传染模型及其在信用衍生产品定价中的应用*Dianfa Chen+，Jun Deng，Jianfen Feng§，Bin ZouP2018年8月31日摘要我们提出了一个新的信贷违约模型，该模型考虑了宏观经济信息和传染效应对债务人违约的影响。我们使用一个集值马尔可夫链来建模违约过程，即组中所有违约债务人的集合。我们获得了违约过程的分析特征，并使用它们导出了合成债务抵押债券（CDO）的明确定价公式。此外，我们使用市场数据对模型进行了校准，并对CDO的部分价差进行了数值研究。我们的证据表明，系统性违约风险加上违约传染可能是总违约风险的首要组成部分。关键词：信用风险；抵押违约义务（CDO）；马尔可夫链；跳跃扩散；第1期引言2007-2009年金融危机之后，世界各地的学术学者、从业者和监管机构对研究这场危机的原因和补救措施的兴趣与日俱增*我们要感谢Tahir Choulli、Liuren Wu、Zhengyu Cui、Ping Li、Shiqi Song、Xianhua Peng、Chao Shi，感谢他们的深刻评论。邓军的研究得到了国家自然科学基金（11501105）和UIBE优秀青年研究基金（302/871703）的资助。邹斌的这项研究得到了康涅狄格大学的资助。利益声明：无+中国天津南开大学金融学院。电子邮件：dfchen@nankai.edu.cn.中国北京对外经济贸易大学银行与金融学院。

电子邮件：jundeng@uibe.edu.cn§中国北京对外经济贸易大学银行与金融学院。电子邮件：danxin97@163.comP通讯作者。美国康涅狄格州斯托尔斯市康涅狄格大学数学系曼斯菲尔德路341号，邮编：06269-1069，邮编：U1009斯托尔斯。电子邮件：bin。zou@uconn.eduthe世界金融危机调查委员会报告（2011年）得出结论，这场金融危机是可以避免的，主要是由于金融监管的失败，尤其是结构性金融产品的失败。不断崩溃的抵押贷款标准和抵押贷款相关金融产品，如抵押贷款支持证券（MBS）和债务抵押债券（CDO），点燃并蔓延了危机蔓延的火焰。在《巴塞尔协议II》中，违约风险的校准忽略了不同义务人之间违约蔓延的重大影响。金融危机后，巴塞尔协议III被提出，其关键原则之一是强调违约传染的建模，这对危机期间金融系统的崩溃起到了重要作用。在文献中，违约风险建模有三条主线。我们将在下面的内容中回顾这些问题，但这里并不是详尽无遗的。第一行包括默顿（1974）首创的结构化模型，该模型源自Black和Scholes（1973）的期权定价理论。如果公司的资产价值低于到期时的债务，则会发生违约事件。Black和Cox（1976）扩展了默顿的结构模型，假设当公司资产价值下降到某个时间相关的障碍以下时，违约发生在第一个通过时间。

然而，结构模型在解释信贷利差横截面方面缺乏准确性，信贷利差是通过风险公司债券和无风险债券之间的收益率差异来衡量的，短期违约概率预测不足，参见Eom et al.（2004）。我们参考Sundaresan（2013）对结构模型的出色回顾。第二条是Copula模型，首先由Li（2000）提出。在Li（2000）的最后工作中，作者使用高斯Copula对违约相关性和联合分布进行建模，并将结果应用于信用衍生品定价和对冲。然而，Copula模型与市场数据不太吻合，难以解释模型参数。使用copula进行信用建模的代表性作品包括但不限于Frey等人（2001）、Sch¨onbucher和Schubert（2001）、Laurent和Gregory（2005）以及Hull和White（2006）。我们的论文分为第三部分，其中包括基于强度的模型。在基于强度的信用建模文献中，两种成熟的建模方法是自顶向下方法和自下而上方法，它们都能够拟合市场数据。在自上而下的方法中，为整个投资组合的累积违约强度建立模型，而不指定潜在的单一债务人。相比之下，在自下而上的方法下，模型是用特定的个人违约强度构建的。关于这两种方法的更多数学细节，在第2节中给出了默认时间。投资组合或个人债务人通常被建模为过程的第一个跳跃时间，如协过程或双随机泊松过程。Inerais等人（2007）、Errais等人（2010）、Giesecke等人（2011）以及Cont和Minca（2013）等介绍和研究了自上而下的模型。

