奖金——具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统

实际上，由于矩阵P（λθ；q）是正则的，因此矩阵I- P（λθ；q）+E是可逆的，π（λθ；q）由πT（λθ；q）=eT给出我- P（λθ；q）+E-1，（2）其中e是1s的列向量，e是由s+1列向量e组成的（s+1）×（s+1）矩阵，I是（s+1）×（s+1）单位矩阵。接下来，设L为随机选择的投保人在量表中所占的水平，πlbe为达到稳态h后，L级投保人的比例。那么πl=P[l=l]=Z+∞πl（λθ；q）dFΘ（θ），0≤ l≤ s、 （3）很容易看出PSL=0πl=1。我们用RL表示与l级相关的最低保费相对性。其含义是，占用l级的投保人支付的保费等于λrlE【C】。请注意，此处和下方我们仅考虑r净保费。在下文中，我们假设E[C]<∞ fcc的分布函数是连续的。为了计算相对论rl，我们使用了[14]中提出的二次损失函数（另见[3，10]）。为此，我们将“真实”相对保费Θ和相对保费rl之间的预期平方差b最小化，在达到平稳状态后，适用于该投保人，即我们最小化[（Θ- rL）]。这个问题的解决方案是byrl=R+∞θπl（λθ；q）dFΘ（θ）R+∞πl（λθ；q）dFΘ（θ）（4）（详情参见，例如，[3，pp.185–186]）。Bonus–malus系统具有不同的索赔类型和不同的免赔额1473 Bonus–malus系统中不同的免赔额具有不同的索赔类型占据Bonus–malus系统中l级的投保人应支付λrlE【C】。我们假设处于红利区的投保人的相对保费，即rl≤ 1，保持不变。因此，他们支付的保费等于λrlE[C]，不会受到进一步的处罚。设s=min{l：rl>1}。位于马吕斯区的投保人的相对预期，即。

w的rl>1，或等效占用l级，使s≤ l≤ s、 按以下方式软化。而不是支付等于λrlE[C]的保费，处于l级的保单持有人支付的减让保费等于（1- αl）λrlE【C】对于某些特定的αl≥ 0取决于l级。我们假设αl满足以下假设。假设1。1.≤ （1）- αs）rs≤ （1）- αs+1）rs+1≤ · · · ≤ （1）- αs）rs。请注意，假设1意味着，在奖金-马吕斯比例中占据较高水平的保单持有人支付的减少保费较高，不低于基本保费λE【C】。此外，根据假设1，我们有0≤ αl≤ 1.- 1/RL适用于所有l，以便s≤ l≤ s、 αl=0的情况对应于投保人occ支付等于λrlE[C]的预付款，且不受进一步处罚的情况。如果αl=1- 1/rl，投保人只需支付基本保费λe[C]，并且必须为未来的索赔支付一些费用。为补偿减少的d保费，投保人须接受每项索赔的减少，即分别适用于每项报告的索赔，等于dl，idepending on level l Occuping in the Malus zone and索赔类型i。我们对dl施加以下自然限制，即假设2。（i） 为了所有的我≤ l≤ s、 我们有0个≤ dl，0≤ c*, 0≤ dl，1≤ c*, 0≤ dl，2≤ c*, . . . , 0≤ dl，m≤ c*m、 （ii）对于每个固定的l≤ l≤ s、 我们有DL，0≤ dl，1≤ · · · ≤ dl，m.（iii）对于每个固定i，0≤ 我≤ m、 我们有，我≤ ds+1，i≤ · · · ≤ ds，i.假设断言（i），如果报告的索赔属于i类，其中0≤ 我≤ m、 然后，适用于它的扣除额严格低于索赔额，即保险公司至少承担部分损失。其次，断言（ii）意味着索赔金额越大，免赔额越高。

