薄型风险分担市场中的有效风险规避

在我们的模型中，我们保持需求函数的线性均衡结构，并将交易者的战略选择集参数化为提交的弹性，寡头垄断商品市场（而不是随机支付的证券）中的对称博弈也在[KM89]的开创性工作以及最近的论文[Viv11]和[Wer11]中进行了研究。这些市场模式与我们的市场模式之间的主要结构差异在于，其中的参与者（即企业）只能站在卖方一边，而买方方面（即对货物的需求）基本上是外生的。此外，可交易资产是一种商品这一事实造成了进一步的技术和经济偏差，例如，风险敞口的作用本质上是由成本函数发挥的，价格不能是负的，等等。【KM89】中的模型对需求施加了随机性，而【Viv11】考虑了随机供应商的成本和私人信息状态。另一方面，【Wer11】中的市场力量模型基于【RW15】和【MR17】中相同的价格影响设置。6 MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS VICHOSand均衡仅在总提交需求为零的价格下形成。这样，每个交易者都会对其他交易者的整个需求函数做出反应，而不仅仅是斜率。由于需求函数的截距点对应于交易者的市场风险敞口（交易者禀赋与可交易资产的相关性），这是一个关键的交易特征，其动机是风险分担的好处。这种差异在单一可交易证券的非常特殊的情况下变得明显，在这种情况下，[RW15]和[MR17]的交易者价格影响可以被视为其风险规避的互惠。

在【RW15】中，所谓的均衡效果风险厌恶，即均衡提交需求所反映的风险厌恶，仅取决于交易数量（以及我们在模型中未使用的几个其他数量：利率和每轮交易结束前允许交易的数量）。特别是，初始风险捐赠的异质性没有得到解决：即使每个时期的初始头寸不同，交易员也没有考虑交易对手的市场风险敞口。我们的需求博弈可能更适合于风险共担交易，因为它内在地强调了交易员的初始头寸对其战略行为的重要性。我们模型的另一个重要特点是，它可以应用于实际重要的twotrader案例，而[RW15]、[MR17]和[Vay99]的模型对于双边交易是不适定的。如前所述，双边交易是薄型市场模式的重要组成部分，因为大部分OT C风险分担交易仅由两个交易对手组成。在[RW12]模型中，在温和假设下，存在一个双代理贝叶斯纳什均衡；然而，那里的代理人对可交易证券有着私人估价。除了上面指出的，我们的模型允许市场不完全性：可交易证券不一定跨越交易者的禀赋。因此，我们能够在更现实的框架内，在交易员的禀赋既没有证券化，也没有可复制性的情况下，将关于薄型市场和非竞争均衡偏离竞争均衡的讨论概括起来。最后，【Ant17】和【AK17】中考虑了瘦风险分担市场的模型，尽管有不同的战略选择。

在[Ant17]中，交易方选择提交给共享的捐赠，形成了一个关于代理人线性需求的博弈；与本文相比，agentsin[Ant17]选择了需求函数的截距，而不是其弹性。在[AK17]中，交易者战略性地提交概率信念，模型“非常完整”，因为证券是由异质交易者内生设计的，目的是共享他们的风险禀赋。论文的结构。第一节介绍了市场模型和竞争均衡，其中交易者不采取战略性行动。第二节介绍、解决和讨论了个体交易者的最佳反应问题。第3节介绍了非竞争均衡；确保纳什均衡存在和唯一性的一般条件见§3.2，所谓极端均衡的条件见§3.3。第4节对双交易者博弈进行了广泛分析。主要定理3.4的证明见附录A。瘦风险分担市场中的有效风险规避71。概率空间上的模型建立(Ohm, F、 P），d用L表示≡ L(Ohm, F、 P）所有可测随机变量的类别，确定为P-a.s.等式的模。1.1. 代理和首选项。我们考虑一个n+1的经济交易者市场，其中n∈ N={1，2，…}；对于具体性，定义索引集I={0，…，n}。交易者被假定为风险规避者，仅从单个周期结束时的未来消费量中获得效用，所有不确定性都得到解决。为了简化分析，我们假设所有考虑的证券支付均以金额单位表示，这意味着未来确定的金额对于交易者具有相同的现值。每个交易员i∈ 我有一个风险的未来收益，以thenum\'eraire为单位，称为（随机）捐赠，用Ei表示。