在自下而上方法的框架下，Jarrow和Turnbull（1995）、Lando（1998）以及Duffee和Singleton（1999）引入了基于单一名称违约强度的模型。Mortensen（2006）假设，债务人i的违约风险以λi（t）=常数·λ（t）+λi（t）的形式给出，其中λ捕获系统违约风险分量，λicaptures表示特殊违约风险分量，假设所有债务人j独立于λ和λj。违约传播和相关性由公共系统分量λ引导。然而，这两种方法都不能解释系统性违约风险λ（t）对特殊违约风险的传染效应。Das et al.（2007）和Du ffe et al.（2009）证明了脆弱性相关缺陷的存在，以及双随机假设无法捕捉违约传染或脆弱性（企业间相关的不可观察解释变量）。在本文中，我们考虑一组N个可违约债务人（或名称），标记为（Oi）i=1,2，····，N，其中一个债务人的违约可能会影响该组中的其余债务人。违约传染源于两个方面：违约债务人和宏观经济因素。具体而言，我们用τn（非负随机变量）表示第n个默认事件的发生时间，x=（Xt）t≥0默认流程，其中XT是timet默认的所有债务人的集合。

宏观经济因素的动态由一个外生过程Y=（Yt）t描述≥0这可能通过（τn）n=1,2、····、NandX=（Xt）t影响集团违约事件的发生≥0、我们的新默认框架考虑了默认依赖性和传染，明确给出了默认流程X的动态，并且可以根据CDO、CDX、iTraxx等的价格进行定制。在深入探讨技术细节之前，我们先解释一下治疗背后的主旨。合成CDO isa投资组合由N个单一名称的CDS组成，这些CDS针对债务人，各自的违约时间为ν，ν，···，ν和回收率R，R，··，RN。标准假设所有债务人的名义价值相同，用A表示。累计损失L=（Lt）t≥0则由t=NXi=1A（1）给出- Ri）1{νi≤t} =A·RX（t），其中RX（t）：=Xi∈Xt（1- Ri）。我们使用集值过程（默认过程）X来描述集团中违约事件的演变，而不是像自下而上的方法那样对违约债务人进行单独建模。因此，损失过程L完全以集值过程X为特征。宏观经济因素Y和默认过程X之间的相互作用通过默认强度为∧的条件马尔可夫过程进行引导，这将在后面具体说明（见假设3.2）。过程∧与Jarrow和Turnbull（1995）、Lando（1998）和CollinDufresne et al.（2004）中的基于强度的方法具有相同的特点。本文对基于强度的信用风险建模文献有一些贡献。首先，我们通过集值缺省过程X的强度族∧显式构造了集值缺省过程X。因此，我们的模型动态地整合了宏观经济影响和集团间违约传染效应，而自上而下和自下而上的模型都无法捕捉到这一点。

Jarrow et al.（1997）和Bielelcki et al.（2011）对马尔可夫（集值和实值）违约模型进行了理论和实证研究；然而，我们的模型在信贷衍生品的定价和合规性方面带来了一个更易于处理的公式。其次，我们为CDO提供了一个封闭式定价公式，无需使用矩阵指数，如Bielelcki等人（2011）所述。这提供了超出其可处理性的显著计算优势，尤其是当债务人N较大时。我们在一个特定的同质传染模型中说明了这一点，其中N可能高达125。最后，我们的集值马尔可夫模型可以很容易地扩展并应用于研究其他信用衍生品，如首次违约、第k次违约等。我们将把对这些衍生品的调查留在未来的研究中。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了违约传染模型。在第3节中，我们提供了默认流程的分析特征。在第四节中，我们推导了信用衍生品的定价公式。在第5节中，我们对分期付款展期进行了敏感性分析，并使用市场数据校准模型。我们在第6节中得出结论。在附录A和B中，我们给出了技术证明。2在本文中，我们通过一个外生过程Y=（Yt）t对宏观经济信息（或因素）进行建模≥0，在随机基础上定义(Ohm, F、 FY=（FYt）t≥0，P）。在这里，过滤FY被视为过程Y产生的增强过滤，满足权利连续性和完整性的通常假设，以及FY∞ F、 测度P是与恒定无风险利率r相关的风险中性概率测度。在经济中，我们考虑N个可违约债务人，labeledas{Oi}i∈N、 其中N：={1，2，···，N}。对于每个债务人Oi，用其各自的违约时间表示，其中i∈ N

