欧式期权价格的奇异Fourier-Pad级数展开

资产动态的随机模型我们假设金融股票市场无摩擦且无套利，并采用市场选择的等效参与测度Q。以下区域中定义的所有随机过程都假设存在于完整的过滤概率空间中(Ohm, F、 {Ft}t≥0，Q）。指数L'evy过程的标准参考可在Schoutens（2003）和Cont and Tankov（2004）中找到；有关流程，请参见Du ffe等人（2003）。3.1。指数L'evy过程股价过程（St）t≥0由指数L'evy过程驱动的Q下可定义：ST=Ste（r-q） （T-t） +文本-Xt+ω（T-t） （19）=Ste（r-q+ω）（T-t） +文本-t、 （20）其中XT、XT和XT-X都是L'evy流程。由于列维过程具有独立的平稳增量，我们可以说XT- Xt=Xt-t、 纵观全文，r≥ 0和q≥ 0分别表示恒定无风险利率和恒定股息收益率；Stre于2017年11月15日发布了量化金融SingCfseurov13，重新格式化了t时的已知股价；Stre给出了时间T的随机股价。条件是（STe-（r）-q） （T-t） ）t≥选择适当的均值校正补偿器ω可以保证0是鞅，如下所示：ω=T- tE公司提取-t型, （21）其中E提取-t型假设所有0≤ t型≤ T给定L'evy过程（XT-t） t型≥0，定义相应的特征函数如下：Д（u）=E[eiu（XT-t） ]=e（t-t） φ（u），u∈ R、 （22）这里，φ（u）是一个连续函数，由φ（u）=Au给出L'evy Khintchine表示- iγu+Z∞-∞（1）- eiuχ+iuχ1 |χ|≥1） ν（dχ），χ∈ XT公司-t、 具有特征三重态（A，γ，ν）。在库存过程建模中，大量考虑了指数L'evy过程。

由于篇幅的限制，我们无法展示本文中的所有过程；相反，我们有选择地研究这些过程，因为它们很受欢迎，或者它们的数字实现挑战。然而，这并不意味着我们的方法只适用于我们选择的流程。随着本文的发展，我们可以看到，只要一个过程具有特征函数，通过我们的方法就可以适当地近似该过程驱动的期权价格及其风险。3.2。指数A ffne过程指数A ffne特征函数由Д（u）=E[eiuXt]=exp（C（u，t）+XD（u，t））给出。（23）这里，函数C（u，t）完全由dC（u，t）/dt=D（u，t）表示，函数D（u，t）满足Riccati方程（Du ffe et al.2003）。更准确地说，我们可以找到C（u，t）=0且D（u，t）=u的函数C（u，t）和D（u，t），这样mt=exp（C（u，t- t） +XtD（u，t- t） ）（24）是一个鞅过程。在a ffine过程家族中，本文重点研究了Hestonmodel。赫斯顿模型的随机微分方程（SDE）写为DST=（r- q） Stdt公司+√ytStdW1，t，（25）dyt=λ（(R)y- yt）dt+η√ytdW2，t，（26），其中Lt和Yt分别表示随机对数资产价格变量和资产价格过程的方差。在此过程中，平均回归速度λ、平均方差水平y和波动率的波动率η是大于或等于零的常数值。此外，布朗运动W1，tand W2，皮重与相关系数ρs相关，ω=E[ei(-1i）Xt]是平均值校正补偿器。

该模型特征函数位于2017年11月15日新的量化金融SingCfseurov13重新格式化通用特征函数框架中，由以下公式给出：Д（u）=expiu（（r- q） t+ω）+yη1.- eEt1- F eEt（λ- iρsηu- E）+λ′yηt（λ- iρsηu- E）- 2日志（1- F、e-Et1- F）, u∈ R、 （27）E=p（λ- iρsηu）+（u+iz）η，F=（λ- iρsηu- E） /（λ- iρsηu+E）。该特征函数是唯一指定的，因为我们采用（x+yi）使其实部为非负，并且我们将复对数限制在其主分支上。在这种情况下，正如Lord和Kahl（2010）所证明的，得到的特征函数是特征函数解析条中所有复数z的正确函数。在SDE中，我们有两个关于λ、\'y和η的可能条件：2λ\'y≥ η、 （28）2λ′y<η。（29）如果（28）持有，则模型满足伐木者财产；否则，（29）成立。如果一个过程完全符合属性，则该过程永远不会达到零；相反，如果没有，则进程可以达到0。条件（29）对于Heston SDE来说是一个非常重要的属性，因为当我们将边界条件指定为0时，它们只能有唯一的解。在数学金融中，选择的边界条件是过程保持在0。我们将其定义为吸收边界条件。当进程达到0并允许离开0时，我们称之为反射边界。这两个边界条件对于早期行权期权（包括美式期权和限制期权）的定价至关重要。4、欧式期权价格的奇异傅里叶-帕德表示法及其期权定价公式4.1。

