欧式期权价格的奇异Fourier-Pad级数展开

最后，p={pn}Nn=1的未知系数可以通过以下矩阵系统相乘得到：p=bBbGbBbGbBbG。。。。。。。。。bBUbGU······bBbGq-lll。。。。。。。。。lU·····ll、 （70）如果期权定价/希腊曲线（65）中有多个跳跃位置，这表明方程的以下修改：PN（z）+LN（z）log1.-zε+ . . . + LNs（z）日志1.-zεS= f（z）QM（z）+O（zU+1）。（71）因此，我们必须修改（68）以生成新的L矩阵和每个位置的系数向量，以反映变化。根据Driscoll和Fornberg（2001年，2011年），2017年12月15日，量化金融SingCfseurov13重新格式化了-1-0.5 0 0.5 1Y01234 VG模型的密度t=1-1-0.5 0 0.5 1Y01020304050 VG模型的密度t=0.1-1-0.5 0 0.5 1y-20-10010201丹尼斯的第一次微分t=1-0.5 0.5 0 1y-50510151丹尼斯的第一次微分t=0.1图1：第VG模型的密度函数（顶部）及其一阶导数（底部）。右上角和右下角的图中显示了一个分段连续（非平滑）PDF，在差异前后有一个跳跃。参数取自VG–Para1。选择度数M、N和N的严格优化公式，Ns。因为分母多项式qm是共享的，所以我们允许M是最大的，其他的尽可能相等。对于只有一个跳跃位置的情况，以大约40%的总可用自由度取N似乎效果很好。实验表明，这些选择可能会影响观察到的准确性，有时会影响一个数量级，但平均而言，在广泛的选择范围内，差异很小。上述方法均假设期权定价/希腊曲线中已知所有跳跃的位置。

对于位置未知的跳跃，我们遵循Riscoll和Fornberg（2001、2011）的建议，使用Fourier-Pad'e算法来估计其位置。由于我们使用CFS方法近似PDF而不是Payoff函数（参见第1项的证明），我们只考虑PDF中存在的跳跃。跳跃的存在归因于组合参数和/或导致PDF曲线尖峰的非常短的到期时间。使用Fourier-Pad'e算法（参见第2节中的Fourier-Pad'e近似）来估计PDF中的跳跃非常简单。我们首先将PDF表示为CFS表示：Re“∞Xk=1х-2πd- ck公司ei2πb-aky+Д（0）#。（72）然后，我们可以区分（72）关于y，以获得“∞Xk=1i2πb- ak公司^1-2πd- ck公司ei2πb-aky#。（73）最后，让z=expi2πd-cy公司在上述两个方程中，它们已准备好进行傅里叶Pad'eapproximation。一般来说，当PDF有跳跃时，在差异化后，尖峰跳跃点将有一个非常大的值。然后，基于这一结果，我们在原始PDF中找到了这一点。换言之，图1是VG模型（参见第8.1.2节）下的两个PDF（顶部）和傅里叶Pad近似后的一阶导数（底部）的前景图示。在图中，我们可以看到顶部和底部面板中的PDF是平滑的，没有任何跳跃，因为它们没有显示任何值非常大的点。然而，在右下角的图中，我们可以看到有一个跳跃，产生15×10的值。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化6。截短区间的选择正如我们将在第7节中所示，区间[c，d]的选择受FP方法精度的影响。

