欧式期权价格的奇异Fourier-Pad级数展开

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英文标题：
《Singular Fourier-Pad\\\'e Series Expansion of European Option Prices》
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作者：
Tat Lung Chan
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We apply a new numerical method, the singular Fourier-Pad\\\'e (SFP) method invented by Driscoll and Fornberg (2001, 2011), to price European-type options in L\\\'evy and affine processes. The motivation behind this application is to reduce the inefficiency of current Fourier techniques when they are used to approximate piecewise continuous (non-smooth) probability density functions. When techniques such as fast Fourier transforms and Fourier series are applied to price and hedge options with non-smooth probability density functions, they cause the Gibbs phenomenon, accordingly, the techniques converge slowly for density functions with jumps in value or derivatives. This seriously adversely affects the efficiency and accuracy of these techniques. In this paper, we derive pricing formulae and their option Greeks using the SFP method to resolve the Gibbs phenomenon and restore the global spectral convergence rate. Moreover, we show that our method requires a small number of terms to yield fast error convergence, and it is able to accurately price any European-type option deep in/out of the money and with very long/short maturities. Furthermore, we conduct an error-bound analysis of the SFP method in option pricing. This new method performs favourably in numerical experiments compared with existing techniques.
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中文摘要：
我们采用了一种新的数值方法，即Driscoll和Fornberg（2001年，2011年）发明的奇异Fourier-Pad（SFP）方法，对列维和仿射过程中的欧式期权进行定价。此应用背后的动机是降低当前傅立叶技术用于近似分段连续（非光滑）概率密度函数时的低效性。当快速傅立叶变换和傅立叶级数等技术应用于具有非光滑概率密度函数的价格和对冲期权时，它们会导致吉布斯现象，因此，对于具有跳跃值或导数的密度函数，这些技术会缓慢收敛。这严重影响了这些技术的效率和准确性。在本文中，我们使用SFP方法推导了定价公式及其期权希腊，以解决Gibbs现象并恢复全局谱收敛速度。此外，我们还表明，我们的方法需要少量的条款来产生快速的误差收敛，并且它能够准确地为任何欧洲类型的期权定价，无论是在货币中还是在货币中，还是在期限很长/很短的情况下。此外，我们还对期权定价中的SFP方法进行了误差界分析。与现有方法相比，这种新方法在数值实验中表现良好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Singular_Fourier-Padé_Series_Expansion_of_European_Option_Prices.pdf (2.71 MB)

2022-6-1 00:28:19 上传

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关键词：Fourier 欧式期权 four Our Fou

2017年11月15日，量化金融SingCfseurov13重新格式化，以出现在《量化金融》第00卷第00号20XX月1-35单数傅里叶Pad'e系列中，扩展了EuropeanOption PricesTat Lung（Ron）Chan*++东伦敦大学，英国斯特拉特福德Water Lane，E15 4LZ（2016年5月发布的v1.1）我们采用了一种新的数值方法，即Driscoll和Fornberg（2001年、2011年）发明的奇异傅里叶Pad'e（SFP）方法，对Levy和a ffene过程中的欧式期权进行定价。此应用背后的动机是降低当前傅立叶技术用于近似分段连续（非光滑）概率密度函数时的效率。当快速傅立叶变换和傅立叶级数等技术应用于具有非光滑概率密度函数的价格和对冲期权时，会导致吉布斯现象；因此，这些技术对于具有跳跃值或导数的密度函数收敛缓慢。这严重影响了这些技术的效率和准确性。在本文中，我们使用SFP方法推导了定价公式及其期权希腊，以解决Gibbs现象并恢复全局谱收敛速度。此外，我们还表明，我们的方法需要少量的条款来产生快速的误差收敛，并且能够准确地为任何欧洲类型的期权定价，无论是在货币中还是在货币中，还是在很长/很短的期限内。此外，我们还对期权定价中的SFP方法进行了误差界分析。与现有方法相比，这种新方法在数值实验中表现良好。关键词：奇异Fourier-Pad'e级数，欧式选项，L'evy过程，a ffine过程1。