期权定价公式在本节中，我们使用SFP方法推导欧式期权的封闭式公式。考虑随机过程的PDF f，当前对数价格x：=对数S，执行价格K和到期日T≥ t、 我们可以表示从时间t开始的期权价格V（x，K，t），其未定权益支付G（ST，K），如下所示：V（x，K，t）=e-r（T-t） E（G（ST，K）| ST=ex）（30）=E-r（T-t） E（G）（SteXT-Xt，K）（31）=e-r（T-t） Z∞-∞G（ex+χ，K）f（z）dz，χ∈ XT公司- Xt。（32）2017年11月15日，如果我们选择满足条件ZDCF（χ）eiuχdχ的区间[c，d]，则量化金融Singcfseurov13将进一步重新格式化≈ E[eiu（XT-Xt）]=Д（u），（33），其中Д（u）是Xt的特征函数- Xt，我们可以近似得出定价公式：V（x，K，t）≈ e-r（T-t） ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ。（34）定理1当支付股息的风险资产价格过程（St）t≥0具有可追踪的分析特征函数Д（·）的当前资产价格ex=S，无风险利率r和复合连续股息q，欧洲普通看涨期权的SFP定价公式由该过程驱动，到期日T和执行价格K isV（x，K，T）=e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#，（35），其中z=ei2πd-c类(-x+log K）εs=ei2πd-cζsP+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、 （36）这里，ζ是V（x，K，t）中的跳跃。证明：首先，欧式看涨期权的支付函数是G（ex+χ，K）=max（ex+χ- K、 0）英寸（34）。为了符合SFP近似框架，我们首先转换payoff:maxex+χ- K、 0个= K最大值ex+χ-日志K- 1, 0. （37）相应地，通过替换x+χ- 用y记录K，我们有一种新形式的V（x，K，t）表示ase-r（T-t） Z∞-∞K最大值（ey- 1，0）f（y- x+log K）dy.（38）为了提高SFP方法的效率，我们定义了一个截断的计算区间[c，d]（参见。

第6节），满足条件（33），替换[-∞, ∞]. 然后，V（x，K，t）被公式化为ase-r（T-t） ZdcK最大值（ey- 1，0）f（y- x+对数K）dy=e-r（T-t） ZdK（ey- 1） f（y- x+log K）dy.（39）使用傅里叶变换移位定理和（13）中所示的CFS展开式，我们表示f（y- x+log K）asRe“∞Xk=1bkei2πb-aky+b#，（40）2017年11月15日定量金融Singcfseurov13重新格式化，其中BK=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司ei2πd-ck公司(-x+对数K）b=d- cZdcf（y）dy.（41）将（40）代入（39）并应用Fubini定理；V（x，K，t）可计算为-r（T-t） ZdK（ey- 1） Re“∞Xk=1bkei2πd-cky+b#dy=e-r（T-t） Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司ei2πd-ck公司(-x+对数K）ZdK（ey- 1） ei2πd-ckydy+d- cZdcf（y）dyZdK（ey- 1） dy！。（42）在上述等式中，基本微积分意味着Zdk（ey- 1） ei2πd-ckydy=K（d- c） i2πk+（d- c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d- c） i2πke（i2πd-ck）d- 1., （43）ZdK（ey- 1） dy=K（ed- （1）- Kd。（44）同时，由于条件（33），我们还可以看到zdcf（y）e-i2πd-ckydy公司≈ ^1-2πd- ck公司andZdcf（y）dy≈ φ(0) = 1. （45）为了简单起见，在（42）中，我们设置bk=d-c^1-2πd-ck公司,bB=d-cД（0）=d-c、 bGk=K（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.,bG=K（ed- （1）- Kd（46）获得简化形式：V（x，K，t）=e-r（T-t） Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#。（47）为了用SFP表示表示我们的最终定价公式，我们近似∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG（48）in（47）with（16）。为此，我们首先更换-x+log K和一个变量yin（48），然后，这允许我们设置expi2πd-cy公司等于z。变换z=expi2πd-cy公司将区间[c，d]映射到z中的单位圆上。2017年11月15日，这种变化还将沿V（x，K，t）的跳跃ζ转换为z。量化金融SingCfseurov13重新格式化了ε=exp的形式i2πd-cζ. 最后，用新变量z表示（48），我们得到∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG。

