稳定分布的参数估计及其应用

密度是在整个实数线上定义的，出于财务用途，通常使用对数收益数据代替原始资产价格来拟合这一系列分布。（11） m（dx）=C | x | 1+αdx；C>0，（12）Φ(θ)=经验值-ναθα1.- 我β 签署(θ) 棕褐色的πα+ 我μθ; 对于α≠1.exp-νθ1+1β 签署(θ)π日志θ+ 我μθ; 对于α = 1.（13）hSt（s）=2π∞∫-∞e-istΦ（t）dt。图1：。α-稳定密度α ∈（0，2）.第8页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The近似（13）的缺点是，基本技术，如用简单函数表示积分或使用密度函数的有限多项式表达式，都是不必要的用于有意义的数值分析。一些作者提出了密度的标准参数化积分表达式（见Ament&O\'Neal，2016），然而，该表达式由一个振荡被积函数组成，这反过来又导致了Zolotarev（1986）提出的另一种替代方法，其中密度由式中给出θ= 阿尔茨坦(β 棕褐色的πα)απ标志（s）- μ).3.3。稳定分布函数的一些性质首先，回想一下，对于稳定分布的任何两个可容许参数集，我们可以找到两个唯一的数字a>0和b，这样一来，直觉就可以用标准稳定分布来表示一般稳定分布。

也就是说，我们可以写(α, β, ν, μ)d=aS(α, β, 1，0）+b其次，假设h，h和Φ分别表示稳定随机变量S的概率、累积密度和特征函数，由此可以看出以下性质成立：（1）h(-sα, β)=h（s，α, -β).（2） H类(-sα, β)=1.- H（s，α, -β).(3)Φ(-sα, β) = Φ（s，α, -β).上述三种关系可通过三角函数性质进行验证。（14） hSt公司(α, β, ν, μ)=σπ∞∫e-t型α· cos（t·（s）- μσ)- βt型α棕褐色(πα))dt。（15） hSt公司(α, β, ν, μ)=αs-μσα-12σα-1.-θUα(φ, θ) 经验值-s-μσαα-1Uα(φ, θ)dφ; 如果s≠μπσ· Γ1 +α· 余弦α阿尔茨坦β · 棕褐色的πα; 如果s=μ（16） U型α(φ, θ)=罪πα(φ + θ)余弦πφα1.-α·余弦π(α - 1)φ + αθ余弦πφ,（17） S(α, β, ν, μ)d=aS(α, β, ν, μ),（18） a=νν, b类={μ - μνν, α≠μ - μνν+ νβπ日志νν, α =1.（19）a=ν, b类={μ; α≠μ + νβπ日志ν; α =1、h（s，α, β)=2.π∞∫-∞（cos st- i sin st）Φ（t，α, β)dt，第9页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.13188133.4.模拟α-稳定随机变量模拟稳定过程的两个优秀参考文献是Zolotarev（1986）和Chambers、Mallows和Stuck（1976）。定义3.3假设是一个具有参数的稳定过程(α, β2.ν2.μ ), 特征函数如下所示 3.4出租γ∈[-π,π2] 设W为均值为1的独立指数随机变量。这是一个标准α-具有参数的稳定过程(α,β2,1,0).证明见佐洛塔列夫（1986）。使用引理3.4可以很容易地生成稳定的随机变量。可以使用R或MATLAB等编程语言在区间上生成均匀分布的随机变量U(-π,π2） 和一个平均值为1的独立指数随机变量E。然后通过计算where生成稳定的随机变量α, β=(1 + β棕褐色的πα2)1αandBα, β=棕褐色的-1个(β 棕褐色的πα)α.3.5.

