离散时间自回归隐式期权定价与套期保值

令人印象深刻的是，与第二好的OHB＆S相比，ARHMM在2年的后续窗口中实现了106%的损益增长，并且在8年的情况下仅落后于第一个，这也是OH-B＆S。总体而言，通过在2年和8年的窗口中实现四分之二的最佳均方根误差（RMSE），作为离散时间ARHMM 25次看涨期权定价和套期保值最具优势的期权，PutsB&S-M B&S OH-B&S ARHMM B&S OH-B&S ARHMMRMSE 1.09 5.32 4.84 8.57 18.12 14.75 4.84 8.6 bias 0 4.71 4.54 4.18 0 0 0.52 0.34-0.01VaR 1%-2.63-10-8.93-31.27-41.63-27.66-8.93-31.39中值-0.2-4.67-4.09-2.82-12.12-12.5-4.09-2.81VaR 99%1.39-1.79-1.76-0.04 9.42 1.41-1.76-0.04表12。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权和239个看跌期权的对冲误差统计数据，有2000天的跟踪估计窗口。（a） -35-30-25-20-15-10-5 0 500.050.10.150.20.250.30.350.4B和SMB&SOH-B&SARHMM（B）-50-40-30-20-10 0 2000.050.10.150.20.25B和SMB&SOH-B&SARHMM图15。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权（a）和239个看跌期权（b）的对冲误差密度近似值，有2000天的后续估计窗口。（a） 0 50 100 150 200 250交易总数-500-400-300-200-1000100200300损益SB&SOH-B&SARHMM（B）0 50 100 150 200 250交易总数-600-400-2000200400600800损益SB&SOH-B&SARHMM图16。2013-2015年牛市中交易的239个看涨期权（a）和239个看跌期权（b）的盈亏交易策略，有2000天的跟踪估计窗口。策略对于2年期窗口为四分之三，对于8年期窗口为四分之二，ARHMM是优越的对冲协议。然而，从业人员应该记住，如果ARHMM是在包括金融危机在内的窗口中估计的，那么如果回报率保持缓慢和稳定，他们应该预期套期保值误差高于简单模型。

根据我们的结果，we26 MASSIMO CACCIA和BRUNO R’Emillardtraily window（years）B＆S OH-B＆S ARHMM2-1286.78 685.32 1409.548-1761.77 594.56 546.38表13。总标准化损益表强烈建议使用2年期跟踪窗口，因为它始终实现低于1的RMSE，即ARHMM可以在金融危机中准确对冲期权，而从未见过。结论在本文中，我们提出了一个自回归隐马尔可夫模型来处理财务数据，并展示了当基础资产收益遵循自回归机制切换随机游走时，如何实施最优对冲策略。首先，我们介绍了ARHMM的估计和过滤过程。为了确定最佳的制度数量，我们基于Bai（2003）、Genestand R'emillard（2008）和R'emillard et al.（2017）的工作，提出了一种新的单变量和多变量ARHMM拟合优度检验。为了说明所提出的策略，我们对标准普尔500指数的三个日收益率序列进行了建模。使用似然检验，我们表明ARHMM比经典HMM好得多，特别是因为它有能力建模均值回归。此外，我们还提出了最小化均方套期保值误差的离散时间最优hedgengalgorithm的实现方法。由于它进一步执行定价，我们实施了一种交易策略，包括出售定价过高的期权和购买定价过低的期权，并对冲头寸直至到期。在八个案例中，与其他三个套期保值协议相比，我们的策略实现了四倍的最佳均方根套期保值误差，是最合适的策略。此外，它实现了最佳的总损益。由于它能够对状态转换和均值回归进行建模，因此将此模型应用于多变量时间序列将很有趣。

