离散时间自回归隐式期权定价与套期保值

对于后者，我们可以将前者称为2000年的复苏和2010年的复苏。测试结果如表1所示。我们还将研究其间的有趣时期，回顾所有规范都是等效的。离散时间ARHMM的期权定价和套期保值7期P-价值2000的复苏39.82008-2009年金融危机0.42010的复苏9.7表1。使用Kolmogorov-Smirnov统计量的非参数变化点检验的P值（百分比），N=10000bootstrap样本。2008-2009年的金融危机，尽管平稳性的无效假设的P值为0.4%。接下来，我们对ARHMM（AR（1））和HMM（AR（0））进行附录D中描述的拟合优度测试（简称GoF），作为比较平均值。结果见表2、4和6。根据第2.3.1节所述的选择方法，我们为2000年的采收率选择了一个最佳的三种模式，因为3是P值大于5%的最小模式数。HMM模型也是如此。同样，我们为2008-2009年的金融危机选择了三种制度模式，为2010年的复苏选择了四种制度模式。请注意，在2010年的牛市中，HMM的四区域模型不足以得到P值a5%。此外，为了衡量ARHMM相对于HMM的显著性，我们进行了似然比检验。这是可能的，因为HMM是与Φ“¨¨”Φl”0相对应的ARHMM的特例。相应的统计量计算如下：D“\'2 log^Lp^θ| xqLp^θ| xq˙；”2 log^f1:npy，…，yn^θqf1:npy，…，yn^θ¨q˙其中^θ是在零假设下估计的模型参数，即Φ“¨”“Φ`“0，因此收益遵循高斯隐马尔可夫模型，而^θ是在备选方案下估计的模型参数，即收益遵循自回归隐马尔可夫模型。

在无效假设下，该统计学家以卡方分布的形式分布，自由度的数量与备选模型中额外参数的数量相等。在我们的例子中，每个区域都有一个额外的参数，即Φi，所以自由度的数目是`。因此，在无效假设下，D"χp'q。表2、4和6中还列出了两个模型的对数可能性、统计检验D和显著水平为5%的χ临界值。我们明确拒绝所有模型的零假设，证明我们应该对每个数据集支持ARHMM而不是HMM。表3、表5和表7给出了三个时期的估计参数，其中每个AR（1）和AR（0）高斯体系密度的平均值和标准偏差分别用ui和σi表示，并以年化百分比值表示。这些表格还包含长期（即平稳）制度概率ν，以及估计的转移矩阵Q。制度是通过增加波动率σi来排序的，顺便说一句，是通过减少平均ui来排序的，这与我们通常在市场上观察到的情况一致。就2000年的复苏而言，制度1与牛市有关，其特点是高正保费和低风险（u“35.89和σi”8 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'Emillard图1。三种制度的最可能制度AR（1）2004年1月5日至2008年1月2日标普500指数总回报指数的模型以及指数的累积表现。较暗的区域代表较高的波动性状态。2004 2005 2006 2007 200800.51Regime12004 2005 2006 2007 200800.51Regime22004 2005 2006 2007 200800.51Regime3图2。制度的概率，即。

ηt，适用于2004年1月5日至2008年1月2日期间标普500指数总回报指数上的三个regimeAR（1）模型。离散时间ARHMM的期权定价和套期保值2 GOF P值（ARHMM）0 0 26.51GoF P值（HMM）0 0 25.12对数似然（ARHMM）3479 3542 3559对数似然（HMM）3475 3539 3552P值（D）0.43 3.63 0.18表2。使用2000年恢复期标准普尔500指数每日周转率上的N=10000个自举样本进行拟用拟合优度检验的P值（百分比），连同模型的对数似然和似然比测试统计的P值（百分比）D.AR（0）AR（1）参数区域1 2 3 1 3 3u31.41 13.88-17.23 34.89 6.99-21.60σ2.18 10.09 18.02 3.34 11 11.03 18.95Φ0 0 0-0.14 0.03-0.19ν0.11 0.65 0.24 0.19 0.63 0.180 0.92 0.08 0.96 0.04Q 0.17 0.83 0.32 0.68 00 0.03 0.97 0 0.04 0.96表3。标准普尔500指数三种制度模型的参数估计2000年经济复苏的总收益率每日收益率。u和σ以年化百分比表示。3.34). 这种状态似乎是间歇性的，因为自Q<<0以来，马尔可夫链不保持或保持在状态1的概率很小。然而，这种状态不是由于异常值造成的，因为马尔可夫链处于这种状态的时间百分比对于HMM是11%，对于ARHMM是19%。政权2是一个中间国家。最后，制度3与熊市或回调相关，如负溢价-21.60和波动率18.95所示。在HMM的情况下，这些机制不太明显。此外，相似比检验统计量D“15.04告诉我们，ARHMM对该数据的拟合效果更好。事实上，我们观察到区域1和3的平均值回归很强（Φ”'0.14和Φ”'0.19）。这可以解释为什么HMM将所有东西模糊在一起。