稳定过程矩统计矩E[|·|k] 只有当≤α. 此外，对于α<2退避时间不确定α ∈（0，1）平均值不存在，当α ∈(1, 2). 对称稳定分布的情况并非总是如此β = 0.3.5.1. 分数低阶矩FLOM是计算α-稳定的随机变量，尤其是在均值和/或方差不确定的情况下。（20）lnΦ（t）中讨论了FLOM表示公式=我μt型- ναt型α经验值(-我β符号（t））πK级(α)), α≠1.我μt型- νt型π+ 我β符号（t））lnt型; α =1.（21）K(α)=α - 1+符号（1- α)={α; α≠1.α - 2.α =（22）(β, ν)=πK级(α)棕褐色的-1.β 棕褐色的πα, ν1 + β棕褐色的πα2.α; α≠1.β,πν; α =（23）秒=罪αγ+πβK级(α)α（cosγ )α余弦γ-αγ+πβK级(α)αW1.-αα; α ≠1.π+ βγ棕褐色的γ - β日志W cos公司γπ+βγ; α =（24）秒=A.α, β罪恶(α（U+Bα, β))（cos U）αcos（U-α（U+Bα, β))E1.-αα; α≠1.ππ+ βUtan U公司- β 日志πE cos U公司π+βU; α =第10页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Ma以及Nikias（1995）关于对称稳定随机数据及其对Kuruoglu（2001）中非对称稳定随机数据的推广。在后者中，ifSi~S(α,β,ν,γ)和α ≠ 1，然后在哪里θ= 阿尔茨坦(β 棕褐色的απ)和Γ表示伽马函数。从上述表示中，可以得到p为负值的力矩。这导致了对数矩方法，与OFFLOM相比，该方法提供了一种更容易估计稳定分布参数的方法。3.5.2. 对数矩这种方法是使用FLOM方法时遇到的挑战的结果，该方法需要计算Gamma函数、sinc函数的反演，并且它仅适用于某些p。当前方法建议计算关于矩阶p的导数，从而产生稳定过程的对数矩。

我们将在下面进行说明。L 3.5设S表示对称稳定随机变量和letp∈ R. 然后，n=1，2，…的力矩很容易出现…。i、 e.何处θ = 阿尔茨坦(β 棕褐色的απ∕2） 和条款φkare提交人φ0个=-0.57721566,φ1= π∕,φ = 1.2020569源自polygamma functionProof 3.6，该证明在Kuruoglu（2001）中提供。4、稳定过程的参数估计估计稳定过程参数的四种常用方法包括：分位数法（见Fama&Roll，1971；McCulloch，1986，1996）、对数矩法（见Kuruoglu，2001）、经验特征法（见Yang，2012）和ML法（见Nolan，2001）。我们在以下方面调查其准确性。4.1. 分位数法分位数法由Fama和Roll（1971）首创，但在扩展到包括不对称分布和案例后，McCulloch（1986）对分位数法更为赞赏α ∈[0.6，2]与前一种方法不同，前者将其限制为α ≥ 1.E[S<p>]=Γ1.-pαΓ(1 - p）γ余弦θpγ罪pθα罪pπ, 对于p∈ (-2.-（1）∪ (-1.α).E[Sp] =Γ1.-pαΓ(1 - p）γ余弦θpγ余弦pθα余弦pπ, 对于p∈ (-1.α).（25）锰：=E[（log | S |）n]=跛行→0dndpnE[S | p]，n=1，2…。（26）M=E[日志S]=φ1.-α+α日志ν余弦θ.（27）M=E[（对数| S|- E[日志| S |]）]=φ(+α)-θ2.α.（28）M=E[（对数| S|- E[日志| S |]）]=φ（1）-α).(29)φk-1=dkdxklogΓ（x）| x=1。第11页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Supposesis给定数据样本，然后估计α和β由给出α=Θ(θα,θβ)和β=Θ(θα,θβ)其中，符号SQ表示样本的第qth个分位数沙α和β由函数Θ1获得(θα,θβ)和Θ2(θα,θβ)McCulloch（1986）表III和表IV通过线性插值给出。因此，比例参数由式中Θ3给出(α,β)McCulloch（1986）中的表V给出。

一致估计量ν然后通过插值获得。最后是位置参数μ通过定义的新参数进行估计，ζ由whereΘ5估算(α,β)通过线性插值从表VII（McCulloch，1986）中获得。locationparameter的估计值为4.2。经验特征函数法假设一组可观测数据{s1，s2，…，sN}遵循稳定分布。然后，我们可以通过应用基于大数定律的基本蒙特卡罗方法来近似该数据的特征函数，即我们可以根据基本三测原理用余弦和正弦函数来表示特征函数（12），即，我们观察到的结果是（30）θα=s0.95-s0.05s0.75-s0.25，θβ=s0.95+s0.05- 2.s0.05s0.95-s0.05。(31)ν=s0.75-s0.25Θ（α ,β),(32)ζ={μ + βγ 棕褐色的πα; α≠μ; α =1.(33)ζ=s0.5+ν Θ( α ,β),(34)μ=ζ +β ν 棕褐色的π α2.（35）Φ（u）=E【eiusj】≈Φ（u）=NN∑j=1eiusj。（36）Φ（u）=e-|νu型|α（cosη + 我有罪η),η= νu- |ν u型|αβ符号（u）ω（u，α)ω（u，α)={棕褐色πα, α ≠12对数| u|π, α = 第12页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The通过求解该系统，估计的特征函数与模型参数相关，从而得出稳定性和方差参数的估计表示公式：特征函数（36）的实部和虚部提供了β和μ:假设Υ（u）：=arctan（ImΦ（u）∕ReΦ（u））并选择另一组正数suk，k=3，4α和ν然后通过通知分别给出位置和偏度参数的估计值，可以从方程（36）中推断，这提供了一种设想回归估计方法的替代方法：其中yk=log(-日志|Φ（uk）| 2，m=对数(να), xk=日志（英国）和εkis是一个错误术语。

