离散时间自回归隐式期权定价与套期保值

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英文标题：
《Option Pricing and Hedging for Discrete Time Autoregressive Hidden
  Markov Model》
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作者：
Massimo Caccia and Bruno R\\\'emillard
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we solve the discrete time mean-variance hedging problem when asset returns follow a multivariate autoregressive hidden Markov model. Time dependent volatility and serial dependence are well established properties of financial time series and our model covers both. To illustrate the relevance of our proposed methodology, we first compare the proposed model with the well-known hidden Markov model via likelihood ratio tests and a novel goodness-of-fit test on the S\\&P 500 daily returns. Secondly, we present out-of-sample hedging results on S\\&P 500 vanilla options as well as a trading strategy based on theoretical prices, which we compare to simpler models including the classical Black-Scholes delta-hedging approach.
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中文摘要：
本文解决了资产收益服从多元自回归隐马尔可夫模型时的离散时间均值-方差套期保值问题。时间依赖性波动率和序列依赖性是金融时间序列的公认属性，我们的模型涵盖了这两个属性。为了说明我们提出的方法的相关性，我们首先通过似然比检验和对标准普尔500指数日收益率的新拟合优度检验，将提出的模型与著名的隐马尔可夫模型进行比较。其次，我们给出了标普500普通期权的样本外套期保值结果以及基于理论价格的交易策略，并将其与包括经典Black-Scholes delta套期保值方法在内的简单模型进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Option_Pricing_and_Hedging_for_Discrete_Time_Autoregressive_Hidden_Markov_Model.pdf (927.83 KB)

2022-6-1 02:36:17 上传

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关键词：离散时间 套期保值 期权定价 自回归 Applications

离散时间自回归隐马尔可夫模型的期权定价和套期保值Massimo CACCIA和BRUNO R’EMILLARDAbstract。本文解决了资产收益服从多元自回归隐马尔可夫模型时的离散时间均值-方差混合问题。时间依赖性波动率和序列依赖性是金融时间序列的既定属性，我们的模型涵盖了这两种属性。为了说明我们提出的方法的相关性，我们首先通过似然比检验和对标准普尔500指数日收益率的一种新的拟合优度检验，将提出的模型与著名的隐马尔可夫模型进行比较。其次，我们给出了标准普尔500指数普通期权的样本外套期保值结果，以及基于理论价格的交易策略，我们将其与包括经典Black-Scholes delta套期保值方法在内的SimpleModels进行了比较。1、引言寻求完美的期权定价模型显然是数学金融文献中的一个重要主题。Cox和Ross（1976）提供了以下观察结果：如果在一个只有一种资产和一种债券的世界中，一项债权通过套利定价，那么可以通过首先调整模型，使资产获得无风险利率，然后计算债权的预期值来确定其价值。寻找一种自我融资的最佳投资策略，复制债权的最终支付额，这种想法现在被称为动态对冲。人们可以用几何布朗运动对标的资产的回报进行建模，并获得一种易于处理和直观的定价和复制期权的方法。这正是Black和Scholes（1973）提出的。不幸的是，金融市场对于这样一个简单的模型来说太复杂了，这种套期保值协议可能会导致很大的套期保值错误，本文稍后将对此进行说明。该框架的主要缺点是持续波动的假设。

事实上，波动率似乎随着时间的推移而变化（Schwert，1989），（Hamilton和Lin，1996），主要是出于宏观经济学的原因。此外，该模型假设收益具有序列独立性，这也是一个通常被违反的假设。后来引入了最优套期保值，即最小化复制的二次误差。这些解是在连续时间（Schweizer，1992）和随后的离散时间（Schweizer，1995）中推导出来的。这种方法可以应用于几何布朗运动，或者更有趣的是，可以应用于随机波动率模型。关键词和短语。期权定价、动态套期保值、制度转换、优度、隐马尔可夫模型。这项工作部分得到了Cherchurs et l\'aide\'a larecherche du Gourmenment du Qu\'ebec基金会和加拿大自然科学和工程研究理事会的支持。我们要感谢Genevi\'eve Gauthier（HEC Montr\'eal）和Fr\'ed\'ericGodin（Concordia University）提出的宝贵意见和建议。2 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'EMILLARDHidden Markov模型Hamilton（1989），Hamilton（1990）被证明对经济和金融时间序列建模非常有用。它们对时变波动率、序列相关性和高阶矩具有鲁棒性，这些都是公认的资产回报的典型事实。这些模型的前提是，可识别事件可以快速改变资产回报的特征。在为衍生工具定价时，应考虑到这一点。这些事件可能是长期的——货币、规模或收入政策的根本变化——或短期的——与基础股票相关的新闻或联邦基金利率目标区间的变化。