最后，断言（iii）意味着奖金-马吕斯比例越高，意味着每个特定索赔金额的免赔额越高。对于居住在l级的投保人，免赔额dl、0、dl、1、。，dl，mare发现使用无差别原则（见[3，17]）：对于这组投保人，奖金-m a lus系统引起的罚款的αLO部分平均等于这些投保人支付的免赔额总额。因此，使用l级的投保人的无差别原则可以写在以下W中：λrlE[C]=（1- αl）λrlE【C】+λrlE[C | C≤ dl，0]P[C≤ dl，0]+dl，0Pdl，0<C≤ c*+ dl，1Pc*< C≤ c*+ . . .+ dl，mPC>C*m级, s≤ l≤ s、 （5）148 O.Ragulinao在（5）的左侧，我们有第2节所述的奖金-马吕斯sy stem中占据l级的投保人提供的保费p援助。在（5）的右侧，我们有该投保人在奖金-马吕斯系统中支付的预期金额，并有不同的免赔额。该金额包括减少的保费和由免赔额引起的预期罚款金额。方程（5）可以改写为αlE[C]=E[C | C≤ dl，0]P[C≤ dl，0]+dl，0Pdl，0<C≤ c*+ dl，1Pc*< C≤ c*+ · · · + dl，mPC>C*m级, s≤ l≤ s、 相当于αlE[C]=E[C | C≤ dl，0]P[C≤ dl，0]+dl，0q- P【C】≤ dl，0]+ dl，1q+···+dl，mqm，s≤ l≤ s、 （6）因此，为了在奖金系统中产生不同的扣除额，我们必须选择αl，dl，0，dl，1。，dl、M满足（6）以及假设1和2≤ l≤ s、 在下文中，我们将αl，dl，0，dl，1，…，的任何此类组合称为。，dl，m，其中s≤ l≤ s、 通过（6）的解决方案。引理1。（6）的右侧是变量dl，0，dl，1，…，的递减函数。，dl，m.Proof。对于变量dl，1，…，Lemma1的断言很明显。，dl，m。我们现在为dl，0显示它。

让0≤ d′l，0≤ d′l，0≤ c*. 然后我们得到C | C≤ d′l，0PC≤ d′l，0+ d′l，0Pd′l，0<C≤ c*- EC | C≤ d′l，0PC≤ d′l，0- d′l，0Pd′l，0<C≤ c*≥E[C | C≤ d′l，0]P[C≤ d′l，0）+d′l，0P[d′l，0<C≤ d′l，0]P[C≤ d′l，0]PC≤ d′l，0+ d′l，0Pd′l，0<C≤ c*- EC | C≤ d′l，0PC≤ d′l，0- d′l，0Pd′l，0<C≤ c*= d′l，0Pd′l，0<C≤ d′l，0+ d′l，0Pd′l，0<C≤ c*- d′l，0Pd′l，0<C≤ c*=d′l，0- d′l，0Pd′l，0<C≤ c*≥ 0，这证明了引理。此外，考虑到fcs的连续性，得出（6）的右侧在dl，0，dl，1，…，中是连续的。，dl，m.提案1。对于任何固定α满足假设1，我们有dL，m≤ 最小值αlE[C]/qm，C*m级, s≤ l≤ s、 （7）证明。根据引理1，我们得出结论，对于任何固定的αl，当dl，0=dl，1=····=dl，m-1= 0. 因此e、dl、m≤αlE[C]/qm。考虑到假设2的断言（i），得出s（7）。提案2。如果土地面积如此之大≤ l<l≤ s、 然后是αl≤ αl.证明。通过假设2的断言（iii），我们得到了dl，0≤ dl，0，dl，1≤ dl，1。，dl，m≤ dl，m.因此，从引理1来看，它允许具有不同索赔类型和不同免赔额的thatBonus-malus系统149E[C | C≤ dl，0]P[C≤ dl，0]+dl，0q- P【C】≤ dl，0]+ dl，1q+···+dl，mqm≤ E[C | C≤ dl，0]P[C≤ dl，0]+dl，0q- P【C】≤ dl，0]+ dl，1q+··+dl，mqm。通过（6），我们得到αl≤ αl.定理1。对于（6）的解的存在性，αl≤ 最小值1.-rl，f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]对于所有s≤ l≤ s、 （8）其中c*, c*, . . . , c*m级= EC | C≤ c*q+c*q+···+c*mqm。证据通过引理1，当dl，0=c时，得到（6）右侧的最大值*, dl，1=c*, dl，2=c*, . . . , dl，m=c*mand等于E[C | C≤c*] q+c*q+···+c*mqm。因此，我们得到αl≤E[C | C≤ c*] q+c*q+···+c*mqmE[C]，s≤ l≤ s

