用几何分数布朗运动建模比特币价格：

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英文标题：
《Modeling the price of Bitcoin with geometric fractional Brownian motion:
  a Monte Carlo approach》
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作者：
Mariusz Tarnopolski
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The long-term dependence of Bitcoin (BTC), manifesting itself through a Hurst exponent $H>0.5$, is exploited in order to predict future BTC/USD price. A Monte Carlo simulation with $10^4$ geometric fractional Brownian motion realisations is performed as extensions of historical data. The accuracy of statistical inferences is 10\\%. The most probable Bitcoin price at the beginning of 2018 is 6358 USD.
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中文摘要：
比特币（BTC）的长期依赖性通过赫斯特指数$H>0.5美元表现出来，被用来预测未来比特币/美元的价格。作为历史数据的扩展，使用10^4美元的几何分数布朗运动实现进行蒙特卡罗模拟。统计推断的准确率为10%。2018年初比特币最可能的价格为6358美元。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Modeling_the_price_of_Bitcoin_with_geometric_fractional_Brownian_motion:_a_Monte.pdf (320.06 KB)

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关键词：分数布朗运动 布朗运动 比特币 Quantitative Applications

利用几何分数布朗运动对比特币价格进行建模：Monte CarloapproachMariusz TarnopolskiFaculty of Physics，Astronology and Applied Computer Science，Jagiellonian University，Krak\'ow，Polandabstract比特币（BTC）的长期依赖性（通过赫斯特指数H>0.5表现出来）被用来预测未来的比特币/美元价格。对10个几何分数布朗运动实现进行了蒙特卡罗模拟，扩展了历史数据。统计推断的准确率为10%。2018年初比特币最可能的价格是6358美元。关键词：比特币、加密货币、赫斯特指数、几何分数布朗运动JEL分类：G12、E47、C221。IntroductionBitcoin自Nakamoto（2008）推出后，一直受到欢迎。它的价格和数量都增加了好几个数量级。作为所谓的加密货币（cryptocurrency），即源自数学加密的资产，它基于一种称为区块链的新技术（Bradbury，2013；Ali et al.，2014）。它的其他基本特征是：分散，拥有固定的硬币总数：2100万，流通量超过1600万。比特币还很年轻，尤其是考虑到最后一枚比特币将在2140年左右开采（Vranken，2017）。虽然比特币不具备货币的特征（Baek&Elbeck，2015；Dyhrberg，2016），而且波动性很大（Dwyer，2015；Katsiampa，2017），但它可以作为一种有效的多元化货币（Bri\'ere et al.，2015；Bouri et al.，2017），并且是对比特币的补充（Carrick，2016）。此外，根据市场效率假说（Mantegna&Stanley，2000），它最近进入了弱效率阶段（Urqhart，2016；Nadarajah&Chu，2017）。

另一方面，比特币市场呈现投机泡沫（Shiller，2014；Cheah&Fry，2015；Cheung等人，2015）。比特币的高波动性和实质性的特殊成分与比特币仍是一种交易资产而非货币这一事实有关（Dyhrberg，2016；Katsiampa，2017）。比特币汇率已经通过非因果自回归过程进行建模和预测（Hencic&Gouri\'eroux，2015）。另一方面，股票、汇率、债券或大宗商品等金融时间序列以赫斯特指数为特征（Liu等人，1999；CarboneEmail地址：mariusz）。tarnopolski@uj.edu.pl（MariuszTarnopolski）https://www.worldcoinindex.com/，于2017年7月6日访问。等人，2004年；Di Matteo等人，2005年；S’anchez-Granero等人，2008年；Zunino等人，2017），并与分数布朗运动（fBm）分享标度特性（Lo，1991；Cheridito，2003；Bayraktar等人，2004；Cont，2005；Gu等人，2012；Areerak，2014；Vukovic，2015）。因此，在这项工作中，比特币价格预测是通过对大量几何FBM样本（10）的蒙特卡罗模拟来完成的，这是一个控制价格的随机过程。然后，从经验累积分布函数（CDF）中得出最可能的价格。本文的组织方式如下。在第节中。2描述了数据集和方法。门派3给出了分析结果，并在第节中。4讨论和总结。数据和方法数据。所检查的数据集范围为2011年12月18日至201707年6月。每日加权价格从比特币图表下载。根据2015-01-05和2015-01-09的价格，对2015-01-06至2015-01-08的三天差距进行线性插值。数据点总数为2028个。数据如图1所示。赫斯特指数。