（49）用（16）中的f（z）代入上述方程，我们得到由p+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1）给出的近似值- z/εs）=UXk=1bBkbGkzk+bBbG！Q+M（z）+O（zU+1）（50）P+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、 εS=ei2πd-cζs，U=N+M+PSs=1Ns。（51）一旦我们可以通过第5节所示的算法确定{pn}Nn=0，{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0in（50）的未知系数，并替换∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+BBBG，P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z），z=expi2πd- c类(-x+对数K）在（47）中，我们得出了欧洲普通看涨期权的第一个SFP定价公式，如（35）。Q、 我们可以应用同样的技术来寻求普通看跌期权的SFP定价公式。为了实现这一点，我们首先转换put payoff函数G（ex+χ，K）=max（K- ex+χ，0）到-K最大值ex+χ-日志K- 1, 0. （52）然后，我们遵循定理1的证明，得到了V（x，K，t）的CFS表示-r（T-t） Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#，（53），BGK=Zc-K（ey- 1） ei2πd-ckydy=K（d- c） i2πk+（d- c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-K（d- c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.,（54）bG=Zc-K（ey- 1） dy=K（ec- （1）- Kc。（55）以定理1证明中所示的相同方式，我们用SFP近似值（16）近似（53）中的CFS展开式。因此，我们可以得到（35）的相同表达式，不同的有效值为{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13从普通的看涨期权定价公式重新格式化，我们可以看到它们与（35）的FP近似值具有相同的格式。这与本文讨论的其他欧洲类型选项没有区别。唯一不同的是，每个选项的SFP公式中的{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0的值彼此完全不同。

这归因于每个跳跃中的跳跃ζ及其支付函数，这导致了GK和Bgin的不同傅立叶变换（47）。为了便于读者参考，我们列举了本文研究的所有选项及其相应的支付函数G（ex+χ，K）和傅立叶变换gk以及Gin表1和2.4.2。期权希腊现在，我们将注意力转向推导期权希腊。虽然准确评估金融债权在金融建模中起着关键作用，但这些衍生工具的风险管理（对冲）同样重要。金融机构在向客户出售期权时，通过对希腊人的分析来管理期权风险，这种分析被定义为期权价格对状态变量或参数值的单个单位变化的敏感性。这种敏感性反映了期权相关风险的不同维度。在本文中，我们将重点推导三种希腊选项Delta、Gamma和Vega。希腊字母表的第4个字母, 定义为期权价值相对于标的资产价格变化的变化率；γ，Γ是 关于基础价格的变化；最后，Vega是衡量期权对基础资产价格波动性变化的敏感性。总的来说，波动性衡量价格上下波动的数量和速度，它基于交易工具最近历史价格的变化而变化。其他希腊人，如西塔，也可以用类似的方式推导出来；然而，根据特征函数，派生表达式可能相当长。我们在这里省略了它们，因为许多术语都重复了。Delta是期权价值V相对于基础工具价格S的一阶导数。

因此，区分V（47）相对于S的CFS展开，我们有t型=V（x，K，t）S=V（x，K，t）x个x个S=e-r（T-t）-xRe“∞Xk=1-i2πd- ck公司bBkbGkei2πd-ck公司(-x+log K）#！。（56）以类似的方式，我们可以通过差异化t关于S，使得=V（x，K，t）S=t型S=t型x个x个S、 （57）最终，Γt=e-r（T-t）-2xRe“∞Xk=1i2πd- ck公司i2πd- ck+1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+log K）#！。（58）也很容易获得Vega的配方，五、yt，其中yti是t时刻波动率的初始值。例如，对于赫斯顿模型，由于yi是（27）中波动率的初始值，我们推导Vega如下：V（x，K，y，t）y=e-r（T-t） Re“∞Xk=1bBk公司ybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）#！，（59）2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化bBk公司y型=φ(-2πd-ck，y）y、 （60）式中，Д包含参数y.以获得我们的第一个SFP表示, 我们首先让y=-x+对数K，z=expi2πd-cy公司然后变换所有跳跃ζtintoε=expi2πd-cζ在（56）中。因此，这将（56）中的CFS表示转换为F（z）=2UXk=1的形式-i2πd- ck公司bBkbGkzk。（61）基于上述方程，使用（16），我们最终可以得到由P+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1）给出的SFP近似值- z/εs）=f（z）Q+M（z）+O（zU+1）。（62）应用第5节中的近似算法来确定P+N、Q+M和L+Ns的系数，我们可以得到twith表格-r（T-t）-xReP+N（z）+PSs=1L+Ns（z）日志（1- z/εs）Q+M（z）！。（63）为了确定Γ和织女星的SFP近似值，我们遵循相同的近似思想t但如果UXK=1，则更换f（z）i2πd- ck公司i2πd- ck+1bBkbGkzkand 2∞Xk=1bBk公司ybGkzk。(64)5. 奇异Fourier-Pad'e算法和奇异点定位SFP方法中所需多项式系数的计算方法非常简单。