对冲算法也可以应用于多元或美式期权。参考Bai，J.（2003）。测试动态模型的参数条件分布。《经济学与统计学评论》，85（3）：531–549。Black，F.和Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637–654。Buraschi，A.和Jackwerth，J.（2001年）。微笑的代价：期权市场中的对冲和展期。《金融研究回顾》，14（2）：495–527。Capp\'e，O.，Moulines，e.，和Ryd\'en，T.（2005）。隐马尔可夫模型中的推理。统计学中的斯普林格级数。斯普林格，纽约。Carr，P.（2002年）。期权定价理论常见问题。纽约大学技术报告。Cox，J.和Ross，S.（1976年）。备选随机过程期权的估值。《金融经济学杂志》，3:145–166。Dempster，A.P.，Laird，N.M.，和Rubin，D.B.（1977）。通过EM算法获得不完整数据的最大可能性。J、 罗伊。统计学家。Soc。序列号。B、 39:1–38。离散时间的期权定价和套期保值ARHMM 27Diebold，F.X.，Gunther，T.A.，和Tay，A.S.（1998）。评估密度预测，并将其应用于金融风险管理。《国际经济评论》，39（4）：863–883。Elliott，R.J.、Chan，L.和Siu，T.K.（2013）。制度转换下的期权定价方差过程的常数弹性。应用程序。数学计算。，219(9):4434–4443.Elliott，R.J.、Miao，H.和Wu，Z.（2011年）。具有均值回归和制度转换随机波动率的资产定价模型。牛津在线过滤手册，第960–989页。牛津大学出版社，牛津。Fama，E.F.（1965年）。股票市场价格的行为。《商业杂志》，38（1）：34–105。Fama，E.F.和French，K.R.（1988年）。股息收益率和预期股票回报。《金融经济学杂志》，第3-25页。Fleming，J.、Kirby，C.和Ostdiek，B.（2001年）。挥发分的经济价值。

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，Yt'1q，ζ“YtandW”pYt`1，…，Ynq。让f表示X的密度。如果根据条件期望的定义，对于任何有界可测函数f，G，andH，EtF pXqGpζqηtpiq”EtF pXqGpζq1pτt“iq”l"yβ“1Qβizf pxqGpzqηt'1pβqf pxqfipz | xqdzdx。作为副产品的离散时间ARHMM期权定价和套期保值“l"yα”“1l"yβ”1QβαzF pxqGpzqηtpiqηt'1pαqfpxqfαpz'xqdzdx。由于最后一个方程适用于任何F和G，因此（25）成立。接下来，EtGpζqHpW q'Yt“y，τt'1“iu”GpzqHpwq'ηtpiqdzdw“l'β”1Qiβ'Fβpz'yq'ηt'1pβqGpzqHpwqdzdw，证明（26）成立。下一步，让▄fpx，zq是pX的密度，ζq“pY，…，Ytq。然后，将pXqGpζqHpW qλtpiq“EtF pXqGpζqHpW q1pτt”iq“F pxqGpzqHpwqηt'1piqQij'ηtpjq'fpx，zqdwdzdx。作为副产品，EtF pXqGpζqHpW qλtpiq“l"yα”1zF PXQGPZHPWqλtpiqηtpiqηtpαq'fpx，zqdwdzdx，证明（27）。最后一个论点很容易扩展到t”情况最后，EtF pXqGpζqHpW q∧t'1pi，jqu“EtF pXqGpζqHpW q1pτt'1”i，τt”jqu“QijzF pxqGpzqHpwqηtpiq'ηtpjqf pxqfipz'xqdwdzdx.作为副产品，后者也可以写成l"yα“1l"yβ”1zF pxqGpzqHpwq∧t'1pi，jqQαβηtpαq'ηtpβqf pxβpz'xqdwdzdx，证明（28）。很容易将最后一个参数扩展到案例t“0”。这就完成了证明。附录C.状态切换模型的估计为描述用于估计的EM算法，假设在步骤kě0，其中一个具有参数Q、ui、Φi、Ai、i P t1，鲁。设wtpiq“λtpiqMrnk”1λkpiq，并设置“yi”nt“1wtpiqyt”和“yi”nt“1wtpiqyt'1，i P t1，…，lu，其中λtand∧tare在命题1.30 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'Emilardthen，在步骤k`1，对于i，j P t1。