简介在过去十年中，傅立叶技术在金融衍生品定价和对冲中的应用在计算和数学金融中得到了广泛的应用，因为驱动衍生品的大多数基础过程都有一个特征函数（即概率密度函数（PDF）的傅立叶变换）。通常，期权定价采用两种傅立叶技术：快速傅立叶变换（FFT）和傅立叶级数，如傅立叶余弦（COS）级数。为了解释第一种技术，即期权定价中的FFTs，我们首先考虑一个欧洲期权定价公式，该公式是由潜在过程驱动的期权贴现收益的风险中性预期。这种形成自然意味着贴现支付和基本流程的PDF的整合。由于基础过程具有特征函数，可以应用反向连续傅立叶变换恢复PDF，离散连续傅立叶积分，并使用FFT算法计算O（N log（N））运算中的离散傅立叶变换以获得期权价格（参见Carr和Madan 1999、Lewis 2001、Lipton 2002、Chourdakis 2004、Itkin 2005、Lord等人2008）。使用这些方法的主要缺点是，它们需要数千个网格点和相当长的计算时间才能达到可接受的精度水平。另一种方法是使用傅立叶级数将PDF展开为正交基函数的部分和。基函数可以是指数函数，如Chan（2016），也可以是COS函数，如Fang和Oosterlee（2009a），函数。序列中的每个系数都是近似值*通讯作者。电子邮件：t.l。chan@uel.ac.ukNovember2017年5月15日，量化金融Singcfseurov13通过PDF的特征功能重新格式化。

通过将每个基函数与期权的折扣支付函数相结合，我们可以获得期权价格。这项技术起源于Fangand Oosterlee（2009a），用COS基函数为欧式期权定价。Fourier COS系列在欧洲期权定价中的成功，导致了具有早期行使特征和奇异期权的定价和对冲期权的快速扩张，如亚洲、多资产或障碍期权（如Leentvaar和Oosterlee 2008、Fang和Oosterlee 2009b、2011、Zhang和Oosterlee 2013）。与FFT相比，使用傅立叶级数进行期权定价的优势在于，只要控制PDF足够平滑，它们可以实现全局谱（指数）收敛速度，并且需要较少的求和项。然而，使用任何类型的傅立叶级数来表示Cν1分段连续（非光滑）函数，例如非光滑PDF，都是出了名的令人担忧。不连续性导致吉布斯现象，这对长度N的傅里叶部分和有两个重要后果：（i）无法在跳跃处收敛，以及（ii）在其他地方以O（N）的速度逐点收敛。更一般地，如果函数f及其导数达到ν阶- 1是连续的，但f（ν）是不连续的（即f有一个ν阶跃变），则全局收敛速度为O（N-ν). 当通过FFT或傅立叶级数方法在跳跃点或跳跃点附近生成近似期权价格时，吉布斯现象的影响可能导致不准确的定价和对冲。Ruijter等人（2013年）试图通过添加滤波器来解决吉布斯现象，并提高普通COS方法的代数指数收敛率。他们称之为filter-COS方法。

在他们的论文中，他们对六种不同的过滤器进行了深入测试，例如Fej'er过滤器和指数过滤器，并发现指数过滤器为定价欧洲期权提供了更好的代数指数收敛速度。该方法用于表示VarianceGamma（VG）模型的非光滑PDF。虽然它们比当前的COS方法有一些改进，但过滤只能在远离VG PDF峰值的情况下工作；在峰值时，近似性能更差。该方法还需要近千个COS部分求和项，才能在PDF非光滑时达到可接受的精度。根据Ortiz Gracia和Oosterlee（2013、2016），使用COSmethod的另一个缺点是，COS在积分边界附近表现出周期性，而长成熟度期权舍入误差可能在域边界附近累积。一系列使用小波的论文，如B样条和香农小波，已经解决了这个问题。小波方法类似于傅立叶级数方法；他们使用小波表示PDF，然后将贴现支付函数与小波基函数集成，以获得期权定价公式的闭合形式表示。与COS方法相比，小波方法对于长期期权的定价具有灵活性和准确性。然而，小波基函数的选择决定了该方法能否达到谱收敛速度。在某些情况下，B样条和Haar小波无法实现谱收敛（参见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013和Ortiz Gracia和Oosterlee 2016中的表1）。虽然Ortiz Gracia和Oosterlee使用香农小波（香农小波逆傅立叶技术（SWIFT））来纠正这个问题，并在PDF平滑的某些情况下实现光谱收敛（参见。