嫁妆Ei∈ LDE注意到交易员i的现有风险投资组合∈ 一、 而且不一定是证券化或可交易的。我们确定总捐赠EI：=Pi∈IEi和设置E≡ （Ei）i∈它是交易者天赋的载体。交易者的偏好结构用泛函（1.1）L表示 X 7→ Ui（X）：=-δilog E[exp(-X/δi）]∈ [-∞, ∞),其中δi∈ （0，∞) 交易员i的风险承受能力∈ 一、 注意，当交易者I∈ 我有恒定绝对风险规避（CARA）等于1/δI的风险偏好。重要的是要指出，功能Ui（·）也以数字单位衡量财富，因此可以用于比较不同交易者（和均衡）。我们还确定了总风险容忍度δI：=Pi∈IδI，以及相对风险容忍度λI：=交易者I的δI/δIof∈ 一、 注意λI≡圆周率∈IλI=1。按照标准惯例，我们将使用下标“-i“表示除交易员i以外的所有交易员的合计数量∈ 我例如，δ-i： =δi- δi和λ-i： =1- λi，对于所有i∈ 一、 1.2。证券和需求。在市场中，存在一定数量的可交易证券，这些证券以非空集K为索引，收益以s表示≡ （Sk）k∈K∈ （五十） K.交易员i的需求函数QI∈ 证券向量S上的I由qi（p）给出：=argmaxq∈RKUi（Ei+总部，S- pi），p∈ RK。在这里，以及在续集h中，我将表示欧几里德空间RK上的标准内积。我们遵循标准文献的经典模型（例如[Kyl89，RW15，Vay99]和[Viv11]），并假设（e，S）的联合定律是高斯的。由于交易者的禀赋不一定要达到年代，市场是不完整的。还要注意的是，禀赋并不是被假定为依赖于S，也不是相互独立的。

由于随机向量S中的证券只有8 MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS VICHOStradeable，因此我们使用S的方差-协方差矩阵来识别市场风险，用C表示：=Cov（S，S）。在续集中，将强加一个长期存在的假设，即C具有完整的等级。此外，为方便起见，我们假设E[Sk]=0，k∈ K、 由于交易者确定性等价物的现金不变性，后一种假设不会导致任何一般性损失，因为我们可以将可交易证券标准化为S- E[秒]。直接计算给定值（Ei+hq，S- pi）=-δilog E[exp(-（Ei+总部，S- pi）/δi）]=E[Ei]- 总部，pi-2δiVar【Ei+hq，Si】=E【Ei】-2δiVar【Ei】-2δihq，Cqi-q、 p+δiCov（Ei，S）.我们还确定了以下数量ui：=E[Ei]-2δiVar【Ei】≡ Ui（Ei）和，对于每个i∈ 一、 ai：=C-1Cov（Ei，S）和a-i： =人工智能- ai，其中：=Xi∈Iai。然后，它遵循atUi（Ei+hq，S- pi）=ui-δihq，Caii-2δihq，Cqi- hp，qi，我们很容易从中得到交易者i的需求函数∈ 一、 由（1.2）RK给出 第7页→ Qi（p）=-人工智能- δiC-1p，i∈ 一、 是向下倾斜的线性。风险容忍度δi∈ （0，∞) 可以看作是交易者i的需求函数的弹性∈ 一、 δI越高，需求弹性越大。Fur thermore，ai∈ RK给出了可交易证券与交易员i禀赋的相关性∈ 一、 AND起着a ffine demand function（1.2）截取点的作用。根据（1.2），当所有证券的价格等于零时，Ai的每个元素的符号表示wh ether trader i∈ 我有购买（消极时）或出售（积极时）相应证券的动机。瘦风险分担市场中的有效风险规避91.3。竞争均衡。