（9） 从那时起C | C≤ c*q+c*q+···+c*mqm<EC | C≤ c*q+EC | C*< C≤ c*q+···+EC | C>C*m级qm=E[C]，（9）的右侧小于1。因此，结合（9）和不等式αl≤1.- 1/rl，紧随假设1，给出（8）。引理2。让条件（8）保持不变。那么对于任何固定的≤ l≤ 我们可以选择dl，0，dl，1，dl，M对假设2的（i）和（ii）断言（6）为真。引理的断言是显而易见的。备注1。请注意，ifmin1.-rl，f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]=f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]，即αl=f（C*, c*, . . . , c*m） E[C]，则组合是唯一的：dl，0=C*, dl，1=c*, dl，2=c*, . . ., dl，m=c*m、 否则，如果αl<f（c*, c*, . . . , c*m） E【C】，那么，有很多这样的组合。接下来，请注意，通过引理2，我们可以选择dl，0，dl，1。，dl、MFR或任何固定的l，但假设2的断言（iii）可能不成立。150 O.RagulinaThe下一个定理表明，我们总是可以用不同的免赔额取代第2节中描述的奖金-马吕斯制度。定理2。（6）总是有一个解，即αl，dl，0，dl，1，dl，m，其中s≤ l≤ s、 假设1和2成立。证据现在考虑两种情况。1） Ifmin公司1.-rs，f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]=f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]，设αs=f（C*, c*, . . . , c*m） E【C】。通过引理2和备注1应用于l=s，我们得到ds，0=c*, ds，1=c*,ds，2=c*, . . . , ds，m=c*m、 满足假设1和2，对于所有l，S+1≤ l≤ s、 我们设置αl=αs，dl，0=ds，0，dl，1=ds，1，dl，m=ds，m，这证明了第一种情况下的定理。2） Ifmin公司1.-rs，f（c*, c*, . . . , c*m） E[C]= 1.-rs，设αs=1-通过引理2和备注1应用于l=s，我们可以始终选择requiredds，0，ds，1。，实际上，有很多这样的组合。我们随便拿一个。

最后，满足假设1和2，对于所有l，s+1≤ l≤ s、 我们还设置了αl=αs，dl，0=ds，0，dl，1=ds，1，dl，m=ds，m，这证明了第二种情况下的定理。上述考虑表明，第2节（不含免赔额）中所述的奖金-马吕斯制度被具有不同扣除额的奖金-马吕斯制度所取代并非唯一的。因此，保险公司可以考虑不同的安置，并从投保人的角度选择一个似乎更具吸引力的安置。我们现在考虑两种特殊情况。第4节考虑了另一个问题。示例1。现在，我们假设扣除额仅适用于m类索赔，即dl，对于所有s，i=0≤ l≤ s和0≤ 我≤ m级- 因此，e，（6）可以重写为αlE[C]=dl，mqm。（10） 考虑定理1，我们取0<αs的任何αssuch≤ 最小值1.-卢比，c*mqmE[C].By（10），ds，m=αsE[C]/qm。为了满足假设1和2，我们为所有s+1设置αl=αsand dl，m=ds，mf≤ l≤ s、 因此，我们得到了Bonus-malus系统的一个简单替代品。奖金-具有不同索赔类型和不同免赔额的马吕斯系统151示例2。设αl=1- 1/RL适用于所有≤ l≤ s、 根据定理1，iff（c*, c*, . . . , c*m） E【C】<1-rs，则（6）没有合适的溶液。因此，奖金-马吕斯系统c不能以这种方式取代。4如果免赔额仅适用于占据奖金最高级别的投保人所报告的索赔，那么我们现在考虑一种特殊情况，即所有保险人的dl，i=0≤ l≤ s- 1和0≤我≤ m、 当处于s级的投保人的保费相对性足够高，并且应用不同的免赔额来软化此类投保人的奖金-马吕斯制度时，这种情况非常有意义。为了满足假设1的条件，我们要求（1- αs）rs≥ 卢比-1，其中h给出αs≤ 1.- 卢比-1/rs。所以我们可以选择任何阳性的αs，即αs≤ 最小值1.-卢比-1rs，f（c*, c*, . . .