表1和表4在Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）中，SWIFT的准确性严重依赖于标度参数。比例参数由特征函数的衰减速度决定，而特征函数又决定了相应PDF近似值的精度。虽然一般来说，Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）认为0或1是量表的最佳选择，但这种选择没有理论上的理由，并且在他们的论文中，为不同的PDF选择了不同的量表参数。最后，在我们的数值试验中，COS方法的精度对函数连续可微的小andA向量空间非常敏感。如果函数由一定数量的ν乘以不同的连续段组成，则称为区间上的分段连续函数。2017年11月15日，量化金融Singcfseurov13重新格式化大期权价格。当我们衡量小额期权价格时，COS方法往往不太准确（参见第8节表8）。为了克服FFT、Fourier级数和小波方法的上述缺点，我们提出了一种新方法，奇异Fourier Pad'e（SFP）方法，该方法具有以下特点：（i）分段连续PDF的全局谱收敛速度，（ii）所需部分求和项较少的快速误差收敛，（iii）准确地为任何欧洲类型的期权定价，该期权具有资金深度/资金深度和超长/短期到期的特点，（iv）始终准确地近似大型或小型期权价格，并且（v）不需要比例参数来调整其准确度。我们为什么选择SFP方法？与SFP方法相比，Fourier-Pad'e技术不是更好的选择。傅里叶Pad'e技术（参见。

Chisholm和Common（1981年）、Small和Charron（1988年）、Geer（1995年）是一种著名的逼近非光滑函数的技术，因此可以在远离跳跃的情况下实现谱收敛，并且收敛不会全局退化。尽管如此，Driscoll和Fornberg（2001、2011）指出，Fourier-Pad'e方法的基本限制是，使用极点来近似分支切割是不够的，而由单位圆上的跳跃转换的对数奇点对于Pad'e近似很难进行模拟。因此，该方法无法在跳跃处收敛。为了解决这个问题，Driscoll和Fornberg（2001、2011）在Fourier-Pad'e近似过程中添加了适当的对数分支奇点项。他们把这种方法称为奇异傅立叶变换法。在所有数值试验中（参见Driscoll和Fornberg 2001、2011），SFP可以加速误差收敛到解析周期函数或非光滑函数的真解，并且由于跳跃而产生的Gibbs现象的全局影响在很大程度上被消除。如果函数非常困难，当跳跃位置事先已知时，该方法仍会以指数形式全局收敛，跳跃时的精度会超过4-6位数。最重要的是，除了比较Fourier Pad'e技术外，Driscoll和Fornberg还将SFP方法与克服Gibbs现象的其他两种著名方法进行了比较，即Gegenbauer方法（Gottlieb和Shu 1997），一种将Fourier部分和投影到Gegenbauer多项式所跨越的空间的方法，以及奇点消除方法（Eckhoff 1997），跳跃不连续函数的奇异性消除方法。在比较这三种方法的数值试验中（参见Driscoll和Fornberg 2001、2011），SFP方法比其他方法具有更好的全局谱收敛性和更快的误差收敛性。

基于SFP方法的所有这些优点，我们选择了它，而不是其他可用的数值方法。本文的其余部分结构如下。第1节介绍。第2节描述了SFP方法。第3节介绍了本文研究的金融随机模型。第4节描述并证明了不同风格的欧洲期权的SFP期权定价/希腊公式的制定。在第5节中，我们描述了SFP算法和Fourier-Pad'e方法，以确定非光滑函数上的跳跃位置。第6节描述了截断积分区间的选择。第7节提供了期权定价和对冲中SFP方法的误差分析。第8节讨论、分析并比较了SFP方法与其他数值方法的数值结果。最后，我们在第9节中总结并讨论未来可能的发展。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化2。Gibbs现象的奇异Fourier-Pad'e解释和校正如果我们考虑具有形式幂级数表示的函数f∞k=0bkxk，以及由RN定义的理性函数，M=PN/QM，其中PN和QM分别是N（x）=NXn=0pnxn和QM（x）=MXm=0qmxm，（1）的多项式，那么我们说，RN，M=PN/QM是满足条件NXn=0pnxn！的形式级数的（N，M）阶（线性）Pad'e逼近！-MXm=0qmxm！M+NXk=0bkxk！=O（xN+M+1）。（2） 这里，f用pm+Nk=0bkxk来近似，为了获得近似值R（N，M），我们只需通过求解线性方程组来计算多项式pn和qm的系数。为了获得{qm}Mm=0，我们首先将q=1归一化，以确保系统具有良好的确定性，并具有（2）中的唯一解。然后，我们考虑xN+1的系数。