，lu，一个hasQpk\'1qij“rnt”1∧t'1pi，jqrlβ“1rnt”1∧t'1pi，βq“rnt”1∧t'1pi，jqrnt”1∧t'1piq，（30）upk\'1qi'I'Φpk'1qi'1'yi'Φpk'1qi'，（31）Φpk'1qi'n't”1wtpiq'yt'1'yt 1'yi'J+'1（32）'n't“1wtpiq pyt'yiq'yt'1'yi'J+，Apk'1qi“n't”1wtpiqetieJti，（33），其中eti“yt'yi'Φpk“1qi'yt'yi”，t“1，…，n.下一节给出了证明。C.1.估计的EM算法证明。EM算法预测参数包括两个步骤，期望和最大化：E步骤：计算条件概率。λtpiq“Pτt”i | Y，…，Ynq和∧tpi，jq“Pτt”i，τt\'1“j | Y，…，Ynq，对于所有1dtdn和i，j P t1，…，lu。M-Step：设Q是具有正项的l^l转移矩阵的集合。假设Q P Q和θPΘ。然后对数似然为py，….Yn，τ，…，τn，Q，θQ“n"yt”1log Qτt\'1，τt\'n"yt“1log fτtpyt 1，θQ。然后，lp，θ；Q，θQ“EQ，θ！l'Y，…，Yn，τ，…，τn，▄Q，▄θ'Y“y，…，Yn”Yn）“n"yt”1l"yi“1l"yj”1∧t'1pi，jq log'Qij'n"yt“1l"yi”1λtpiq log fipyt'yt'1，'θq。如果q，θ是步骤k的参数，那么参数Qpk\'1q，θpk\'1qat stepk\'1是'Qpk 1q，θpk 1q'arg max'QPQ，'θPΘLp▄q，▄θ；q，θq。很容易检查Qpk\'1q“arg max▄QPQn"yt“1l"yi”1l"yj“1∧t'1pi，jq log▄qijsatifiesqpk\'1qij“nt”“1∧t'1pi，jqrlβ”1∧t'1pi，βq“rnt”1∧t'1pi，jq'nt”1∧t'1piq，i，j P t1，…，lu，离散时间ARHMM 31证明的期权定价和对冲（30）。此外，θpk'1q“arg max'θPΘn"yt”1l'i“1λtpiq log fipyt'yt 1，'θq.C.1.1、高斯AR（1）区域切换模型的估计（M步）。对于估计过程，我们假设密度f，火炬由（1）给出，soθ“pu，…，ul，Φ，…，Φl，A。

,Alq PΘ“Rpbl^Bbld^Sbld。在这种情况下，函数Lp▄θq“'nt”1rli”1λtpiq log fipyt▄yt'1，▄θq最小化由P▄θq“n"yt”1l"yi“1λtpiq！yt''▄ui'Φipyt'1'▄uiq）J▄A'1i！yt''ui'Φipyt'1'uiq）`ndlog 2π\'n"yt“1l"yi”1λtpiq log'Ai'。让wtpiq“λtpiqMrnk”1λkpiq。然后，对于任何i P t1，…，lu，（34）n"yt“1wtpiq！yt'upk'1qi'Φpk'1qi'yt'1'upk'1qi'Φpk'1qi'yt'1'upk'1qi'1qi'0，（35）n"yt”1WTPIQZtiztjti，其中zti“yt'upk'1qi pk'1qi'1qi'yt'1'upk\'1qi\'，t“1，…，n，sincen"yt“1l"yi”1λtpiqzJti▄A'1izti“nνpk\'1qiT r'''A'1iApk\'1qi“nt”1λtpiq{n，对于任何非奇异d^d矩阵B，T rpBq'log'B'd。后者为真，因为任何xa0的fpxq“x'logpxq'fp1q”1。接下来，设置'yi“nt”1wtpiqyt和yi“nt”1wtpiqyt'1。然后从（34）得出upk'1qi'I'Φpk'1qi'1'yi…，lu，32 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'EMILLARDproving（31）。现在，对于I P t1，…，lu，n"yT“1wtpiq'yt'upk'1qi'yt'1upk'1qi'J“n"yt”1wtpiq pyt'yiq'yt'1upk'1qi'yi'J“n"yt”1wtpiqpyt'yi'J“Φpk'1qi'yi'1qi'yi qi'yi'J，使用（31），和n"yt“1wtpiq'yt'1'upk'1qi'yt'1'upk'1qi'J”n"yt“1wtpiq'yt'yi'yt'yi'J'upk'1qi'yi'upk'1qi'yi'J。因此，对于i P t1，…，lu，Φpk'1qi'n't”1wtpiq'yt'yi'1'yi'J'n't“1wtpiq'pyt'yiq'yi'1'yi'J”，证明（32）从（31）也可以得出，（36）可以写成（37）Apk\'1qi“n"yt”1wtpiqetieJti，i P t1，…，lu，其中“yt'yi'Φpk'1qi'yt'1'yi'，i P t1，…，lu，t”1，…，n.附录D.自回归Hiddenmarov模型的拟合优度检验在本附录中，我们陈述了拟合优度检验，该检验可用于评估高斯AR（1）的适用性区域切换模型以及选择最佳区域数l。根据Diebold et al。