c*m） E[C]（11） 然后找到ds，0，ds，1。，ds，mfrom方程（6）适用于l=s，即f romαsE[C]=e[C | C≤ ds，0]P[C≤ ds，0]+ds，0q- P【C】≤ ds，0]+ ds，1q+···+ds，mqm。（12） 如果不等式（11）是严格的，那么（12）有很多解决方案。我们现在考虑免赔额的两个分配原则。第一个原则是当免赔额与每种类型的平均索赔额成比例时。这一原则对政策制定者来说似乎是自然和公平的，但这并不总是可能的，这很容易从下一个定理中看出。定理3。设αsbe使得不等式（11）严格且setx=minc*E[C | C*< C≤ c*],c*E[C | C*< C≤ c*], . . . ,c*mE[C | C>C*米]. （13） 如果αsE[C]>EC | C≤ xE公司C | C≤ c*PC≤ xE公司C | C≤ c*+ x个EC | C≤ c*q- PC≤ xE公司C | C≤ c*+ EC | C*< C≤ c*q+···+EC | C>C*m级qm公司, （14） 那么我们就不能按平均索赔额的比例分配免赔额。否则，如果αsE[C]≤ EC | C≤ xE公司C | C≤ c*PC≤ xE公司C | C≤ c*+ x个EC | C≤ c*q- PC≤ xE公司C | C≤ c*+ EC | C*< C≤ c*q+···+EC | C>C*m级qm公司, （15） 152 O.Ragulinathen，这是可能的，（12）有一种独特的解决方案，用byds表示，0=x EC | C≤ c*, ds，1=x EC | C*< C≤ c*, . . . ,ds，m=x EC | C>C*m级,（16） 其中x是方程αsE[C]=E的唯一正解C | C≤ x EC | C≤ c*PC≤ x EC | C≤ c*+ x个EC | C≤ c*q- PC≤ x EC | C≤ c*+ EC | C*< C≤ c*q+···+EC | C>C*m级qm公司. （17） 证明。设x为比例系数，即我们有（16）。为了满足假设2的断言（i），我们要求C | C≤ c*≤ c*, x EC | C*< C≤ c*≤ c*,x EC | C*< C≤ c*≤ c*, . . . , x EC | C>C*m级≤ c*m、 相当于tox≤ 最小值c*E[C | C*< C≤ c*],c*E[C | C*< C≤ c*], . . .

c*mE[C | C>C*米].所以我们假设x∈ [0，x]，其中xis由（13）给出，并将（1 6）代入（12），得到（17）。（17）的左侧是一个正常数。根据引理1，（17）的右手边是[0，x]上x的递增函数。根据FC的连续性，它在[0，x]上的x是连续的。此外，当x=0时，此函数等于0。因此，如果（15）成立，那么（17）有唯一的解x∈ [0，x]。否则，如果（14）为真，则不存在解x∈ [0，x]到（17），完成证明。备注2。方程（17）在一般情况下不可解析解。要找到x，我们应该使用数值方法。第二条原则意味着，大额索赔将通过免赔额的方式受到严格处罚，而小额索赔根本不会受到处罚（如果可能的话），或者至少不会受到如此严格的处罚。无论如何（12）必须保持。首先，我们检查是否可以只处罚m类索赔。为此，我们设置ds，0=ds，1=····=ds，m-1=0，ds，m=c*将其替换为（12）。IfαsE[C]≤ c*mqm，这是可能的，并且所需的分配是由byds给定的，0=ds，1=···=ds，m-1=0，ds，m=αsE[C]/qm。否则，如果αsE[C]>C*mqm，Bonus–具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统153我们还必须处罚至少m类索赔- 我们设置ds，0=ds，1=···=ds，m-2=0，ds，m-1=c*m级-1，ds，m=c*将其替换为（12）。IfαsE[C]≤ c*m级-1qm-1+c*mqm，则所需分配由byds给出，0=ds，1=···=ds，m-2=0，ds，m-1=αsE【C】- c*mqmqm-1和ds，m=c*m、 否则，我们还必须处罚至少m类索赔- 所以我们设置ds，0=ds，1=····=ds，m-3=0，ds，m-2=c*m级-2，ds，m-1=c*m级-1，ds，m=c*m、 将其替换为（12）并以这种方式继续，直到得到所需的分配。