然而，HMM的经典实现不能解释多个视界。Elliot在能源金融和利率建模方面的工作解决了这个问题，其中均值反转是一个广为接受的特征。Wu和Elliott（2005）介绍了一种用跳跃参数化区域切换均值回复模型的方法。他们发现模型的校准很困难，因为所展示的时间序列中有少量的跳跃。Elliott et al.（2011）后来引入了一个没有跳跃的类似模型，其中波动性受到均值回复机制切换的影响。他的依据是，受宏观经济力量驱动的波动性不应以价格变动为模型。因此，需要用隐马尔可夫链对其进行建模。最后，Elliott等人（2013年）在另一个模型下研究了欧洲和美国期权的估值，其中波动性受到制度转换的影响，但这一次马尔可夫链是可以观察到的。本文建议，开发一些方法及其相应的标准，以确定隐马尔可夫链在其设置中的最佳状态数，这将是一件有趣的事情。这正是我们论文的贡献之一。鉴于上述情况，我们决定推广R'emillard等人（2017）的工作：我们将制度转换模型与自回归参数相结合，以解释趋势和均值回归（Fama和French，1988），而不改变制度。自回归隐马尔可夫模型（ARHMM）已被应用于金融工程，并显示出良好的结果（Shi和Weigend，1997）。然而，该模型从未与最优套期保值结合使用。我们推导了套期保值策略的解，并得到了这类模型下的衍生品价格。

还值得注意的是，我们将使用半精确技术来计算最佳套期保值所需的预期，而不是蒙特卡罗技术，这将大大加快计算速度。对于参数化，我们将对ARHMM实现EM算法（Dempster et al.，1977）。这种方法广泛应用于无监督机器学习中，以发现隐藏的结构，在我们的例子中，是区域。为了选择最佳区域数来评估模型的适用性，我们在Genest et al.（2006）和R’emillard（2011b）工作的基础上提出了一种新的拟合优度检验。它基于Rosenblatt变换和参数引导。与Elliot的工作相比，我们的模型可以表现出均值回归，但并不局限于此。因此，它可能更适合于对更多种类的金融资产进行建模。在他著名的研究Fama（1965年）中，Fama提出了支持随机游走假说的强有力的大量证据。尽管如此，他认为离散时间ARHMM测试的其他期权定价和套期保值-统计或利润生成策略-可能会证实或与他的结论相矛盾。在本文中，我们将探索这两种途径。我们将在统计上表明，ARHMM是一个使用良好性检验和似然比检验进行财务建模的适当模型，我们将表明，通过购买/出售期权并复制期权直至到期，可以产生资金。为了支持我们的方法，我们将比较交易策略的回报与不同的方法：Black-Scholes delta对冲和资产遵循几何随机游走时的最优对冲。

我们还将利用市场的隐性波动率将套期保值结果与delta套期保值进行比较。首先，我们给出了似然比检验结果，证实ARHMM在标准普尔日收益率方面优于经典HMM，特别是因为我们的模型具有均值回归能力。其次，实证定价和对冲结果表明，我们的方法优于其他方法，在八分之六的情况下，我们的方法实现了最佳均方误差，并且是最有利的策略。论文的其余部分组织如下。第2节描述了模型并实现了用于参数估计的EM算法。此外，我们将引入拟合优度检验，并研究其在金融市场中的适用性。然后，在第3节中，我们将说明当资产遵循ARHMM时的最优动态离散时间套期保值模型。第4节将介绍动态决策策略的实施结果。第5节结束。2、状态切换自回归模型所提出的模型非常直观。区域过程τ是t1，…，上的齐次马尔可夫链，lu，具有过渡矩阵Q。在周期t′1，如果τt'1“i，返回值Yt'1的值为Yt'1，则在时间t，τt”j的概率为Qij，因此返回为条件分布fjpyt；Yt'1q；此处小写字母y，…，Yn用于表示y，…，Yn的实现。由此构造可知，pyt，τtq是一个马尔可夫过程。例如，对于j P t1，…，lu，可以采用高斯AR（1）模型意味着给定Yt'1“Yt'1和τt”j，Yt“uj'Φjpyt'1'ujq'εt，εt'Np0，Ajq；更准确地说，Yt ytP Rdis（1）fjpyt'Yt'1q“e'tyt'uj'Φjpyt 1'ujquJA jtj'Φjpyt'1'ujqdp2'；Aj | 1{2，其中ujP Rd，Φjis是一个d^d矩阵，使得Φnj~n0为nИ8，而Ajis是一个d^d非退化协方差矩阵。矩阵Φ。

