奖金——具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统

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英文标题：
《Bonus--malus systems with different claim types and varying deductibles》
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作者：
Olena Ragulina
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The paper deals with bonus-malus systems with different claim types and varying deductibles. The premium relativities are softened for the policyholders who are in the malus zone and these policyholders are subject to per claim deductibles depending on their levels in the bonus-malus scale and the types of the reported claims. We introduce such bonus-malus systems and study their basic properties. In particular, we investigate when it is possible to introduce varying deductibles, what restrictions we have and how we can do this. Moreover, we deal with the special case where varying deductibles are applied to the claims reported by policyholders occupying the highest level in the bonus-malus scale and consider two allocation principles for the deductibles. Finally, numerical illustrations are presented.
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中文摘要：
本文研究了具有不同索赔类型和不同免赔额的红利-马吕斯系统。对于处于马吕斯区的投保人，保费相对性有所软化，这些投保人根据其在马吕斯奖金表中的水平和报告的理赔类型，可享受每次理赔的免赔额。我们引入了这样的bonus-malus系统并研究了它们的基本性质。特别是，我们调查何时可能引入不同的免赔额，我们有哪些限制，以及我们如何做到这一点。此外，我们还处理了一种特殊情况，即不同的免赔额适用于在bonus-malus量表中占据最高级别的投保人报告的索赔，并考虑了免赔额的两个分配原则。最后给出了数值算例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Bonus--malus_systems_with_different_claim_types_and_varying_deductibles.pdf (233.52 KB)

2022-6-1 02:17:21 上传

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关键词：免赔额 Applications Restrictions illustration Differential

《现代随机：理论与应用》4（2）（2017）141–159DOI:10.15559/17-VMSTA80Bonus–具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统基辅国立大学概率论、统计和精算数学系，乌克兰基辅Volodymyrska街64号，邮编01601。olena@gmail.com（O.Ragulina）收到日期：2017年4月10日，修订日期：2017年6月11日，接受日期：2017年6月13日，在线发布日期：2017年6月28日摘要本论文涉及不同索赔类型和varyi Ng免赔额的奖金-malus系统。处于马吕斯区的投保人的保费相对性有所软化，这些投保人根据其在奖金-马吕斯等级表中的水平和报告的理赔类型，可享受每次理赔的免赔额。我们引入了这样的红利——malussystems，并研究了它们的基本性质。特别是，我们调查何时可以引入不同的免赔额，我们有哪些限制，以及我们如何做到这一点。此外，我们还处理了一种特殊情况，即不同的免赔额适用于占据奖金-马吕斯表中最高级别的投保人报告的clai ms，并考虑了扣除额的两个分配原则。最后给出了数值算例。关键词奖金-马吕斯系统、索赔类型、可变免赔额、无差别原则、分配原则、保费相关性、马尔可夫链、转移矩阵、平稳分配2010 MSC91B30、60J20、60G551简介和动机精算师的主要任务之一是设计一个能公平分配投保人潜在损失总风险的费率结构。为此，他经常需要将所有投保人划分为风险类别，以便属于同一类别的所有投保人支付相同的预付款。

评级系统通过保费附加费（或不当使用）对一个或多个事故负责的投保人进行定性，并奖励(c)2017作者。VTeX发布。根据CC BY许可证打开access文章。www.i-journals。在许多发达国家，通过给保单持有人折扣（或奖金）来实现免费保单持有人。这类系统通常被称为奖金-马吕斯系统，旨在更好地评估个人风险。保费金额每年根据个人索赔经验进行调整。实际上，红利-马吕斯量表由一定数量的等级组成，每个等级都有自己的相对溢价。每年之后，保单持有人根据过渡规则和当年报告的索赔数量上移或下移。因此，bonu s–malus系统也鼓励ge保单持有人谨慎行事。请注意，保费相对性传统上是使用水原损失函数计算的。该方法由Norberg在其关于分段电价的pio工程著作【14】中提出。或者，Denuit和Dhaene[2]使用指数函数计算相对性。在保险公司使用的大多数商业红利-马吕斯系统中，了解当前等级和当前期间的索赔数量足以确定下一个等级。因此，未来的水平只取决于现在，而不取决于过去。不同年份的索赔人通常被认为是独立的。因此，每个保单持有人在红利-马陆保险单中的轨迹可以被视为一个马尔可夫链。有关bo nus–malus系统的详细信息和更多信息，请参阅[3、10、19]。