（1998），Genest和R’emillard（2008）和R’emillard（2011a）使用了Rosenblatt的变换。为了简洁起见，我们详细介绍了二维高斯AR（1）区域切换模型的实现，但该方法可以很容易地推广。D、 1。条件分布函数和Rosenblatt变换。让i P t1，lu固定为具有密度fi的随机向量。对于anyq P t1，du，用fi表示，1:qprp1qi的密度，Rpqqiq，通过fi，给定pRp1qi的Rpqqi密度，Rpq'1qiq。进一步用Fi，qt表示与密度Fi，q相关的分布函数。按照惯例，Fi，1denotes表示Rp1qi的无条件密度。然后Rosenblatt的transformxTh~nTipxq“`Fi，1pxp1qq，Fi，2pxp1q，xp2qq，…，Fi，dpxp1q，…，xpdqq|离散时间ARHMM 33的期权定价和套期保值是这样的：TipRiq均匀分布在r0，1sd中。例如，如果Fi是具有平均值ui和协方差矩阵∑i的二元高斯分布的密度“¨vp1qiρibvp1qivp2qiρibvp1qivp2qivp2qi，fi，2是高斯分布的密度，平均值为up2qi'βipyp1qi'up1qiq，方差为vp2qip1'ρiq，βi”ρibvp2qi{vp1qi。这些结果可以很容易地扩展到高斯AR（1）分配然而，对于状态切换随机游动模型，过去的收益也必须包含在条件信息集中。对于任何xp1q，xpdqP R，与密度（6）条件有关的（D维）Rosenblatt变换ψt，xt'1P RDI由ψp1qtpxp1qtq“ψp1qtpx，…，xt'1，xp1qtq“l"yi”1Wt'1piqFi，1px1qtqandψpqtpqp1q，…，XPqtq“ψpqtpx，…，xt'1，xp1qt，…，XPqpqtq“i”1Wt'1piqFi，1：q'1pqp1qfi，…，XPqpqqqqtq'li给出“1Wt'1piqfi，1:q'1xp1qt，…，xpq'1qtqf对于q P t2，…，du。假设R，…，Rnis从联合（连续）分布P中提取的d维向量的大小n样本。

同时，设P为l区GaussianAR（1）区切换模型的参数族。正式地假设为isH:P P P“tPθ；θPΘu vs H:P R punsted isH:P P P P P P”tPθ；假设为空，则得出` u“ψpR，θq，u”ψpR，R，θq，…，Un“ψpR，…，Rn，θq独立且均匀分布在r0，1sd上，其中ψp¨，θq，…，ψnp¨，θq是以参数集θpΘ为条件的Rosenblatt变换。由于θ未知，因此必须由一些θn来估计。然后，伪观测值，\'U“ψpR，θnq，…，Un“ψnpR，…，Rn，θnq近似均匀分布在r0，1s上，且近似独立。我们接下来根据这些伪观测值提出一个检验统计量。D.2检验统计量。检验统计量由以下经验过程构建：Dnpuq“nn"yt”1d'zq“1I\'710”upqtdupqq，u“pup1q，…”，updqq P r0，1sd。34马西莫·卡西亚（MASSIMO CACCIA）和布鲁诺·R'Emillardt（BRUNO R'Emillardt）为了测试Hagainst Hwe提出了一个Cram'er von Mises类型统计：Sn“Bnp^U，^Unq“nzr0,1sd#Dnpuq'zd'zq”1opqq+du“nn"yt”1n"yk“1d'zq”1“max^upqt，^upqk+'d'1n"yt”1d'zq“1p1'upqqqq'nd由于^ui几乎均匀分布在r0上，1在零假设下，sn的较大值应导致对零假设的拒绝。不幸的是，检验统计量的极限分布将取决于未知参数集θ。由于不可能构造表，我们使用不同的方法，即参数自举法来计算P值。Genestand R'emillard（2008）中的大量假设表明了参数引导法的有效性。这些结果最近扩展到动态模型（R'emillard，2011b），包括状态切换随机游动。在本文中，我们通过将Rosenblatt变换条件化为前一次返回，将该过程推广到AR（1）高斯区域切换模型。D、 3。