，Φlare平均反转参数。设bde为d^d矩阵B的集合，例如Bn尼0为n尼8，并设dbe为对称正定义d^d矩阵的集合。注意，bd是谱半径小于1的d^d矩阵集，这意味着特征值都在半径为1的单位复数球中；特别地，I'B对于anyB P Bd是可逆的。请注意，所谓的隐马尔可夫模型是通过设置Φ“¨¨¨Φl”0获得的。该条件确保对于任何j P t1，…，lu，矩阵Bj“rk”0ΦkjAj'Φkj'Jis定义良好并满足Bj“ΦjBjΦJj\'Aj.4马西莫·卡西亚和布鲁诺·R'埃米利亚尔2.1。制度预测。由于制度不可观察，我们必须不断寻找来预测它们。这对定价和享乐衍生品至关重要。在许多应用中，必须通过观察值Y，…，Y以某种方式与信号联系来预测不可观察的信号。这被称为过滤问题lem（R'emillard，2013）。在我们的情况下，我们需要及时找到最可能的政权，换句话说，ηtpiq“P Pτt”i | Y“Y，…，Yt“ytq。值得注意的是，对于目前的模型，在给定起始分布η的情况下，可以精确计算此条件分布。有关更多详细信息，请参阅附录A.2.1.1中Baum-Welchalgorithm的扩展。过滤算法。为系统选择先验概率分布η。等效地，可以选择一个正向量qand setηpiq”qpiq{Z，其中Z”rlj“1qpjq。qorη的选择并不关键，因为它对预测的影响会随时间衰减，并且对任何合理的时间序列长度的终端区域概率几乎没有影响。为简单起见，我们假设非均匀分布，即q“1{l.for t”1，…，n，定义qtpiq“e”1pτt“iq'stk”1fτkpyk | yk'1qi，i P t1，…，lu和Zt“i345; lj“1qtpjq。因此，zt是Y。

,Ytbecausel"yj“1qtpjq”E<<t'zk“1fτkpyk | yk'1q fff”f1：tpy，…，ytqThen如果q“η”，则对于任何i P t1，…，lu和任何tě1，qtpiq“E<<1pτt”iqt'zk“1fτkpyk'yk'1q fff”fipyt | yt'1ql'255j“1E<<1pτt”iq1pτt'1“jqt'1'zk”1fτkpyk'yk'1q ff“fipyt'yt'1ql"yj”1QjiE<<1pτt'1“jqt'1'zk”1fτkpyk'yk'1q ff“fipyt'yt'1ql"yj”1qjiq1pjq。（2）和（3）tpiqη“P Pτt”i | Y，…，Ytq“qtpiqZt。计算了条件概率ηtpiq后，最终可以估计τtby（4）τt“arg maxiηtpiq，即作为最可能的区域。鉴于应用，最好只根据η重写（3），即，（5）ηtpiq“fipyt | yt'1qZt't't'1l'j“1ηt'1Pjqji，序列的第一个观察是老化，以计算离散时间ARHMM的fτpy'yqOPTION定价和套期保值，其中ZT't'1“ZtZt'1”l"yj“1l"yi“1fipyt | yt'1qηt'1pjqQji。因此，Zt't'1是Y'1，…，yt'1的条件密度，在Y，…，yt评估。2.1.2条件分布。根据上一节的结果，联合密度f1:tof Y，…，Ytis Zt。此外，对于任何t'2，Y，…，yt'1的条件密度ft't'1”Zt't'1可以表示为混合物，即（6）ft | t'1pyt | y，yt'1q“l"yi”1fipyt'yt'1ql"yj“1ηt'1pjqji“l"yi”1fipyt'yt'1qWt'1piqwhere（7）Wt'1piq“l"yj”1ηt'1pjqji，i P t1，…，lu。注意，对于所有t'1，Wt'1piq“Pτt”i'yt'1“yt'1，…，Y”yq。因此，遵循（8）P Pτt\'k“i | yt”yt，…，Y“yq”l"yj“1pQkqjiηtpjq，i P t1，…，lu，所以Yt\'1given Y，…，Ythas密度（9）ft\'1 | tpyt\'1 | Y，…，ytq“l"yi”1ipyt\'1 | ytqWtpiq的条件定律。接下来，很容易检查Yt\'1，…，Yt\'mgiven Y，…，Ythas密度ft\'m | tpyt\'1，…，Yt\'m | Y，…，ytq“l"yi”“1l"yi”1¨l"yim”1ηtpiq（10）m'zk“1Qik'1ikfikpyt'k'yt'k'1q.2.1.3高斯情况下的平稳分布。