，xM+N，我们可以得到一个Toeplitz*线性系统：10亿+10亿-1···bN+1-百万+20亿+10亿。。。bN+2-M亿+百万···亿+20亿+10亿qq。。。qM公司= 0。（3）一旦知道{qm}Mm=0，就可以通过（2）中的N阶和更小阶项找到{pn}Nn=0。该yieldsp=Bq，其中bij=bi-j、 例如，如果N=M，则得到pp。。。pN编号=bbb。。。。。。。。。bN···bbqq。。。qM公司. （4） 正如我们在这里所做的那样，通过线性代数计算Pad'e近似值很简单，但不一定是最有效或最稳定的数值方法（参见Driscoll和Fornberg 2001，2011）。现在，假设f是区间上定义的分段解析函数[-π、 π），在t=ζs时，f中的s跳线位置∈ [π，π），s=1，…，s。我们将跳跃定义为f上的实际间断点或其导数后出现的间断点。然后，复傅立叶级数（CFS）表示为f（t）=∞Xk公司=-∞bkeikt，bk=2πZπ-πf（t）e-iktdt。（5） 变换z=eit，它将区间[π，π]映射到复数Toeplitz矩阵或对角线常数矩阵中的单位圆上，这是一个可逆矩阵，其中每个从左到右递减的对角线都是常数。2017年11月15日，量化金融Singcfseurov13重新格式化平面，将傅立叶级数转换为z中的以下Laurent级数，可以拆分为F（z）=∞Xk公司=-∞bkeikt公司=∞Xk=0bkzk+∞Xk=0b-kz公司-k=f+（z）+f-（z）-1） ，（6）其中素数和表示第0项应减半。f±的Fourier Pad'e近似由多项式P±N（z）=Q±M（z）f±（z）+O（zN+M+1），z组成→ 0。（7）得到的近似值为asP+N（z）Q+M（z）+P-N（z-1） Q-M（z-1). （8） 然而，Driscoll和Fornberg（2001年、2011年）指出，该近似值在函数的跳跃位置处/周围不会很好地再现，从而使近似值不准确。

所以，他们认为，在t=ζ时，f值的每一次跳跃都可以归因于一个对数1.-zeiζ. （9） 这种f±中的对数奇点很难用Pad'e近似来模拟，可以利用它来增强近似过程。这就是Driscoll和Fornberg（2001、2011）提出的SFP方法背后的基本原理。我们修改Fourier-Pad'e近似（7）以获得以下条件：P±N（z）+L=Q±M（z）f±（z）+O（zU+1），（10），其中L=SXs=1L±s（z）log1.-zeiζs（11） 对于某些多项式Ls，s=1，S、 U由S和PN、QMandLs的度数决定。如果我们扩展SFP方法，以支持有限区间[a，b]中的任何分段解析实函数f，其中一组跳跃位置{ζs}Ss=1∈ 【a，b】在f中，函数的CFS表示定义为f（x）=Re“∞Xk公司=-∞bkei2πb-akx#，bk=b- 阿兹巴夫（x）e-i2πb-akxdx。（12） 这里，Re表示函数的真实部分。当我们专注于逼近实函数时，我们可以进一步得到f（x）=Re“∞Xk=1bkei2πb-akx+b#。（13） 2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化基于此表示，我们将z表示为expi2πb-斧头然后将f转换为fequal-toRe“UXk=1bkzk+b#的截断幂级数。（14）转换z=expi2πb-斧头还表明跳跃位置ζ转换为对数1.-zε, 式中ε=ei2πb-f中的aζ（15）。最后，应用（14）和（15），我们可以得出SFP近似的最终形式，给定nbyp+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1- z/εs）=UXk=1bkzk+b！Q+M（z）+O（zU+1），（16），其中P+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、 U=N+M+S+PSs=1Ns。（17） 一旦我们确定了{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0的未知系数（参见第5节），f（x）的SFP表示可以表示为f（x）=ReP+N（z）+PSs=1L+Ns（z）log（1- z/εs）Q+M（z）！，z=ei2πb-ax。(18)3.