为了计算赫斯特指数H，采用了以Haar小波为基础的小波分析方法（Tarnopolski，2016）；误差δH是小波系数对倍频程的对数方差的线性相关斜率的标准误差（详见Tarnopolski2016和其中的参考文献）。为了使大小为2的幂，所检查的数据集用零填充。对于整个数据集，H=0.557±0.073。为了验证所用方法的有效性，对截至2016年底的价格进行了检查。其特征是H=0.495±0.102https://bitcoincharts.com/charts，于2017年7月6日访问。提交给期刊的预印本：编号2017年8月4日，包含1841个数据点。两个滑动窗口的时间相关性如图1所示。最近可以观察到H的瞬时值增加。为了验证下一段中的方法，计算漂移和波动率（分别作为每日日志回报的平均值和标准偏差；见图2），以计算截至2016年底的每日日志回报（产生u=0.0031和σ=0.0428），并使用适用于整个历史数据集的未来预测值（u=0.0033和σ=0.0421）。图2显示了整个检查期间漂移和波动的时间依赖性。方法论本文所利用的思想是用赫斯特指数H生成大量分数布朗运动（fBm）实现SBHT，并将其插入解中（？Biagini et al.，2008；Gu et al.，2012；？）X（t）=Xexput+σBHt（1） 描述几何分数布朗运动的随机微分方程：dX（t）=uX（t）dt+σX（t）dBHt，（2）其中X=X（0）是扩展的初始价格，作为历史数据集中的最后一个价格，u和σ分别是漂移和波动。

FBM的u和σ与历史价格收益率相同：BHt=BHt（u，σ）。从每次变现的最后价格集合中，构建了经验CDF FX（x），并且达到价格x的概率P小于x:P（x≤ x） =FX（x），或高于x:P（x>x）=1- 计算FX（x）。该方法首先在一组价格上进行测试，直到2016年底，然后对未来180天进行预测。本文应用了计算机代数系统Mathematicais；特别是，FBM作为分馏布朗运动过程[u，σ，H]生成。式（1）中X（t）的分布遵循对数正态分布LN（m，s），平均值：expm+s, 中值：exp（m），模式：expm级- s, 依次遵循平均值>模式>中值。简单地说，FX（中值）=/2.3。结果首先，对截至2016年底的价格进行了审查。其特征为H=0.495±0.102，由1841个数据点组成。10生成fBm的实现（每个长度187）。图3在其左栏中显示了结果。直方图是价格的经验概率密度函数（PDF），作为生成的FBM的最后一个值（即2011-12-18之后的2028天，或2017年的187天），与对数正态分布叠加，得出的平均值为2763.87美元（红点），模式为1714.29美元（绿点）。通过CDF计算获得给定价格的可能性；2016年12月31日的价格为955.73美元，有5.3%的可能性达到低于此价格。超过平均值2763.87美元的概率为38.4%，超过模式1714.29美元的概率为72.1%，持有5000美元或以上的概率为9.3%。中位数为2357.07美元（蓝点）。对数正态分布的平均值、模式和中值不同，如第节所述。2，但数据的日志转换是正态分布的。

