离散时间自回归隐式期权定价与套期保值

参数引导算法。a） 对于给定数量的区域，使用应用于pR的THEM算法计算的θn估计参数，Rnqb）计算检验统计量，Sn“Bnp^U，…，^Unq，从估计的伪观测值，^Ui”ψpR，…，Rn，θnq，对于i P t1，…，nu.c）对于一些大整数N（比如1000），每k P1，…，N重复以下步骤：i）从分布中生成随机样本tRk，…，Rkn，θknu Pθnii）通过将EM算法应用于模拟样本，Rk，…，Rkn计算θknb。iii）让“ψipRk，…，Rkn，θknq表示i P 1，…，n，并最终计算kn”Bn'Uk，…，Ukn“。然后，基于Cram'er von Misesstatistic SNI的测试近似P值由nn"yk给出“1I\'SknaSn。附录E。最优混合。1。定理2的证明。证明。首先，我们证明这对于双线随机序列a、b、γ、ρ和P是正确的。结果对于Pn\'1”1显然是正确的。现在，一个“E”`nJn | Fn'1“DpˇSn'1qE！` eYn'rn'1J'Fn'1）DpˇSn'1qanpYn'1，τn'1qDp'Sn'1q，离散时间ARHMM的期权定价和套期保值35由于pY，τq是一个马尔可夫过程。出于同样的原因，bn“E pn | Fn'1q“Dp y Sn'1qE'eYn'rn'1Fn'1（“Dp y Sn'1qbnpYn'1，τn'1q。因此，ρn”D'1p y Sn'1qa'1npYn'1，τn'1q，soρJnn“bnppYn'1，τn'1qJa'1npYn'1，τn'1q'eYn'rn'1。因此，γn“gnpYn'1，τn'1q。其余的证明是通过归纳完成的。假设这对t'1是正确的，那么我们必须证明这对t是正确的。现在“E”`t型Jtγt\'1 | Ft\'1“DpˇSt\'1qE！\'eYt\'rt\'1eYt\'rt\'1Jgt\'1pYt，τtq | Ft\'1）dp711q“dp711qatpyt\'1，τt\'1qDpˇ\'1q，因为pY，τq是一个马尔可夫过程。

同样，bt“E ptγt\'1 | Ft'1q“DpˇSt'1qE'eYt'rt'1gt'1pYt，τtq'Ft'1（“DpˇSt'1qbtpYt'1，τt'1q，soρJtt“btppYt'1，τt'1qJa'1tpYt'1，τt'1q'eYt'rt'1。因此，γt“Ep1'ρJttqγt\'1 | Ft'1（“E tgt\'1pYt，τtq | Ft'1u'btpYt'1，τt'1qJa'1pYt'1，τt'1qE'eYt'rt'1gt'1pYt，τtq'1u'btpYt'1，τt'1qJa'1pYt'1，τt'1qbtpYt'1，τt'1qbtpYt'1，τt't't'1q“gtpYt'1，τt'1q。这证明了（18）–（20）对任何t P t1，…，nu都成立。现在假设βnCn”ψnpˇSnq。使用归纳法和（16）一起，可以得到71ct'1“βt'1Ct'1γt“Erp1'ρJttqˇCt | Ft'1s“Ert1'htpYt'1，τt'1qJ'eYt'rt'1'uψtpˇSt，Yt，τtq'Ft'1s“ψt'1pˇSt，Yt'1，τt'1q。最后，从（14）和（16）得出αt“a'1tEpβnCtPt\'1 | Ft'1q“a'1tEpβtCttγt\'1 | Ft'1q“a'1tEpˇCtt | Ft'1q。因此，使用（18）–（21），可以得到αt“D'1p'St'1qa'1tpYt'1，τt'1qAtp'St'1，Yt'1，τt'1q，其中tps，y，iq“E”ψtDpsqeYt'rt，Yt，τt（`eYt'rt'1'y，τt'1”i‰。36马西莫·卡西亚和布鲁诺·埃米拉德。2、最优套期保值算法。我们现在需要评估（18）–（23）。首先，atpy，iq“E！`eYt'rt'1'eYt'1'Jgt'1pYt，τtq'Yt'1“y，τt'1“i）”l'j“1Qij'ez'rt'1'ez'Jgt 1pz'yqdz，btpy，iq“E'eYt'rt'1'gt'1pYt，τtq'Yt'1”y，τt'1“i（“l"yj”1Qij'ez'rt'1'gt'1pz，jqfjpz'yqdz，gtpy，iq”E tgt'1pYt，τtq'Yt'1“y，τt'1”iu'bJtpy，iqhtpy，iq“l"yj“1Qijzgt\'1pz，jqfjpz | yqdz\'bJtpy，iqhtpy，iq，ψt\'1ps，y，iq“E”ψtDpsqeYt\'rt，Yt，τt（1'htpy，iqJ\'eYt\'rt\'1）（| Yt\'1“y，τt\'1”i‰“l"yj”1QijztDpsqeYt\'rt，z，j（1'htpy，iqJ\'ez rt\'1）（fjpz | yqdzAtps，y，iq“EψtDpsqeYt'rt，Yt，τt（\'eYt'rt'1| Yt'1“y，τt'1”i（“l"yj”1Qij'ψtDpsqez'rt，z，j（`ez\'rt\'1fjpz | yqdz）。由于这些变量是加权期望值，因此可以使用蒙特卡罗模拟和插值来近似这些变量。该方法由Papageorgiou等人（2008）提出。