请注意，只要不平等（11）成立，这种分配总是可能的。5数字说明我们现在考虑4个级别（编号从0到3）和4个索赔类型（编号从0到3，概率为q、q、qand q）的规模。如果本年度未报告任何索赔，投保人将下调一级。每项0类索赔将被处以一级罚款，每项1类索赔将被处以2级罚款，每项2或3类索赔将被处以3级罚款。请注意，由于免赔额不同，2类和3类索赔的罚款也不同。例如，如果一年内报告了2份类型为0的索赔，那么保单持有人r将向上移动2级；如果报告了1个类型为0的索赔和1个类型为1的索赔，则保单持有人将向上移动3个级别，即无论如何都将处于最高级别。对于年平均索赔频率λθ和概率向量q=（q，q，q，q）的投保人，使用公式（1）计算一步转移矩阵的元素。因此，一步转移矩阵由p（λθ；q）给出=e-λθλθqe-λθλθqe-λθ+（λθq）e-λθ1-e-λθ-λθ（q+q）e-λθ-（λθq）e-λθe-λθ0λθqe-λθ1-e-λθ-λθqe-λθ0 e-λθ0 1-e-λθ0 e-λθ1-e-λθ.接下来，平稳概率πl（λθ；q），0≤ l≤ 3，使用公式la（2）计算。标准计算表明π（λθ；q）=e-3λθ,π（λθ；q）=e-2λθ- e-3λθ,π（λθ；q）=e-λθ- e-2λθ- λθqe-3λθ,154 O.Ragulinaπ（λθ；q）=1- e-λθ- 2λθqe-2λθ+λθ（q- q） e类-3λθ-（λθq）e-3λθ,哪里 = 1.- 2λθqe-2λθ- λθqe-3λθ-（λθq）e-3λθ.很容易看出-3λθ≥ 0，e-2λθ- e-3λθ≥ 0和e-λθ- e-2λθ- λθqe-3λθ≥ 0对于所有λ>0，θ≥ 0和0<q<1。

此外，很明显PL=0πl（λθ；q）=1。所以要看到πl（λθ；q），0≤ l≤ 确实是概率，我们必须证明1- e-λθ- 2λθqe-2λθ+λθ（q- q） e类-3λθ-（λθq）e-3λθ≥ 0（18）对于所有λ>0，θ≥ 0，q>0和q>0，这样q+q<1。很容易检查（18）左侧相对于q的最小值≥ 0和q≥ 0表示q+q≤ 当q=1、q=0且等于1时，可获得1- e-λθ- 2λθe-2λθ+λθe-3λθ-（λθ）e-3λθ. （19） 引入函数h（y）=1- e-y- 2年-2年+年-3年-ye公司-3y，y≥ 取导数yieldsh′（y）=e-3年ey公司- 1.+ 2年2e类-2年- e-3年+3年-3年≥ 0，y≥ 因此，h（y）是非递减的，其最小值为y=0且等于0。因此，（19）的最小值也是0，因为λθ=0，wh ich给出（18）。在本节中，我们处理mea nu>0的指数分布索赔规模，即分布函数FCof C等于FC（y）=1- e-y/u，y≥ 因此，Q=1- e-c*/u，q=e-c*/u- e-c*/u，q=e-c*/u- e-c*/u，q=1- e-c*/u;EC | C≤ c*=qZc公司*yue-y/udy=u（1- e-c*/u）- c*e-c*/u1- e-c*/u= u -c*e-c*/u1- e-c*/u，EC | C*< C≤ c*=qZc公司*c*yue-y/udy=（c*+ u）e-c*/u- （c）*+ u）e-c*/ue-c*/u- e-c*/u=u+c*e-c*/u- c*e-c*/ue-c*/u- e-c*/u，Bonus–具有不同索赔类型和不同免赔额的malus系统155EC | C*< C≤ c*=qZc公司*c*yue-y/udy=（c*+ u）e-c*/u- （c）*+ u）e-c*/ue-c*/u- e-c*/u=u+c*e-c*/u- c*e-c*/ue-c*/u- e-c*/u，EC | C>C*=qZ公司+∞c*yue-y/udy=（c*+ u）e-c*/ue-c*/u=u+c*;fc*, c*, c*= u - ue-c*/u- c*e-c*/u+c*e-c*/u- e-c*/u+ c*e-c*/u- e-c*/u+ c*e-c*/u= u - ue-c*/u+c*- c*e-c*/u+c*- c*e-c*/u.此外，我们假设FΘ（θ）=1- e-θ, θ ≥ 0.示例3。设λ=0.1，u=2，c*= 1，c*= 2，c*= 4、然后是q≈ 0.3935，q≈ 0.2387，q≈ 0.2325，q≈ 0.1353.