离散时间自回归隐式期权定价与套期保值

（2014）提出了一种非常有趣的方法：他们表明pst，ηtq是马尔可夫的，因此可以根据pst，ηtq获得价格和对冲策略。这在财务上是有意义的。然而，这个新的马尔可夫链生活在一个l\'d\'1维空间中，因为ηt的值与simplexSl“tx，…，xl；xiě0，x'1 `¨¨¨'xd”1u.Fran'cois et al.（2014）考虑到两种制度和一种资产，因此实际维度是2。当la2时，这变得难以控制。3.2. 全球对冲。在实践中，将出现以VT'CT为特征的预期对冲误差。换言之，t期的复制投资组合将不值最佳投资Ct。在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）设置下，这种错误是无法解释的，因为导数可以完美地复制（在连续时间内）。相反，在拟议的最优对冲协议下，复制投资组合上的风险敞口Дtdependon Vt'1（见等式13），这反过来又取决于过去的策略路径。在极端情况下，看涨期权的复制可能导致最优风险敞口大于一股。直观地说，这一特性在缩小V和C.3.3之间的差距方面是最佳的。模拟对冲误差。为了评估拟议策略的准确性，我们在ARHMM下模拟了10000条轨迹，并在不同对冲策略下对冲相同的期权。为实际起见，参数取自表3。套期保值方法是经典的Black-Scholes delta套期保值（B&S）和ARHMM（OH-ARHMM）、HMM（OH-HMM）和高斯（OH-B&S）回报下的最优套期保值（即，仅考虑1种制度）。我们还比较了半精确近似和蒙特卡罗近似。所讨论的期权是Sand K equalto 100的看涨期权，无风险利率r“0.01，3个月到期（63天），每日对冲。

表8给出了主要对冲误差统计数据，而图8显示了估计密度。与B&S和OHB&S相比，OH-ARHMM的RMSE降低了33%，而OH-HMM降低了26%。后者令人印象深刻，因为它突出了自回归动态的影响有多大。4、样本外香草定价和混合4.1。方法论为了展示拟议的对冲协议，我们根据市场价格与理论价格的比较情况，买卖标普500指数上的普通期权。然后，我们对冲头寸直至到期。然后，我们通过检查18 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'EMILLARDB&S OH-B&S HMM MC ARHMM ARHMM MCAverage-0.105-0.084 0.004 0.003 0.025 0.030中值-0.236-0.202-0.085-0.086-0.019-0.019波动率0.611 0.626 0.559 0.559 0.411 0.412克朗度1.715 1.948 1.639 1.629 4.649，评估模型规格对三角洲对冲策略的影响4 4.738峰度7.737 9.558 9.464 9.356 71.83478.219最小-1.658-1.658-4.649-4.633-2.477-2.413VaR（1%）-1.110-1.118-1.087-1.086-0.749-0.741VaR（99%）2.069 2.227 1.987 1.982 1.526 1.531最大4.886 6 6 6.725 6.538 6.520 12.958 14.266RMSE 0.620 0.632 0.559 0.411 0.413表8。使用10000个模拟投资组合，统计自回归隐马尔可夫模型中的对冲误差-2.5-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.500.511.522.53B&SOH-B&SOH HMMOH ARHMM图8。自回归隐马尔可夫模型中套期保值误差的估计密度，使用50000个投资组合。只显示了这些半精确密度，因为它们与蒙特卡罗密度不可分辨。对冲误差和策略回报的统计特性。正如波动率计时文献中经常假设的那样，所有对冲投资组合每天都会重新平衡；例如，见Fleming等人。