一个最小且实质性的区间[c，d]可以捕获PDF的大部分质量，因此SFP方法反过来可以产生合理的全局谱收敛速度。在这一小段中，我们将展示如何构造与随机过程累积量的闭式公式相关的区间。Fang和Oosterlee（2009a）首先提出了使用累积量的想法，以构建（33）中的定义区间[c，d]。根据他们的想法，我们对[c，d]有如下表达式：=c+Lqc+√c类+日志SK公司（74）c=-d、 （75）其中c、c和care分别是随机过程的第一、第二和第四累积量，L∈ [10, 12]. 对于简单、不太复杂的金融模型，我们还获得了c、c和c的闭式公式，如附录A的表A1所示。然而，在Hestonmodel中，我们使用了cand的绝对值，忽略了cdue的负值和c的冗长表示（参见Fang和Oosterlee 2009a）。因此，我们有c+Lp | c |而不是c+Lpc+√c、 截断间隔仅适用于没有任何跳跃的平滑PDF。一般来说，通过反复试验，如果PDF中有跳跃，我们将0.5添加到（74）中，以允许我们的方法更好地收敛。因此，公式可以转换为：d=c+Lqc+√c类+日志SK公司+ 0.5（76）c=-d、 （77）备注2毫无疑问，在大多数情况下，（76）的截断区间适用于任何正态非光滑PDF。然而，当条件变得非常极端时，例如，T=1e- 06在BSM–Para4第8.1.1节中，PDF在某一点上非常窄、薄且尖尖。（76）的区间仍然可以执行，但不是最佳值。为了改进它，我们将等式中的0.5替换为0.1。这归因于在短间隔范围内，对精度和收敛性的要求更高，所需的项更少。7.

误差分析在本节中，我们证明，通过选择适当的大区间[c，d]，欧式期权定价的总误差可以非常小。此外，我们还表明，即使输入PDF是一个Cν分段连续（非光滑）函数，也可以在期权定价曲线上的任何一点实现全局谱收敛。在本文中，任何买入/卖出期权都存在三种近似误差。（i） 积分截断错误：:=Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ（78）2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化了（ii）与（47）近似（42）相关的错误：:=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dybG#-Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-bB型bG公司#（79）（iii）截断SFP系列错误：:=Re“∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#,z=ei2πd-c类(-x+log K）和εs=ei2πd-c（ζs）（80）如果我们引入累积概率密度函数（CDF）F（χ）的概念，使得F（χ）dχ=dF（χ），我们可以将积分截断误差简化如下：=Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ=Zc公司-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ+Z∞dG（ex+χ）f（χ）dχ≤Zc公司-∞G（ex+χ，K）χF（χ）dχ+Z∞dG（ex+χ，K）χ(1 - F（χ））dχ(81)≈ 0：（如果χ=c，d，-∞, ∞). （82）我们可以看到有界且接近零，只要合理选择[c，d]，使1- F（d）≈ 当d<∞ 或F（c）≈ c>0时为0-∞. 我们也可以采用同样的想法来研究. 因此，考虑到| exp（i2πkd-cy）|≤ 1，我们首先调查错误:=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化.

如果我们展开上面的方程，我们得到:=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-d- c^1-i2πd- ck公司(83)=d- cZ公司∞-∞f（y）e-i2πd-ckydy公司-d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司(84)≤d- cZc公司-∞f（y）dy+Z∞df（y）dy(85)=d- c（F(∞) - F（d）+F（c）- F级(-∞))(86)≈ 0：（如果y=c，d，-∞, ∞). （87）根据上述结果，:=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-bB型bG公司#≤Re“∞Xk=1bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-d- cZdcf（y）dybG公司#≈ 0.（88）得出以下结论：接近零时，我们首先注意到Gk和Gb没有近似误差，因为它们的闭合形式表达式。然后，一次趋于零时，方程的第一项也将减小到零。方程的最后一项趋于零，因为ebbequalsd-cRdcf（y）dy（参见（45）和（46））。最后，SPF系列截断误差也是有界的（参见Driscoll和Fornberg 2001年、2011年），其公式如下：:=Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#= O（zN+M+PNss=1Ns+1）。（89）的误差项即使输入PDF是Cν分段连续的，当全局光谱速率为O（zN+M+PNss=1Ns+1）时，也趋于零。在我们说明近似任何真正的欧洲类型期权价格V（x，K，t）时的总误差范围之前，定义为 :=V（x，K，t）- e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#, （90）我们首先总结了欧式期权价格的整个近似过程，并指出其中, , 和躺我们首先寻求一个确定的区间[c，d]，该区间允许我们在2017年11月15日左右重新确定量化金融SingCfseurov13格式（x，K，t）[-∞, ∞] in（30），形式为v（x，K，t）≈ e-r（T-t） ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ。我们提出的区间[c，d]满足条件（33）。因此，我们得到了第一个近似误差.