为了演示该算法，我们将重点放在一个简单的情况下，其中选项Pricing和Greens公式除了位于端点c和d的跳跃外，都是完全平滑的。因为我们考虑z=expi2πd-cy公司在期权定价公式或希腊公式中，c和d在z平面上的跳跃为-1。为了简单起见，我们将f（z）表示为任何欧式定价公式或其期权希腊公式的CFS表示。为了清晰起见，去掉了一些上标，并且知道s=1，在（16）中，我们有pn（z）+LN（z）log1.-zε= f（z）QM（z）+O（zU+1），（65）2017年11月15日定量金融Singcfseurov13重新格式化表1：各种财务或有索赔的支付函数及其变换财务或有索赔支付函数变换后的支付函数G（ST，K）G（ex+χ，K）Call max（ST- K、 0）K最大值（ex+χ-日志K- 1，0）放置最大值（K- ST，0）-K最大值（ex+χ-日志K- 1，0）覆盖呼叫最小值（ST，K）K最小值（ex+χ-日志K- 1，0）+KCash或Nothing第一次呼叫≥Kex+χ-日志K≥1现金或无现金放在第一位≤Kex+χ-日志K≤1设置或不设置调用STST≥Kex+χex+χ-日志K≥1资产或无资产投入测试≤Kex+χex+χ-日志K≤1Asymmetric调用（SnT- Kn）1档≥KKn（en（x+χ-日志K）- 1） 1ex+χ-日志K≥1Asymmetric Put（Kn- SnT）第1个≤K-Kn（en（x+χ-日志K）- 1） 1ex+χ-日志K≤1对称呼叫（ST- K） nST公司≥KnPj=0新泽西州(-1） （n）-j） ej（x+χ）+（n-j） 对数Kex+χ-日志K≥1对称Put（K- ST）nST≤KnPj=0新泽西州(-1） （n）-j） e（n）-j） （x+χ）+j log Kex+χ-日志K≤1式中，N+M+N=U。ln和f（z）分别具有泰勒级数和CFS展开式，以确定U；因此，它们的扩展是对数的1.-zεs=UXk=1-zkεk+0（66）f（z）=2UXk=1bBkbGkzk+bBbG。（67）我们的目标是推导未知多项式系数的线性系统。请注意，QM（z）和LN（z）仅由大于N的阶数项确定。因此，我们寻求线性解决方案bBbG公司-Lql系列= 0

（68）这里，bBbG是（M+N+1）×（M+1）Toeplitz矩阵bBU+1BBU+1bBUbGU···bBbGbBU+2bBU+2bBU+1BBU+1。。。bBbG。。。。。。。。。。。。BBUBGUBU-1bGU-1···bBUbGU，（69）2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化表2：各种财务或有索赔的复数傅里叶变换财务或有索赔傅里叶变换傅里叶变换BGKBGCALLK（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.K（编辑- （1）-KdPutK（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.K（ec- （1）-KcCovered通话-K（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.+K（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.-K（ec- 1） +KcCash或Nothing通话（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.dCash或Nothing放置-（d）-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.-cAsset或Nothing调用（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πb）-ak+1）d- 1.（编辑- 1） 资产或无资产出售-（d）-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-（ec- 1） 不对称CallKn（d-c） i2πk+n（d-c）e（i2πd-ck+n）d- 1.-千牛（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.Knn（结束- （1）-KNDA对称PutKn（d-c） i2πk+n（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-千牛（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.Knn（enc- （1）-KNC对称调用NPJ=0新泽西州(-1） （n）-j） 千牛（d-c） i2πk+j（d-c）e（i2πd-ck+j）d- 1.nPj=1新泽西州(-1） （n）-j） ×Knj（ejd- 1） +(-1） nKndSymmetric PutnPj=0新泽西州(-1） （n）-j+1）Kn（d-c） i2πk+（n-j） （d）-c）e（i2πd-ck+n-j） c类- 1.n-1Pj=0新泽西州(-1） （n）-j+1）×Knn-j（e（n-j） c类- （1）-Kncand L是（M+N+1）（N+1）矩阵，使用log（1+z）的泰勒系数进行类似定义。向量q={qm}Mm=0和l={ln}Nn=0按阶递增的顺序保持未知多项式系数。由于（68）中矩阵的列维数比其行维数大一，我们可以得出结论，（68）有一个非零解。在许多情况下，可以通过选择（例如）q=1将其制成方形系统。然而，如果不想假设任何特定系数为非零，可以通过奇异值分解来求解（68）（参见Gonnet et al.2013）。