(2001).离散时间ARHMM 19的期权定价和套期保值期权的市场价格定义为出价和出价之间的最后一个中点（即美国东部时间下午4:15）。标的物的价格是其listedclose价值。为简单起见，我们忽略了与时变贴现率相关的问题，假设每日复合利率为常数。无风险利率r是根据零息票美国收益率曲线，对给定的到期日n进行线性插值。备注2。对于实施，我们选择使用最有可能的制度来计算对冲策略，仅显示结果。这些结果比根据发生概率ηtp1q，…，加权对冲策略得到的结果略好，ηt周期t.4.1.1时的状态tplq。基础。我们作出合理的假设，标准普尔500指数现货是可投资的，可以以最低的成本进行交易。正如Buraschiand Jackwerth（2001）提出的那样，远期利率直接从手头的期权数据中检索利息性质。根据看跌期权平价，期权隐含的远期价值为n，Fn，isFn“pCpK，nqp pK，nqqernnK，其中CpK，T q和p pK，T q分别是在T到期的看涨期权和看跌期权市场价值与行权K，且K是货币行权价值，使交易所所有行权的CpK，T qpK，T q最小化。我们使用at-moneyoptions，因为它们是最具流动性的，因此不太可能提供现金套利型套利机会束腰外衣。然后，我们计算每日远期利率asfn“nlogpFn{Sq和相关的每日贴现因子β”e'fn，这反映了当前无风险资本回报率减去隐含的连续分割收益率。4.1.2期权数据集。

标普500指数的交易所交易期权是欧洲期权，交易量大，有大量的罢工和到期日。为了评估我们模型的准确性，我们将分析两个特征迥异的时期：2008年的金融危机和近期的大部分复苏。日期分别为2007年9月24日至2009年9月20日和2013年9月23日至2015年8月7日。这将有助于我们辨别在前一种情况下，以及在后一种情况下，当无风险的制度发生变化时，对套期保值和定价的影响。为了尽量减少不同到期日的影响，我们将建立一个期限约为1年的期权数据集，更准确地说，期限从231个交易日到273个交易日。此外，由于货币内和货币外的流动性较低，我们将只包括货币性（行权价值除以基础价值）介于0.9和1.1之间的期权。这使得我们在第一阶段共有180个选项，第二阶段共有478个选项。请注意，在给定日期，多个选项可以满足这些标准。4.1.3. 回溯测试。我们采用了AR（1）制度转换最优套期保值方法和3种制度（ARHMM）。我们选择了3种制度，因为考虑到研究的时间窗，制度的数量似乎是最好的，我们将在下一段中描述。我们将其与1制度和Φ固定为0的情况进行比较，对应于Black-Scholes模型（OH-B&S）下的最优套期保值。对于数据集中的每个选项，我们使用500天和2000天的跟踪窗口估计S&P500日志返回上的ARHMM参数。我们选择对20个MASSIMO CACCIA和BRUNO R’EMILLARDusing 2个估计窗口进行支持测试，以便更深入地了解定价和套期保值的模型规范。

2000天的后续窗口将始终包括之前的金融崩溃，即我们第一次分析的网络泡沫，以及第二次分析的2008年金融危机。500天跟踪窗口不会。同样，我们将此方法应用于分析中包含的所有套期保值协议，将在下文介绍。从默顿（1973）开始，对于给定的货币，期权的价值与基础价值的同质程度为1。因此，对于每个接受日，我们将期权价格、履约价值和标普500指数初始值为100的基本路径标准化。因此，结果可以通过时间进行汇总，并以标准普尔500指数的百分比进行解释。请注意，对于每个起始日期，套期保值协议都是在样本之外应用的，直到到期。为确保可比性，当自回归参数Φ“0”时，OH-B&S假设ARHMM的平稳分布。OH-B&S最优套期保值风险来自与第3节中所述算法类似的算法。R'emillard（2013）中给出了无条件分布下的最优套期保值。这两种策略都在各自的零假设下最小化了预期的二次套期保值误差，即收益遵循自回归区域切换模型（ARHMM）和高斯模型（OH-B&S）。OH-B&S方法不能与经典的Black-Scholesdalta对冲协议混淆。事实上，这个术语只反映了我们在布莱克-斯科尔斯框架假设下对冲和定价的事实，即资产遵循几何布朗运动。尽管OH-B&S价格与通常的Black-Scholes价格趋于一致，因为套期保值期的数量趋于一致，但离散时间套期保值策略不一定相同。