由于V（x，K，t）现在近似于[c，d]，这意味着我们可以构造V（x，K，t）的CFSexpansion，就像（42）中的一样。然后，由于在CFS展开中包含特征函数Д（·）允许更精确的近似，我们有另一个V（x，K，t）的CFS展开，如（47）所示。因此，我们, 近似误差为（42），近似值为（47）。最后是（50）的误差，这是用SFP近似值（16）近似（47）的公式。通过结合, 和, 我们可以确定总误差范围; 因此，我们有一个不等式 =V（x，K，t）- e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#(91)=e-r（T-t） Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#！≤e-r（T-t）Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ+Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dybG#-Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#+Re“∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#!≤ |e-r（T-t）|(+ + )|< |e-r（T-t）|(+ + O（zN+M+PSs=1Ns+1））|≈ 0。（92）备注3根据Driscoll和Fornberg（2001，2011），O的速率（zN+M+PNss=1Ns+1）在空间上不均匀，因为跳跃时的收敛在某种程度上受到直接Pad'e问题的众所周知的数值病态的限制。此外，当曲线有一个连续点（零阶跃点）时，它的收敛速度也是单侧极限值的平均值。通过Driscoll和Fornberg（2001）的数值实验，我们可以看到SFP方法可以在跳跃时产生谱收敛速度。如果跳跃很难插值，则不一定是这种情况。

尽管如此，正如Driscoll和Fornberg（2011）所指出的那样，如果事先知道跳跃的准确度，我们仍然可以在跳跃时获得4-6位数的准确度。当跳跃事先未知时，我们可以使用傅里叶Pad'e算法来查找它们（见第5节）。通过结合这种技术，SFP方法仍然可以执行并在跳跃非常难以插值时产生谱收敛或四阶收敛。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化8。数值结果在本节中，我们通过各种数值试验证明了SFP方法的性能。本节的目的是首先测试第7节中的误差收敛分析是否与本节中的数值结果一致。第二，我们测试了SFP方法对任何资金充裕/短缺且期限长/短的欧式期权进行定价的能力。第三，我们分析了SFP方法在近似期权价格的小值或大值时是否能够提供一致的精度。最后，在该方法的一个主要发展中，我们测试了SFP方法是否可以保持全局谱收敛，即使DF是分段连续的。本文采用了一些常用的数值方法，从误差收敛性、收敛速度和计算时间等方面对SFP方法进行了检验。这些方法包括COS方法（Fourier-COS级数方法，Fang和Oosterlee 2009a）、滤波COS方法（具有指数滤波器以解决吉布斯现象的COS方法；见Ruijter et al.2013）、CONV方法（FFT方法，Lord et al。

2008），Lewis-FRFTmethod（分数FFT方法，Lewis 2001，Chourdakis 2004），以及B样条、Haar小波和SWIFT方法（基于小波的方法；参见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013，2016）。在实现CONV和Lewis-FRFT方法时，我们对fourier积分使用Simpson规则来实现四阶精度。在filter-COS方法中，我们使用指数滤波器，并将精度参数设置为10，因为Ruijter等人（2013）报告称，该滤波器比其他选项提供更好的全局收敛性。我们还将CONV和Lewis FRFT的阻尼因子分别设置为0和大于零的任何值。由于SFP方法要求近似对数序列中的跳跃，我们考虑并应用端点c和d作为所有非光滑/光滑PDF的两个已知跳跃。只有Black-Scholes-Merton（BSM）模型的非光滑PDF的跳跃被称为其平均值。对于其余的非光滑PDF，我们使用Fourier Pad'e算法（参见第5节）来查找它们的位置。在所有的数值实验中，我们使用参数U表示SFP方法的项数，N表示其他方法的项数/网格点数。当我们测量数值方法的近似误差时，我们使用绝对误差，单位范数误差r∞以及测量单位的误差。此外，为了提高我们方法的准确性，我们使用了调用-输出奇偶校验–Vcall（x，K，t）=Vput（x，K，t）+Sexp(-qT）- K经验值(-rT）-一旦我们准备好价格，就可以接近买入价。最后，在对120次实验的计算时间进行平均后，确定了所有呈现的CPU时间（inseconds）。所有实验都使用了一个带有2.8 GHz Intel Core i7 CPU和两个8 GB DDR SDRAM（高速缓存）的MacBookPro。该代码是在MATLAB R2011b中编写的。