稳定性参数α和比例参数ν可通过选择K进行估计=πk25，k=1，2，…，M；实际数据（见Koutrouvelis，1980年，表一）。估计数α和ν然后用于估计β和μ使用以下关系式，其中zl=Υn（ul）+π千牛（ul），ηl=νlu公司-|νlu公司|αβ符号（u）ω（u，α)和lis一些随机错误。Q的拟议实际数据集（见Koutrouvelis，1980年，表II）为isul=πl50，l=1，2，…，Q.4.3。对数矩法该方法遵循第3.5.2节中讨论的理论。该方法的关键创新在于，不需要像FLOM中那样计算Gamma函数和sinc函数。其次，对称稳定随机变量的参数估计技术（即。β = 0）可为（37）|Φ（u）|=e-|νu型|α.（38）日志|Φ（英国）|=να|英国|α; 对于k=1，2，uk>0，α≠1.α=日志记录Φ（u）日志Φ（u）日志uu公司.日志ν =日志u日志(- 日志Φ（u）)-日志u日志(- 日志Φ（u）)日志uu公司.（39）arctanIm（Φ（u））Re（Φ（u））=μu-|νu型|αβ 符号（u）ω（u，α).(40)μ=uαΥ（u）-uαΥ（u）uuα- uu公司α4.(41)β=uΥ（u）-uΥ（u）να棕褐色的π α（uu）α- uu公司α).日志(-log（|Φ（u）| 2））=对数(να)+α日志（u）。yk=m+αxk公司+εkk=1，2，…，M；zl公司=ηl+l、 l=1，2，…，Q。第13页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813applied倾斜稳定随机变量（即。β ≠ 0）和，参数估计技术强制中心稳定随机变量（即。μ = 0）到非居中的（即。μ ≠0）通过中心对称化。然而，这是以丢失几乎一半的样本数据为代价的。因此，要获得更好的估计，必须使用大样本数据集。4.3.1.

稳定随机数据集的中心对称化是一个由n个独立的稳定随机变量组成的序列，该序列根据上述序列的加权和的分布进行分布，其中加权和的分布可通过其特征函数进行估计：其中，数字x的p次方幂由此定义，很容易得到零的独立稳定随机变量序列μ, 零β而且都是零μ和零β对于α ≠ 这将产生居中、倾斜和对称化序列：4.3.2。参数估计支持假定从中提取的数据集(α, β, ν, μ). 然后指数参数α按设置估计θ = 0in（27），对数动量m2是根据正向数据（45）估计的。即估计α用于估算θ使用（26），其中m1是根据反向数据（44）估计的。也就是说，从θ,|β0 |可通过居中（见（43））要求进行估计|β0 |乘以（2+2α)∕(2 - 2.α)获取|β|原始数据的符号β由K确定~ S(α, β, ν, μ).（42）Z=nk=1akSk~ Sα,nk=1a<α>千牛k=1ak公司αβ,nk=1ak公司αν,nk=1akμ,x<p>=符号（x）| x | p.（43）SCk=S3k+S3k-1.- 2S3k-2.~ S(α,[2- 2.α2+2α]β, [2 + 2α]ν,0），（44）SDk=S3k+S3k-1.- 21∕αS3k-2.~ S(α, 0, 4ν, [2- 21∕α]μ),（45）SSk=S2k- S2k公司-1.~ S(α, 0, 2ν,0).(46)α=（M）φ-)-∕2.(47)|θ|=((φ- M）α+ φ)1.∕2.(48)β=棕褐色的θ棕褐色的α π2、第14页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813whereSmax，Smd，SMI是原始数据的最大值、中值和最小值。接下来，我们估计比例参数ν0使用（26），其中m1是根据正向数据（43）估计的。isAgain居中（见（43））给出了参数估计ν原始数据的ν= ν(-21∕α)-1、最后，位置参数μ按何处估算μ0是正向数据的中位数或平均值（）。4.4.