因此，还考虑了经典的Black-Scholes delta套期保值方法（B&S）。与OH-B&S类似，B&S波动率被校准为ARHMM的平稳波动率。我们将在分析中添加一个最终基准，该基准反映了市场对相同期权进行套期保值的程度，即delta套期保值方法，其中波动率被校准为每个套期保值期（B&S-M）的隐含波动率。它将告诉我们这些模型与市场直觉相比有多好。Carr（2002）讨论了使用隐含波动率的影响。然而，他的理论分析不能在这里进行。综上所述，我们将根据与理论价格相比的市场价值买卖期权，并对冲头寸直至到期。我们将分析不同方法的损益，以及对冲误差。我们将研究两个时期：2008年金融危机和2013年年中至2015年年中的大部分复苏计划。4.2。实证结果。我们将套期保值误差定义为负债βnC的现值减去终端投资组合βnVn的现值。期权到期日设定为一年，年化均方根对冲误差可由B^EpβnVn'βnCq计算。这一已实现风险是我们最小化数量的经验对应项，因此是比较不同模型的最相关指标。请记住，我们的数据集中有很多重叠，因此套期保值误差值不是独立的，也不是相同的分布，因为离散时间ARHMM 21货币性或其他参数的期权定价和套期保值不是常数。尽管存在这些不便，对冲误差仍然有助于比较模型。关于交易策略，如果市场相对于模型被高估，我们出售期权并对冲头寸。

因此，回报的现值为pC'Vq'pβnCn'βnVnq。如果市场被低估，我们购买期权并对冲头寸。回报将是前者的负值。4.2.1. 2008-2009年金融危机。在本节中，我们将重点介绍自2007年9月24日至2009年9月20日期间的期权。这段时间真的很有趣。在第一部分，市场经历了巨大的非意愿增加和回报下降。第二种情况正好相反。我们将首先关注500个后续估计窗口案例。表9和图9给出了对冲误差的统计数据和密度近似值。图10显示了交易策略的结果，即交易90个期权的投资组合的累积价值。x轴是按时间顺序交易的期权累计数量。在这种情况下，ARHMM是迄今为止最优秀的方法学。考虑到所有看涨期权和看跌期权的指标，它实现了最佳套期保值误差。此外，这是两种期权的最佳交易策略，尽管在看涨期权的情况下，对冲误差几乎完全为负值。请注意，统计“偏差”是指市场价格与理论价格之间的差异。因此，BS-M始终为0，因为使用了隐含挥发度。当波动性增加，回报率变为负值时，看跌期权的价值增加，需要进行相应的对冲。B&S和B&S-M未能做到这一点，导致了巨大的对冲错误和投资组合方面的巨大损失。调用PutsB&S-M B&S OH-B&S ARHMM B&S-M B&S OH-B&S ARHMMRMSE 3.87 5.27 4.53 0.61 39.95 42.52 4.53 0.98偏差0-4.52-4.37-5.35 0-1.05-0.91-1.87VaR 1%-7.64-12.02-12.47-3.17-28.39-33.24-12.47-3.18中位数2.82 2.68-1.65e-04 30.78 29.77 2.68 0.18 01VaR 99%9.16 8.61 7.57-1.97e-09 72.9 77.22 7.57 4.75表9。

2008-2009年金融危机中90个看涨期权和90个看跌期权的对冲误差统计数据，有500天的跟踪估计窗口。类似的结果如表10、图11和图12所示，尽管之前设置为500天的跟踪估计窗口现在是2000天。这个估计窗口包括另一场金融危机，即网络泡沫。可以得出与先前经验相同的结论。4.2.2. 2013-2015年牛市。我们的第二个也是最后一个分析重点是2013年9月23日至2015年8月7日期间近期复苏的一部分。这一时期与金融崩溃完全相反。它的特点是稳定的回报和低波动性。同样，我们从较小的尾随估计窗口开始。我们将调用和put的结果显示在表11以及图13和14中。考虑到对冲误差，22 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'EMILLARD（a）-15-10-5 0 5 1000.511.5B&SMB&SOH-B&SARHMM（B）-40-20 0 20 40 60 60 8000.10.20.30.40.50.60.70.80.9B&SMB&SOH-B&SARHMM图9。2008-2009年金融危机中交易的90个看涨期权（a）和90个看跌期权（b）的对冲误差密度近似值，有500天的后续估计窗口。（a） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90交易总数-200-1000100200300400500600损益SB&SOH-B&SARHMM（B）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90交易总数-2500-2000-1500-1000-5000500损益SB&SOH-B&SARHMM图10。2008-2009年金融危机中交易的90个看涨期权（a）和90个看跌期权（b）的盈亏交易策略，有500天的后续估计窗口。调用PutsB&S-M B&S OH-B&S ARHMM B&S-M B&S OH-B&S ARHMMRMSE 3.87 4.26 3.15 0.33 39.95 40.87 3.15 1.25偏差0-4.86-4.69-4.91 0-1.4-1.23-1.44VaR 1%-7.64-4.76-4.27-1.43-28.39-28.68-4.27-1.4Median 2.9 3.26 1.93 0.01 30.78 27.74 1.93 0.35VaR 99%9.16 8.93 7.62 0.33 72.9 74.76 7.62 4.83表10。