特别是，[3]全面介绍了各种经验评级系统及其与风险分类的关系。正如许多作者所指出的那样，传统的奖金-马吕斯系统有两个相当大的缺陷：（i）未考虑索赔金额。因此，后验修正只取决于索赔的数量。在这种情况下，发生小索赔或大索赔事故的投保人将以同样的方式受到不公平的处罚。特别是，当投保人为避免未来保费增加而自行支付小额索赔时，这会产生奖金。（ii）投保人可在任何时候离开保险公司，无需任何进一步的财务处罚。因此，bonus-malus系统会造成malus规避的可能性，即保单持有人离开保险公司，因报告的索赔而导致保险费增加的情况。霍尔坦提出了另一种方法，至少在理论上消除了第二个缺点[9]。他建议使用非常高的免赔额，这些免赔额可能由保险公司的投保人借入。所有投保人的免赔额均应保持不变，即独立于他们在索赔时在奖金-马吕斯系统中的使用水平。虽然技术上可以接受，但这种方法显然会造成相当大的实际问题。Lemaire和Zi研究了Holtan提案的实际后果【11】。特别是，研究表明，高免赔额的引入增加了大多数投保人的付款可变性和评级系统的效率。Bonus–Pitrebois、Denuit和Walhin引入了具有不同免赔额的malus系统【17】。具体而言，由奖金-马吕斯制度引起的后验保费修正被扣除的保费（全部或部分）所取代。

对于具有不同索赔类型和不同免赔额的每一级bonus-malus系统143，malus区的bonus-malus系统分配了一个免赔额，该免赔额适用于保险期内每年或按索赔提出的索赔。高奖金水平下的相对保费——苹果系统通常非常大，并且系统可以通过产生免赔额来软化。保险公司将马吕斯地区减少的罚款与报告索赔在马吕斯地区的投保人支付的扣除额进行比较。这可能会在商业上引起争议，因为投保人只有在将来报告索赔时才会受到处罚。正如【17】中所指出的，将奖金-马吕斯系统与不同的免赔额相结合具有许多优势。首先，投保人将尽最大努力避免或至少减少损失。其次，即使投保人在索赔后离开公司，他也必须支付免赔额。第三，可以优化相对保费和免赔额，以吸引保单持有人。数值示例表明，混合情况（减少的相对价格与每项索赔免赔额相结合）给出了最佳结果。在这种情况下，免赔额是适中的。尽管如此，这种方法并不能消除上述第一种回拨。为了消除第一个缺点，还提出了一些其他方法。Bonus–涉及不同索赔类型的malus系统在【18】中设计。每种类型的保险都会给投保人带来特定的罚款。特别是，可以这样考虑索赔金额。

有关这方面的一些早期结果，请参见[10、15、16]。下一种方法是基于Dionneand Vanasse【4，5】所获得结果的推广，他们提出了一种b onus–malus系统，该系统将先验信息和后验信息集成在一起。具体而言，该系统是根据投保人在投资组合中的年份、索赔数量及其个人特征得出的。Frangos和Vrontos【6】扩展了【4，5】中开发的框架，并提出了一个广义的红利-马吕斯系统，该系统同时考虑了投保人的特征、索赔数量和每个索赔的实际金额。特别是，假设我们都有关于每个保单持有人在投资组合中的时间段内的索赔频率历史和索赔金额历史的信息。在这个广义的红利-马鲁系统中，保费是投保人在投资组合中的年份、索赔数量、每次索赔金额以及重要的先验评级变量的函数。因此，未来的保费dep以pa st（所有投保人的历史记录）结束，并实际为每个投保人单独计算。这种方法在[12、13、20]中得到了扩展和发展。Bon sdorff[1]提出了另一种计入账户cla im金额的方法。作者根据上一年的索赔数量和上一年的索赔总额，考虑了奖金-马吕斯系统b的一般框架。

奖金级别集是一个区间，级别之间的转换由这些特征决定。戈梅兹·德尼兹（Gómez-Déniz）、埃尔南德·巴斯蒂达（Hernánde z-Bastida）和费尔南德斯·桑切斯（Fernández-Sánchez）[8]获得了可用于计算奖金的表达式——基于总索赔金额的分配而非产生金额的索赔。Gómez-Déniz在最近的文件144 O.Ragulina[7]中共同考虑了对传统bonu s–malus系统的另一个修改，该修改只考虑了索赔数量。作者提出了一个统计模型，该模型区分了两种不同的索赔类型，并结合了基于依赖性假设的二元分布。本文讨论的是两种惩罚类型都适用于马吕斯区的政策持有人的情况。具体而言，使用二次损失函数计算的保费相对性被软化，马吕斯区的投保人需要扣除每项索赔。混合奖金-malussystem c结合了保费相对性和可变现性，预计在实践中最为重要（见[3，17]）。我们试图消除上面提到的两个缺点。为了考虑相应的索赔额，我们考虑了不同的索赔类型，并使用了【18】中介绍的多事件奖金-多用途系统。为了消除第二个退税，我们为马吕斯地区的投保人提供了可变免赔额。免赔额取决于投保人在奖金-马吕斯表中的水平和所报告索赔的类型。这样的奖金——苹果系统有许多优点，似乎对投保人很有吸引力。也就是说，报告小额和大额理赔的投保人不会以同样的方式实现。这有助于避免或至少减少奖金饥饿。