虽然我们的重点将放在非竞争性均衡上，但我们首先确定了我们市场的竞争性均衡，稍后将作为比较基准使用和讨论，类似于[Vay99]和[Viv11]。交易以S w为代表的证券时，运用任何战略行为（即，通过假设价格接受机制），交易者会达到竞争均衡：价格是在交易者的总需求等于零的情况下确定的。定义1.1。向量bp∈ RKis称为竞争均衡价格ifXi∈IQi（bp）=0。相应的分配（bqi）i∈我∈ RK×通过bqi定义=所有i的Qi（bp）∈ 我将被称为与（竞争均衡）价格相关的竞争均衡分配bp∈ RK。初等代数给出以下结果。提案1.2。存在唯一的竞争均衡价格bp，由（1.3）bp=-δICaI，相关竞争均衡分配由（1.4）bqi=λiaI给出- 哎，我∈ 一、 备注1.3。对于i∈ 一、 Di：=hai，Si是禀赋Ei在可交易证券向量S的线性范围上的投影≡ （Sk）k∈K、 在竞争均衡条件下，traderi的地位∈ 一、 支付的净价，ishbqi，S- bpi=hλiaI- ai，Si+δIhλiaI- ai，Cai=λiDI- Di公司- 等式[λiDI- Di]，i∈ 一、 其中，Q通过dQ/dP=exp给出(-EI/δI）/EP[经验值(-EI/δI）]，其中DI：=Pi∈IDi。在证券的线性跨度等于捐赠的线性跨度的情况下，它保持Di=Ei- EP【Ei】，对于所有我∈ 一、 然后，竞争均衡与完全市场箭头Debreu风险分担均衡（s ee）一致，尤其是[Bor62，Buh84]或[MQ02，第2章和第3章]。备注1.4。当aI=0，即Cov（EI，Sk）=0时，会出现一种非常特殊的情况，这一点需要讨论，对于每k，Cov（EI，Sk）=0∈ K、 我们回忆起来，EI：=Pi∈IEi。

换句话说，aI=0表示总捐赠EI独立于证券的跨距子空间。在这种情况下，在命题1.2的设置中，证券的竞争均衡价格为零，bqi=-人工智能。因此，在竞争均衡中，交易者只需以零价格摆脱其捐赠的可对冲部分，并在与独立于证券的部分进行交易后结束。（在这方面，请回顾前面的备注1.3。）10 MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS Vichos鉴于上述备注1.4涵盖了aI=0的情况，我们将在续集中默认aI6=0。（我们回到aI=0的情况的唯一一点是在备注2.1和3.2。）当NAI6=0时，我们确定了以下参数，这些参数对我们的分析至关重要：（1.5）βi：=Cov（EI，S）C-1Cov（Ei，S）Cov（Ei，S）C-1Cov（EI，S）=海，凯，凯∈ 一、 注意βI≡xi∈IβI=1。当交易者的禀赋是可交易的，即禀赋向量ei属于（Sk）k的线性范围时∈K对于所有i∈ 一、 然后，在资本资产定价模型的术语中，βI与第I个禀赋的βI平行重合。一般来说，β应视为第i个捐赠基金在可交易证券空间的“预计β”；正如简介中所述，在续集中应简称为（交易前）测试版。与经典理论不同，Beta应在均衡交易前后衡量每个交易者的市场风险敞口水平。均衡价格和配置在很大程度上取决于交易者的异质性。竞争性交易后，交易员i的头寸∈ I是Ei+hbqi，S- bpi，可以立即计算头寸的交易后β等于λi。