2008-2009年金融危机中90个看涨期权和90个看跌期权的对冲误差统计数据，2000天的跟踪估计窗口。OH-B&S和ARHMM在putand通话中都获得了最好的、非常相似的统计数据。与第4.2.1节中之前的经验类似，B＆S和B＆S-MR对认沽期权的适用性较差。离散时间ARHMM 23（a）-10-8-6-4-2 0 2 6 8 1000.511.522.5B&SMB&SOH-B&SARHMM（B）-40-20 0 20 40 60 8000.10.20.30.40.50.6B&SMB&SOH-B&SARHMM图11。2008-2009年金融危机中交易的90个看涨期权（a）和90个看跌期权（b）的套期保值误差密度近似值，后续估计窗口为2000天。（a） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90交易总数-1000100200300400500盈亏SB&SOH-B&SARHMM（B）0 10 20 30 40 60 70 80 90交易总数-2000-1500-1000-5000500盈亏SB&SOH-B&SARHMM图12。2008-2009年金融危机中交易的90个看涨期权（a）和90个看跌期权（b）的盈亏交易策略，有2000天的后续估计窗口。调用PutsB&S-M B&S OH-B&S ARHMM B&S-M B&S OH-B&S ARHMMRMSE 1.09 1.64 0.84 0.99 18.12 11.6 0.84 0.99 0 0.12 0.22 0.59 0-4.08-3.98-3.62VaR 1%-2.63-2.53-1.45-2.47-41.63-26.59-1.45-2.46中值-0.14-0.02-0.01-12.12-8.6-0.02-0.46 01VaR 99%1.39 4.42 3.7 3.54 9.42 6.78 3.7 3.53表11。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权和239个看跌期权的对冲误差统计数据，500天跟踪估计窗口。最后，较长估计窗口情况下的结果如表12以及图15和16所示。这可能是ARHMM最糟糕的环境，因为估计窗口包括金融危机（即2008-2009年金融危机），样本外回报缓慢且稳定。

因为我们的交易策略24马西莫·卡西亚和布鲁诺·艾米拉德（a）-3-2-1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.60.70.8B&SMB&SOH-B&萨赫姆（B）-50-40-30-20-10 10 2000.10.20.30.40.50.70.8B&SMB&SOH-B&萨赫姆图13。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权（a）和239个看跌期权（b）的对冲误差密度近似值，有500天的后续估计窗口。（a） 0 50 100 150 200 250交易总数-50050100150200250300350400损益SB&SOH-B&SARHMM（B）0 50 100 150 200 250交易总数-500050010001500200025003000损益SB&SOH-B&SARHMM图14。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权（a）和239个看跌期权（b）的盈亏交易策略，有500天的后续估计窗口。考虑到实际对冲误差，根据（13），模型越简单，表现越好。尽管如此，ARHMM在看跌期权对冲错误方面的表现仍优于B&S和B&M。值得注意的是，这些电话的定价偏向是非常积极的。理论上，定价偏差应为负，以考虑风险溢价。在这种情况下，市场似乎对回报率和波动率都很低很有信心。在insight中，这是正确的。最后，我们在表13中汇总了B＆S、OH-B＆S和ARHMM的所有经验损益。为了进行公平比较，我们将每种情况下的交易数量标准化为100。请记住，期权价格、履约价格和基本路径也在标普500指数初始值100时进行了归一化。