由于模拟计算量大且引入了方差，我们基于R'emillard（2013）提出了一种新技术，使用半精确计算来近似这些期望。E、 3。半精确计算。通过定义网格，即xaxa。。。axmaxm`1，我们可以通过连续分段线性函数（38）^fpxq“m"yq”01pxqdxaxq\'1qAfpqq\'xffpqq（q，其中bfpqq”fpxq\'1q'fpxqqqqq\'1'xq，（39）Afpqq“F pxqq'xqBfpqq。（40）现在，为了简单起见，取d“1”。使用（38）-（40），我们可以近似gtpy，iq“k"yv”01pyvdya1qpAgtpv、iq yBgtpv、iqqwhereBgtpv、iq“^gtpyv\'1，iq'gtpyv，iqyv\'1'yvAgtpv，iq”gtpyv，iq'yvBtpv，iq.期权定价和离散时间套期保值ARHMM 37记住gn\'1”1。gti的公式稍后显示。现在，让N pxq为标准正态分布的累积分布函数，让Npzq“e'z{2？2π为相关密度。此外，Npzq“zNpzq。如果给定X"N pu，σq，并且如果给定aab，则对于任何θp R，一个hasMpθq”E“EθX1paaXabq‰”Eθu'θσ{2”N tκpbqu'N tκpaqu‰，Mpθq”E“XeθX1paaXabq‰”puθqMpθqMpσEθuθσ'θθσ'2”Ntκpbqu'Nt paqu‰，and Mpθq“E”XeθX1paaXabq‰“σMpθq\'pu`θqMpθq `σEθu`θσ{2”σ“Ntκpbqu'Ntκpaqu'pu'θσq“Ntκpbqu'Ntκpaqu‰*，其中对于任何x P R，κpxq“x'θσ'uσ。特别是，Mp0q“E rX1paaxabqs”u'N“b'uσ'N”a'uσ*'σ'N'b'uσ*'N'a'uσ*.这样，我们可以近似a、b和g如下。对于任何u P t1，ku和任何i P t1。

，lu，set^atpyu，智商“l"yj”1Qijk"yv“0zyv\'1yv\'ez\'rt\'1` ez\'rt\'1pAgt\'1pv、jq\'zBgt\'1pv、jqfjpz | yuqdz“l"yj”1Qijk"yv“0zyv\'1yv”Agt\'1pv、jq\'zBgt\'1pv、jq\'2e\'zbzbgt\'1pv、jq\'2e\'zagt\'1pv、jq\'2e\'2e\'rtzezBgt\'1pv 1pv，jq\'e\'2RTE2ZBGT\'1pv，jq\'e\'2rtze2zBgt\'1pv，jq*fjpz | yuqdz，38 MASSIMO CACCIA和BRUNO R\'EMILLARD^btpyu，iq“l"yj”1Qijk"yv“0zyv\'1yv\'ez\'rt\'1pAgt 1pv，jq\'zBgt\'1pv，JQFJPZ | yuqdz“l"yj”1Qijk"yv“0zyv\'1yv”\'Agt\'1pv，jq\'zBgt\'1pv，jq\'e\'rtezAgt\'1pv，jq\'e\'rtzezBgt\'1pv，jq*fjpz | yuqdz.和^gtpyu，iq“l"yj”1Qijk"yv“0zyv\'1yvgtpv，jq\'zBgtpv，jqu fjpz | yuqd710;^btpyu，iq^htpyu，iq，其中^htpyu，iq“a'1tpyu，iq^btpyu，iq。对于不在网格上的y值，我们还可以使用（38）-（40）对^a、^b和^g进行插值.为了近似ψ和α，我们需要定义第二个网格，由0“sasa…sasmasm\'1”8定义。ψtca也可以由连续分段线性函数的乘积来近似，即^ψtps，y，iq“m"yq”0k"yv“01psqdsasq 1q1pyvdyayv\'1q^！aψtpq，v，iq\'sB1，ψtpq，v，iq\'yB2，ψtpq，v，iq\'syB3，ψtpq，v，iq），其中b3，ψtpq，v，iq“ψpsq\'1，yv\'1，iq'ψpsq\'1，yv，iq'ψpsq，yv\'1，iq'ψpsq，yv，iqpsq\'1'sqqpyv\'1'yvq，B2，ψtpq，v，iq”ψpsq，yv\'1，iq'psq，yv，iq'1'yv，iq\'1'sq'B3，ψtpq，v，iqyv，Aψtpq，v，iq“ψpsq，yv，iq'ψpsq'1，yv，iq'ψpsq，yv，iqsq'1'sqsq'ψpsq，yv'1，iq'ψpsq'1，yv，iqsqyv，使用附录E.4中的结果。离散时间ARHMM的期权定价和对冲39因此，对于q P t1，…，mu和对于v P t1。