此外，在【17】中提到的所有优势也有效。pape r的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了[18]中介绍的多事件奖金-ma lus系统。在第3节中，我们介绍了此类奖金系统中的可变免赔额，并研究了此类系统的基本性质。特别是，我们调查何时有可能在具有不同索赔类型的奖金-马鲁系统中引入不同的免赔额，我们有哪些限制以及如何做到这一点。第4节处理的是一种特殊情况，即不同的免赔额适用于在奖金-马吕斯量表中占据最高级别的投保人报告的索赔。我们考虑免赔额的两个分配原则，这对投保人来说是自然和公平的。在第5节中，我们考虑这样一个红利-马吕斯系统的一个例子，处理指数分布的索赔规模，并给出数字说明。第6节完成了本文。2 Bonus–具有不同索赔类型的malus系统为了考虑不同的索赔类型，我们使用了[18]中介绍的多事件Bonus–malus系统（另见[3]）。让我们从投资组合中随机挑选一位投保人，并用N表示投保人在一年内报告的索赔数量。在下文中，我们假设不存在优先风险分类（或者我们在特定的评级单元内工作）。用λ>0表示先验年度预期索赔频率。让Θ代表该投保人的（未知）事故概率，即Θ代表未观察到的特征的残余效应。投资组合的风险比例由分配函数FΘofΘ描述。通常假设P【Θ】≥ 0]=1和E[Θ]=1。因此，该投保人的实际（未知）年索赔频率为λΘ。我们假设c la ims N的数目是混合泊松分布的。

更精确地说，N的条件概率质量函数由p[N=j |Θ=θ]=（λθ）jj！e-λθ，j≥ Bonus–具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统145因此，N的无条件概率质量函数由p【N=j】=Z给出+∞P[N=j |Θ=θ]dFΘ（θ），j≥ 0、我们引入了投保人报告的m+1不同索赔类型。每种索赔类型都会对投保人产生一种特殊的授权，具体描述如下。给定索赔的类型由索赔金额C确定。我们假设所有索赔金额是独立的且分布相同，并且索赔金额和索赔频率是相互独立的。这些权利主张根据《宪法》分类。设0<c*< c*< · · · < c*m<∞. 我们选择这些数字，以便所有大小小于或等于c的索赔*被视为类型为0的索赔，所有索赔的大小从间隔（c*, c*] 被视为1类权利要求，不久将被视为1类权利要求；最后，所有规模大于c的索赔*被视为m类索赔。Letq=PC≤ c*, q=Pc*< C≤ c*,q=Pc*< C≤ c*, . . . , qm=PC>C*m级.因此，每次报告索赔时，都会将其归类为m+1可能类别之一，概率为q，q。，质量管理。很明显，PMI=0qi=1。此外，选择c*iso认为所有问题都是积极的。表示为ty pe i的c la ims数量，0≤ 我≤ m、 因此，对于agivenΘ，随机变量N，N。，n实际上是独立的，相应的条件概率质量函数由p[Ni=j |Θ=θ]=（λθqi）jj！e-λθqi，j≥ 0，0≤ 我≤ m、 （1）假设bonus-malus量表的s+1等级从0到s。等级编号越高表示保费越高。特别是，处于0级的保龄球手享受着最大程度的保龄球。指定的级别分配给新的保单持有人。

每个免赔年度都会获得一个bonu s积分，即保单持有人会降低一级。每种索赔类型都会产生特定的罚款，以每个索赔的已执行级别数表示。对于一个问题来说，更大的索赔要求会带来更严重的后果，这是很自然的。我们认为，了解当前水平和当前年份每种类型的索赔数量，有助于确定保单持有人的转移水平。因此，bonus-malus系统可以用马尔可夫链来表示。设pll（λθ；q）是投保人从lto级移动到l级的概率，年平均索赔频率λθ，概率的向量r q=（q，q，…，qm）T，其中0≤ l≤ s、 0个≤ l≤ s和qi是索赔属于类型i的概率。用P（λθ；q）表示一步转移矩阵，即P（λθ；q）=p（λθ；q）p（λθ；q）。p0s（λθ；q）p（λθ；q）p（λθ；q）。p1s（λθ；q）。。。。。。。。。。。。ps0（λθ；q）ps1（λθ；q）。pss（λθ；q）.146 O.RagulinaTaking对P（λθ；q）的n次方进行运算，得到元素为P（n）ll（λθ；q）的n步转移矩阵。这里p（n）ll（λθ；q）是在n个跃迁中从能级lto移动到能级l的概率。假设转移矩阵P（λθ；q）是正则的，即。有一些整数n≥ 1使得P（（λθ；q））的所有条目都是严格正的。因此，用期望索赔频率λθ和概率向量q描述投保人轨迹的马尔可夫链是遍历的，因此具有平稳分布π（λθ；q）=π（λθ；q），π（λθ；q），πs（λθ；q）T、 这里，πl（λθ；q）是投保人年平均索赔频率λθ处于l级的平稳概率，即πl（λθ；q）=limn→∞p（n）ll（λθ；q）。平稳概率πl（λθ；q）可以直接得到（见[3，19]）。