最后，Von Sydow等人（2015）检索了实现COS方法和FFT方法的MATLAB代码，如CONV方法等。8.1. 指数L'evy过程8.1.1。布莱克-斯科尔斯-默顿模型。第一次数值实验使用BSM模型进行（参见Black and Scholes 1973，Merton 1973）。由BSM模型（几何布朗过程）驱动的股票动力学由T=Se（r）给出-q-σ） T+σWT，（93），其中WT是风险中性布朗运动，σ是波动率。模型的特征函数也定义为Д（u）=expTiu（r- q-σ) -σu, u∈ R、 （94）2017年11月15日，定量金融SINGCFSEUROV13重新格式化实验参数从以下各项中选择：BSM–Para1：S=100，σ=0.15，R=0.03，T=1.0，q=0.0，（95）BSM–Para2：S=100，σ=0.25，R=0.1，T=50或100，q=0，K=120，（96）BSM–Para3：K=100，σ=0.2，R=0.06，T=1e- 06，q=0。（97）在第一次数值测试（BSM–Para1）中，我们首先检查了从1到200的走向K的收敛行为，分别是资金投入/产出和资金香草putoptions。参数检索自von Sydow等人（2015）。在第二次数值测试中，我们使用相同的参数，检查现金或无任何看跌期权（而非普通期权）相对于从80到120不等的行权K的收敛行为。在第一次测试中，我们将该方法与COS方法、CONV方法和Lewis FRFT方法进行了比较，但在第二次测试中仅与COS方法进行了比较。第三个数值实验（BSM–Para2）致力于比较COS方法、SFP方法和SWIFTmethod对长期看涨期权的性能。由于我们在保险和养老金行业有时会遇到这些选择，因此值得对我们的方法进行测试。

参数可从Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）处检索，用于测试。最后，对于最后一次数值测试（BSM–Para3），我们使用Andricopoulos等人（2003）的σ、r和q值，并针对非常短期到期的vanilla Calloption及其期权Delta和Gamma，检查其在80到120之间的股价范围内的收敛行为。我们的方法与COS、FILTER COS、Lewis FRFT和CONV方法进行了比较。所有试验的参考值均基于BSM分析公式。在每个数值测试中，除第三个测试外，我们宣布在K或Sto范围内有250个不同的期权价格，以测试我们的方法和其他方法的效率。对于所有参数集，我们都通过图2中的SFP方法恢复了PDF。我们可以看到，可以通过BSM–Para3获得非平滑恢复的PDF（右上角）。我们在第6节中提出的过渡区间中设置L=10。需要注意的是，对于上一次数值测试BSM–Para3中的截断区间，我们将0.5替换为0.1 in（76）（见备注2），因为我们希望我们的方法具有更高的精度和更好的收敛速度。在BSM–Para3中，成熟时间非常小的情况非常罕见，但为了证明我们方法的有效性，值得进行这样的测试。本节中的所有表格和其他表格都表明，不同方法的计算时间差异不大。当N和U等于64时，任何方法的大约250个选项价格都需要不到0.1秒的时间。在不考虑方法准确性的情况下，这是一个相当合理的时间框架，可以同时产生大量的期权价格。然而，当我们考虑这些方法的误差收敛性和收敛速度时，它们之间存在着巨大的差异。图3及其在表3中的数值表示用于第一次数值试验（BSM–Para1）。