最大似然法ML法是经济和金融应用中最受欢迎的参数估计方法。该方法依赖于密度函数，在稳定分布的情况下，密度函数会引起闭合形式表示问题。在这种情况下，我们提出了密度函数的数值估计。对于独立同分布随机变量的向量=（s1，s2，…，sn），求出其服从稳定分布的参数向量的ML估计=(α, β, ν, μ)通过最大化其中给出的对数似然函数得到h（s；Θ）表示数值估计的稳定概率密度函数。例如，Mittnik、Rachev、Doganoglu和Chenyao（1999）指出，计算theML的最佳算法是使用快速傅立叶变换（FFT）或Nolan（2001）中的直接积分法。ML算法需要仔细选择初始输入参数，在我们的情况下，可以通过上述分位数方法获得这些参数。FFT对于大型数据集速度更快，而直接积分方法适用于较小的数据集，因为它可以在任意点进行计算。在下一节中，我们分析商品，并应用经验特征函数方法估计稳定分布参数。重要的是要提及di不同的估计方法都在运行。4.5。误差分析在本节中，我们根据inChambers et al.（1976）和Weron and Weron（1995）的理论，模拟来自稳定分布族的数据集。然后利用上述四种方法从模拟数据中提取稳定参数。

我们的重点是α和β但参数扩展到了其他两个参数。K=符号（| Smax- 贴片显示器|-|体积百分数- Smd |），因此β = K级|β|.(49)ν0=| cosθ|exp（（M- φ) α + φ).(50)μ= μ(2 - 21∕α)-1.（51）LΘ（s）=n∑i=1lnh（si；Θ），第15页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813First，值得一提的是，这四种方法在接近边界时的性能都很差。eα → 0,α → 2和β→±1. 此外，文献表明，这些方法可以有效地完全符合表1中的参数限制。此外，最大似然估计似乎是最受欢迎和使用的估计方法。然而，我们在分析中发现，这种方法对于特定的参数范围是失败的，并且不具有鲁棒性。例如，在估算0.1中<α<1.0关于β, MLE无法收敛并返回大量真实错误。这就是为什么我们不将其包括在图2（a）中的原因。同样，对于β = 0.4关于α, 对数矩方法返回负值或非常大β根据表1中的约束条件预期的值。我们省略了图2（b）中的图表。同时，湿表1。估计方法及其参数限制估计方法参数限制α ≥0.1β=μ=α ≥0.4α ≥0.1图2。方法比较α = 0.4和β = 0.4估算。（a） （b）第16页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813notice在这两种情况下，分位数和ECF方法都能很好地工作，后者提供了相对最佳的估计。图3中的图表显示了与估算1.0相关的误差<α<2.0适用于di埃伦特β价值观请注意，这四种方法都工作得很好，我们仍然注意到ECF是相对最精确和最稳健的方法。回想一下α → 1和α → 2评估方法表现不佳。

例如图3（a）（用于α = 1.4）哪一个是MLA最接近的收敛点，但更高α>1.4值，但远小于2.0（例如，见图3（a））α = 1.7）除对数动量法外，其他方法表现相对较好。图3：。方法比较α = 1.4和α = 1.7估算。（a） （b）第17页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The图4中的图表说明了分位数、ECF和MLE在估计中的收敛性α = 1.4和α = 1.7. 我们模拟了50000个点，将其分为100组，从500个大小的组开始，再将其增加500到50000。对数矩法的性能非常差，无法与上述三种方法相比。它不包括在图4（a）和（b）中。ECF被认为比分位数和ML方法具有更好的收敛速度。类似的图5显示了分位数、ECFand和ML估计方法的收敛速度。ECF在这两种情况下（即图5（a）和（b））仍能提供更好的精度。图4：。β预估fordiering数据集大小和α价值观（a） （b）第18页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813In经验特征函数方法在以下方面优于本文讨论的所有其他三种方法：（1）它是稳健的，可以一致地估计广泛的α和β参数。（2） 与分位数、对数矩和MLE方法相比，它提供了更好的精度α和β参数。（3） 它具有更好的收敛速度。因此，分位数、对数矩或ML方法可用于为ECF方法提供初始参数。