图1显示了整个时间序列的过滤最可能状态（过滤程序见第2.1节）。这些制度由不同的灰色阴影描述，从高波动率地区的深色到低波动率地区的白色。图2给出了这些状态的概率，即ηt。有趣的是，次级抵押贷款市场的危机已经被高风险制度充分捕捉到了。研究的第二阶段非常有趣。对于2008-2009年的金融危机，政权极为两极分化，预期回报率在72.2210马西莫·卡西亚和布鲁诺·R'埃米利亚德图3之间。2008年1月3日至2010年1月4日，标准普尔500指数总回报指数中三种制度AR（1）模型的最可能制度，以及指数的累积表现。较暗的区域代表较高的波动性状态。2008 2009 201000.51Regime12008 2009 201000.51Regime22008 2009 201000.51Regime3图4。2008年1月3日至2010年1月4日期间，标普500指数总回报指数中三个区域（1）模型的状态概率，即ηt。离散时间ARHMM的期权定价和套期保值11区域数1 2 GOF P值（ARHMM）0 0 59.59GoF P值（HMM）0 0 72对数似然（ARHMM）1209 1323 1334对数似然（HMM）1214 1318 1.329P值（D）0.19 0.95 2.59表4。2008-2009年金融危机标准普尔500指数每日回报中，使用N=10000个自举样本进行拟用拟合优度检验的P值（百分比），以及模型的对数似然性和似然比检验统计量D.AR（0）AR（1）参数区域1 2 3 3 3u74.97-5.28-66.87 72.22-0.42-64.73σ5.52 23.17 57.80 5.12 22.56 55.68Φ0 0-0.03-0.16-0.15ν0.15 0.58 0.27 0.14 0.58 0.280 0.97 0.03 0.98 0.02Q 0.25 0.75 0.23 0.77 00 0.01 0.99 0 0.01 0.99表5。

2008-2009年金融危机标准普尔500指数总回报日回报三种制度模型的参数估计。u和σ以年化百分比表示。至-64.73。熊市制度，即制度3，异常持久和动荡，正如Q3,3“0.99和σ”55.68所强调的那样。我们再次发现了两种表现出平均回复的状态，即Φ“'0.16和Φ“\'0.15.图3和图4分别类似于图1和图2。我们可以看到，投资银行雷曼兄弟倒闭后，马尔可夫链立即转变为高风险状态。值得注意的是，在几乎所有的银行业危机中，马尔可夫链都保持在这种状态，尽管我们观察到许多小的上升趋势，这意味着许多人认为我们触底了。在最后一个时期，我们选择了se四种模式。如前所述，FourRegion HMM没有通过拟合优度测试。我们仍然在表7中列出了估计参数，作为比较平均值。此周期的校准不如前一周期直观。风险和预期保费之间的负相关性没有那么强。此外，两种模型都有一个具有巨大预期回报的非持久性区域（即区域2）。尽管如此，我们仍然发现两种制度（即制度3和制度4）的适度均值回归，而高风险制度的持续性很强，正如bu Q4所强调的，4“0.97，与前两种情况一样。最可能的情况如图5所示，而12 MASSIMO CACCIA和BRUNO R’Emillard的可能性如图5所示。四种情况AR（1）模型的最可能情况在2010年1月5日至2017年1月20日的标准普尔500指数总回报指数上，以及指数的累积表现。