，ku，^ψt'1psq，yv，iq“l"yj”1Qijz^ψt ` sqez'rt，z，j'1'htpyv，iq'ez'rt'1'QIZ“l"yj”1Qijm'q“1k"yv”1zYV1PSQ'rt'sqez'1q'！tAψtpq，v，jq'sqez'rtB1，ψtpq，v，jq'`zB2，ψtpq，v，jq`zsqez'rtB3，ψtpq，v，jq）1'htpyv，iq`ez'rt'1'728；（fjpz'yvqdz“l"yj”1Qijm'q“1k"yv”1'mintyv'1，logpsq'1{sqqumaxtyv，logpsq'{sqqu^！Aψtpq，v，jq ` sqez'rtB1，ψtpq，v，jq'zB2，ψtpq，v，jq'zqez'rtB3，ψtpq，v，jq）^1'htpyv，iq'ez'rt'1'（fjpz'yvqdz，约定积分为0 ifmaxtyv，logpsq{sqqu'mintyv'1，logpsq'1{sqqu。对于^有一个类似的表达式Atpsq，yv，iq，即^Atpsq，yv，iq“l"yj”1Qijz^ψtpsqez，z，jq“ez”rt'1'fjpz'yvqdz“l"yj”1Qijm“1k"yv“1zyv\'1yv1psqdsqez\'rtasq\'1q^！Aψtpq，v，jq\'sqez\'rtB1，ψtpq，v，jq\'zB2，ψtpq，v，jq\'zsqez\'rtB3，ψtpq，v，jq）^\'ez\'rt\'1fjpz | yvqdz“l"yj”1Qijm"yq“1k"yv”1zmintyv\'1 logpsq`1{sqqumaxtyv，logpsq{sqqu^！Aψtpq，v，jq ` sqez'rtB1，ψtpq，v，jq'zB2，ψtpq，v，jq'zqez'rtB3，ψtpq，v，jq）^'ez'rt'1'fjpz'yvqdz。请注意，ψt'1p0，y，iq=ψnp0，y，iq和Atp0，y，iq=htpy，iqψnp0，y，iq表示所有t”1，…，n。例如y，iq“0表示所有t，而对于带strikeK的看跌期权，ψtp0，y，iq“βnK，对于所有t P t0，…，nu.40 MASSIMO CACCIA和BRUNO R'Emilarde。4.双线性插值。人们希望通过rx、xs'ry、ys对f进行插值。设置fi、j”fpxi、yjq、i、j P t0、1u。然后是^fpx、yq“px'xqpx'xqpy'yqpx'xqpy'yqpy'yqpy'yqB'yqB'B，其中B”f、B”f、B”f、B”f、B“f'f'f'f.E.5.高斯ARHMM的模拟（1）.如果pYt，τtq“py，iq，然后用τt\'1”j和概率Qijand，然后用Yt\'1”uj `Φjpy `ujq ` Bjε，其中BJjBj∑jandε"Np0，iq。此外，当d”1时，由zij“ui `Φjpy'ujq'σj给出fjp yq中大小N的随机样本i、 使用i"N p0，1q。所以创新的顺序 a独立于j。在这种情况下，每个积分Ijphq“shpzqfjpz | yqdz近似于^Ijphq“NN"yi”1hpzijq。特别是，这意味着对于任何j，jP t1。

. , lu，^Ijphq“NN"yi”1hpzijq，^Ijphq“NN"yi”1hpzijq.决策科学部，HEC Montr\'eal，3000 chemin de la C^ote SainteCatherine，Montr\'eal（Qu\'ebec），Canada H3T 2A7电子邮件地址：massimo。caccia@hec.caDepartment决策科学部，加拿大蒙特利尔市，3000 chemin de la C^ote SainteCatherine，Montr\'eal（Qu\'ebec），邮编：H3T 2A7电子邮件地址：bruno。remillard@hec.ca