因此，在竞争性风险分担中，即使初始头寸与市场风险呈负相关，每个交易者最终都会获得正的市场风险敞口，贝塔系数小于1。还请注意，风险承受能力较高的交易员愿意通过竞争性交易获得相对更多的市场风险敞口。交易员i∈ 获得交易后等于λiishbqi的天数，bpi=（βI- λi）haI，CaIi/δi，相对于βi线性增加。事实上，在竞争性交易后降低β的交易员（即λi<βi的交易员）向其交易对手支付正风险溢价| hbqi，bpi |=hbqi，bpi。另一方面，在竞争性交易中承担市场风险的交易者（即βi<λi的交易者）将获得风险溢价| hbqi，bpi |=- hbqi，bpi。基于均衡价格公式和（1.3）和（1.4）的分配，我们很容易计算并分解出在竞争均衡（Ei+hbqi，S- bpi）=ui+2δiC1/2（λiaI- ai）= ui+2δiC1/2bqi（1.6）=ui+2δihai，Caii- λihaI，CaIi2δi |{z}随机支付的利润/损失-βi- λiδIhaI，CaIi{z}（签名）风险溢价，i∈ 一、 在薄型风险分担市场中有效的风险规避11在竞争均衡条件下的较大交易会导致交易后更高的效用收益。将效用分解为风险分担收益和风险溢价，可以进一步分析每个交易者效用的确切来源，在比较竞争性和非竞争性均衡时，这将在以后特别有用。2、交易者最佳反应问题2.1。交易者反应问题的设置。虽然假设交易前beta是公开的是相当合理的，但在交易风险报告上强加类似的信息假设是有问题的。

我们将风险容忍度视为一个主观参数，并更现实地将其视为每个交易员的私人信息。在这里处理的CARA normalmarket设置中，每个交易者的风险承受能力反映在提交的需求函数的弹性中。特别是，根据命题1.2和诱导的个人效用收益（1.6），交易者提交的需求的弹性直接影响市场风险的分配和相关风险溢价。因此，有理由怀疑个人是否有动机战略性地选择提交的需求函数的弹性。更准确地说，将线性需求函数族与形式（1.2）的向下斜率相适应，战略性地选择弹性相当于满足需求函数（2.1）Qθii（p）=-人工智能- θiC-1p，p∈ RK，其中θi∈ （0，∞) 是提交的需求函数Qθii的弹性；等效地，1/θ是提交的需求所反映的风险规避。在极端情况下，θi→ ∞, 交易员i∈ Isubmits具有极强的弹性需求，或等效地表现为风险中性，而θi→ 0表示需求非常缺乏弹性，即交易者不想承担任何风险。本节讨论的问题是交易者如何在需求家族（2.1）中选择其需求函数的弹性，以及这是否不同于他们的风险承受能力。为了在检查交易者i的最佳响应功能方面取得进展∈ 一、 我们假设除交易员I之外的所有交易员∈ 我编写了一个形式为（2.1）的总线性需求函数，其中θ-i=Pj∈I \\{I}θj∈ （0，∞) 是指除i类交易员外的所有交易员的总弹性∈ 我

在这种情况下，如果Trader i∈ 我选择用θI表示需求函数（2.1）∈ （0，∞), 回顾（1.3）和（1.4），均衡价格和分配将等于bp（θi；θ-i） =-θi+θ-iCaI，bqi（θi；θ-i） =θiθi+θ-iaI公司- ai，并且交易员的报酬将等于alEi+hbqi（θi；θ-i） ，S- bp（θi；θ-i） 我。自θ起-i> 0，θi=0（解释为极端非弹性）和θi=∞（解释为风险中性）定义明确；考虑到上述表达式中的限制，12 MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS Vichos遵循BP（0；θ-i） =-θ-iCaI，bqi（0；θ-i） =-ai，bp(∞; θ-i） =0，bqi(∞; θ-i） =人工智能- ai=a-i、 风险中性的代理交易者满足其他交易者的所有要求，接受他们的所有市场风险，而不要求风险溢价（回想一下，我们假设E[Sk]=0，k∈ K） 。另一方面，极度不弹性的需求意味着对冲所有初始头寸，使交易后贝塔值等于零，事实上，将平衡价格的确定委托给了其他交易者。使用投资组合管理的标准术语，我们称之为零beta的市场中性位置。对于θ-我∈ （0，∞), 在第一节提出的高斯禀赋和证券假设下，交易者i的响应函数∈ I为（0，∞)  θi7→ Vi（θi；θ-（一）≡ Ui（Ei+hbqi（θi；θ-i） ，S- bp（θi；θ-i） i）用户界面+θiθi+θ-iaI公司- ai，Cθi+θ-iaI公司-2δiθiθi+θ-iaI+ai,用θ表示交易者战略行为的参数化。