较暗的区域代表较高的波动性状态。2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、201700.51Regime12010、2011、2013、2014、2015、2016、201700.51Regime22010、2011、2013、2014、2015、2016、201700.51Regime32010、2011、2012、2014、2014、2015、2016、201700.51Regime4图6。2010年1月5日至2017年1月20日，标普500指数总回报指数中四个区域（1）模型的状态概率，即ηt。离散时间ARHMM的期权定价和套期保值13 P值（ARHMM）0 0 1.56GoF P值（HMM）0 0 5.83对数似然（ARHMM）5696 5936 5985 6012对数似然（HMM）5694 5931 5981 6006P值（D）4.19 1.52 4.46 3.02表6。2010年恢复期标准普尔500指数每日周转率上使用N=10000个自举样本进行拟用拟合优度检验的P值（百分比），连同模型的对数似然和似然比统计D.AR（0）AR（1）参数区域1 2 3 4 1 2 3 4 4u29.41 303.07-68.77-28.25 32.04 365.83-68.82-27.50σ6.70 8.13 13.50 29.05 6.73 7.56 13.39 28.50Φ0 0 0-0.04 0.14-0.09-0.08ν0.44 0.09 0.33 0.14 0.45 0.09 0.32 0.140的P值（百分比）.91 0 0.09 0 0.90 0 0.10 0Q 0.47 0.07 0.45 0 0.530.06 0.41 00 0.23 0.76 0.01 0.23 0.76 0.010 0.03 0 0.97 0 0.03 0 0.97表7。标准普尔500指数四种制度模型的参数估计2010年经济复苏的总回报每日回报。u和σ以年化百分比表示。制度如图6所示。有趣的是，次级抵押贷款市场的危机已被高风险制度充分捕捉。。2011年最后一季，人们担心欧洲主权债务危机蔓延至意大利和西班牙。

ARHMM再次指出，股市下跌非常准确。我们还估算了1999年4月1日至2017年1月20日期间的ARHMM回报。虽然这段长时间远不是静止的，但看看该模型在衰退和复苏中的表现仍然很有趣。我们选择了一个四制度模型，如优度检验所示。我们可以在图7中看到，2000年的泡沫破裂和最近的金融崩溃（2008-2009年）都被高风险体制正确地接受了。3、最佳离散时间Hedging在下文中，我们使用了R'emillard和Rubenthaler（2013）的符号和结果。用S表示价格过程，即：。，STI是指d标的资产在t期的价值，并让F“tFt，t”0，…，nu a filtration在其下调整S。此外，14 MASSIMO CACCIA和BRUNO R’Emillard图7。四种制度AR的最可能制度（1）1999年4月1日至2017年1月20日标准普尔500指数总回报指数的模型，以及指数的累积表现。较暗的区域代表较高的波动性状态。假设S是平方可积的。设置t=βtSt'βt'1St'1，其中贴现因子βt“e'rta对于t”1，…，n是确定的。我们感兴趣的是最佳初始投资金额和最佳可预测投资策略|=ptqnt”1，该策略在时间n（例如看涨期权）时，将给定支付，C的预期二次套期保值误差降至最低。正式地，该问题表示为（12）mintV、~ uErtGpV、~qus，其中g“GpV，~q“βnpC'VNQ和VT是在时间t时复制投资组合的现值。换句话说，它是最佳可预测投资策略的现值，~Д，βtVt“V\'t"yj”1ДJjj、 对于t“0。

，n.为了求解（12），将Pn\'1设置为1，并定义离散时间ARHMM 15γt\'1“EpPt\'1 | Ftq的定价和套期保值，在“Ept型JtPt\'1 | Ft'1q“Ept型Jtγt\'1 | Ft'1q，bt“EptPt\'1 | Ft'1q“Eptγt\'1 | Ft'1q，ρt“a'1tbt，Pt“n'zj”tp1'ρJjjq、，对于k“n，…，1。我们现在可以陈述R'emillard和Rubenthaler（2013）的定理1，这是Schweizer（1995）的多变量扩展。定理1。假设EpPt'Ft'1q‰0 P-a.s.，对于1，…，n。对于区域切换模型，始终遵守此条件。然后，最小化问题（12）的解pV，～q是V“EpβnCPq{EpPq，和（13）νt”αt'Vt'1ρt，k“1，…，n.其中（14）αt”a'1阶βnCtPt\'1 | Ft\'1q。和ˇS和ˇV是S和V的现值。备注1。Vis的选择应确保预期套期保值误差G为零。R'emillardand Rubenthaler（2013）也表明，CtpSt，τtq由（15）βtCt“EpβnCPt`1 | FtqEpPt`1 | Ftqis”给出，是t期的最佳投资，因此n期的投资组合价值在均方误差G方面尽可能接近C，特别是V“C.Ct可解释为t期的期权价格。通过增加套期保值期的数量，Ct应趋向于风险中性措施下的价格；参见R'emillard和Rubenthaler（2016）。例如，当只有一个区域时，密度为高斯且Φ固定为0，Ct趋向于通常的Black-Scholes价格。附录E描述了ARHMM的详细最优套期保值实现。然后得出（16）ˇCt'1“βt'1Ct'1γt”Etp1'ρJttqˇCt | Ft'1q（17）αt“a'1tEpˇCtt | Ft'1q。为了推导最优套期保值算法，我们还需要以下结果，对一般ARHMM有效。首先，写出St“DpSt'1qeYt，其中Eyts是具有分量epYtqj的向量，Dpsq是具有对角元素psqj，j P t1，…，du的对角矩阵。以下定理的证明见附录E.1。定理2。对于任何t P t1。