对于正态分布，平均值、模式和中值都等于m，表示最可能的值，通过逆变换，它变成对数正态分布的中值exp（m）。因此，比特币价格预测被视为中位数。图3的中间列与左列相同，但更新后的H=0.557±0.073，即整个历史数据集的值。这是随着过去几个月H值的增加而执行的。采用实际H得出的平均价格为3181.95美元，模式为1274.18美元。跌破955.73美元的概率为12.4%，超过平均值的概率为34.2%，超过模式的概率为78.5%，超过5000美元的阈值的概率为16.6%。中位数为2345.34美元。总的来说，预测价格（即中位数）比实际价格低约10%，这是一个很好的一致性，因为最近价格突然上涨，导致H的瞬时值增加（与图1相比）。为了对2017年6月7日起180天内的比特币价格进行预测，再次生成10fBm变现并插入公式（1）。结果显示在图3的右栏中。跌破2575.9美元当前价格的概率为11.4%，超过8410.34美元平均价格的概率为35.5%，超过3634.13美元模式的概率为77.1%，达到10000美元以上价格的概率为27.5%。中位数为6358.32美元，即这是2018年初的预计价格。4。结论性意见比特币价格被建模为几何fBm（Biaginiet al.，2008），价格预测是通过蒙特卡罗方法提出的，实现了100次。以截至2016年底的历史价值为基础，预测的2017年中期价格作为中位数，被略微低估了约10%。

这被认为是一个很好的一致性，从而证明了模型的适用性。因此，2018年初的价格预测也是以同样的方式进行的。通过对数正态PDF及其CDF发现，作为对数正态分布变现集的中值预测的价格为6358美元。另一方面，跌破2575.9美元当前价格的可能性为11.4%。虽然预测与现实的一致性非常显著（即考虑平均值和中值），但众所周知，市场中的大波动比几何fBm预测的更为常见。事实上，在通常的假设下，像1987年的黑色星期一或2008-9年的市场崩盘这样的极端事件几乎是不可能发生的（Jackwerth&Rubinstein，1996）。经典的Black&Scholes（1973）模型也是如此。就比特币而言，这种极端事件可能是由2017-08500 1000 1500 200005010015002000250030000天（自2011-12-18起）即将到来的SegWit/UASF引起的价格【美元】0 500 1000 15000.00.10.20.30.40.50.6天（自2011-12-18起）HW=5120 200 400 600 800 10000.350.400.450.500.550.60天（自2011-12-18Hw=1024起）图1：左面板：每日比特币价格。垂直虚线标志着2016年的结束。中间面板：H的时间演化，滑动窗口为W=512。横轴表示窗口的开始日期；绘图中的最后一点指的是过去512天。

右面板：与中面板相同，但对于w=1024.0 500 1000 1500 2000-0.4-0.20.00.2自2011年12月18日起每日日志返回0 500 1000 1500-0.0050.0000.0050.0100.015自2011年12月18日起180天周期内每日漂移在2016年底前180-d漂移在2016年底前180-d漂移在2011年12月18日起180天周期内总漂移0 500 1000 15000.000.020.040.060.08天波动在180天周期内180-d波动2016年末波动性2016年末整体波动性图2：左侧面板：每日日志回报。中间和右侧面板：在180天的周期内计算的每日漂移和波动率。横轴表示时段的开始日期（长180天的滑动窗口，提前一天）。红点表示最近的数值，品红色代表截至2016年底的数值，虚线水平线表示2011-12-18至2016年底的时间间隔内的数值，虚线表示2011-12-18至2017-07-06.2000 4000 6000 80000.000000.000050.000100.000150.000200.000250.000300.00035价格【美元】PDF0 2000 4000 6000 8000 10 0000.000000.00050.000100.000150.000200.000250.00030价格【美元】PDF0 5000 10000 15000 20000 25 0000.0000020.000040.000060.000080.0001价格【美元】PDF0 1000 2000 000 4000 5000 500060000.00.20.40.60.81.0价格【美元】CDFP（X≤955.73）=0.056P（X>2763.87）=0.384P（X>1714.29）=0.721P（X>5000）=0.0930 1000 2000 3000 4000 5000 60000.00.20.40.60.81.0价格[美元]CDFP（X≤955.73）=0.124P（X>3181.95）=0.342P（X>1274.18）=0.785P（X>5000）=0.1660 2000 4000 6000 8000 10 0000.00.20.40.60.81.0价格[美元]CDFP（X≤2575.9）=0.114P（X>8410.34）=0.355P（X>3634.13）=0.771P（X>10000）=0.275图3：左列：根据截至2016年底的历史数据及其H值0.495±0.102预测当前比特币价格。