如果债务人发生故障，我们假设名义损失比例为1- 国际扶轮社。作为标准市场实践，RII通常设置为所有i的40%，参见ISDA标准CDS转换器规范。在我们的研究中，信贷衍生品是一种或有债权，其支付取决于损失过程l=（Lt）t≥0，由t定义：=NXi=1（1- Ri）1{νi≤t} ，t≥ 0，其中1·为指示器功能。在不丧失一般性的情况下，我们在上述L定义中假设了所有债务人的统一面值。在文献中，有两种标准方法（模型）用于信用衍生品的定价和对冲问题：自下而上和自上而下方法。自下而上的方法规定了强度过程λi=（λi（t））t≥各债务人的∈ N{νi≤t}-Ztλi（s）dst型≥0是鞅，参见，例如，Du ffe et al.（2000）和Collin Dufresne et al.（2004）。另一方面，自上而下的方法规定了成分强度过程λL=（λL（t））t≥损失过程L的0，以便书信电报-ZtλL（s）dst型≥0是鞅，参见，例如，Errais et al.（2007）和Giesecke et al.（2011）。在自上而下的方法中，成分强度λlca可以通过随机细化来恢复，以将总投资组合强度分解为成分强度之和，参见Giesecke et al.（2011）。与自下而上的方法不同，我们不对每个ob的单个默认时间νiF进行建模ligorhttp://www.cdsmodel.com/cdsmodel/assets/cds-model/docsThroughout本文对于一个随机过程，如果下标是为特殊意义保留的，那么我们在括号中写时间变量t，参见，例如λi（t）；否则，我们可以将时间变量t写在可交换的下标或括号中（例如，作为Ltor L（t））。Oi，但应考虑有序默认时间（τi）i∈不适用于所有债务人。即，τiis是所有债务人第i次违约的发生时间。

因此，我们有τ：=mini∈N{νi}≤ · · · ≤ τi≤ · · · ≤ τN：=最大值∈N{νi}。用X=（Xt）t表示≥0默认流程，并将X定义为在时间t之前违约的债务人集合。X是一个集值流程，取N的子集中的值。例如，如果Xt={1，5，9}，则义务人O，O和oh默认为时间t。按照通常的约定，我们设置τ=0和x=. 本文将对默认建模进行以下假设。假设2.1。我们假设（i）同时发生的违约不超过一次；（ii）债务人在违约后不会恢复。备注2.2。在假设2.1下，我们得到以下结果。（i） P（时间t无违约）=1-P（时间t有一次违约）和τ<····<τi<····<τN.（ii）X是一个非递减过程，即Xs XT所有0≤ s<t.（iii）默认过程的基数，在时间t时用|Xt |表示，在默认时间τi时以大小1跳跃。因此，|Xτi+1/Xt |=1，其中τi≤ t<τi+1和i∈ N/{N}。这里，F/E表示两个集合E和F的集合差异，即属于F但不属于E的所有元素的集合。在我们的设置中，所有义务人的默认值都由一对（τi，Xτi）i完全表征∈{0}∪N、 通过使用它们，我们重写了缺省过程X和损失过程L byXt=NXi=0Xτi·1{τi≤t<τi+1}且Lt=Xi∈Xt（1- Ri）：=RX（t），t≥ 0。（2.1）在上述表达式中，我们取τN+1=+∞. 由于τN记录了所有债务人中的最后一次违约，很明显，对于所有t≥ τN.我们的框架的一个新颖之处是通过违约过程X的动力学直接描述违约，该过程由FY条件马尔可夫链建模，强度族∧=（λEF（t））t≥0，其中E，F∈ N、 这里，N表示sigma代数，由本文中的所有子集组成，符号“” 可能包含相等，即，可能 F和F 我们在同一时间举行。

如果E是F的真子集，我们用E表示 FN为了说明集团违约之间的相关性，强度系列∧可能取决于宏观经济因素Y和/或集团间传染。引入符号FX=（FXt）t≥0作为流程X产生的强化过滤。我们在下面给出了两个重要定义。定义2.3。一个连续时间N值随机过程X=（Xt）t≥0被称为FY conditionalMarkov链，如果，对于所有0≤ s≤ t和F∈ N、 以下条件成立：PXt=F | FXs∨ 财政年度= PXt=F |σ（Xs）∨ 财政年度, P-a.s。。这里是接线员“∨ ” 代表由两个西格玛字段FX·和FY·生成的西格玛代数。定义2.4。一类FY适应过程∧=（EF（t））t≥0或λ=（λEF（t））t≥0被称为N值进程X=（Xt）t的默认强度族≥0，如果为任何F∈ N、 进程XF=（XF（t））t≥0是一个ˇF-鞅，其中xf（t）：=1F（Xt）-XE公司FZt{Xs=E}d∧EF（s），其中∧EF（t）：=ZtλEF（s）ds，且F=（Ft）t≥0：=（FXt∨ FYt）t≥与自下而上和自上而下的方法类似，我们框架中的强度族∧irλ在违约过程X的补偿器中起着重要作用，λEF（t）表示集合E中的债务人已经违约时，时间t的条件违约率。注意，假设2.1中的条件（i）等于λEF（t）=0，只要F 6=E∪ {i} 而我∈ Ec（集合E的补码）。为了使我们的框架更适用于实证研究，我们首先假设存在强度族∧（或λ）和宏观经济因素过程，而不是直接假设默认过程。其动机来自这样一个事实，即可以应用市场信用衍生品价格或利差来恢复违约强度或传染率。我们请感兴趣的读者参考Cont等人（2010）、Cont和Minca（2013）、Nickerson和Griffn（2017）以及其中的参考文献，以进行相关研究。