假设（1）指定的模型成立，因此创新是高斯的。如果yn在法律上收敛于平稳分布，对于任何给定的起点y，则该分布必须是高斯分布，具有均值u和协方差矩阵A。假设马尔可夫链与平稳分布ν遍历。然后用概率νi，i P t1，lu，Y“pI'Φiqui'ΦiY `i、 在哪里 " N p0，Aiq独立于Y“Npu，Aq”。然后得出u“"yl"yi”1νipI'Φiq+'1tl"yi”1νitpI'Φiqui+。类似地，A必须满足“T pAq”，其中（11）T pAq“B\'l"yi”1νiΦiAΦJi，6马西莫·卡西亚和布鲁诺·R'埃米利亚德与B“uJ'i”1νi“pI'Φiqui'ΦiuutpI'Φiqui'ΦiuuJ'Ai‰。根据Φ，…，Φl的条件，矩阵空间上有一个范数''''''''''''''''''''''''''''''''''''''1对于每个i P t1，…，lu，算子T是一个压缩，因为对于任意两个矩阵a，a，''''T pAq''T pAq'''T pAq'c类“max1didl}Φi}a1。此外，由于T pAq是一个协方差矩阵，而B是正定义，因此T有一个唯一的固定点Aof，这意味着a“T pAq，而这个唯一的固定点a是一个正的不确定方差矩阵。如果事实上，a是任何序列的极限a“T pAn'1q，具有非负定义协方差矩阵。例如，可以取偶数a”0。这提供了一种通过将a<<anf设置为足够大的n来近似极限协方差a的方法。2.2参数估计。EM算法（Dempster et al.，1977）是不完整数据集的有效估计程序。在隐马尔可夫模型下，由于τ是不可观测的，观测值是部分的。该算法逐步收敛于参数的最大似然估计（Dempster等人，1977）。我们推导了ARHMM的实现，详细信息见附录C。

似乎用HMM参数的估计值开始ARHMM的参数估计（通过设置Φ“¨¨¨”Φd“0获得）稍微稳定一些。最佳的政权数量必须事先知道，我们将在下一步讨论。2.3. 拟合优度检验和制度数量的选择。为了选择最佳的数量或制度，必须用不同数量的制度测试已安装模型的充分性。这通常是通过使用基于可能性的测试来完成的。然而，基于可能性的拟合优度测试不建议用于制度转换模型（Capp\'e等人，2005）。我们选择基于参数引导的更简单方法。它被证明可以处理大量的动态模型，包括隐马尔可夫模型。该测试基于Genest和R'emillard（2008）的工作，其实施见附录D.2.3.1。选择制度的数量。选择最佳的制度数量。附录B中所述的拟合优度检验方法从给定数量的状态的Cram'er von Mises类型统计中得出P值。正如Papageorgiou等人（2008年）所建议的那样，选择最佳的制度数量，`媫，作为第一个`，其P值大于5%。第2.4.2.4节给出了拟议方法的说明。适用于标准普尔500指数每日收益。为了评估我们的模型与真实数据的相关性，我们估计了标准普尔500指数总回报每日价格序列的接近-接近对数回报的参数。为了找到平稳估计窗口，我们使用aKolmogorov-Smirnov型统计量对单变量序列进行了非参数变点检验（R'emillard，2013）。我们关注的是最近的数据，即从2000年初到今天的数据。我们发现了两个平稳估计窗口：2004年1月5日至2008年1月2日和2010年1月5日至2017年1月20日。