中间列：与te左列相同，但采用当前H值0.557±0.073。右栏：从上一个历史值开始180天的价格预测。上排：显示经验PDF的直方图，与最佳对数正态分布重叠。突出显示的是模式（绿点）、中值（蓝点）和平均值（红点）。下一行：考虑价格的CDF及其相关概率。回想一下，FX（中值）=/2.01。一个可能的改进可能是考虑到时间varihttp://www.uasf.co/ation波动率（Areerak，2014）和赫斯特指数。另一方面，其他包含看涨和看跌参数的模型，例如（C^amara&Heston，2008）解释了大幅的向上和向下跳跃，都是透视图。免责声明这份手稿仅供参考和说明。它不是，也不应被视为投资建议或关于行动方案的建议。读者将根据自己的判断以及具体情况和目标，自行决定与本协议相关的任何行动方案，以确定该行动方案是否适当。读者应向持有正式执照的专业人士寻求投资建议。ReferencesAli，R.、Barrdear，J.、Clews，R.、Southgate，J.（2014）。数字货币经济学。英格兰银行季报，54276–286。URL：http://EconPapers.repec.org/RePEc:boe:qbullt:0148.Areerak，T.（2014）。通过具有自适应参数的分数布朗运动模型建立股票价格的数学模型。ISRN应用数学，2014，791418。URL：http://dx.doi.org/10.1155/2014/791418.doi:10.1155/2014/791418.Baek，C.，&Elbeck，M.（2015）。比特币是投资还是投机工具？第一眼。《应用经济学快报》，22、30–34。

URL：http://dx.doi.org/10.1080/13504851.2014.916379.内政部：10.1080/13504851.2014.916379。Bayraktar，E.、Poor，H.V.、Sircar，K.R.（2004）。利用小波分析估计标准普尔指数的分形维数。《国际理论与应用金融杂志》，07615-643。URL：http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S021902490400258X.内政部：10.1142/S0219024904000258X。Biagini，F.、Hu，Y.、Oksendahl，B.，&Zhang，T.（2008）。分数布朗运动的随机微积分及其应用。伦敦斯普林格。内政部：10.1007/978-1-84628-797-8。Black，F.，&Scholes，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81637-54。URL：http://www.jstor.org/stable/1831029.Bouri，E.、Moln\'ar，P.、Azzi，G.、Roubaud，D.、Hagfors，L.I.（2017）。关于比特币的避险和避险性质：它真的不仅仅是一种多样化吗？《金融研究快报》，20，192–198。URL：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1544612316301817.内政部：https://doi.org/10.1016/j.frl.2016.09.025.Bradbury，D.（2013年）。比特币的问题。《计算机欺诈与安全》，2013年5月至8日。URL：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1361372313701015.内政部：http://dx.doi.org/10.1016/S1361-3723(13)70101-5.Bri\'ere，M.、Oosterlinck，K.、Szafarz，A.（2015）。虚拟货币、有形回报：比特币投资组合多元化。《资产管理杂志》，16365–373。URL：http://dx.doi.org/10.1057/jam.2015.5.doi:10.1057/jam.2015.5.C^amara，A.，&Heston，S.L.（2008）。具有极端事件的封闭式期权定价公式。《期货市场杂志》，28213–230。URL：http://dx.doi.org/10.1002/fut.20298.内政部：10.1002/fut。Carbone，A.，Castelli，G.，和Stanley，H.E.（2004）。金融时间序列中与时间相关的赫斯特指数。《物理学与统计力学及其应用》，344267–271。