，nu，在“DpˇSt'1qatpYt'1、τt'1qDpˇSt'1q、bt”dp711qbtpyt'1、τt'1q、ρt“D'1pˇSt'1qhtpYt'1、τt'1q和γt“gtpYt'1、τt'1q”中，有16个MASSIMO CACCIA和BRUNO R'EMILLARDht“a'1tbt”，其中at、bt和GT分别由Atpy、iq“EζtζJtgt'1pYt'1pYt tq | Yt'1“y，τt'1”i（，（18）btpy，iq“Eζtgt'1pYt，τtq'Yt'1”y，τt'1”iu，（19） gtpy、iq“E tgt\'1pYt、τtq | Yt\'1”y、τt\'1“iu（20）'bJtpYt\'1、τt\'1qhtpYt\'1、τt\'1q、ζt“eYt\'rt\'1和gn\'1”1。如果加上βnC“ψnpˇSnq，则ˇCt”ψtpˇSt，Yt，τtq，其中（21）ψt'1ps，y，iq“E”ψtDpsqeYt'rt，Yt，τt（1'htpy，iqJζt（| Yt'1“y，τt'1”i‰，和（22）αt“D'1p'St'1qa'1tpYt'1，Yt'1，τt'1q，其中（1 23）Atps，y，iq“E”ψtDpsqeYt'rt，Yt，τt（ζt | Yt'1”y，τt'1”i‰。例如，对于具有行使K的看涨期权，ψnpsq“maxp0，s'βnKq.3.1.实施问题。有两个与对冲策略实施相关的主要问题：表达式（18）-（23）中定义的at、bt、gt、ψ和at必须是近似的，并且必须预测制度。我们用网格G离散基础值y的at，btgtfunctions。以类似的方式，我们离散基础值s和y的ψ和Atfunctions。为了解决（21）-（23）给出的递归，R’emillard et al.（2017）使用分层蒙特卡罗抽样程序，对G上的模拟结果进行线性插值和外插。由于模拟计算成本高，且引入了可变性，因此受R'emillard（2013）第3章的启发，我们提出了一种新技术，使用半精确计算来近似这些积分。附录E.3中给出了半精确计算的详细信息。我们还包括蒙特卡罗抽样程序作为比较的平均值。

有趣的是，我们发现，通过简单地将蒙特卡罗样本重新缩放到所需的平均值和波动率，我们获得了与半精确计算一样精确的结果，如第3.3节所述。至于定义网格上的点，以前的文献建议选择10个等距点，在各自的最高波动率制度下，这些点至少覆盖3个标准差。重要的是，我们发现，根据模拟过程的百分位数战略性地选择点可以显著减少所需的点数，同时将精确度保持在合理的水平。接下来，我们需要根据pR、Randτq等来预测τ。根据时间t的价格信息，预测区域是概率最大的区域，即（4）中给出的最可能区域。请注意，此方法引入了偏差。我们还研究了与ηt成比例加权区域的无偏方法，但由于结果具有可比性且未导致任何显著改善，因此在分析中忽略了它们。有关状态预测的更多详细信息，请参阅第2.1节。离散时间ARHMM 17的期权定价和套期保值然后，根据（13）和（22），periodrt'1的最佳套期保值权重νt，tq近似为（24）^Иt“αtpˇSt'1，Yt'1，^τt'1q'D'1pˇSt'1q'Vt'1htpYt'1，^τt'1q，t“1，…，n.Vis用CpS，^τ，0q近似，而剩余的资金，V'^|S，投资于无风险资产。接下来，如Sis所观察到的，首先计算实际投资组合值V，然后预测当前制度τ，最后近似最佳权重。该过程将重复，直到期权到期。3.1.1。使用制度预测。在此，我们获得期权价格依赖于不可观测状态τ的es和策略，因为pSt，τtq是一个马尔可夫链。然而，Fran,cois等人。